Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Teoria de Erros

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1 Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010

2 O que é a Análise Numérica? Ramo da Matemática dedicado ao estudo e desenvolvimento de métodos (métodos numéricos) para a resolução de problemas demasiado complicados ou impossíveis do ponto de vista anaĺıtico. Exemplo Todos sabemos imediatamente determinar as raízes da equação x 2 2x + 1 = 0. E da equação lnx + x + 1 = 0? 1 0 2xdx = 1 mas como determinar uma primitiva de e x2 dx?

3 Quando recorremos a uma calculadora ou a um computador para resolver numericamente um dado problema matemático, dois tipos de erro podem surgir: Erros de arredondamento: as máquinas, de capacidade limitada, não conseguem representar todos os números reais; Erros de truncatura: surgem sempre que se substitui um problema contínuo por um discreto, ou quando se substitui um processo de cálculo com um número infinito de operações, por outro com um número finito.

4 Representação de números inteiros Um inteiro N 0 com n + 1 dígitos é representado na base decimal, univocamente, por N = ± (d nd n 1... d 1 d 0 ) 10 = d n 10 n + d n 1 10 n d d , sendo d i um inteiro tal que 0 d i < 10, i = 0, 1,..., n, d n 0. Exemplo 483 = = (483) 10. Se um número inteiro, N 0 está representado numa outra base b, b 2 que não a decimal, então N = ± (d nd n 1... d 1 d 0 ) b = ±d n b n + d n 1 b n d 1 b 1 + d 0 b 0, com 0 d i < b, i = 0, 1,..., n, d n 0 e em que as operações no segundo membro são efectuadas na base 10.

5 Mudança de base Exemplo Mudança da base b para a base 10: É imediata. (10110) 2 = = 22.

6 Mudança de base Exemplo Mudança da base 10 para a base b: Sendo b 2, N b = ±dn bn 1 + d n 1 b n d 1 + d 0, } {{ } b }{{} Quociente Resto i.e., o digito de menor ordem, d 0 na representação de N na base b, é o resto da divisão de N por b. Dividindo o quociente da divisão de N por b, novamente por b, obtemos o dígito d 1 que será o resto daí resultante, e assim sucessivamente, até efectuarmos a n-ésima divisão cujo quociente é d n }{{} d 0 1 }{{} d }{{} 2 2 d 2 0 }{{} 1 }{{} d 3 d 4 (22) 10 = (10110) 2.

7 Representação de números reais A representação de um número x R na base 10 é dada por x = ± (d nd n 1... d 1 d 0.d 1 d 2... d k ) 10, e deve ser interpretada por x = ±d n 10 n + + d d d d k 10 k, onde 0 d i < 10, i = 0,..., n e 0 d j < 10, j = 1,..., k. Analogamente, a representação do real x na base b, b 2 é definida por x = ± (d nd n 1... d 1 d 0.d 1 d 2... d k ) b = ±d n b n + + d 1 b 1 + d 0 b 0 + d 1 b d k b k, onde 0 d i < b, i = 0,..., n e 0 d j < b, j = 1,..., k. Os dígitos d n d 1 d 0 constituem a parte inteira e os dígitos d 1... d k a parte fraccionária da representação de x na base b.

8 Mudança da base b para a base 10 Imediata de acordo com a igualdade anterior! Exemplo ( ) 2 = = Seja x um número real representado na base 10. Suponhamos que pretendemos representá-lo noutra base que não a decimal. Como a conversão da parte inteira, segue as mesmas regras da mudança de base de um número inteiro, vamos admitir que x é um número real com parte inteira igual a zero.

9 Mudança da base 10 para a base b Seja Como x = ± (.d 1 d 2... d k ) b = ±d 1 b d k b k. bx = ± d }{{} 1 + d 2 b d k b k+1, } {{ } parte inteira parte fraccionária donde d 1 é a parte inteira do resultado. Se multiplicarmos a parte fraccionária de bx por b, obtemos o dígito d 2 e assim sucessivamente.

10 Exemplo Representemos o número na base binária (base 2). Vimos anteriormente que 22 = (10110) 2. Representemos então na base 2. cálculo de d = cálculo de d = cálculo de d = cálculo de d = Como no último cálculo, a parte fraccionária é zero, a representação é finita. Assim, = (.1101) 2 e portanto = ( ) 2.

11 Notação científica ou de vírgula flutuante Nas aplicações científicas, há a necessidade de recorrer a números muito grandes e a números muito pequenos, cuja representação obriga a um grande número de dígitos, a maioria dos quais são zero. Em notação de vírgula flutuante, um número real x, na base b, com t dígitos, pode ser representado por: x = ±(.d 1 d 2... d t ) b b e, d i {0, 1,..., b 1}, onde b é a base, (.d 1 d 2... d t ) é a mantissa, o expoente, e, é um inteiro tal que L < e < U, com L e U valores inteiros. Esta representação diz-se normalizada quando d 1 0.

