Matemática Computacional - Exercícios

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Sofia Palma Valverde
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1 Matemática Computacional - Exercícios 1 o semestre de 2009/ LEMat e MEQ Teoria de erros e Representação de números no computador Nos exercícios deste capítulo os números são representados em base decimal 1 Represente x em ponto utuante com 4 dígitos e arredondamento simétrico, nos seguintes casos (a) x = 1/6 (b) x = 1/3 (c) x = (d) x = (e) x = (f) x = Tomaram-se para valores aproximados de N 1 = , N 2 = e N 3 = , respectivamente os valores Ñ1 = , Ñ 2 = e Ñ3 = Determine os respectivos erros absolutos e relativos, bem como as percentagens de erro Comente sobre os valores obtidos 3 Considere os números x = π e y = 2199/700 (a) Pretendem-se aproximações x e ỹ de x e y, respectivamente, com erros absolutos não excedendo Escolha x e ỹ com 4 dígitos na mantissa, usando arredondamento simétrico Obtenha ainda x ỹ (b) Calcule os erros absolutos e relativos de x, ỹ e de x ỹ, bem como as percentagens de erro Comente (c) Com o objectivo de ilustrar a inuência nos resultados da precisão utilizada, represente em ponto utuante com 6 algarismos na mantissa os números x e y Determine fl ( fl(x) fl(y) ) e o respectivo erro relativo Houve melhoria nos resultados em relação a b)? 4 Determine os erros absoluto e relativo cometidos no cálculo do determinante da matriz [ ] A = se utilizar um sistema ponto utuante com mantissa de comprimento 4 5 Considere a função real de variável real f(x) = 1 cos x x 2 (1) 1

Tomaram-se para valores aproximados de N 1 = 03100 10 1, N 2 = 03100 10 3 e N 3 = 03100 10 4, respectivamente os valores Ñ1 = 03000 10 1, Ñ 2 = 03000 10 3 e Ñ3 = 03000 10 4 Determine os respectivos

2 (a) Calcule f(10 6 ) utilizando a fórmula (1) (b) Obtenha uma aproximação de f(10 6 ), utilizando o desenvolvimento de cos em série de Taylor em torno de x = 0 (c) Sabendo que 1 cos x = 2 sin 2 (x/2), calcule f(10 6 ) utilizando uma nova fórmula para f (d) Compare os valores obtidos nas alíneas anteriores e comente 6 Ao calcular-se a expressão f(x) = x x 2 1 numa máquina usando o sistema de ponto utuante FP(10,6,-30,30) com arredondamento simétrico, vericou-se que para valores de x muito grandes o erro relativo era também muito grande (a) Verique que, para x = 2000, o erro relativo percentual é 100% Qual o valor do erro relativo para valores de x ainda maiores? (b) Qual a razão desse erro relativo grande: o problema é mal condicionado ou há instabilidade numérica? Justique e apresente uma forma de calcular f(x) que não apresente erros relativos tão grandes 7 Na equação quadrática ax 2 + bx + c = 0, admita-se que os coecientes são todos positivos e exactos e que b 2 ac Como é sabido, as duas raizes da equação são dadas por x 1 = b + b 2 4ac, x 2 = b b 2 4ac 2a 2a Para a = 1, b = 6210 e c = 1, a equação correspondente tem raizes x e x (a) Usando aritmética de ponto utuante com 4 dígitos e arredondamento simétrico, obtenha aproximações para x 1 e x 2 (b) Dê uma explicação para o mau valor que obteve para x 1 e proponha uma maneira alternativa de calcular essa raiz 8 Considere o seguinte sistema de equações: { x x 2 = x x 2 = 4678 com solução exacta x 1 = 1000 e x 2 = 1000 Efectuando os cálculos no sistema FP(10, 4, -10, 10), com arredondamento simétrico, compare os resultados obtidos pelo método de eliminação de Gauss, com e sem pesquisa parcial de pivot 2

ponto utuante FP(10,6,-30,30) com arredondamento simétrico, vericou-se que para valores de x muito grandes o erro relativo era também muito grande (a) Verique que, para x = 2000, o erro relativo

