ALGORITMOS DE CÁLCULO COM AS QUATRO OPERAÇÕES E SEUS SIGNIFICADOS PARA OS LICENCIANDOS EM MATEMÁTICA

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1 ALGORITMOS DE CÁLCULO COM AS QUATRO OPERAÇÕES E SEUS SIGNIFICADOS PARA OS LICENCIANDOS EM MATEMÁTICA Helena Alessandra Scavazza Leme Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul UEMS haleme@uol.com.br Há cinco anos venho acumulando experiência como professora de um curso de formação de professores de matemática e tenho notado, a cada ano, quando proponho a resolução de alguns algoritmos envolvendo as quatro operações, que nossos acadêmicos cada vez mais sabem apenas (e algumas vezes não sabem) resolver mecanicamente esses algoritmos, mas não entendem - talvez porque nunca lhes foi devidamente ensinado - o processo das técnicas envolvidas nesses algoritmos. Tentarei ser mais clara. Normalmente tenho de 20 a 30 acadêmicos(as) cursando a disciplina de Prática de Ensino na 3ª série de um curso noturno de licenciatura em matemática oferecido na Unidade de Glória de Dourados da Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul. A cada ano começando com uma nova turma, sempre proponho que os acadêmicos em grupos de 3 a 4 integrantes resolvam operações simples do tipo: ; ; 18 x 12 ; ; ; 25 x 20; 313 2; 5 4; 642 6; entre outras. Como esses acadêmicos serão futuros professores de matemática é importante que saibam corretamente como efetuar algoritmos com as quatro operações para que tenham bases sólidas de conhecimento que proporcione um entender e dar sentido àquilo que procurarem ensinar, independente se estarão ou não utilizando uma calculadora. Como bem colocado por Medeiros (2003, p.20): Um dos argumentos contra o uso da calculadora é de que esta inibe o raciocínio dos alunos. Entretanto, ao fazer contas com os algoritmos habituais também não há raciocínio, há uma repetição de procedimentos que, na maioria das vezes, o aluno decora sem entender o significado. Portanto, o problema não é usar ou não a calculadora, mas trabalhar os cálculos sem compreensão, sem dar o significado aos mesmos para o aluno. Nas atividades desenvolvidas em sala de aula, depois que os grupos resolviam as operações, propunha que um dos representantes de cada grupo viesse até o quadro para

2 2 que juntos discutíssemos o algoritmo utilizado e os procedimentos de como aquele grupo havia realizado a operação proposta. Foi importante a resolução em grupo uma vez que essa dinâmica facilitou a troca de concepções entre os estudantes, oportunizando a transposição das dificuldades encontradas na tarefa desenvolvida. A importância dos trabalhos em conjunto em sala de aula está vinculada ao pressuposto de que a aprendizagem está vinculada... como um processo que sempre inclui relações entre indivíduos. (Oliveira, 1995, p.56). As atividades desenvolvidas em grupo proporcionam oportunidade de trabalho em conjunto entre os alunos e estes com o professor. Segundo Leme (1997, p.141), os debates, gerados nos grupos, fazem com que idéias e raciocínios matemáticos sejam planejados e desenvolvidos a partir dos questionamentos e pontos de vistas distintos, oferecendo oportunidade para que todos possam se envolver no trabalho proposto. Sendo assim, escolhia-se um acadêmico por grupo, que ia ao quadro resolver determinada operação, começava então a questioná-lo, e aos outros, sobre os porquês de cada procedimento de cálculo que havia sido utilizado para a resolução. Tomemos um exemplo para melhor elucidação de como ocorria a dinâmica. Uma aluna estava no quadro e calculou , resolvendo da seguinte maneira: Ao ser indagada a respeito do número 1 em cima do 5 e do outro 1 em cima do 6, não soube explicar o que significava, apenas salientou que sempre somava daquele modo e aprendera a fazer desse jeito, com o vai um. Uma discussão (discussão no sentido de refletir sobre o problema) se instaurou na sala e percebi que muitos sabiam o sentido daqueles números 1. Mas alguns alunos que utilizam nos seus métodos de cálculos o processo do vai um e empresta um geralmente não sabiam o que isso significava. O fato de que nesse processo de cálculo estamos posicionando adequadamente o resultado da soma, passava desapercebido para esses alunos que apenas pareciam dominar a técnica mecanicamente sem compreendê-la. Fizemos então juntos a operação de adição explicando passo a passo seus fundamentos: somamos as 4 unidades com as 9 e obtemos 13, que é composto de 1 dezena e 3 unidades. Deixamos o 3 na posição das unidades e esse vai um é a dezena que estamos transportando para sua posição, novamente quando somamos na posição seguinte , estamos

