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1 Índice de conteúdos Índice de conteúdos Capítulo 2. Representação de Números e Erros Representação de números em diferentes bases Representação de números inteiros e conversões de base Representação Conversão de um número pelo método das divisões sucessivas Representação de números reais e conversões de base Representação Representação em formato com ponto fixo Conversão de um número em formato com ponto fixo Representação em formato com ponto flutuante Conversão de um número em formato com ponto flutuante Aritmética de ponto flutuante Conversão de números inteiros da base b para a base decimal Algoritmo de Horner Divisão de Ruffini Conversão de números fracionários da base b para a base decimal Algoritmo de Horner Divisão de Ruffini Número binário infinito Operações com números binários Adição binária Subtração binária Multiplicação binária Divisão binária Representação de números em computadores digitais Representação de números inteiros Representação em Sinal-Módulo Representação em Complemento Representação de números reais i -

2 Índice de conteúdos 3.Análise e representação de erros Fontes de erros e incertezas Precisão e exatidão Tipos de erros Erros de modelação (ou de formulação) Erros iniciais (incertezas dos dados do modelo) Erro grosseiro Erro de arredondamento Erro de truncatura Valores aproximados e erros Erro absoluto Erro relativo Fórmula fundamental dos erros Número de dígitos significativos Erros de arredondamento Arredondamento por defeito (ou corte do número) Arredondamento simétrico Erros de arredondamento na álgebra de ponto flutuante Adição Subtração Multiplicação Divisão Erros de truncatura Cálculo de valores de funções transcendentes Discretização Métodos iterativos Condicionamento e estabilidade Análise de erros Conclusão ii -

3 Representação de Números e Erros Capítulo 2. Representação de Números e Erros Neste capítulo serão considerados alguns aspetos básicos relativos ao cálculo numérico, como as representações de números inteiros e reais em código binário, e a análise e representação dos erros que podem ocorrer em consequência do uso das referidas representações de números. 1. Representação de números em diferentes bases Nesta secção serão discutidos alguns métodos para a mudança de base na representação de números inteiros e reais. É comum, para grande parte dos computadores atuais utilizados na implementação computacional, o uso de uma base numérica distinta da base decimal. Em geral, os números são armazenados na base 2 (binária), existindo ainda plataformas que os armazenam na base 8 (octal) ou na base 16 (hexadecimal). A representação de números inteiros é ligeiramente distinta da representação de números reais Representação de números inteiros e conversões de base Representação De uma forma geral, um número inteiro N é representado, na base b, por um conjunto de dígitos a i, em que a i = 0,1,, b-1 e i assume um intervalo de valores determinado pela base em uso. A tabela seguinte indica estes valores para as bases mais utilizadas, inclusive para a base decimal. b a i 2 0,1 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A. B, C, D, E, F Há no mínimo duas formas de se representar um número inteiro N: o sistema posicional e a forma polinomial. No sistema posicional os dígitos são agrupados na forma de uma sequência, na qual a magnitude da contribuição de cada dígito no número depende da posição relativa que este ocupa. Neste sistema, o número N é escrito da seguinte forma: N = (a n a n-1... a 1 a 0 ) b - 1 -

4 Representação de números em diferentes bases Na forma polinomial fica claramente explicitada a contribuição de cada dígito para o valor de N, onde um número N é escrito da seguinte forma: N = a n b n + a n-1 b n a 1 b + a 0 Até aqui, N tem sido tratado de uma forma abstrata. No entanto, por uma questão evolutiva, N tende a ser visto como um número na base 10 (decimal), N = (a n a n-1... a 1 a 0 ) a n a n-1... a 1 a 0 Caso se passe a representar N sempre na base decimal, então deve-se abordar as outras representações do ponto de vista de conversões "de" ou "para" a base Conversão de um número pelo método das divisões sucessivas Começa-se por considerar a conversão de um inteiro da base decimal (b = 10) para a base binária (b = 2), uma vez que esta será a representação mais provável num computador. Para se realizar esta conversão de uma maneira prática, pode-se usar o método das divisões sucessivas, no qual N e os sucessivos quocientes q i são divididos por 2, sendo guardados os restos r i { 0, 1 } até que o último quociente seja q n = 1: N = 2 q 1 + r 0 ; q 1 = 2 q 2 + r 1 ; q 2 = 2 q 3 + r 2 ;... ; q n-1 = 2 q n + r n-1 O último quociente somente será 0 se N = 0 (q n = 0 N = 0). Então, N = (q n r n-1... r 1 r 0 ) 2 (sistema posicional) N = q n 2 n + r n-1 2 n-1 + r n-2 2 n r r (forma polinomial) O mesmo método pode também ser utilizado para converter um número inteiro em decimal N para qualquer base b; divide-se N e os sucessivos quocientes q i por b, guardando-se os restos r i { 0,..., b-1 } até que o último quociente seja um inteiro q n { 1,..., b-1 }: N = b q 1 + r 0 ; q 1 = b q 2 + r 1 ; q 2 = b q 3 + r 2 ;... ; q n-1 = b q n + r n-1 O último quociente somente será 0 se N = 0 (q n = 0 N = 0). Então, N = (q n r n-1... r 1 r 0 ) b (sistema posicional) N = q n b n + r n-1 b n-1 + r n-2 b n r 1 b 1 + r 0 b 0 (forma polinomial) 1.2. Representação de números reais e conversões de base Representação Neste momento, é importante conhecer como os números reais podem ser armazenados num computador. Um número pode ser representado de duas formas/formatos: com ponto fixo (por exemplo, 12.34); com ponto flutuante ou vírgula flutuante (por exemplo, x10 2 )

