Função do 2º Grau. Alex Oliveira
|
|
- Leila de Andrade Carvalhal
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Função do 2º Grau Alex Oliveira
2 Apresentação A função do 2º grau, também chamada de função quadrática é definida pela expressão do tipo: y = f(x) = ax² + bx + c onde a, b e c são números reais e a 0. Exemplos: f(x) = 3x 2 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1. g(x) = x 2 4, em que a = 1, b = 0 e c = -4. h(x) = 20x 2, em que a = 20, b = 0 e c = 0. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2
3 Apresentação Num campeonato de futebol, cada clube vai jogar duas vezes com outro, em turno e returno. Assim, o número p de partidas do campeonato é dado em função do número de clubes participantes, conforme vemos na tabela seguinte: Número de clubes Número de partidas 2 2(2-1) = 2 3 3(3-1) = 6 4 4(4-1) = (5-1) = 20 n n(n - 1) Pela tabela, vemos que o número p de partidas é dado por: p(n) = n(n - 1) = n 2 - n UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3
4 Apresentação Na queda livre dos corpos, o espaço (s) percorrido é em função de tempo (t) por uma função quadrática s(t) = 4,9t 2, em que a constante 4,9 é a metade da aceleração da gravidade, que é 9,8 m/s 2. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4
5 Gráfico da função O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c. c Parábola O x 1 x 2 Vértice V Eixo de Simetria UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5
6 Vamos praticar... O gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo de energia em energia elétrica. Se a potência P (em watts) que certo gerador lança num circuito elétrico é dada pela relação P(i) = 20i 5i 2, em que i é a intensidade da corrente elétrica que atravessa o gerador, determine o número de watts que expressa a potência P quando i = 3 ampéres. Dada a função P(i) = 20i 5i 2, iremos substituir o i por 3, sendo assim: P(i) = 20i 5i 2 P(3) = P(3) = P(3) = P(3) = 15 Logo, quando a intensidade da corrente elétrica é de 3 ampères a potência do gerador será de 15 watts. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6
7 Parâmetro a Responsável pela concavidade e abertura da parábola. o Se a > 0 a concavidade é para cima. o Se a < 0 a concavidade é para baixo. Além disso, quanto maior for o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola (parábola mais fechada ), independentemente da concavidade. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7
8 Parâmetro b Indica se a parábola cruza o eixo y no ramo crescente ou decrescente da parábola. o Se b > 0 a parábola cruza o eixo y no ramo crescente. o Se b < 0 a parábola cruza o eixo y no ramo decrescente. o Se b = 0 a parábola cruza o eixo y no vértice. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8
9 Parâmetro c Indica onde a parábola cruza o eixo y. o A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9
10 Eixo x A parábola pode interceptar o eixo x em um, dois ou nenhum ponto, dependendo do valor de = b 2 4.a.c da equação correspondente. f(x) = 0 ax 2 + bx +c = 0 = 0 uma raiz real dupla - a parábola interceptar o eixo x em um só ponto. > 0 duas raízes reais distintas - a parábola interceptar o eixo x em dois pontos. < 0 nenhuma raiz real - a parábola não interceptar o eixo x. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10
11 Vértice da parábola A determinação do vértice da parábola ajuda a elaboração do gráfico e permite determinar a imagem da função, bem como o valor máximo ou mínimo. O vértice de uma parábola dada por f(x) = ax 2 + bx + c, a 0, também pode ser calculado assim: V b, 2a 4a UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11
12 Imagem Utilizando o vértice da parábola iremos determinar a imagem da função. Exemplos: f(x) = -4x 2 + 4x + 5 x v = b 2a y v = 4a (16+80) 16 V 1 2, = 6 Como, a = -4, a < 0 assim a concavidade será para baixo, então a função assume como valor máximo 6 quando x = 1 2. Logo, Im(f) = {y R y 6} UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12
13 Imagem g(x) = 2x 2 8x x v = y v = 4a 8 4 -(-2) V(2, -8) Como, a = 2, a > 0 assim a concavidade será para cima, então a função assume valor mínimo -8 quando x = 2. Logo, Im(g) = {y R y -8} UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13
14 Valor máximo ou mínimo De modo geral, quando: a > 0 y v é o valor mínimo de f Im(f) = {y R y y v }; a < 0 y v é o valor máximo de f Im(f) = {y R y y v }; UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14
15 Vamos praticar... Dada a função quadrática f(x) = 3x 2 10x + 3, vamos determinar: a) Se a concavidade da parábola definida pela função está voltada para cima ou para baixo; Concavidade: voltada para cima, pois a = 3 e, portanto, a > 0. b) Os zeros da função; f(x) = 0 3x 2 10x + 3 = 0, onde a = 3, b = -10 e c = 3 = = = 64 x = 10 ± 64 6 x 1 = 18 6 = 3 x 2 = 2 6 = 1 3 x = 10 ± 8 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15