12 As representações binária e hexadecimal são as mais utilizadas para fins computacionais; Numa representação normalizada, a mantissa é um número que pertence ao intervalo [b 1, 1 b t ]; O sistema de representação de números reais em vírgula flutuante, é então caracterizado por quatro parâmetros 1 a base b; 2 o número t de dígitos na mantissa; 3 o domínio de variação do expoente, i.e., L e U; resumidamente F (b, t, L, U); O maior número em valor absoluto de F (b, t, L, U) é B = ( 1 5 t) b U. Reais não pertencentes ao intervalo [ B, B] não poderão ser exactamente representados no sistema de representação F (b, t, L, U); A gama de valores b, t, L e U possível de representar varia muito consoante a máquina em questão.

13 Todo o real x admite a forma normalizada x = ±0.a 1 a 2... a t a t+1... b e. A sua representação em F (b, t, L, U) faz-se por arredondamento, que pode ser efectuado por uma de duas maneiras: arredondamento por corte: x x = ±0.a 1 a 2... a t b e ; arredondamento simétrico: soma-se 1 2 be t a x e em seguida arredonda-se por corte, para t dígitos.

14 Exemplo No sistema de vírgula flutuante F (10, 7, 99, 99) 1 O número π não possui uma representação exacta, pois π = 3, = 0, Para o representarmos aproximadamente neste sistema de vírgula flutuante, obteríamos π 0, (arredondamento por corte); π 0, (arredondamento simétrico); 2 O número não pode ser representado pois o seu expoente 100 > 99 Overflow; 3 O número não pode ser representado pois o seu expoente 100 < 99 Underflow;

15 Valores aproximados e erros Os erros podem expressar-se em termos absolutos ou relativos. Seja x uma quantidade exacta e x um valor aproximado de x. A e x = x x chama-se erro (cometido na aproximação de x por x); x = e x = x x chama-se erro absoluto; a r x = e x x = x x chama-se erro relativo. 1 No caso em que e x > 0 x > x diz-se que a aproximação é por defeito; no caso em que e x < 0 x < x diz-se que a aproximação é por excesso; 2 Usualmente, na prática x é uma quantidade desconhecida e assim sendo, é comum fazer-se r x η x, onde x η x é um majorante do erro absoluto.

16 Exemplo 1 Seja x = e x = Então x = x x = = 0.005; r x = x = = 0.9%; x Sendo y = e ȳ = um valor aproximado de y, então ȳ = y ȳ = = 0.005; rȳ = ȳ = = 0.001%; y Tal como este exemplo ilustra, o erro relativo fornece mais informação acerca da aproximação cometida, pois como se pode ver, embora os erros absolutos sejam iguais, no segundo caso, o erro relativo é significativamente menor.

17 Casas decimais correctas e algarismos significativos Daqui em diante, salvo indicação em contrário, consideramos todas as quantidades representadas na base 10 na notação normalizada. Seja x uma quantidade exacta e x um valor aproximado de x. Dizemos que x tem k casas decimais correctas sse x = x x k ; Dizemos que x tem k algarismos significativos correctos sse r x k.

18 Exemplo A aproximação x = 3.14 para x = π tem 2 casas decimais correctas e 3 algarismos significativos correctos, pois x = x x = = < r x = = < ; Mostre que o valor aproximado para e 3 tem 4 casas decimais correctas e 3 algarismos significativos correctos.

19 Propagação de erros Experimente numa máquina de calcular, extrair 3 vezes a raíz quadrada de 40 e de seguida, elevar 3 vezes o resultado obtido ao quadrado. A grande maioria da calculadoras devolve um resultado diferente de 40!! Problema de propagação de erros: Se tivermos um valor x que aproxima x, ao calcularmos a imagem por uma função f, vamos obter uma valor aproximado f ( x) diferente de f (x). De que forma o erro é propagado ao efectuarmos o cálculo de uma função (ou operação) f num valor aproximado de x, x?

20 Seja x um valor aproximado de x. Pela fórmula de Taylor: f (x) = f ( x) + f (ξ)(x x), ξ I {x, x} ( intervalo aberto de extremos x e x) f (x) f ( x) } {{ } e f ( x) = f (ξ)(x x } {{ } e x ) f ( x) = f (ξ) x. E quando f (x) 0, temos para o erro relativo f ( x) f (x) = f (ξ) f (x) }{{} x r f ( x) = f (ξ) x f (x) r x xr x Supondo x e x muito próximos, é legítimo considerar f (ξ) f (x), obtendo f ( x) f (x) x r f ( x) xf (x) f (x) r x

21 Ao valor cond(f (x)) = xf (x) f (x), dá-se o nome de número de condição de f em x. Quando o número de condição de uma função f é muito elevado numa vizinhança de x, então o erro relativo de f ( x) será muito grande mesmo que o erro relativo de x seja pequeno.