5 Representação de números em diferentes bases Representação em formato com ponto fixo Na representação de um número real X no formato com ponto fixo, este possui uma parte inteira X i e uma parte fracionaria X f, tal que X f = X X i. Por exemplo, para X = 12.34, X i = 12 e X f = Conversão de um número em formato com ponto fixo Nesta caso, considera-se apenas a conversão de um real da base decimal para a base binária, sendo depois facilmente extensível para uma base qualquer. Dado um número real X, este possui uma parte inteira X i e uma parte fracionaria X f. Para se converter este número X na base binária utiliza-se o método das divisões sucessivas, para converter X i (ver secção 1.1.2), enquanto que para converter X f usa-se o método das multiplicações sucessivas. O método das multiplicações sucessivas consiste em multiplicar-se X f por 2, extraindo-se a parte inteira do resultado (a qual pode ser 0); o restante é novamente multiplicado por 2, repetindo-se o processo até que o resto fracionário seja 0 ou que se obtenha um padrão repetitivo, em cujo caso o número fracionário será periódico. Este método será ilustrado com dois exemplos. Exemplo 1: Seja X f = ; então x 2 = ; x 2 = ; x 2 = ; x 2 = Ou seja, = (0.1101) 2. Exemplo 2: Seja X f = 0.1; então 0.1 x 2 = 0.2; 0.2 x 2 = 0.4; 0.4 x 2 = 0.8; 0.8 x 2 = 1.6; 0.6 x 2 = 1.2; 0.2 x 2 = 0.4;... e o processo de multiplicações sucessivas repete a sequencia de dígitos 0011 ad infinitum. Portanto, 0.1 = ( ) 2. Este exemplo mostra a dificuldade em se obter a representação de um número fracionário numa outra base. Estes exemplos mostram que num computador, onde o espaço para representação de um número é finito, estes números terão que ser arredondados. A forma polinomial de um número fracionário na base 2 é dada por: X f = Portanto, um número real X = X i + X f pode ser representado na base 2 por X = a n 2 n + a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n a a X = (a n a n-1... a 1 a )

6 Representação de números em diferentes bases Representação em formato com ponto flutuante A forma geral de representação de um número real em formato com ponto flutuante é semelhante à notação científica:.d 1 d 2 d 3...d p b e, onde d k (k = 1, 2,..., p) são os dígitos da parte fracionária (com d k { 0,..., b-1 } e d 1 0 (se normalizado), b é o valor da base (geralmente 2, 10 ou 16), p é o número de dígitos e e é um expoente inteiro. Deste modo, um número em formato com ponto flutuante é composto por três partes: o sinal, a parte fracionária (denominada também de significando ou mantissa) e o expoente. Estas três partes têm um comprimento total fixo que depende do computador e do tipo de número: precisão simples, dupla ou estendida Conversão de um número em formato com ponto flutuante Seja um hipotético computador com dois dígitos (p = 2), base b = 2 e expoente e { -1, 0, 1, 2 }. Como os números reais são normalizados, isto é, d 1 0, todos eles serão da forma: e ou e, e = 1, 0, 1,2. Considerando a conversão de binário para decimal de um número menor do que 1,.10 2 = = 1/2 + 0 = 1/ 2, e.11 2 = = 1/2 + 1/4 = 3/ 4, então, os únicos números positivos representáveis neste computador são: = 1/2 1/ 2 = 1/ = 3/ 4 1/2 = 3/ = 1/2 1 = 1/ = 3/ 4 1 = 3/ = 1/ 2 2 = = 3/ 4 2 = 3/ = 1/ 2 4 = = 3/ 4 4 = 3 O zero é representado de uma forma especial: todos os dígitos d k da mantissa e do expoente são nulos (.00 2 x 2 0 ). O mais importante a reter relativamente aos números em formato com ponto flutuante é que eles são discretos e não contínuos (como um número real definido na Matemática). O conceito de existir sempre um número real entre dois números reais quaisquer não é válido para os números em formato com ponto flutuante. As consequências da falha deste conceito podem ser desastrosas, como se poderá verificar no exemplo seguinte: considere a representação binária = e = Se estes dois números forem armazenados naquele hipotético computador (com dois dígitos para a mantissa), eles serão igualmente representados por:.10 2 x 2 0. Isto significa que tanto como são vistos como por aquele computador. Esta é uma grande causa de erro de arredondamento nos processos numéricos, como será visto mais adiante neste documento

7 Representação de números em diferentes bases Note-se que, como a forma de representação de um número em formato com ponto flutuante pode ser diferente entre os fabricantes de computadores, um mesmo programa implementado em computadores que utilizam formatos diferentes pode fornecer resultados diferentes. O formato utilizado pela maioria dos computadores é o proposto pelo Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), com o padrão IEEE 754 (tabela que se segue, para a base binária). Propriedade Precisão Simples Dupla Estendida Comprimento total bits na mantissa bits no expoente sinal expoente máximo expoente mínimo maior número 3.40 x x x menor número 1.18 x x x dígitos decimais (precisão) Aritmética de ponto flutuante Se uma operação aritmética resultar num número que seja maior, em valor absoluto, que o maior número representável, ocorrerá um overflow. Se, por outro lado, resultar num número que seja menor, em valor absoluto, que o menor número representável diferente de zero, ocorrerá um underflow. O modo de tratar overflow e underflow dependerá do compilador utilizado para gerar o programa executável. A seguir, será mostrado a precisão das operações numéricas envolvendo números em formato com ponto flutuante. Para tal, será utilizado um outro hipotético computador com dois dígitos (p = 2), base b = 10 (para facilitar o entendimento) e expoente e {-5,, 5}:.d 1 d 2 x 10 e. Quando dois números são somados ou subtraídos, os dígitos do número de menor expoente devem ser deslocados de modo a alinhar as casas decimais. O resultado é, então, arredondado para dois dígitos para caber na mantissa de tamanho p = 2. Depois disto, o expoente é ajustado de forma a normalizar a mantissa (d 1 0). Exemplo 1: Os números são armazenados no formato especificado, as casas decimais são alinhadas e a operação de adição é efetuada; o resultado é então normalizado e arredondado para dois dígitos: =.43 x x 10-1 =.43 x 10 1 O resultado da adição é 4.4 em vez de x 10 1 =.4364 x x