3 3 somando as dezenas, ficamos então com 14 dezenas, ou seja, 140 = e então deixamos as 4 dezenas na sua posição e transportamos 1 centena para a posição seguinte que somada a 6 resulta 7 centenas. Esse processo oculto no algoritmo era desconhecido de alguns alunos que realizam-no apenas como uma técnica mecânica. Esse exemplo quando abordado com os alunos sempre nos levou a mostrar que na verdade quando somamos o fazemos com base nas posições das unidades, dezenas, centenas, etc, de cada número; assim somar 654 com 89 significa ter que somar as unidades: = 13, somar as dezenas: = 130 e acrescentar o resultado obtido à centena: 600, ou seja, = 743. Lembrei-os que este último era um dos processos geralmente utilizados quando fazemos cálculo mental para somar, uma vez que facilita e agiliza o raciocínio. Tenho notado que esse processo de descodificar o algoritmo, que até então era resolvido de maneira mecânica, leva os alunos a descobrirem por si próprios, fazendo-os perceberem o significado do que antes era apenas decoreba de procedimentos. Explorei também com eles somas que geralmente não são as mais usadas no papel mas que podem facilitar o cálculo mental e não podem ser ignoradas pelo professor caso seu aluno prefira esse método para as suas resoluções: Tentei fazer com que eles percebessem que o que ocorreu nessa resolução foi primeiro completar o 25 para chegar em 30, o que resulta de uma diferença de 5 unidades que foram retiradas do 19, ficando com 14 e a subseqüente soma das parcelas 30 e 14, resultando 44. Com relação à subtração, surgiram nas experiências vivenciadas, dois processos de cálculos utilizados pelos acadêmicos, são eles: I) Os alunos que utilizavam esse algoritmo explicaram o procedimento da seguinte maneira: como não podemos de 1 unidade retirar 8, tiramos das 2 dezenas uma delas o

4 4 que nos fornece 10 unidade que unidas a primeira unidade ficam 11 unidades, tirando as 8 resulta em 3 unidades. Na dezena do primeiro número somente restam 1 dezena pois a outra foi transformada em unidades, assim de 1 dezena não conseguimos retirar 9, repetimos o processo anterior, agora com as centenas. O outro modo que os alunos utilizavam para a subtração é o esquema do empresta um e cai um ou escorrega um, como eles mesmos costumam dizer ao efetuar o processo: II) Esse processo foi efetuado e relatado pelos alunos da seguinte maneira: 1 menos 8 não é possível, então emprestamos 1 e ficamos com 11 que retirado 8 dá 3, como emprestamos 1 ele cai para junto do 9 ficando 10, 2 menos 10 não é possível, então emprestamos 1 e ficamos com 12 que tirado de 10 fica 2, o 1 emprestado cai para junto do quatro ficando 5 e 9 menos 5 dá 4. Na classe surgiu toda uma discussão sobre os dois processos, os que utilizavam o primeiro explicaram para os demais e os que utilizavam o segundo fizeram o mesmo, assim sempre havia o debate sobre as etapas, singularidades e dificuldade de cada um deles, gerando trocas de experiências entre os alunos. Quanto ao processo de multiplicação, geralmente a resolução apareceu de uma das duas maneiras colocadas abaixo: x 12 x Quando perguntei o significado do sinal + embaixo do 6 ou o espaço vazio sobre o mesmo número, os dois alunos que estavam no quadro resolvendo a multiplicação, cada um com sua técnica, não souberam responder, então realizei a mesma conta, colocando-a da seguinte maneira no quadro:

5 5 18 x E então perguntei se também estava correto fazer daquele jeito e apenas responderam que o resultado era o mesmo, então começamos a verificar o que era igual e o que era diferente nos três procedimentos. Decompomos o número 12 (10 + 2) e verificamos que o 36 era proveniente da multiplicação: 2 x 18 e que o 180 era 10 x 18 e assim eles foram percebendo que a casa vazia ou o sinal + era um artifício para que a casa da dezena se mantivesse, pois quando realizamos o algoritmo costumamos multiplicar apenas o número 1(nesse caso) que na verdade é 1 dezena e não 1 unidade. A partir da decomposição do 12 em também conseguimos evidenciar a propriedade associativa da multiplicação: 18 x 12 = 18 x (10+2) = 18 x x 2 = = 216 Expliquei aos alunos que, na verdade, colocar o sinal de + ou o espaço vazio é um procedimento incorreto na técnica operatória, uma vez que ela deve ser baseada na propriedade enunciada acima, conforme Carvalho (1994). Mas, percebi que para os alunos não é fácil abandonar uma prática que foi utilizada por eles ao longo de anos de escolarização. Pedi então que realizassem 251 x 346: x 346 x E então cada grupo foi incumbido de explicar as casas vazias ou os sinais de +, conforme a técnica utilizada, e as respostas vieram desta vez através da decomposição, ou seja: 346 = x 346 = 251x ( )

6 6 (I) 251 x 6 = x 40 = (I) 251 x 300 = (II) Explicação dada pelos alunos: no algoritmo fazemos apenas 4 x 251, o que na verdade são 4 dezenas, então o primeiro sinal (ou a casa vazia) ocupa o espaço do zero da multiplicação pela dezena; (II) no algoritmo fazemos apenas 3 x 251, o que na verdade são 3 centenas, então os outros dois sinais (ou as duas outras casas vazias) substituem o lugar dos dois zeros da multiplicação pela centena. Desse modo deduziram e verificaram a utilidade e o significado do sinal + e da casa vazia e pareceram conseguir estender o conceito para a multiplicação de números com a posição da unidade, dezena, centena de milhar e os outros subseqüentes. Depois de todas as discussões sobre os métodos que eles utilizavam para os cálculos de multiplicação lembrei que esses não eram os únicos e que existiam outros e como futuros professores de matemática, antes de acharem que um aluno efetuou algo incorretamente, convinha analisar a situação e mesmo questioná-lo sobre como efetuou o procedimento. E exemplifiquei a situação. Se um aluno aparecesse com o seguinte resultado para a multiplicação 25 x 20 : 25 x Eles iriam considerar tal procedimento correto ou não? Após a análise da resolução por cada grupo, chegaram à conclusão de que o procedimento utilizado foi o da decomposição do 25 em 20 e 5 e a conseqüente multiplicação de cada parcela por 20 e que o procedimento, embora diferente dos usualmente trabalhados, estava correto. Com a operação da divisão as dúvidas e dificuldades foram ainda maiores. Vou tomar como exemplo apenas as experiências que obtive de divisões entre números inteiros, pois não teria como abordar aqui todas as situações vivenciadas. Pedi que eles realizassem algumas divisões procurando explicar, entre seus pares no grupo, cada etapa do procedimento que utilizavam. Divisões simples tais como: 313 2; 5 4; 30 8; 647 6;

7 7 Na divisão o problema não foi em resolver a operação, mas em como explicar o aparecimento do 0 (zero) junto ao número 1 e a vírgula após o número 6, no algoritmo que utilizavam: _ , Como eles não sabiam o porquê daquele procedimento de colocar um zero e a vírgula e depois de algumas discussões sobre o impasse do problema, um dos alunos teve a idéia de tentar resolver decompondo o 313. Talvez isso ocorreu porque eles perceberam que com o processo de multiplicação o procedimento foi muito útil. Assim resolveram: 313 = = = = 1,5 e assim, ,5 = 156,5 Começaram então a se questionar sobre o resultado 1,5 proveniente da divisão de 3 por 2. Como 3 = 2 + 1, teriam 2 2 =1 e 1 2 = 0,5 e assim começaram a tentar entender o que acontecia no algoritmo. Precisei ajudá-los a perceber que quando colocavam o zero junto ao número 1 na verdade estavam pegando aquele inteiro e fracionando-o em décimos, por isso o resultado precisaria da vírgula, para indicar a parte decimal que caberia para a divisão por 2 no quociente. Assim, 1 inteiro ficaria dividido em 10 partes equivalendo cada uma a 0,1; e dividindo essas 10 partes decimais por 2 ficaria com 5 partes de 0,1 ou seja, 0,5. Toda essa explicação foi realizada utilizando esquemas na lousa representando os inteiros e as partes decimais envolvidas no processo. Já na divisão de 5 por 4, além de eles trabalharem com os décimos teriam que associar o mesmo raciocínio, agora com os centésimos. 5 _ ,