16 Vamos praticar... c) O vértice da parábola definida pela função; V b, V 10, 64 2a 4a 6 12 V d) Intersecção com o eixo x; 5 3, 16 O gráfico intercepta o eixo x em (x 1 ; 0) e (x 2 ; 0), como x 1 = 3 e x 2 = 1 temos que (3; 0) e 3 1 ; 0 3 são os pontos que o gráfico intercepta o eixo x. e) Intersecção com o eixo y; O gráfico intercepta o eixo y em (0; c), como c = 3 temos que (0; 3) é o ponto que o gráfico intercepta o eixo y. 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16
17 Vamos praticar... f) Eixo de simetria; g) Im(f); O eixo de simetria é a reta que passa por V e é paralela ao eixo y. Assim, x = 5 3 Como, a = 3, a > 0 assim a concavidade será para cima, então a função assume valor mínimo 16 3 quando x = 5 3. {y R y 16 3 } UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17
18 Vamos praticar... Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória da bala descreve uma parábola de equação y = -0,1x x, onde x e y são medidos em metros. o Determine, em metros, a altura máxima atingida pela bala; O valor máximo (ou mínimo) dessa função é o y do vértice da parábola, ou seja, y =. Então a altura 4a máxima da bala é: y = [ ,1.(0)] 4.( 0,1) [225 0] 0, ,4 562,5 m UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18
19 Vamos praticar... o O alcance do disparo é a diferença entre as raízes da equação -0,1x x = 0. = 225 x = 15 ± ( 0,1) x 1 = ( 0,1) 0 0,2 0 x 2 = ( 0,1) 30 0,2 150 Assim, o alcance do disparo é de = 150 m. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19
20 Construção da Parábola É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau seguindo apenas o roteiro de observação seguinte: o O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; o Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo x; o O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0); o A reta que passa por V e é paralela ao eixo y é o eixo de simetria da parábola; o Parábola corta o eixo y em (0, c). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20
21 Vamos praticar... Construa o gráfico da função 3x 2-4x + 1. o O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola, a = 3, a > 0, logo a concavidade será para cima. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21
22 Vamos praticar... o Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x; f(x) = 3x 2-4x + 1 f(x) = 0 3x 2-4x + 1 = 0 3x 2-4x + 1 = 0 = = = 4 x = 4 ± x = 4 ± 4 6 x 1 = = 1 x 2 = = 1 3 x 2 = ( 1 3 ; 0) x 1 = (1; 0) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22
23 Vamos praticar... o O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a < 0); V b 2a, 4a V 4 2.3, V 4, 4 V 2, o A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos eixo de simetria da parábola; o Eixo de simetria é x = 2/3 y é o x 2 = ( 1 ; 0) 3 x 1 = (1; 0) V( 2 3 ; 1 ) 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 23
24 Vamos praticar... o Parábola corta o eixo y em (0; c). Logo, a parábola corta o eixo y em (0; 1) (0; 1) x 2 = ( 1 3 ; 0) V( 2 3 ; 1 3 ) x 1 = (1; 0) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 24
25 Vamos praticar... O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y = 40x x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. Qual a altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 25
26 Vamos praticar... A altura máxima do projétil pode ser obtido usando o vértice da parábola, como a altura é y, a altura máxima do projétil (y máx ) será a coordenada y do vértice da parábola: y max = 4a y max = ( ) 4. ( 40) y max = = 250 metros UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 26
27 Vamos praticar... O tempo que o projétil permanece no ar pode ser obtido pelo equação que descreve o movimento do projétil, onde y será a altura final do projetil após chegar no solo, assim y = 0, resolvendo a equação, teremos: 40x x = 0 = = ± x = 2. ( 40) 200 ± 200 x = 80 x = x = 80 x = 0 s x = 80 x = x = 5 s UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 27
28 Vamos praticar... As duas raízes obtidas mostram o tempo quando a altura do projetil é zero, ou seja, quando está no solo, podemos ver que o tempo 0 s é quando o projetil ainda não e lançado e o tempo de 5 s é o tempo que foi necessário para o projetil fazer o movimento e retornar ao solo. Assim a resposta para o tempo que ele permanece no ar é 5 s. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 28
Equação de Segundo Grau. Rafael Alves
Equação de Segundo Grau Rafael Alves Equação do 2º Grau As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. 2x + 1 = 0 (Equação de 1º grau) 2x² + 2x + 6 = 0 (Equação de
Leia maisLISTA DE FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU - 2012. ax b, sabendo que:
1) Dada a função f(x) = 2x + 3, determine f(1). LISTA DE FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU - 2012 2) Dada a função f(x) = 4x + 5, determine x tal que f(x) = 7. 3) Escreva a função afim f ( x) ax b, sabendo