8 Representação de números em diferentes bases Exemplo 2: Os números são armazenados no formato especificado, as casas decimais são alinhadas e a operação de adição é efetuada; o resultado é então normalizado e arredondado para dois dígitos: =.37 x x 10 3 =.37 x x 10 3 =.00 x x O resultado da subtração é 0 em vez de 1. A perda de precisão quando dois números aproximadamente iguais são subtraídos é a maior fonte de erro nas operações de ponto flutuante. Exemplo 3: Os números são armazenados no formato especificado, as casas decimais são alinhadas e a operação de adição é efetuada; o resultado é então normalizado e arredondado para dois dígitos: =.69 x x 10 1 =.69 x x 10 3 =.6927 x x O resultado da adição é 690 em vez de O deslocamento das casas decimais de 2.71 causou uma perda total dos seus dígitos durante a operação. Exemplo 4: 1234 x Os números são armazenados no formato definido e a multiplicação é efetuada utilizando 2p = 4 dígitos na mantissa; o resultado é então normalizado e arredondado para dois dígitos: 1234 x =.12 x 10 4 x.16 x 10-1 =.12 x 10 4 x.16 x 10-1 =.0192 x x O resultado da multiplicação é 19 em vez de Exemplo 5: 875 x 3172 Os números são armazenados no formato definido e a multiplicação é efetuada utilizando 2p = 4 dígitos na mantissa. O resultado é então normalizado, arredondado e, como o expoente e = 7 > 5 (máximo definido para este hipotético computador), então ocorre overflow: 875 x 3172 =.88 x 10 3 x.32 x 10 4 =.88 x 10 3 x.32 x 10 4 =.2816 x 10 7 overflow (e {-5,, 5}). O resultado obtido é superior ao maior número representável por este computador (e {-5,, 5})

9 Representação de números em diferentes bases Exemplo 6: Os números são armazenados no formato definido e a divisão é efetuada utilizando 2p = 4 dígitos na mantissa, o resultado é então normalizado e arredondado para dois dígitos: =.18 x x 10 3 =.18 x x 10 3 =.3673 x x O erro relativo desse resultado foi de aproximadamente 0,52%. Exemplo 7: Os números são armazenados no formato definido e a divisão é efetuada utilizando 2p = 4 dígitos na mantissa. O resultado é então normalizado, arredondado e, sendo o expoente e = -6 < -5, então ocorre underflow: =.64 x x 10 4 =.64 x x 10 4 =.8767 x 10-6 underflow (e {-5,, 5}). O resultado da divisão é um valor inferior ao menor número representável por este comutador (por definição, e {-5,, 5}), sem considerar o zero, que tem uma representação especial. Uma das causas de se cometer erros quando se usa um computador deve-se à conversão de base. Geralmente, um número é fornecido ao computador na base 10 e, no entanto, ele é armazenado na base 2. Quando os números são inteiros, a representação é exata, como, por exemplo, = No entanto, um número com parte decimal pode resultar num número binário com infinitos dígitos ( = ) que tem que ser arredondado para ser armazenado em formato com ponto flutuante Conversão de números inteiros da base b para a base decimal Para introduzir a conversão para a base decimal, será usada novamente a base binária como primeiro exemplo. Seja o número N, representado na base binária por N = (a m a m-1... a 1 a 0 ) 2 a sua representação na base decimal pode ser obtida simplesmente pela soma do polinómio N = a m 2 m + a m-1 2 m a a 0 A operacionalização desta soma pode ser obtida pelo Algoritmo de Horner e pela Divisão de Ruffini

10 Representação de números em diferentes bases Algoritmo de Horner O número N pode ser obtido na base decimal através do cálculo da sequência: b m = a m b m-1 = a m x b m b m-2 = a m x b m b 1 = a x b 2 b 0 = a x b 1 e então, N = b 0 Exemplo: seja o número (11101) 2. Aplicando o algoritmo de Horner: b 4 = a 4 = 1 b 3 = a x b 4 = x 1 = 3 b 2 = a x b 3 = x 3 = 7 b 1 = a x b 2 = x 7 = 14 b 0 = a x b 1 = x 14 = 29 portanto, (11101) 2 = Esta metodologia pode ser generalizada para converter qualquer número inteiro na base b para a base decimal. Considere o número N = (a m a m-1... a 1 a 0 ) b a sua representação na base decimal pode ser obtida da seguinte forma: c m c m-1 = a m = a m-1 + b x c m c m-2 = a m-2 + b x c m c 1 = a 1 + b x c 2 c 0 = a 0 + b x c 1 e então, N = c 0-8 -

11 Representação de números em diferentes bases Divisão de Ruffini É equivalente ao método anterior, diferindo apenas na disposição dos coeficientes a i e b i : a m a m-1... a 2 a 1 a x b m... 2 x b 3 2 x b 2 2 x b 1 b m b m-1... b 2 b 1 b 0 e então, N = b 0 Exemplo: seja o número (11101) 2. Aplicando a Divisão de Ruffini: a 4 a 3 a 2 a 1 a x b 4 2 x b 3 2 x b 2 2 x b 1 2 x 1 2 x 3 2 x 7 2 x 14 b 4 b 3 b 2 b 1 b portanto, (11101) 2 = Esta metodologia pode ser generalizada para converter qualquer número inteiro na base b para a base decimal. Considere o número N = (a m a m-1... a 1 a 0 ) b a sua representação na base decimal pode ser obtida da seguinte forma: a m a m-1... a 2 a 1 a 0 b b x c m... b x c 3 b x c 2 b x c 1 c m c m-1... c 2 c 1 c 0 e então, N = c Conversão de números fracionários da base b para a base decimal Considere um número fracionário com representação finita na base binária: X f = (0.a 1 a 2 a n ) 2. O seu valor na base decimal será dado por X f = n 2 -n Esta soma pode ser calculada diretamente ou utilizando qualquer um dos dois métodos enunciados na secção anterior (Algoritmo de Horner e Divisão de Ruffini) com algumas modificações