8 8 Muitos até perceberam como poderiam fazer, mas a maioria precisou de ajuda quando foram fracionar o 2 (dois décimos) que ficaria com partes em centésimos (20 x 0,01) um aluno questionou o fato de que a primeira vez que colocamos o zero junto com o número 1 colocamos a vírgula no quociente, ele sabia que não existiam números decimais com mais do que uma vírgula, mas como justificar que não era necessária a segunda vírgula, se um de seus alunos viesse a questioná-lo? Repassei a pergunta para a classe para verificar o que os outros responderiam e o argumento utilizado, depois de terem analisado a situação, foi que da primeira vez era necessário pois teríamos que separar a parte inteira da parte decimal do resultado (quociente), mais depois sempre que necessário os números colocados posteriormente já estariam na parte decimal do resultado (como décimos, centésimos, milésimos,...) e assim uma segunda vírgula não era necessária. Na operação: _ O problema foi como explicar o aparecimento do zero no quociente. Alguns grupos não fizeram a conta corretamente colocando como resultado 17 e não 107, perguntei a estes grupos se aquele resultado fazia sentido, uma vez que 17 x 6 não ultrapassaria 120, fazendo uma simples estimativa. Observado e percebido esse erro cometido voltamos ao nosso problema inicial que era explicar o zero no quociente. Como já haviam feito anteriormente, alguns alunos passaram a decompor o 642 ( ) e notaram que = 100 e que 40 6 não teriam um número exato de dezenas para a divisão, mas se juntassem com o 2, teriam 42 unidades e conseguiriam fazer a divisão chegando no resultado de 7 unidades, portanto a posição da dezena deveria ficar vazia uma vez que as 4 dezenas foram transformadas em 40 unidades que juntamente com mais 2 unidades resultaria em 7 na divisão. Assim aquele zero significava a ausência na posição da dezena. Nesse problema foi necessário que resolvêssemos mais alguns outros semelhantes para que os alunos com dúvidas pudessem superá-las. Para que eles conhecessem outros procedimentos com cálculos resolvi mostrar como poderíamos proceder numa divisão por tentativa: Começamos as tentativas colocando no quociente 100, ficando com o resto 237, sugeriu-se depois o número 40, que multiplicado por 3 forneceria 120, tirado de 237 ainda teríamos 117

9 9 como resto, outra sugestão foi o 30, resultando 90 que retirado de 117 restaria 27 o que fecharia o cálculo se colocássemos no quociente o 9. O último procedimento foi a soma de todos os valores ( ) que resultou no quociente Resolvi aqui esse cálculo pelo procedimento longo pois alguns dos alunos sabiam como fazê-lo e esse método foi abordado com toda a sala. Com respeito ao processo por tentativa, o interessante foi que eles notaram que podiam se libertar de qualquer procedimento rígido e irem tentando até que conseguissem chegar numa resposta mais aproximada. Ao longo de toda a experiência, discutindo com os acadêmicos as técnicas operatórias das quatro operações, notei que eles sempre me questionavam sobre qual a técnica mais adequada que deveriam utilizar ou ensinar em suas aulas como professores. Tentei fazer com que entendessem que eles iriam se deparar com procedimentos diversificados de cálculo em sala de aula e não deveriam escolher um único em detrimento dos outros. O importante é respeitar a opção de cada aluno, pois ele é que irá optar pelo método que julgar mais fácil, mesmo que seja o mais trabalhoso do ponto de vista do professor, ou seja, o aluno deve ter acesso a diferentes técnicas para poder, inclusive, fazer comparações, mas a escolha por uma dependerá de seus próprios procedimentos mentais. A função do professor é a de verificar se o algoritmo utilizado por seus alunos é coerente, tendo como base as características do sistema de numeração decimal, inclusive abordando o significado de cada procedimento utilizado na técnica. Poderia aqui discorrer ainda sobre tantos outros casos que foram discutidos e analisados junto com os acadêmicos nas aulas de prática de ensino, contudo creio que já forneci uma visão geral de como alguns deles aprenderam a fazer seus cálculos durante todos os anos de suas vidas escolares, quais as dificuldades mais comuns e alguns dos procedimentos de resolução implementados por eles durante as aulas.