Leia maisGráfico: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Exemplos: 1) f(x) = x 2 + x -3-2 -1-1/2 1 3/2 2. 2) y = -x 2 + 1 -3-2 -1
Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 1º semestre 2015 Profa Olga Função Quadrática Uma função f : R R chama-se função quadrática quando existem números reais a, b e c, com a 0, tais que f(x) = ax 2 + bx
Leia maisResolução dos Exercícios sobre Derivadas
Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas
Leia maisMATEMÁTICA 3. Resposta: 29
MATEMÁTICA 3 17. Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e, como ilustrado na figura abaixo. Para calcular o comprimento A, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que está, e
Leia maisFUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:
FUNÇÃO DO 1º GRAU Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro
Leia maisÉ usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domínio A, simplesmente por y=f(x), x A
4. Função O objeto fundamental do cálculo são as funções. Assim, num curso de Pré-Cálculo é importante estudar as idéias básicas concernentes às funções e seus gráficos, bem como as formas de combiná-los
Leia maisCapítulo 5: Aplicações da Derivada
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f
Leia maisFunção Quadrática Função do 2º Grau
Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Função Quadrática 1º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Professor: Hermes Jardim Disciplina: Matemática Lista 5 º Bimestre/13 Aluno(a): Número: Turma: Função Quadrática
Leia maisTruques e Dicas. = 7 30 Para multiplicar fracções basta multiplicar os numeradores e os denominadores: 2 30 = 12 5
Truques e Dicas O que se segue serve para esclarecer alguma questão que possa surgir ao resolver um exercício de matemática. Espero que lhe seja útil! Cap. I Fracções. Soma e Produto de Fracções Para somar
Leia maisITA - 2004 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR
ITA - 2004 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} I. U e n(u) = 10 III. 5 U e {5}
Leia maisExercícios 1. Determinar x de modo que a matriz
setor 08 080509 080509-SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n
Leia maisLista de Exercícios 3 Estrutura Condicional
1 Lista de Exercícios 3 Estrutura Condicional 1. A nota final de um estudante é calculada a partir de três notas atribuídas respectivamente a um trabalho de laboratório, a uma avaliação semestral e a um
Leia maisUniversidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro De Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física Teórica e Experimental Programa de Educação Tutorial Curso de Nivelamento: Pré-Cálculo PET DE FÍSICA:
Leia maisPotenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z
Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente
Leia maisb) a 0 e 0 d) a 0 e 0
IFRN - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RN PROFESSOR: MARCELO SILVA MATEMÁTICA FUNÇÃO DO º GRAU 1. Um grupo de pessoas gastou R$ 10,00 em uma lanchonete. Quando foram pagar a conta,
Leia maisMatemática Básica - 08. Função Logarítmica
Matemática Básica Função Logarítmica 08 Versão: Provisória 0. Introdução Quando calculamos as equações exponenciais, o método usado consistia em reduzirmos os dois termos da equação à mesma base, como
Leia maisMATEMÁTICA UFRGS 2011
MATEMÁTICA UFRGS 2011 01. Uma torneira com vazamento pinga, de maneira constante, 25 gotas de água por minuto. Se cada gota contém 0,2 ml de água, então, em 24 horas o vazamento será de a) 0,072 L. b)
Leia maisPlano de Aula. 1 - Como abrir o programa KmPlot
Plano de Aula Aluno(a):PIBID MATEMÁTICA Escola: Escola Estadual de Ensino Médio Mestre Santa Bárbara Disciplina: Matemática Conteúdo: Função quadrática Assunto: Gráficos, coeficientes da função Público
Leia maisFUNÇÃO. Exemplo: Dado os conjuntos A = { -2, -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} São funções de A em B as relações a) R 1 = {(x,y) AXB/ y = x + 2}
Sistemas de Informação e Tecnologia em Proc. de Dados Matemática Ms. Carlos Roberto da Silva/ Ms. Lourival Pereira Martins FUNÇÃO Definição: Dados dois conjuntos e define-se como função de em a toda relação
Leia maisMATEMÁTICA. y Q. (a,b)
MATEMÁTICA 1. Sejam (a, b), com a e b positivos, as coordenadas de um ponto no plano cartesiano, e r a reta com inclinação m
Leia maisPROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 2011 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR a Fase Profa. Maria Antônia Gouveia. Questão. Considerando-se as funções f: R R e g: R R definidas por f(x) = x e g(x) = log(x² + ), é correto afirmar: () A função
Leia maisLançamento de projéteis, antenas parabólicas e campeonato de futebol; o que eles têm em comum? Fonte: bp2.blogger.com/.../s400/argentinabrasil5.