3 Resolução numérica de equações não lineares 1 Considere a equação sin x e x = 0 (a) Mostre, através de um método gráco, que a equação possui um número innito de raízes reais positivas (b) Prove que, no intervalo [30, 32], existe uma e uma só raiz, z (c) Efectue três iterações pelo método da bissecção para aproximar z, e indique um majorante do erro do valor obtido (d) Determine, sem efectuar iterações, o número m de iteradas do método da bissecção para o qual se pode garantir z x m < Use o método da bissecção para aproximar, com erro inferior a 10 2, a raiz da equação mais próxima de zero sin x e x = 0 3 Pretende-se determinar, utilizando o método de Newton, a maior das duas raízes positivas da equação x x 1 e x = 0 (a) Mostre que se x 0 for escolhido no intervalo [26,3], estão asseguradas as condições de convergência do método (b) Efectue três iterações do método de Newton e determine um majorante do erro de x 3 (c) Sem efectuar mais iterações, calcule um majorante para o erro da quinta iterada 4 Pretende-se usar o método de Newton para aproximar a (única) raiz da equação situada no intervalo [1, 2] x 3 cos x = 1 (a) Escolha o valor x 0 = 1 para iterada inicial e calcule a iterada x 3 (b) Quantas iteradas teria ainda que calcular para obter uma aproximação da raiz com erro inferior a 10 7? 5 Considere a equação e x = 2 x 2 3

iterações, o número m de iteradas do método da bissecção para o qual se pode garantir z x m < 10 6 2 Use o método da bissecção para aproximar, com erro inferior a 10 2, a raiz da equação mais próxima

4 (a) Prove que a equação tem uma única raiz no intervalo ]05, 10[ Por bissecção, determine um sub-intervalo I que contenha a raiz (b) Escolha duas iteradas iniciais x 1 e x 0 de modo a que se possa aplicar o método da secante para aproximar a raiz em I e calcule a iterada seguinte x 1 (c) Indique um majorante do erro absoluto da iterada x 2 que tenha em conta os valores encontrados na alínea anterior 6 Considere a equação x tan(x) 1 = 0 (a) Mostre que a equação tem uma e uma só solução z no intervalo [08, 09] e que o método da secante pode ser usado para aproximar z (b) Aplicando o método da secante, obtenha as três primeiras iteradas para o cálculo de z (c) Determine um majorante do erro do resultado obtido na alínea anterior 7 Considere a função f(x) := cos(x) x (a) Mostre que o método de Newton converge para o único zero de f, qualquer que seja a iterada inicial em [05, 15] (b) Calcule a primeira iterada x 1 começando com x 0 = 1 e justique que x 1 f 1 (0) 0025 (c) Calcule x 3 e apresente uma estimativa de erro (d) Com base nos valores x 0 e x 1 obtido em b) calcule x 2 pelo método da secante Este método também irá convergir? 8 Considere a função f(x) = 2 ln(x 2 + 1) x x 2 Aproxime, com erro inferior a 10 4, todas as raízes da equação f(x) = 0 9 Considere a função de variável real g(x) = 1 + ex + x 3 14 e a sucessão numérica {x m } denida por x m+1 = g(x m ), m = 0, 1, (a) Mostre que esta sucessão tem limite z [0, 1], independente de x 0 [0, 1] 4

anterior 6 Considere a equação x tan(x) 1 = 0 (a) Mostre que a equação tem uma e uma só solução z no intervalo [08, 09] e que o método da secante pode ser usado para aproximar z (b) Aplicando o

5 (b) Partindo de x 0 = 0, calcule x 5 e determine um majorante de z x 5 (c) Obtenha uma estimativa do número de iterações que teria de efectuar se pretendesse aproximar z com erro inferior a 10 6 partindo de x 0 = 1 10 Considere a iteração do ponto xo x m+1 = g(x m ), m = 0, 1, com função iteradora g(x) = 1 + arctan(x) (a) Usando o teorema do ponto xo, indique um intervalo onde pode escolher x 0 de modo que a iteração seja convergente Neste caso, qual é a ordem de convergência? (b) Aproxime o ponto xo de g com erro inferior a Calcule um valor aproximado de 10 usando o seguinte método numérico x m+1 = 30x m + x 3 m x 2 m Mostre que a ordem de convergência deste método é 3 12 Pretende-se determinar uma raiz da equação x = φ(x) pelo método do ponto xo com um erro absoluto inferior a Suponha que foram obtidas as iteradas x 4 = x 5 = Sabendo que φ (x) 04, determine o número de iterações que tem ainda de se efectuar até atingir a precisão pretendida 13 Considere a equação e x 4x 2 = 0 (2) que tem três raízes reais: z 1 < z 2 < z 3, tal que z 1 [ 1, 0], z 2 [0, 1] e z 3 [4, 5] (a) Para aproximar as raízes positivas da equação (2), considere-se o método do ponto xo com função iteradora g(x) = 1 2 ex/2 i Mostre que z 2 e z 3 são pontos xos de g ii Mostre que o método iterativo associado a g converge para z 2, qualquer que seja a aproximação inicial x 0 [0, 1] iii Mostre que não é possível usar esse método para obter uma aproximação da raiz z 3 (b) Determine uma função iteradora tal que o método do ponto xo associado convirja para a raiz negativa da equação 5

x 0 de modo que a iteração seja convergente Neste caso, qual é a ordem de convergência?

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