12 Representação de números em diferentes bases Algoritmo de Horner No caso de um número fracionário na base 2, o algoritmo fica b n b n-1 = a n = a n-1 + (1/2) x b n b n-2 = a n-2 + (1/2) x b n b 2 = a 2 + (1/2) x b 3 b 1 = a 1 + (1/2) x b 2 b 0 = (1/2) x b 1 e então, N = b 0 Exemplo: converter o número ( ) 2. Aplicando o algoritmo, fica: b 5 = a 5 = 1 b 4 = a 4 + (1/2) x b 5 = 1 + (1/2) = 3/2 b 3 = a 3 + (1/2) x b 4 = 1 + (3/4) = 7/4 b 2 = a 2 + (1/2) x b 3 = 0 + (7/8) = 7/8 b 1 = a 1 + (1/2) x b 2 = 1 + (7/16) = 23/16 b 0 = (1/2) x b 1 = (1/2) x (23/16) = 23/32 portanto, ( ) 2 = 23/32 = Divisão de Ruffini No caso de um número fracionário na base 2, o algoritmo fica a n a n-1... a 2 a 1 1/2 (1/2) x b m... (1/2) x b 3 (1/2) x b 2 (1/2) x b 1 b n b n-1... b 2 b 1 b 0 e então, N = b

13 Representação de números em diferentes bases Exemplo: Converter o número ( ) 2. Aplicando o algoritmo, fica: a 5 a 4 a 3 a 2 a /2 (1/2) x b 5 (1/2) x b 4 (1/2) x b 3 (1/2) x b 2 (1/2) x b 1 (1/2) x 1 (1/2) x (3/2) (1/2) x (3/4) (1/2) x (7/8) (1/2) x (23/16) portanto, b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 1 3/2 7/4 7/8 23/16 23/32 ( ) 2 = 23/32 = Número binário infinito Uma outra situação que pode ocorrer é quando o número binário for infinito, por exemplo, através de uma sequência de dígitos periódicos: X f = ( 0,α 1 α 2...α n β 1 β 2...β m) 2 onde β 1 β 2... β m indica que a sequência de dígitos β 1 β 2...β m se repete ad infinitum. Na base decimal, tal número é dado por X f = n 2 -n + b 1 2 -n-1 + b 2 2 -n b m 2 -n-m + + b 1 2 -n-m-1 + b 2 2 -n-m-2) + + b m 2 -n-2m + + b 1 2 -n-2m-1 + b 2 2 -n-2m b m 2 -n-3m Observa-se que este número pode ser escrito como Ou seja, X f = n 2 -n + ( b b b m 2 -m ) 2 -n + + ( b b b m 2 -m ) 2 -n-m + + ( b b b m 2 -m ) 2 -n-2m X f = n 2 -n + ( b b b m 2 -m ) 2 -n ( m + 2-2m + ) Usando agora a identidade, tem-se 1 1 x = 1 + x + x2 + x (para x < 1) m + 2 2m + 2 3m +... = m m = 2 2 m 1 (fazendo x = 2-m ),

14 Representação de números em diferentes bases obtendo-se X f = ( α α α n 2 n ) + ( β β β m 2 m ) 2m n 2 m 1 As duas expressões entre parênteses têm a mesma forma e podem ser calculadas diretamente ou usando qualquer um dos métodos descritos anteriormente. Em geral, se o número fracionário tem representação infinita periódica na base b, X f = ( α 1 b 1 + α 2 b α n b n ) + ( β 1 b 1 + β 2 b β m b m ) bm n b m 1 onde as expressões entre parênteses podem ser calculadas diretamente ou utilizando qualquer um dos métodos descritos anteriormente Operações com números binários Como a maioria dos computadores usa a base b = 2, então estes executam operações aritméticas com números que estão na representação binária. Para executar estas operações, as tabelas de operações que se seguem são automaticamente satisfeitas Adição binária Uma adição no sistema binário é realizada da mesma forma que a adição no sistema decimal, lembrando que, no sistema binário, há apenas 2 dígitos. Esta operação é realizada de acordo com as seguintes regras (considerando os dois operandos positivos): = = = = 0 (e vai 1 para o dígito de ordem superior) = 1 (e vai 1 para o dígito de ordem superior) Para somar números com mais de 2 algarismos, utiliza-se o mesmo processo de transporte para a coluna posterior, usado na adição decimal. Ter, no entanto, atenção aos limites das palavras. Exemplo 1: = ( = 8 10 ) [1] [1] [1]

15 Representação de números em diferentes bases Exemplo 2: = ( = 4 10 ) [1] [1] Exemplo 3: = ( = ) [1] [1] [1] Quando um dos operandos são números binários negativos, o processo a aplicar é o seguinte: dois operandos negativos: adicionam-se os dois considerando o valor absoluto de cada um deles e atribui-se o sinal de negativo; um deles é negativo: verifica-se qual dos dois tem maior valor absoluto, subtraí-se o menor valor absoluto ao maior e, atribui-se o sinal do maior em valor absoluto Subtração binária A subtração é análoga à adição, sendo realizada de acordo com as seguintes regras: 0-0 = = 1 (e pede emprestado 1 para o dígito de ordem superior) 1-0 = = 0 Desta forma, a operação 0-1 resulta em 1, mas com o transporte de 1 para a coluna à esquerda, que deve ser acumulado ao subtraendo e, por consequência, subtraído do minuendo (em a-b, a o minuendo e b é o subtraendo). Exemplo 1: = ( = 2 10 ) [1] Exemplo 2: = ( = 3 10 )

16 Representação de números em diferentes bases Exemplo 3: = ( = 1 10 ) Multiplicação binária [1] Procede-se como numa multiplicação no sistema decimal, de acordo com as seguintes regras: 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 Utiliza-se o mesmo método que a multiplicação decimal: deslocamentos e adições. O número maior deve ser colocado por cima do menor. Exemplo 1: x = (5 10 x 3 10 = ) x Exemplo 2: x = (26 10 x 2 10 = ) x Exemplo 3: x = (10 10 x 8 10 = ) x