22 Fórmulas de propagação do erro (absoluto e relativo) Seja f = f (x 1, x 2,..., x n ) e consideremos que x = ( x 1, x 2,..., x n ) é um valor aproximado de x = (x 1, x 2,..., x n ). Seguindo os mesmos passos, i.e, começando por utilizar a fórmula de Taylor (para funções de duas ou mais variáveis), obteríamos: f ( x) r f ( x) n f (x) x k x k n f x k x k (x) r f (x) xk } {{ } números de condição k=1 k=1 Nota: Na prática, usualmente, a quantidade x é desconhecida e por isso é comum nas fórmulas acima substituir x por x.

23 Exemplo Sejam x e ȳ valores aproximados de x e y, respectivamente. Considere-se a diferença entre x e y: D = f (x, y) = x y, e suponhamos que determinamos uma aproximação de D calculada a partir dos valores aproximados x e ȳ. Determinemos um majorante do erro relativo associado a esta aproximação. Pela fórmula de propagação do erro relativo, temos r D xr x x ȳ + ȳr ȳ x ȳ x + ȳ x ȳ

24 Sempre que x e ȳ são números muito próximos, o valor x ȳ torna-se muito pequeno e consequentemente, o erro relativo vem demasiado grande (ou seja, a precisão do resultado é muito baixa). Ao efeito causado pela perda de algarismos significativos quando se subtraiem quantidades muito próximas, dá-se o nome de cancelamento subtractivo. Vejamos um exemplo:

25 Exemplo Dada a função: f (x) = cos x 1 x 2, sabe-se que para valores de x próximos de zero f (x) x2. Numa calculadora, 24 obteve-se f (10 16 ) = 0. Como se explica este resultado? Isto ocorre porque para valores de x próximos de zero, cos x é aproximadamente 1, pelo que cos x 1 é aproximadamente zero, o que resulta num erro relativo terrivelmente grande. Isto acontece sempre que se subtraem quantidades muito próximas para a precisão da máquina. Para evitar este tipo de problemas e neste caso em particular, podemos: 1 efectuar o desenvolvimento em série de Taylor da função cos x; 2 notar que f (x) = cos x 1 x 2 = cos2 x 1 x 2 (cos x + 1) = sin 2 x x 2 (cos x + 1). Se calcularmos, na mesma calculadora, f (10 16 ) usando esta última expressão obtemos f (10 16 ) = 0.5.

26 Seja x = ( x 1, x 2,..., x n) um valor aproximado de x = (x 1, x 2,..., x n). Suponhamos que queremos calcular um valor aproximado de f (x), através de f ( x). Qual a precisão a considerar para os valores aproximados de x 1, x 2,..., x n, por forma a que o valor de f ( x), seja obtido com um erro que em valor absoluto não exceda uma quantidade η > 0, previamente fixada. Pela fórmula de propagação do erro absoluto pretendemos que: f ( x 1, x 2,..., x n) f ( x 1, x 2,..., x n) x x f ( x 1, x 2,..., x n) 1 x xn η n O problema apresentado desta forma é indeterminado. Na prática, para o resolver, usa-se um dos dois princípios que se seguem: Princípio dos erros iguais: Utiliza-se quando todas as quantidades têm as mesmas unidades e quando os erros são da mesma natureza e ordem de grandeza 1, supondo: k = x 1 =... = x n. Princípio dos efeitos iguais: Supõe-se f ( x 1, x 2,..., x n) x x 1 =... = f ( x 1, x 2,..., x n) 1 x xn = k. n 1 Dois números não nulos y e z, dizem-se da mesma ordem de grandeza e escreve-se y z se 0.1 < y z 1.

27 Condicionamento e estabilidade A equação quadrática x x = 0 tem as raízes reais são x 1 = x 2 = 1/6. Se escrevermos esta mesma equação utilizando aritmética finita usando 6 c.d.c nas aproximações, obtemos a seguinte equação que não tem raízes reais. x = 0 Um problema tal como este, em que pequenas alterações nos dados produzem grandes variações no resultado final, diz-se um problema mal condicionado. Se tal não ocorre, o problema diz-se bem condicionado. No caso do cálculo de uma função, o mau condicionamento do problema corresponde ao facto de f ter um número de condição elevado. Ao usarmos um método numérico para a resolução de um problema mal condicionado, devemos ter em atenção as aproximações cometidas ao longo da sua execução. Tal está relacionado com a noção de estabilidade de um método numérico. Dizemos que um método numérico é estável se a acumulação de erros durante a sua execução não tem influência significativa no resultado. Quando tal não acontece, o método diz-se instável.

28 A explosão do Ariane 5 No dia 4 de Junho de 1996, 40 segundos após o seu lançamento, no centro espacial da Guiana Francesa, o foguetão Ariane 5 explodiu. Após o inquérito realizado, concluiu-se que a causa do fracasso era um erro de software no sistema de referência inercial. Concretamente, um número em vírgula flutuante com 64 bits (relativo à velocidade horizontal do foguetão em relação à plataforma de lançamento) foi convertido num inteiro de 16 bits. Esta conversão falhou, pois o número era superior a 32767, o maior inteiro representável num sistema de 16 bits.

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