Conversão de Bases Numéricas

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1 Disciplina: Circuitos Digitais Conversão de Bases Numéricas Prof. a Dra. Carolina Davanzzo Gomes dos Santos [email protected] Página: profcarolinadgs.webnode.com.br

2 Sistemas de Numeração O sistema de numeração é formado por um conjunto de símbolos utilizados para representação de quantidades e de regras que definem a forma de representação de quantidades / valores. Cada sistema de numeração possui um método diferente de representar quantidades. Atualmente,o sistema de numeração decimal é o sistema mais importante e mais utilizado por nós, seres humanos, para a representação de quantidades em geral, sendo este reconhecido universalmente. No mundo da computação, os sistemas digitais operam com mais de um sistema de numeração ao mesmo tempo, onde o mais utilizado é o sistema binário. Unip / Prof a Dr a. Carolina 2

3 Bases de Numeração Objetivos da aula 1. Tipos de bases de numeração 2. Conversão de bases 3. Aritmética computacional Unip / Prof a Dr a. Carolina 3

4 Notação Não-Posicional O valor atribuído a um símbolo é inalterável - independe da posição em que se encontre no conjunto de símbolos que representam uma quantidade. Unip / Prof a Dr a. Carolina 4

5 Notação Posicional O valor atribuído a um símbolodependente da posição em que ele se encontra no conjunto de símbolos que representa uma quantidade. O valor total do número é a soma dos valores relativos de cada algarismo (decimal, binário, octal). Unip / Prof a Dr a. Carolina 5

6 Bases de Numeração Base Decimal (Notação Posicional) Desde os primórdios, o Homem vem adotando formas e métodos para representar números (operações aritméticas: soma, subtração, etc); Mais utilizada e utiliza DEZ símbolos para representar quantidades; Assumem valores diferentes dependendo da posição; Sistema decimal, ou seja, base 10, devido a quantidade de algarismos disponíveis; Os números podem ser escritos: Unip / Prof a Dr a. Carolina 6

7 Base decimal Tem-se 4 algarismos: 1, 3, 0 e 3 E cada algarismo possui um valor correspondente à sua posição no número x x x x = Unip / Prof a Dr a. Carolina 7

8 Base decimal Generalizando, num sistema qualquer de numeração posicional, um número N é expresso da seguinte forma: Onde: ( d d d... d d ) n 1 n 2 n 3 1 b N = 0 d indica cada algarismo do número; n 1, n 2, 1, 0 (índice) indicam a posição de cada algarismo; b indica a base de numeração n indica o número de dígitos inteiros O valor do número pode ser obtido do seguinte somatório: N n 1 n = dn 1 b + dn 2 b d1 b + d0 b Unip / Prof a Dr a. Carolina 8

9 Exemplo N = 3748 Onde: n = 4 (quatro dígitos inteiros) Utilizando a equação: ( d d d... d d ) n 1 n 2 n 3 1 b N = 0 d n-1 = 3 ou d 3 = 3; d 2 = 7; d 1 = 4; d 0 = 8 N n 1 n = dn 1 b + dn 2 b d1 b + d0 b N = = = Unip / Prof a Dr a. Carolina 9

10 Outras bases de numeração Sistema Binário Utiliza DOIS símbolos para representar quantidades: Regras do sistema decimal: Válidos os conceitos de peso e posição. Posições não têm nome específico. Cada algarismo é chamado de bit. Exemplo: Unip / Prof a Dr a. Carolina 10

11 Outras bases de numeração Sistema Octal Utiliza OITO símbolos para representar quantidades: Expressão oral é semelhante ao sistema decimal. Exemplo: Unip / Prof a Dr a. Carolina 11

12 Outras bases de numeração Sistema Hexadecimal Utiliza DEZESSEIS símbolos para representar quantidades: A = 10 10, B = 11 10, C = 12 10, D = 13 10, E = 14 10, F = Uso das letras para facilidade de manuseio. Expressão oral é similar ao sistema binário. Exemplo: Unip / Prof a Dr a. Carolina 12

13 Comparação entre bases Unip / Prof a Dr a. Carolina 13

14 Conversão de base 2 para 8 Octadecimal = 2 3 Divide-se o número binário inteiro, da direita para a esquerda em grupos de 3 bits, e preenche-se o resto com zeros. Para cada grupo acha-se o algarismo octal equivalente da tabela. Exemplo: ( ) 2 = ( ) 8 (001) 2 (010) 2 (011) 2 (111) 2 Unip / Prof a Dr a. Carolina 14

15 Conversão de base 2 para 8 Octadecimal = 2 3 Divide-se o número binário inteiro, da direita para a esquerda em grupos de 3 bits, e preenche-se o resto com zeros. Para cada grupo acha-se o algarismo octal equivalente da tabela. Exemplo: ( ) 2 = ( ) 8 (001) 2 (010) 2 (011) 2 (111) 2 (1237) 8 (1) 8 (2) 8 (3) 8 (7) 8 Unip / Prof a Dr a. Carolina 15

16 Conversão de base 2 para 16 Hexadecimal = 2 4 Divide-se o número binário inteiro, da direita para a esquerda em grupos de 4 bits, e preenche-se o resto com zeros. Para cada grupo acha-se o algarismo hexadecimal equivalente da tabela. Exemplo: ( ) 2 = ( ) 16 (0010) 2 (1101) 2 (1011) 2 Unip / Prof a Dr a. Carolina 16