17 Representação de números em diferentes bases Divisão binária A divisão binária usa o mesmo método que a divisão decimal: deslocamento e subtrações. Exemplo 1: = ( = ) [1] [1] [1] Representação de números em computadores digitais Nesta secção serão apresentadas algumas das representações usadas para armazenar números inteiros e reais na memória de um computador. As representações de números inteiros e reais apresentadas na secção anterior não são suficientes, pois é necessário distinguir-se, por exemplo, o sinal do número. Como não existe a representação de um sinal '+' ou '-' na memória de um computador, o recurso utilizado é acrescentar um bit, para computadores binários, ao número para representar o sinal; este bit é denominado bit de sinal Representação de números inteiros Para representar um número inteiro num computador digital, existem várias formas, tais como a representação em Sinal-Módulo e em Complemento à base Representação em Sinal-Módulo A representação mais direta de números inteiros é a denominada Sinal-Módulo (também denominada por Sinal-Magnitude). Nesta representação, o valor absoluto do número inteiro é obtido diretamente a partir dos algoritmos discutidos na secção anterior, enquanto que o sinal é representado por um dígito adicional colocado à esquerda do número. Quando a representação é binária, o bit de sinal ocupa a posição do bit mais significativo. Supondo que a memória do computador dispõe de q dígitos para a representação, um número inteiro na base b será representado no computador através da seguinte sequência de dígitos: a q-1 a q-2...a 1 a 0 sendo { a 0, a 1,, a q-2, a q-1 } { 0, 1,, b-2, b-1 } em que a q-1 representa o sinal do número. Esta sequência de dígitos é denominada palavra. Por exemplo, no sistema binário convenciona-se usar a q-1 = 0 para + e a q-1 = 1 para

18 Representação de números em computadores digitais A conversão do número internamente representado por a q-1 a q-2...a 1 a 0 para o sistema decimal é realizado através de uma fórmula semelhante à forma polinomial: em que, q 2 N = ( 1) a q 1 k=0 ( a k bk ), N o número inteiro na base decimal q-2 é o índice do dígito mais à esquerda que representa o valor absoluto de N b a base, às vezes denominada de radix (um inteiro maior que 1) a k um dígito válido na representação (a k { 0,..., b-1 }), k = 0, 1,, q-2 a q-1 { 0, 1 }) e representa o bit de sinal Os valores em questão para as quantidades expressas na fórmula anterior dependem da arquitetura e do compilador utilizado. Por exemplo, um dado compilador possui 4 modelos de representação de inteiros com 1, 2, 4 e 8 bytes, também denominados de espécies. Sendo para todos os casos b = 2, o valor absoluto do maior número inteiro que pode ser representado internamente para cada p espécie N max, (p = 1, 2, 4, 8) é, a partir da fórmula anterior, p N max 8p 2 = 2 k = p 2 = 2 8p 1 1 = k=0 {127 (p=1) (p=2) (p=4) (p=8) A forma utilizada mais comum para representar números negativos em binário é tomando o dígito mais a esquerda que representar o sinal (0 representa sinal positivo e 1 sinal negativo) sinal Transformando o binário negativo em decimal: soma-se os bits ligados (com 1), considerando-se os valores de -2 7, 2 6,, 2 0. Exemplos: decimal ( ) decimal (87-128) decimal ( )

19 Representação de números em computadores digitais Representação em Complemento Existem outras representações de números inteiros em computadores, como por exemplo as representações em complemento a (b-1) e em complemento a b (em que b é a base). A representação de números positivos em complemento é idêntica à representação em Sinal- Módulo. A representação dos números inteiros negativos é obtida efetuando-se: (b - 1) menos cada algarismo do número. Por exemplo, para calcular o complemento a (b - 1) do número (como a b = 10, então o complemento a (b -1) será complemento a 9); como = 702, o complemento a 9 do número -297 é 702. Para se obter o complemento a (b 1) de um número binário, deve-se subtrair cada algarismo de 1 (b - 1 = 1); no entanto, como se trata de números binários, para efetuar esta operação basta inverter todos os bits. Por exemplo, o complemento a 1 (C1) do número (usando 4 dígitos) é , pois = A quantidade de números inteiros diferentes que se podem representar usando n posições num sistema de base b é b n. Por exemplo, na base 2, podem-se representar os seguintes números: 2 1 até um dígito (0, 1), 2 2 até dois dígitos (00, 01, 10, 11), 2 3 números até três dígitos (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111), A tabela seguinte apresenta a representação em C1 dos números binários de 4 dígitos. Repare como o espaço de representação da base 2 com 4 dígitos está sendo usado na representação em C1 (note que há 2 representações para o zero). Decimal (positivo) Binário em C1 (igual a sinal-módulo) Decimal (negativo) Binário em C A representação na base b = 10 com 3 dígitos varia de 000 a 999 (10 3 representações), representando os números de -499 a -1 (faixa negativa que está compreendida entre 500 e 998) e de +1 a +499 (faixa positiva que está compreendida entre 1 e 499). O zero tanto pode ser representado por 000 como por 999. A faixa de representação em C1 dos números binários de n dígitos é a seguinte: menor inteiro negativo: -(2 n-1 1), maior inteiro positivo: 2 n

