Métodos Numéricos Exame 11/07/11

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1 ESCOLA SUPERIOR DE BIOTECNOLOGIA Métodos Numéricos Exame 11/07/11 Parte Teórica Duração: 30 minutos Atenção: Teste sem consulta. Não é permitido o uso da máquina de calcular. Não esquecer de indicar o seu nome e turma em todas as folhas que entregar. Nota mínima: 2.0 (máx , Como pode aproximar a velocidade dum objecto para vários pontos se for dada a sua posição em função do tempo mas os intervalos entre as medições não forem iguais (pontos não igualmente espaçados. 2, Verificou-se que uma função contínua f(x toma valores negativos e positivos no intervalo [a,b]. Pode concluir-se que tem pelo menos uma raiz nesse intervalo? Justifique graficamente! 3, Explique graficamente o método de Euler para a resolução numérica de equações diferenciais ordinárias, indicando o erro da aproximação. 4, Quais são as vantagens e desvantagens do método de Bissecções Sucessivas quando comparado com o método de Secante na solução de equações não lineares? 1

2 5, Quantos algarismos significativos têm os seguintes números 0, ,5 1,4700 6, Explique a relação entre o número de condição de uma função f ( x e o erro relativo da mesma. Explique por palavras próprias o que significa a expressão função mal condicionada 7, Sabe-se a temperatura em cinco pontos equidistantes ao longo de uma barra de aço de comprimento l. Explique de uma forma clara como pode estimar o valor médio do gradiente (valor médio da primeira derivada da temperatura nesta peça, sabendo que o valor médio de uma função contínua no intervalo [a,b] pode ser escrito: 1 f ( x = f ( x dx b a b a Boa Sorte! Szabolcs Varga 2

3 Parte Teórica 3

4 Parte Teórica 4

5 ESCOLA SUPERIOR DE BIOTECNOLOGIA Métodos Numéricos Exame 11/07/11 Parte Prática Duração: 2 horas Atenção: Teste sem consulta. Indique claramente todos os cálculos usando os métodos estudados, assim como os respectivos resultados!!! É permitido o uso de máquina de calcular. Não esquecer de indicar o seu nome e turma em todas as folhas que entregar. 1. Na prática, o que sucede é que as chaminés, ou condutas, utilizadas são metálicas e não isoladas termicamente, o que origina uma diferença de temperatura entre o gás (T g, normalmente mais quente, e as paredes da conduta (T p onde eles circulam, normalmente mais frias. Esta diferença de temperatura vai ser responsável pelo facto do sensor, frequentemente um termopar, usado para determinar a temperatura do gás, medir não a temperatura do gás mas uma temperatura de equilíbrio (temperatura indicada pelo termopar, inferior à temperatura do gás mas superior à temperatura da parede. A temperatura do gás (T g em K pode ser estimada através da seguinte fórmula: onde: T g = T t 4 4 σε(tt Tp + α T t temperatura medida pelo termopar, K T p temperatura da parede, K σ constante Stefan-Boltzman, 5, W/(m 2 K 4 ε emissividade do termopar, 0,5 α - coeficiente de transferência de calor termopar - gás, 250 W/(m 2 K 5

6 Estime o erro relativo relacionado com o valor da T g, quando a parede da conduta se encontra a 25ºC é o termopar mostra um valor de 247 ºC. Considere que o erro da medição das duas temperaturas é de 1K. (Atenção com as unidades! 2. Considere o problema anterior (problema 1 da medição de temperatura de um gás em chaminés, admitindo que neste caso se conhecem as temperaturas do gás (T g = 270ºC e da parede (T p = 40ºC. Determine a temperatura medida pelo termopar (T t utilizando o método de Newton-Raphson com uma estimativa inicial de 100 ºC, e com um erro inferior de 1%. (Atenção com as unidades! De quantos graus Célsius é a diferença entre a temperatura do gás e a temperatura indicada pelo termopar? 3. O coeficiente de transferência de calor entre o gás e o termopar (α foi determinado em função da temperatura medida pelo termopar (T t. Os resultados estão apresentados na tabela seguinte: T t, ºC α, W/(m 2 K Estime o valor de coeficiente de transferência de calor entre o gás e o termopar para o valor de T g obtido no problema 2, utilizando um polinómio de grau 2. Calcule também o erro relativo da estimativa. No caso de não conseguir resolver o problema 2, utilize T t = 267ºC. 4. A velocidade de crescimento (v de uma criança (média em altura (cm/ano, em função da sua idade t (em anos, é dada pela seguinte formula: v(t = dh(t dt = π e ( t

7 Considerando que alguém com 9 anos de idade tem uma altura igual a 131 cm, estime a sua altura quando esta perfizer 12 anos de idade utilizando o método de Euler com um passo de t= 1 ano. 5. Efectue as seguintes mudanças de base: a (19,7 32 para base 10. b (3331,21 4 para base 16 (hexadecimal. c (125,65 10 para base 8. Boa Sorte! 7

8 Formulário - Interpolação: - Newton: p( x = f( x + ( x x f[ x, x ] + ( x x ( x x f[ x, x, x ] ( x x 0 ( x x1...( x x n 1 f[ x n, x n 1,..., x 0 ] Onde: f[x, x n f[x, x,..., x ] f[x,..., x n n 1 1 n 1 n 2 0 n 1,..., x1, x 0] = representa a diferença x n x 0, x ] dividida finita de ordem n-1 - Newton com nós equidistantes: 2 f (x 0 f (x 0 p(x = f (x 0 + α + α( α 1 + 1! 2! n f (x 0 + α( α 1...( α n + 1 n! Onde: 1 x=x 0 +αh e + f (x = ( (f (x - Lagrange: n p( x = L ( x f ( x i= 0 L ( x = i i onde - erro de aproximação: n j= 0 j i x x x i j x R = f[ x, x, x,..., x, x ]( x x ( x x...( x x n n+ 1 n n n j i 8

9 - Solução de equações não lineares: Método Intervalares: BS FP Abertos: IPF NR SEC x + 1 Função xl + x u x r = 2 f(xu(x l xu xr = xu f(x f(x x = x x +1 =G(x + 1 = x l u f (x f (x f (x (x 1 x f (x f (x 1 - Método de Euler: f (x,y = dy dx y i+1 =y i +f(x i,y i h onde h passo : x i+1 -x i 9

10 Parte Prática 10