17 Conversão de base 2 para 16 Hexadecimal = 2 4 Divide-se o número binário inteiro, da direita para a esquerda em grupos de 4 bits, e preenche-se o resto com zeros. Para cada grupo acha-se o algarismo hexadecimal equivalente da tabela. Exemplo: ( ) 2 = ( ) 16 (0010) 2 (1101) 2 (1011) 2 (2DB) 16 (2) 16 (D) 16 (B) 16 Unip / Prof a Dr a. Carolina 17

18 Conversão de base 8 para 16 Base 2 é utilizada como intermediária. Converte-se o número para a base 2 e depois para a base 16. O mesmo ocorre se for converter da base 16 para a base 8 Exemplo: (3174) 8 = ( ) 16 (011) 2 (001) 2 (111) 2 (100) 2 Unip / Prof a Dr a. Carolina 18

19 Conversão de base 8 para 16 Base 2 é utilizada como intermediária. Converte-se o número para a base 2 e depois para a base 16. O mesmo ocorre se for converter da base 16 para a base 8 Exemplo: (3174) 8 = ( ) 16 (011) 2 (001) 2 (111) 2 (100) 2 ( ) 2 (0110) 2 (0111) 2 (1100) 2 (67C) 16 (6) 16 (7) 16 (C) 16 Unip / Prof a Dr a. Carolina 19

20 Base B significa uma base qualquer. Utiliza-se a equação para converter de qualquer base para decimal. N Exemplo: Conversão de uma base B para base 10 n 1 n = dn 1 b + dn 2 b d1 b + d0 b d indica cada algarismo do número; n 1, n 2, 1, 0 (índice) indicam a posição de cada algarismo; b indica a base de numeração n indica o número de dígitos inteiros (101101) 2 = ( ) 10 b = 2 n = 6 1 x x x x x x = (45) Unip / Prof 10 a Dr a. Carolina 20

21 Conversão de uma base B para base 10 N n 1 n = dn 1 b + dn 2 b d1 b + d0 b Exemplo: (27) 8 = ( ) 10 b = 8 n = 2 2 x x = (23) 10 Unip / Prof a Dr a. Carolina 21

22 Conversão de uma base B para base 10 N n 1 n = dn 1 b + dn 2 b d1 b + d0 b (2A5) 16 = ( ) 10 b = 16 n = 3 2 x x x = (677) 10 Unip / Prof a Dr a. Carolina 22

23 Conversão de uma base B para base 10 N n 1 n = dn 1 b + dn 2 b d1 b + d0 b (457) 9 = ( ) 10 b = 9 n = 3 4 x x x = (376) 10 Unip / Prof a Dr a. Carolina 23

24 Conversão da base 10 para uma base B Divide-se o número decimal pelo valor da base desejada (B). O resto encontrado é o algarismo menos significativo do valor na base B (mais à direita). Divide-se o quociente encontrado pela base B. O resto é o algarismo seguinte (à esquerda). E assim sucessivamente até obter o quociente igual a zero. Em cada divisão, o resto encontrado éum algarismo significativo do número na nova base. O primeiro resto encontrado é o valor do algarismo menos significativo (mais à direita). O último resto é o algarismo mais significativo (mais à esquerda). Unip / Prof a Dr a. Carolina 24

25 Conversão da base 10 para uma base B Enquanto o quociente for diferente de zero: - Dividir dividendo por divisor dividendo - Extrair resto como algarismo e colocá-lo à esquerda do anterior - Repetir - Quando o quociente for igual a zero, parar Enquanto o dividendo for maior que o divisor: - Dividir dividendo por divisor - Extrair resto como algarismo e colocá-lo à esquerda do anterior - Repetir Usar o dividendo como último algarismo à esquerda divisor resto quociente Unip / Prof a Dr a. Carolina 25

26 Conversão da base 10 para uma base B Exemplo: (3964) 10 = ( ) = (7574) 8 Unip / Prof a Dr a. Carolina 26

27 Conversão da base 10 para uma base B Exemplo: (45) 10 = ( ) = (101101) 2 Unip / Prof a Dr a. Carolina 27

28 Conversão da base 10 para uma base B Exemplo: (2754) 10 = ( ) = (0AC2) 16 Unip / Prof a Dr a. Carolina 28

29 Simplificação de base 2 para base 10 e vice-versa versa N n 1 n = dn 1 b + dn 2 b d1 b + d0 b Base 2 só pode ser 0 ou 1 Exemplo: 101 = 1 x x x As potências de 2, da direita para esquerda, crescem da seguinte forma: posição potência valor Unip / Prof a Dr a. Carolina 29

30 Simplificação de base 2 para base 10 e vice-versa versa Exemplo: (110011) 2 = ( ) posição algarismo potência valor ( ) 10 = = (51) 10 Unip / Prof a Dr a. Carolina 30

31 Simplificação de base 2 para base 10 e vice-versa versa Exemplo: (109) 10 = ( ) = = = = posição potência valor Unip / Prof a Dr a. Carolina 31

32 Simplificação de base 2 para base 10 e vice-versa versa Exemplo: (109) 10 = ( ) = = = = posição potência valor algarismo = ( ) 2 Unip / Prof a Dr a. Carolina 32

33 Exercícios cios Unip / Prof a Dr a. Carolina 33

34 Exercícios cios Unip / Prof a Dr a. Carolina 34

35 Exercícios cios Unip / Prof a Dr a. Carolina 35