1 NRE: Cornélio Procópio Nome do Professor: Marinez Pereira dos Santos Escola: Colégio Estadual Profª Regina Municipío: Uraí e-mail: Tokano Disciplina: Matemática Série: 1ª Conteúdo Estruturante: Funções
Leia maisLista de Exercícios 03
Lista de Exercícios 03 Aplicações das relações e funções no cotidiano Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados
Leia maisMATEMÁTICA TIPO A GABARITO: VFFVF. Solução: é a parábola com foco no ponto (0, 3) e reta diretriz y = -3.
1 MATEMÁTICA TIPO A 01. Seja o conjunto de pontos do plano cartesiano, cuja distância ao ponto é igual à distância da reta com equação. Analise as afirmações a seguir. 0-0) é a parábola com foco no ponto
Leia maisFunções algébricas do 1º grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior
Maurício Bezerra Bandeira Junior Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados
Leia maisLista de Exercício 3 MUV
Nome: Curso: Disciplina: FÍSICA I / MECÂNICA CLÁSSICA Lista de Exercício 3 MUV 1) Um móvel, cujo espaço inicial é S0 8m, se desloca a favor da trajetória, em movimento acelerado, com velocidade inicial
Leia maisOnde usar os conhecimentos os sobre função?
II FUNÇÃO E LOGARITMO Por que aprender função?... As funções exponenciais e logarítmicas estão presentes no estudo de fenômenos que envolvem taxas de crescimento e de decrescimento. Onde usar os conhecimentos
Leia maisNível 3 IV FAPMAT 28/10/2007
1 Nível 3 IV FAPMAT 8/10/007 1. A figura abaixo representa a área de um paralelepípedo planificado. A que intervalo de valores, x deve pertencer de modo que a área da planificação seja maior que 184cm
Leia maisRoot Locus (Método do Lugar das Raízes)
Root Locus (Método do Lugar das Raízes) Ambos a estabilidade e o comportamento da resposta transitória em um sistema de controle em malha fechada estão diretamente relacionadas com a localização das raízes
Leia maisEXERCÍCIOS 2ª SÉRIE - LANÇAMENTOS
EXERCÍCIOS ª SÉRIE - LANÇAMENTOS 1. (Unifesp 01) Em uma manhã de calmaria, um Veículo Lançador de Satélite (VLS) é lançado verticalmente do solo e, após um período de aceleração, ao atingir a altura de
Leia maisUnidade III: Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.)
Colégio Santa Catarina Unidade III: Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.) 17 Unidade III: Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.) 3.1- Aceleração Escalar (a): Em movimentos nos quais as velocidades
Leia maisMatemática SSA 2 REVISÃO GERAL 1
1. REVISÃO 01 Matemática SSA REVISÃO GERAL 1. Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de 1 cm s. A altura do cone mede cm, e o raio de sua base
Leia maisUniversidade Federal do Pará Centro de Ciências Exatas e Naturais Departamento de Física Laboratório Básico I
Universidade Federal do Pará Centro de Ciências Exatas e Naturais Departamento de Física Laboratório Básico I Experiência 02 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS E PÊNDULO SIMPLES 1. OBJETIVOS Ao término das atividades
Leia maisUnidade 3 Função Logarítmica. Definição de logaritmos de um número Propriedades operatórias Mudança de base Logaritmos decimais Função Logarítmica
Unidade 3 Função Logarítmica Definição de aritmos de um número Propriedades operatórias Mudança de base Logaritmos decimais Função Logarítmica Definição de Logaritmo de um número Suponha que certo medicamento,
Leia maisFunção polinomial Seja dado um número inteiro não negativo n, bem como os coeficientes reais a 0, a 1,,a n, com a n 0. A função definida por
Funções polinomiais 4 Antes de ler o capítulo Esse capítulo trata de um grupo particular de funções, de modo que, antes de lê-lo, o leitor precisa dominar o conteúdo do Capítulo 1. Depois de tratarmos
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE BELAS ARTES SISTEMA GEOMÉTRICO DE REPRESENTAÇÃO I PROF. CRISTINA GRAFANASSI TRANJAN
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE BELAS ARTES SISTEMA GEOMÉTRICO DE REPRESENTAÇÃO I PROF. CRISTINA GRAFANASSI TRANJAN MÉTODOS DESCRITIVOS Há determinados problemas em Geometria Descritiva
Leia maisLógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO
5 FUNÇÃO 5.1 Introdução O conceito de função fundamenta o tratamento científico de problemas porque descreve e formaliza a relação estabelecida entre as grandezas que o integram. O rigor da linguagem e
Leia maisAula 11 Root Locus LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I
Aula 11 Root Locus LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I Sistema de malha fechada G(s) G(s) G(s) Sistema de malha fechada K O Root Locus é o lugar geométrico dos polos do sistema de malha fechada,
Leia maisFunção. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:
Função Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. Definição formal:
Leia maisCapítulo 1. x > y ou x < y ou x = y
Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos
Leia maisINSTITUTO TECNOLÓGICO
PAC - PROGRAMA DE APRIMORAMENTO DE CONTEÚDOS. ATIVIDADES DE NIVELAMENTO BÁSICO. DISCIPLINAS: MATEMÁTICA & ESTATÍSTICA. PROFº.: PROF. DR. AUSTER RUZANTE 1ª SEMANA DE ATIVIDADES DOS CURSOS DE TECNOLOGIA
Leia maisAula 5 - Parte 1: Funções. Exercícios Propostos
Aula 5 - Parte 1: Funções Exercícios Propostos 1 Construção de Funções: a) Um grupo de amigos deseja alugar uma van, por um dia, para um passeio, ao custo de R$300,00. Um levantamento preliminar indicou
Leia maisProcessos Estocásticos
Processos Estocásticos Terceira Lista de Exercícios 22 de julho de 20 Seja X uma VA contínua com função densidade de probabilidade f dada por Calcule P ( < X < 2. f(x = 2 e x x R. A fdp dada tem o seguinte
Leia maisV = 0,30. 0,20. 0,50 (m 3 ) = 0,030m 3. b) A pressão exercida pelo bloco sobre a superfície da mesa é dada por: P 75. 10 p = = (N/m 2 ) A 0,20.
11 FÍSICA Um bloco de granito com formato de um paralelepípedo retângulo, com altura de 30 cm e base de 20 cm de largura por 50 cm de comprimento, encontra-se em repouso sobre uma superfície plana horizontal.
Leia mais4. A FUNÇÃO AFIM. Uma função f: R R chama-se afim quando existem números reais a e b tais que f(x) = ax + b para todo x R. Casos particulares
38 4. A FUNÇÃO AFIM Uma função f: R R chama-se afim quando existem números reais a e b tais que f(x) = ax + b para todo x R. Casos particulares 1) A função identidade fr : Rdefinida por f(x) = x para todo
Leia maisMatemática Aplicada. Qual é a altitude do centro do parque, ponto de encontro das diagonais, em relação ao nível do mar?
Matemática Aplicada 1 Um mapa de um pequeno parque é uma região em forma de quadrilátero, limitado pelas retas y = x, y = x +, y = x + e y = x, sendo que as unidades estão em quilômetros. A altitude em
Leia maisVESTIBULAR 2004 - MATEMÁTICA
01. Dividir um número real não-nulo por 0,065 é equivalente a multiplicá-lo por: VESTIBULAR 004 - MATEMÁTICA a) 4 c) 16 e) 1 b) 8 d) 0. Se k é um número inteiro positivo, então o conjunto A formado pelos
Leia maisMATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA I PROF. Diomedes. E2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B.
I- CONCEITOS INICIAIS - Distância entre dois pontos na reta E) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B. d(a,b) = b a E: Dados os pontos A e B de coordenadas
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA B
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA B JORGE MELO PAULO FLORES PLANO DE AULA PESQUISA OPERACIONAL
Leia maisXXVI Olimpíada de Matemática da Unicamp. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
Gabarito da Prova da Primeira Fase 15 de Maio de 010 1 Questão 1 Um tanque de combustível, cuja capacidade é de 000 litros, tinha 600 litros de uma mistura homogênea formada por 5 % de álcool e 75 % de
Leia maissendo as componentes dadas em unidades arbitrárias. Determine: a) o vetor vetores, b) o produto escalar e c) o produto vetorial.
INSTITUTO DE FÍSICA DA UFRGS 1 a Lista de FIS01038 Prof. Thomas Braun Vetores 1. Três vetores coplanares são expressos, em relação a um sistema de referência ortogonal, como: sendo as componentes dadas
Leia maisOs conceitos mais básicos dessa matéria são: Deslocamento: Consiste na distância entre dados dois pontos percorrida por um corpo.