20 Representação de números em computadores digitais Na aritmética em complemento a (b - 1), basta somar os números, sendo que um número negativo será representado por seu complemento a (b 1). Por exemplo, a soma decimal de 123 com -418 é: Sinal-Módulo = -295 Complemento a 9 (b - 1) -418 é representado por = = = 295, em que 704 é o C9 de -295 (704 está na faixa negativa). De notar que nesta representação, a subtração (ou soma de um número positivo com um número negativo) transforma-se numa soma em complemento; isto é, a soma dos complementos do número positivo com o número negativo. Portanto, uma subtração pode ser realizada simplesmente através da soma dos números complementados : manter o número se é positivo e complementar o número se é negativo; depois, é só somar. Desta forma, pode-se constatar que o algoritmo da soma em complemento é muito mais simples que o da soma em Sinal-Módulo, uma vez que não requer nenhum teste. No entanto, continua-se com duas representações para o zero. A representação dos números inteiros negativos em complemento a b é obtida subtraindo-se da base b cada algarismo do número. Por exemplo, na base b = 10 com 3 dígitos: 1000 x. Uma forma alternativa é subtrair cada algarismo de (b 1), isto é, calcular o complemento a (b -1), e depois somar 1 ao resultado. Ou seja, encontramos o complemento a (b - 1) do número (o que facilita muito no caso dos números binários) e depois soma-se 1 ao resultado. Por exemplo, calcular o complemento a 10 (base = 10) do número com 3 dígitos: usando C10: = 703; representar o número em C9 e somar 1 ao resultado: = = 703. Por exemplo, calcular o complemento a 2 (base = 2) do número com 4 dígitos: usando C2: = 01101; representar o número em C1 e somar 1 ao resultado: = = Desta forma, para representar um número binário negativo em complemento a 2 (C2) consiste em subtrair cada algarismo de 1 (C1) e depois somar 1 ao resultado

21 Representação de números em computadores digitais A tabela seguinte apresenta a representação em C2 dos números binários de 4 dígitos. Decimal (positivo) Binário em C2 (igual a sinal-módulo) Decimal (negativo) Binário em C Comparando com a tabela anterior (para C1), nota-se que os números positivos têm a mesma representação de C1 e que o zero passou a ter apenas uma representação, o que permitiu representar mais um número (neste caso, mais um negativo pode ser representado). A faixa de representação em C2 dos números binários de n dígitos é a seguinte: menor inteiro negativo: -2 n-1, maior inteiro positivo: 2 n-1 1. Na aritmética em complemento a base, basta somar os números, sendo que um número negativo será representado pelo complemento a base. Deve-se ter, no entanto, cuidado com a possibilidade de acontecer overflow. Em qualquer sistema em C2, existe sempre um limite para o tamanho dos números a serem representados. Por exemplo, quando se usam palavras de 4 bits (um para o sinal), o valor 9 não tem associado qualquer palavra; por isso não se consegue uma resposta certa para a soma de 5 com 4 ( = 1001 que é -7). A adição de dois números no sistema de representação em C2 segue duas regras: 1. Somar os dois números e observar se ocorre transbordo (vai 1) sobre o bit de sinal e se ocorre o transbordo após o bit de sinal. 2. Se ocorrer um e somente um dos dois transbordos, então houve overflow; caso contrário o resultado da soma está dentro do campo de definição. As vantagens do uso do complemento de 2 é que existe apenas um zero e que as regras para soma e subtração são as mesmas. A desvantagem é o fato de ser um código assimétrico: o número de representações negativas é maior que o número de representações positivas. Por exemplo, com 8 bits podem-se representar, em complemento de 2, os números decimais entre -128 e A representação de um número inteiro num computador é exata. Operações aritméticas entre números inteiros também é exata, sob as seguintes condições: a) o resultado não pode encontrar-se fora do intervalo de números inteiros que podem ser representados;

22 Representação de números em computadores digitais b) a divisão somente pode ser realizada entre números exatamente divisíveis, isto é, a parte fracionária deve ser nula Representação de números reais A representação de números reais em computadores denomina-se por representação de ponto flutuante normalizado, na qual um número é representado internamente através de uma notação científica: um bit de sinal s (interpretado como positivo ou negativo), um expoente inteiro exato e e uma mantissa inteira positiva M, sendo que apenas um número limitado de dígitos é permitido para e e M. Tomando todas estas quantidades juntas, estas representam o número x = s (0.d 1 d 2... d n ) b e o qual está escrito numa forma legível para os seres humanos. Além das quantidades já definidas na fórmula anterior, os dígitos d 1, d 2,, d n são limitados pela base b (0 d i b-1, i = 1,, n e d1 0) e o expoente é limitado ao intervalo e { e min,..., e max }. Para além disso, n 1 é denominado de número de dígitos do sistema e define o tamanho da mantissa M = 0.d 1 d 2...d n. O valor zero não pode ser normalizado e tem representação especial, com mantissa nula (todos dígitos iguais a zero) e expoente o menor possível (m 1). O conjunto formado pelo zero e por todos os números em notação de ponto flutuante é chamado Sistema de Ponto Flutuante na base b com n algarismos significativos, e denota-se por F(b, n, e min, e max ). Contudo, um computador apenas pode representar os valores de e e M através de dígitos na base b. Um computador digital (b = 2), por exemplo, dispõe sempre de um tamanho de palavra finito, isto é, o número total de bits que podem ser utilizados para representar o sinal s (1 bit), o expoente e a mantissa é sempre fixo, para um dado tipo de números reais. Um número real de precisão simples, por exemplo, é normalmente representado por uma palavra de 4 bytes (32 bits), sendo que 1 bit é utilizado para representar o sinal, 8 bits são utilizados para representar o expoente e os restantes 23 bits para representar a mantissa. Desta forma, tal número será representado na memória do computador como em que x = s e 7 e 6... e 1 e 0 d 1 d 2...d 22 d 23, s,e 0,...,e 7,d 1,...,d 23 { 0, 1 }. Exemplo: Considere-se dois números binários com 8 algarismos significativos em F(2, 8, -4, 5): n 1 = => (-1) 0 x 2 2 x ( ) = n 2 = => (-1) 0 x 2 2 x ( ) = Observe que, no sistema de representação utilizado, n 1 e n 2 são dois números consecutivos, ou seja, não podemos representar nenhum outro número que tenha valor intermédio. Portanto, por