10 10 O quadro geral da situação abordada aqui me leva a crer que nesses longos anos de escolaridade (foram no mínimo 8 no ensino fundamental, 3 no ensino médio e 2 no ensino superior) lhes foi tirado o direito de pensar sobre o que estavam fazendo, refletir sobre o seu conhecimento. Apenas lhes foi pedido a repetição do que é uma técnica mecânica para a resolução dessas operações, técnica essa que por ser mecânica é muito fácil de ser esquecida ou confundida, como pude verificar ao longo do trabalho desenvolvido. Esses alunos muitas vezes não foram levados a perguntar, por exemplo, por que temos que abaixar esse zero? ou por que o sinal de + aparece no algoritmo?. Imagino que talvez alguns deles nesses anos possam ter feito essas perguntas aos professores, mas também estes provavelmente não tenham sabido responder, assim como aqueles alunos enquanto futuros professores de matemática, também não o souberam. E quanto a tantas outras questões simples diriam os matemáticos mas sem respostas convenientemente exploradas ficam sem respostas para nossos alunos? Parece que em nossos cursos de formação de professores, assim como em todas as fases de escolarização, não estamos deixando nossos alunos fazerem e redescobrirem por si próprios conceitos matemáticos, mas apenas copiando a matemática que lhes é imposta, não apenas porque não sabem o porquê de alguns algoritmos, pois se assim fosse seria mais simples resolver o problema, mas porque não os deixamos muitas vezes pensar sobre o que estão fazendo e tentando aprender. O aluno é treinado a adotar certos procedimentos, os quais o levarão à resposta esperada pelo professor. Esta prática educacional, embasada em modelos, repetições e utilização de regras, treina e conduz a uma aprendizagem mecânica, provocando, no aluno, a sensação de incapacidade, quando se depara em situações não treinadas em sala de aula. (Fonseca, 1997, p.19) Os conteúdos são despejados aos montes e questões básicas ficam esquecidas ou delegadas a segundo plano. Os alunos de licenciatura muitas vezes provam as condições para que um conjunto seja um Grupo, mas não sabem o significado do sinal + que colocam num simples algoritmo de multiplicação. E o conhecimento de Grupo é relativamente novo para um acadêmico de matemática comparado ao algoritmo de multiplicação que ele realiza desde as primeiras séries da escolarização.

11 11 Não estamos afirmando com isso que não se deva ensinar conteúdos importantes de álgebra e análise ou que eles não sejam importantes para a formação do futuro professor de matemática, apenas afirmamos que há uma disparidade nessa situação. Concordamos com Pavanello (2003, p.9), quando ressalta que: Para que possa levar os estudantes a aprender Matemática, para que se esteja em condições de lhes proporcionar experiências enriquecedoras e significativas com ela, é evidente que o professor precisa de conhecimentos que lhe permitam executar com êxito sua tarefa, dentre as quais não pode deixar de ser mencionado um conhecimento abrangente e profundo dos conteúdos que serão abordados em sala de aula. A qualidade daquilo que nosso acadêmico ensinará estará vinculado à visão geral que ele, enquanto professor, tem de todo o conhecimento que procurará fazer com que seus alunos aprendam. Para que possa executar sua tarefa com êxito, um dos pressupostos necessários, é que consiga proporcionar a seus alunos experiências que sejam significativas e isso só é possível quando ele mesmo tem domínio sobre essas experiências. Durante o processo de ensino aprendizado é necessário que os licenciandos em matemática reflitam sobre o que estão fazendo para que o que estão aprendendo seja significativo, o conhecimento de determinado conceito matemático deve ser evidenciado para que a técnica utilizada seja proveniente deste e se origine com bases sólidas no conceito apreendido pelo acadêmico. Palavras Chaves: quatro operações, algoritmos, licenciatura em matemática. Referências Bibliográficas CARVALHO, Dione Lucchesi de. Metodologia do ensino da Matemática. São Paulo: Cortez, FONSECA, Solange. Metodologia de Ensino: Matemática. Belo Horizonte: Editora Lê, LEME, Helena Alessandra Scavazza. Matemática Financeira através de atividades orientadoras de ensino (AOE) com jornais e dinâmica de grupo, Dissertação

12 12 (Mestrado em Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista-UNESP, Rio Claro. MEDEIROS, Kátia Maria de. A influência da calculadora na resolução de problemas matemáticos abertos. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, ano 10, n. 14, p , ago OLIVEIRA, Marta Kohl. Vygotsky: Aprendizado e desenvolvimento um processo sócio histórico. São Paulo: Scipione, PAVANELLO, Regina Maria. A pesquisa na formação de professores de matemática para a escola básica. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, ano 10, n. 15, p. 8-13, dez