Os conceitos mais básicos dessa matéria são: Cinemática Básica: Deslocamento: Consiste na distância entre dados dois pontos percorrida por um corpo. Velocidade: Consiste na taxa de variação dessa distância
Leia maisLista de Exercícios de: Trabalho de uma força paralela ao deslocamento
Lista de Exercícios de: Trabalho de uma força paralela ao deslocamento Quando aplicamos uma força sobre um corpo, provocando um deslocamento, estamos gastando energia, estamos realizando um trabalho. Ʈ
Leia maisNome: N.º: endereço: data: Telefone: E-mail: PARA QUEM CURSA O 9 Ọ ANO EM 2014. Disciplina: MaTeMÁTiCa
Nome: N.º: endereço: data: Telefone: E-mail: Colégio PARA QUEM CURSA O 9 Ọ ANO EM 04 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: QUESTÃO 6 A soma das medidas dos catetos de um triângulo retângulo é 8cm
Leia maisGabarito de Matemática do 7º ano do E.F.
Gabarito de Matemática do 7º ano do E.F. Lista de Exercícios (L10) a Colocarei aqui algumas explicações e exemplos de exercícios para que você possa fazer todos com segurança e tranquilidade, no entanto,
Leia maisCaderno de Exercícios
Instituto Politécnico do Porto Instituto Superior de Engenharia do Porto Departamento de Engenharia Electrotécnica Curso de Engenharia Electrotécnica Electrónica e Computadores Disciplina de FEELE Caderno
Leia maisPROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR-2012 DA MACKENZIE RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. 14/12/2011
PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR-0 DA MACKENZIE Profa. Maria Antônia Gouveia. //0 QUESTÃO N o 9 Turma N o de alunos Média das notas obtidas A 0,0 B 0,0 C 0,0 D 0,0 A tabela acima refere-se a uma prova
Leia maisGERADORES, RECEPTORES E POTÊNCIA
AULA 22 GERADORES, RECEPTORES E POTÊNCIA 1- GERADORES ELÉTRICOS Gerador elétrico é todo elemento que transforma energia não elétrica em energia elétrica. Observe que o gerador não gera energia e sim transforma
Leia maisI CAPÍTULO 19 RETA PASSANDO POR UM PONTO DADO
Matemática Frente I CAPÍTULO 19 RETA PASSANDO POR UM PONTO DADO 1 - RECORDANDO Na última aula, nós vimos duas condições bem importantes: Logo, se uma reta passa por um ponto e tem um coeficiente angular,
Leia maisConteúdo. Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 2015
Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 05 Conteúdo Matemática Financeira e Estatística: Razão; Proporção; Porcentagem; Juros simples e compostos; Descontos simples; Média Aritmética; Mediana; Moda.
Leia maisÉ permitida a reprodução parcial ou total deste Caderno de Provas apenas para fins didáticos, desde que citada a fonte. VESTIBULAR.
VESTIBULAR 1º semestre 2014 Transferência de Curso de Graduação Administração Matemá ca Nome do candidato Por favor, abra somente quando autorizado. O CEFET-MG é parceiro da Coleta Seletiva Solidária e
Leia mais24/Abril/2013 Aula 19. Equação de Schrödinger. Aplicações: 1º partícula numa caixa de potencial. 22/Abr/2013 Aula 18
/Abr/013 Aula 18 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda e níveis
Leia maisEXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO
COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE MATEMÁTICA I PROF MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO 1 wwwprofessorwaltertadeumatbr 1) Seja f uma função de N em N definida por f(n) 10 n Escreva
Leia maisUNIDADE 4 FUNÇÕES 2 MÓDULO 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA 1 - FUNÇÃO QUADRÁTICA. 103 Matemática e Lógica Unidade 04. a > 0 a < 0 > 0
1 - FUNÇÃO QUADRÁTICA UNIDADE 4 FUNÇÕES 2 MÓDULO 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA 01 É toda função do tipo f(x)=ax 2 +bx+c, onde a, b e c são constantes reais com a 0. Ou, simplesmente, uma função polinomial de grau
Leia maisFUVEST 2000-2 a Fase - Física - 06/01/2000 ATENÇÃO
ATENÇÃO VERIFIQUE SE ESTÃO IMPRESSOS EIXOS DE GRÁFICOS OU ESQUEMAS, NAS FOLHAS DE RESPOSTAS DAS QUESTÕES 1, 2, 4, 9 e 10. Se notar a falta de uma delas, peça ao fiscal de sua sala a substituição da folha.
Leia maisESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS. Gráfico posição x tempo (x x t)
ESTUDO GRÁFICO DOS MOVIMENTOS No estudo do movimento é bastante útil o emprego de gráficos. A descrição de um movimento a partir da utilização dos gráficos (posição x tempo; velocidade x tempo e aceleração
Leia mais-ESTRUTURA VIÁRIA TT048 CURVAS VERTICAIS
INFRAINFRA -ESTRUTURA VIÁRIA TT048 CURVAS VERTICAIS Prof. Djalma Pereira Prof. Eduardo Ratton Profa. Gilza Fernandes Blasi Profa. Márcia de Andrade Pereira Um fator importante para a segurança e eficiência
Leia maisMódulo de Geometria Anaĺıtica 1. Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano. 3 a série E.M.
Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano a série EM Geometria Analítica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano 1 Exercícios
Leia maisAPOSTILA TECNOLOGIA MECANICA
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE POMPEIA CURSO TECNOLOGIA EM MECANIZAÇÃO EM AGRICULTURA DE PRECISÃO APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA Autor: Carlos Safreire Daniel Ramos Leandro Ferneta Lorival Panuto Patrícia de
Leia maisFUNÇÃO DE 1º GRAU. = mx + n, sendo m e n números reais. Questão 01 Dadas as funções f de IR em IR, identifique com um X, aquelas que são do 1º grau.
FUNÇÃO DE 1º GRAU Veremos, a partir daqui algumas funções elementares, a primeira delas é a função de 1º grau, que estabelece uma relação de proporcionalidade. Podemos então, definir a função de 1º grau
Leia maisProva 3 - Matemática
Prova 3 - QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: N ọ DE INSCRIÇÃO: NOME DO CANDIDATO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA. Confira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, que constam na etiqueta
Leia maisCurvas em coordenadas polares
1 Curvas em coordenadas polares As coordenadas polares nos dão uma maneira alternativa de localizar pontos no plano e são especialmente adequadas para expressar certas situações, como veremos a seguir.
Leia maisAula 8.1 Conteúdo: Eletrodinâmica: Associação de resistores em série, potência elétrica de uma associação em série de resistores. INTERATIVIDADE FINAL
Aula 8.1 Conteúdo: Eletrodinâmica: Associação de resistores em série, potência elétrica de uma associação em série de resistores. Habilidades: Reconhecer as utilidades dos resistores elétricos, assim como,
Leia maisPesquisa Operacional. Função Linear - Introdução. Função do 1 Grau. Função Linear - Exemplos Representação no Plano Cartesiano. Prof.
Pesquisa Operacional Prof. José Luiz Prof. José Luiz Função Linear - Introdução O conceito de função é encontrado em diversos setores da economia, por exemplo, nos valores pagos em um determinado período
Leia maisGNUPLOT Uma breve introdução
GNUPLOT Uma breve introdução O GNUPLOT é um programa para traçado de gráficos bi e tridimensionais distribuído livremente na Internet. Ele está disponível para plataformas Linux, Windows e outras do mundo
Leia maisConteúdo Programático Anual MATEMÁTICA
MATEMÁTICA 1º BIMESTRE 5ª série (6º ano) CALCULANDO COM NÚMEROS NATURAIS 1. Idéias associadas à adição 2. Idéias associadas à subtração 3. Idéias associadas à multiplicação 4. Idéias associadas à divisão
Leia maisModelo Matemático e Controle de um Robô Móvel. 2.1. Modelo do motor que aciona cada roda do robô
1. Introdução Modelo Matemático e Controle de um Robô Móvel Nesta aula serão apresentadas leis de controle que permitem a um robô móvel nãoholonômico navegar de maneira coordenada desde uma localização
Leia maisQuestão 01. Questão 02
PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3 O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - MARÇO DE 011. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Questão 01 Sabendo
Leia maiswww.concursovirtual.com.br
Cinemática: É a parte da mecânica que estuda os movimentos, procurando determinar a posição, velocidade e aceleração do corpo a cada instante. Ponto Material: É todo corpo que não possua dimensões a serem
Leia maisCircuitos de 2 ª ordem: RLC. Parte 1
Circuitos de 2 ª ordem: RLC Parte 1 Resposta natural de um circuito RLC paralelo Veja circuito RLC paralelo abaixo: A tensão é a mesma e aplicando a soma de correntes que saem do nó superior temos: v R
Leia mais12. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 12.1 FUNÇÕES INJETORAS. Definição
90 1. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 1.1 FUNÇÕES INJETORAS Definição Dizemos que uma função f: A B é injetora quando para quaisquer elementos x 1 e x de A, f(x 1 ) = f(x ) implica x 1 = x. Em
Leia maisQuestão 01 O dono do circo anuncia o início do espetáculo usando uma sirene.