23 Representação de números em computadores digitais exemplo, a quantidade não tem representação exata neste sistema, sendo representada por n 1 ou n 2, o que gerará um erro, denominado Erro de Arredondamento. Assim, enquanto os números reais podem ser representados por uma reta contínua, em notação de ponto flutuante somente podemos representar pontos discretos da reta real. A tabela que se segue ilustra representações de ponto flutuante para alguns números numa palavra típica de 32 bits (4 bytes), em F(2, 23, -128, 127). número decimal (base 10) binário (base 2) s expoente de 8 bits Mantissa de 23 bits 1/ (0) / (-1) (1) (2) A conversão do número x representado na base binária para a base decimal pode ser realizada pela seguinte fórmula polinomial: x = ( 1) s b e n k=1 ( d k b k ). No padrão IEEE 754, a sequência de 8 bits armazena o número E = e Desta forma, evita se o teste sobre o valor do bit para saber se o número é positivo ou negativo e, para recuperar o expoente, é realizada a operação e = E 127. Para se obter a forma como o expoente será armazenado pode-se também trabalhar na base 10 e converter depois o resultado final. Por exemplo, se e = vai-se armazenar = = É importante destacar que as sequências de bits para o expoente " " e " " são reservadas para representar o zero e infinito (ou ocorrência de erro, NaN: not a number) respetivamente. O maior expoente é representado pela sequência que, na base 10, representa o número (256 2) 10 = Então o maior expoente é: e = 254 e = = 127. O menor expoente é representado pela sequência = Daí que o menor expoente é: e = 1 e = = 126. Considerando agora a representação da mantissa. Como no sistema normalizado d 1 0 e dado que a base é 2, então primeiro dígito no sistema normalizado será sempre igual a 1 e por esta razão não é armazenado (é o denominado bit escondido). Esta normalização permite um ganho na precisão, pois pode-se considerar que a mantissa é armazenada em 24 bits

24 Representação de números em computadores digitais A tabela seguinte mostra os valores de n, e min, e max, X min, X max e X eps para um dado computador que usa o padrão IEEE 754. Espécie REAL (4) REAL (8) REAL (10) n e min e max X min X max X eps x x x x x x x x x Para uma base b qualquer, os números do sistema de ponto flutuante F = F(b, n, e min, e max ) contêm as seguintes características: O menor número positivo que pode ser representado neste sistema é x min = 0.1 b e min. Valores para x min válidos para o compilador são apresentados na tabela anterior. Isto significa que qualquer número x tal que x min < x < x min não poderá ser representado pelo computador. Esta ocorrência é denominada de underflow. Os compiladores podem ser instruídos para terminar o processamento neste ponto, disparando uma mensagem de erro, ou então seguir o processamento arredondando x = 0. O maior número positivo que pode ser representado neste sistema é x max = 0.(b 1)(b 1)...(b 1) n vezes b e max = (b 1) ( n k=1 b k) be max = (b 1)(1 b n ) b e max Isto significa que qualquer número x tal que x < -x max ou x > x max não poderá ser representado pelo computador. Esta ocorrência é denominada overflow. Os compiladores usualmente tomam duas possíveis providências quando detetam um overflow: param o processamento do programa emitindo uma mensagem de erro, ou continuam o processamento atribuindo a x o valor simbólico x = -Infinito ou x = Infinito. O maior número que pode ser somado ou subtraído a 1.0, tal que o resultado permanece inalterado (isto é, a diferença entre 1.0 e o número que lhe sucede em F), é x eps = n vezes b b 1 = b 1 n n vezes em que x eps é denominada de epsilon da máquina, ϵ, ou de O epsilon da máquina, flutuante, tal que: 1 + ϵ > 1. precisão da máquina. ϵ, também pode ser definido como o menor número de ponto

25 Representação de números em computadores digitais Esta quantidade que, como se pode ver, depende da base e do número de algarismos da mantissa, é da maior importância na análise de erros de arredondamento, como se verá mais adiante. De uma forma mais geral, para um número em ponto flutuante x ulp(x) = ( ) b x b e = b -n x b e = x b e. Em que ulp é a abreviatura para unit in the last place. F define-se Se x > 0, então ulp(x) é a distância entre x e o número que lhe sucede em F; se x < 0, então ulp(x) é a distância entre x e o número que o antecede em F. Uma aproximação para o epsilon da máquina de um sistema de vírgula flutuante de base b pode ser calculada usando o seguinte algoritmo e assumindo que o modo de arredondamento é para o mais próximo: 1 fazer / b 1 + enquanto ( 1) A interpretação deste algoritmo é a seguinte: se x é uma potência negativa de b tal que x < ε então 1 + x dá 1. O conhecimento de ε do sistema computacional ou máquina de calcular é fundamental. De facto, se considerarmos, por exemplo, a equação 1 + x = 1, esta admite muitas soluções em aritmética de ponto flutuante e não apenas x = 0. Apenas um conjunto finito R F de números racionais podem ser representados na forma apresentada. Os números neste conjunto são denominados números de ponto flutuante. Para uma representação normalizada (d 1 0), este conjunto contém precisamente 2(b 1) b n 1 ( e max e min + 1 ) + 1 números racionais. Exemplo: Considere o sistema de representação numérica de ponto flutuante F(2, 4, -5, 6). Para este sistema: o menor número positivo possível é: x min = (0.1000) = = 1 64 ou seja, a região de underflow consiste no intervalo 1 64 < x <