As questões apresentadas nesta prova relacionam-se ao ambiente e às situações encontradas em um circo. Sempre que necessário, utilize, em seus cálculos, g = 10 m/s 2. Questão 01 O dono do circo anuncia
Leia maisResolvendo problemas com logaritmos
A UA UL LA Resolvendo problemas com logaritmos Introdução Na aula anterior descobrimos as propriedades dos logaritmos e tivemos um primeiro contato com a tábua de logarítmos. Agora você deverá aplicar
Leia maisFÍSICA. Exatas/Tarde Física e Matemática Prova A Página 1
FÍSICA 01 - A figura a seguir representa um eletroímã e um pêndulo, cuja massa presa à extremidade é um pequeno imã. Ao fechar a chave C, é correto afirmar que C N S (001) o imã do pêndulo será repelido
Leia maisQUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS
LENIMAR NUNES DE ANDRADE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA: QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS 1 a edição ISBN 978-85-917238-0-5 João Pessoa Edição do Autor 2014 Prefácio Este texto foi elaborado para a disciplina Introdução
Leia mais1ª Parte Questões de Múltipla Escolha
MATEMÁTICA 11 a 1ª Parte Questões de Múltipla Escolha A soma dos cinco primeiros termos de uma PA vale 15 e o produto desses termos é zero. Sendo a razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo termo
Leia mais8QLYHUVLGDGH)HGHUDOGR3DUDQi
7tWXOR Movimento Parabólico EMHWLYR Estudar o movimento de projéteis lançados horizontalmente 0DWHULDO Rampa de lançamento, suportes, esferas (de metal e de plástico), nível, anteparo de madeira, papel
Leia maisApostila de Física 30 Geradores Elétricos
Apostila de Física 30 Geradores Elétricos 1.0 Definições Gerador elétrico Aparelho que transforma qualquer forma de energia em energia elétrica. Exemplos: Usinas hidrelétricas Geradores mecânicos. Pilhas
Leia maisUniversidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 083020 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/04/2008
Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 08300 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/0/008 1. (0 pts.) Considere o sistema de ponto flutuante normalizado
Leia maisESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O :
ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1 FUNÇÃO IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO O conceito de função é um dos mais importantes da matemática.
Leia maisCálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU
Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) II Métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais. Objetivos:
Leia maisFEPI FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ UNIVERSITAS CENTRO UNIVERSITÁRIO DEITAJUBÁ CÁLCULO 1. Prof. William Mascia Resende. Engenharia Elétrica
FEPI FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ UNIVERSITAS CENTRO UNIVERSITÁRIO DEITAJUBÁ CÁLCULO 1 Prof. William Mascia Resende Engenharia Elétrica ITAJUBÁ 2013 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ Curso: Engenharia
Leia maisFaculdades Anhanguera
2º Aula de Física 2.1 Posição A posição de uma partícula sobre um eixo x localiza a partícula em relação á origem, ou ponto zero do eixo. A posição é positiva ou negativa, dependendo do lado da origem
Leia mais4. Tangentes e normais; orientabilidade
4. TANGENTES E NORMAIS; ORIENTABILIDADE 91 4. Tangentes e normais; orientabilidade Uma maneira natural de estudar uma superfície S consiste em considerar curvas γ cujas imagens estão contidas em S. Se
Leia maisCINEMÁTICA VETORIAL. Observe a trajetória a seguir com origem O.Pode-se considerar P a posição de certo ponto material, em um instante t.
CINEMÁTICA VETORIAL Na cinemática escalar, estudamos a descrição de um movimento através de grandezas escalares. Agora, veremos como obter e correlacionar as grandezas vetoriais descritivas de um movimento,
Leia maisProfessor(a): Série: 1ª EM. Turma: Bateria de Exercícios de Física
Nome: nº Professor(a): Série: 1ª EM. Turma: Data: / /2013 Sem limite para crescer Bateria de Exercícios de Física 3º Trimestre 1- A casa de Dona Maria fica no alto de uma ladeira. O desnível entre sua
Leia maisNOME: Nº. ASSUNTO: Recuperação Final - 1a.lista de exercícios VALOR: 13,0 NOTA:
NOME: Nº 1 o ano do Ensino Médio TURMA: Data: 11/ 12/ 12 DISCIPLINA: Física PROF. : Petrônio L. de Freitas ASSUNTO: Recuperação Final - 1a.lista de exercícios VALOR: 13,0 NOTA: INSTRUÇÕES (Leia com atenção!)
Leia maisAPOSTILA 1 Funções e Estatística Básica
' Disciplina de Matemática Aplicada II Curso Técnico em Mecânica Professora Valéria Espíndola Lessa APOSTILA 1 Funções e Estatística Básica 014 FUNÇÕES Noção de Função A ideia de função surgiu de observações
Leia mais= F cp. mv 2. G M m G M. b) A velocidade escalar V também é dada por: V = = 4π 2 R 2 = R T 2 =. R 3. Sendo T 2 = K R 3, vem: K = G M V = R.
FÍSICA Um satélite com massa m gira em torno da Terra com velocidade constante, em uma órbita circular de raio R, em relação ao centro da Terra. Represente a massa da Terra por M e a constante gravitacional
Leia mais