26 Representação de números em computadores digitais O maior número positivo possível é: x max = (0.1111) = (1 2 4 ) 2 6 = 60; ou seja, as regiões de overflow consistem nos intervalos x < 60 e x > 60. O maior número que pode ser somado ou subtraído de 1.0 e que mantém o resultado inalterado é: x eps = = 2 3 = 1 8. O número de elementos em R F é: 2 1 ( ) = Análise e representação de erros 3.1. Fontes de erros e incertezas Embora se procure sempre soluções exatas dos problemas reais, raramente este objetivo é atingido. Erros e incertezas podem ser introduzidos em cada etapa da formulação e resolução dos problemas. Nesta secção será abordada a natureza das incertezas que surgem quando se procura a solução de um problema. Também serão examinados, com um certo grau de detalhe, os erros introduzidos pela computação numérica, destinada a determinar a solução desejada. Na discussão que será feita a respeito das fontes de erros no cálculo numérico, não serão considerados erros triviais que podem ser evitados, tais como copiar uma fórmula erroneamente ou efetuar um erro de sintaxe na programação, muito embora tais erros ocorram e perfaçam uma fração considerável do esforço e do tempo despendidos ao se trilhar as etapas da resolução de um problema. Desta forma, esta secção tratará apenas dos erros que resultam de forma inevitável, dada a própria natureza da representação finita de números num computador e/ou da implementação numérica de um determinado cálculo. As incertezas introduzidas contaminam a solução e é importante tentar-se balancear as incertezas. Se a incerteza no modelo matemático é de 1%, então não faz sentido a implementação de um modelo numérico e de um método que atinja 6 dígitos de precisão, por exemplo. No decurso do processo de resolução de um problema, as incertezas ocorrem em todas as fases deste processo (da modelação matemática à obtenção da solução numérica)

27 Análise e representação de erros 3.2. Precisão e exatidão A precisão refere-se ao quão próximo um número representado pelo computador representa o número que ambiciona representar. A precisão de um número é caracterizada pelo número de dígitos usados na representação e na álgebra. Assim, a constante será representada com maior precisão utilizando 8 bytes do que utilizando 4 bytes, para armazenar o número. A exatidão refere-se a quão próximo um número representado pelo computador (como resultado de uma série de operações, por exemplo) está do valor correto do número que ele almeja representar. A exatidão é caracterizada pelos erros (de truncatura e de arredondamento) no método numérico utilizado. Assim, se os números 1 = e 2 = almejam representar o mesmo número = , o número 2 possui maior exatidão do que 1, embora ambos possuam a mesma precisão. Os conceitos de precisão e exatidão são muitas vezes confundidos entre si. É frequente, em linguagem coloquial, referir-se à precisão quando na verdade o correto seria referir-se à exatidão de um resultado. As subsecções seguintes indicam como se pode medir a exatidão de um número através do cálculo dos erros absoluto e relativo do mesmo Tipos de erros Durante as etapas de resolução de um problema, surgem erros de várias origens que podem alterar profundamente os resultados (soluções) obtidos. É de importância fundamental conhecer as causas desses erros para minimizar as suas consequências. Os erros podem-se dividir em dois tipos: a) os erros associados à construção dos modelos matemáticos e à implementação dos algoritmos, como sejam os erros de modelação, iniciais e grosseiros; b) os erros associados à representação de entidades numéricas nas máquinas e às operações que um computador pode realizar, nos quais se incluem os erros de arredondamento e de truncatura Erros de modelação (ou de formulação) Este tipo de erros está relacionado com uma certa tendência de alguns utilizadores não completarem, com algum rigor, o modelo matemático. Nesta situação, deve-se ter consciência do facto de que se está a trabalhar com um modelo mal construído e não adequado à realidade física. Desta forma, nenhum método numérico poderá originar resultados precisos Erros iniciais (incertezas dos dados do modelo) Na etapa da modelação matemática de um problema real, muitas vezes é necessário usar dados obtidos por medidas experimentais. Nesta fase, tanto pode ocorrer uma modelação incorreta, em que a expressão matemática não reflete adequadamente o fenómeno físico, como os dados terem

28 Análise e representação de erros sido obtidos com pouca exatidão. Nestes casos, é necessária a realização de testes para verificar o quanto os resultados são sensíveis às alterações dos dados fornecidos (análise de sensibilidade). Grandes alterações nos resultados devido a pequenas variações nos dados são sintomas de um mal condicionamento do modelo proposto, havendo então necessidade de uma nova modelação do problema. Um problema matemático cuja solução obtida (resultados) é muito sensível a pequenas variações nos dados e parâmetros do problema diz-me mal condicionado; diz-me bem condicionado se pequenas variações nos dados e parâmetros induzem sempre pequenas variações na solução Erro grosseiro A possibilidade de um computador cometer um erro é muito baixa; no entanto, podem ser cometidos erros na elaboração do algoritmo, quer na sua implementação como na introdução dos dados iniciais. Executar o programa com dados iniciais cujos resultados (solução) são conhecidos, ajuda a detetar erros e a removê-los, mas demonstra, apenas, que o programa está correto para aquele conjunto de dados; por isso, é que estes dados devem ser específicos. O ideal seria elaborar uma prova de correção de programa, o que não é uma tarefa trivial Erro de arredondamento Um qualquer número decimal, por exemplo (base 10), não pode ser representado exatamente num computador porque tem que ser convertido em binário (base 2) e armazenado num número finito de bits. O erro causado por esta imperfeição na representação de um número é denominado de erro de arredondamento. As causas e consequências deste tipo de erros serão abordadas na próxima secção Erro de truncatura O erro de truncatura é devido à aproximação de um problema por outro, como, por exemplo, a substituição de um problema contínuo por um discreto. É sabido que, para avaliar uma função matemática no computador, apenas podem ser requeridas as operações aritméticas e lógicas, por serem as operações que ele é capaz de efetuar. Por exemplo, para avaliar f(x) = sen(x) esta tem que ser aproximada por uma série, tal como sen(x) = n=0 ( 1) n x 2n+1 (2n+1)! = x x3 6 + x5 120 x , 0 x π 4 À medida que n aumenta, mais o valor da série se aproxima do valor real. A tabela que se segue mostra a diferença entre o valor obtida pela série de sen(x) e um valor mais exato, para n até 2, 3 e 4. Quando n aumenta, o erro de truncatura diminui, ficando claro que estes erros são devidos às várias truncaturas da série (ver tabela que se segue)