Questão 01. Questão 02

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1 PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3 O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - MARÇO DE 011. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Questão 01 Sabendo que f(x) = 3x, f(g(x)) = 6x 17 e h(f(x)) = 9x 6x, determine g(h(x)). 01) x + x 5 0) x 16x ) NRA 03) x + 10x + 5 0) x 6x 10 6x 15 Sendo f(x) = 3x e f(g(x)) = 6x 17, então 3g(x) = 6x 17 g(x) = g(x) = x 5. 3 Sendo f(x) = 3x e h(f(x)) = 9x 6x, então h(3x ) = 9x 6x. m + Fazendo 3x = m x =. Substituindo este valor em h(3x ) = 9x 6x: 3 m + h(m) = 9 3 m x + x + Fazendo m = x, h(x) = 9 6 = x + x + x h(x) = x + x. 3 3 Assim g(h(x)) = (x² + x) 5 = x² + x 5 RESPOSTA: Alternativa 01. Questão 0 PA QA Os pontos P e Q são conjugados harmônicos do segmento AB, tais que = = k; k > 0. PB QB Sabendo que PQ = 3cm e que AB = cm, calcule k. 01) 1/ 0) 03) 5/ 0) 3 05) 7/ x 7 x = 1 7x + x x 3 x = 7x x x 1x + 1 = x ± 7x + 6 = 0 x = x = 1 ou x = 6 (impossível) PA 3 = k = = 3 PB 1 RESPOSTA: Alternativa (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-0_ado

2 Questão 03. (UNICAMP-ADAPTADA) Sabendo que o imposto de renda é calculado em função da renda do cidadão e supondo que a tabela (incompleta) para o cálculo do imposto de renda fosse a seguinte: Renda em reais(r) Porcentagem Parcela a deduzir em reais r isento r % r % ,5% 75 E sabendo ainda que o imposto é calculado aplicando-se à renda a porcentagem correspondente e subtraindo-se desse resultado a parcela a deduzir, qual o valor da parcela a deduzir para a faixa de R$ 000 a R$ 3000? 01) R$ 00,00 0) R$ 50,00 05) R$ 375,00 03) R$ 300,00 0) R$ 350,00 A renda média da faixa r 000 é r = 1500, e a parcela a ser deduzida nessa faixa representa 150 = 0,1 = 10% A renda média da faixa 000 r é r = 500 e a parcela a ser deduzida nessa faixa representa 10% de 500, ou seja 50. RESPOSTA: A alternativa 0. Questão 0. Na figura ao lado, o arco mede 80 e o arco mede 10. Sabe-se que a medida de é três quintos de. O ângulo CÊD mede: 01) 0 0) 5 03) 30 0) 35 05) 0 RESOLUÇÃO Como AB 3 =, pode-se considerar AB = 3β e CD = 5β. CD 5 Sendo + = 00, então, + = 160 3β +5β = 160 β = 0 = 60 e = 100. Sendo CÊD um ângulo excêntrico externo sua medida é igual a = 0. RESPOSTA: Alternativa (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-0_ado

3 Questão 05. Sobre produto cartesiano, relações binárias e funções, considere as seguintes afirmativas: (I) A representação gráfica do produto cartesiano [; 6[ x {3; 5} é (II) O domínio da relação W = {(x; y) N x N / x + 3y = 35} possui apenas 3 elementos. (III) Se f: N* N* é uma função onde f(1)=f()=1 e f(x+1) = f(x) + f(x 1), então f(7) = 15. Logo é verdade que: 01) Apenas a afirmativa I é falsa. 0) Apenas a afirmativa II é falsa. 03) Apenas a afirmativa III é falsa. 0) Apenas uma afirmativa é verdadeira. 05) Todas as afirmativas são verdadeiras. (I) A representação gráfica do produto cartesiano [; 6[ x {3; 5} é interseção entre a faixa retangular determinada pelas retas x = e x = 6 com as retas y = 3 e y = 5. Essa interseção tem como gráfico os dois segmentos Destacados na figura abaixo: Logo a afirmação I é verdadeira. (II) O domínio da relação W = {(x; y) N x N / x + 3y = 35} possui apenas 3 elementos. 35 3y Determinando, em função de y, o valor de x na igualdade x + 3y = 35, x =. y N y x = N 35 3 x = = 8 N x = = N x = = 5 N x = = N Os únicos pares que satisfazem à relação, são: (8, 1), (5, 5), (3, 9). Logo o domínio da relação W = {(x; y) N x N / x + 3y = 35} possui apenas 3 elementos. A afirmação II é verdadeira (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-0_ado 3

4 x = = 3 N x = = N (III) Em f(x+1) = f(x) + f(x 1), fazendo x + 1 = x = 1 e x 1 = 0 o que é impossível pois f: N* N*. Logo a afirmação III é falsa. RESPOSTA: Alternativa 03. Questão 06. Uma bicicleta percorre a distância d quando cada uma de suas rodas dá n voltas. Se d aumenta 1m o número de voltas de cada uma das rodas aumenta 10. Calcule, aproximadamente, o raio das rodas dessa bicicleta. 01) 15cm 0) 16cm 03) 17cm 0) 18cm 05) 19cm Considerando-se r a medida do raio de cada roda da bicicleta, quando cada roda completa uma volta ela percorreu uma distância igual a c = π.r. d Ao percorrer a distância d, cada roda deu n = voltas. π.r d + 1 Ao percorrer mais 1m, cada roda deu n + 10 = voltas π.r d + 1 d + 1 d n + 10 = 10 = 0π.r = 1 π.r π.r π.r 1 d d 1 d r = = 0,19m = 19cm n = + = 10 6,8 π.r π.r π.r π.r RESPOSTA: Alternativa 05. Questão 07. (UFBA/008/Modificada) Em um terreno plano horizontal, está fixado um mastro vertical com 7 metros de altura. Do topo do mastro, é lançado um projétil, descrevendo uma trajetória de modo que sua altura(f(x)), em relação ao terreno, é uma função da forma f(x) = ax + bx + c, onde x representa a distância à reta que contém o mastro. O projétil alcança a altura de 3 metros, quando essa distância é de 3 metros, e atinge o solo, quando a distância é de 7 metros. Calcule a altura do projétil quando essa distancia é de 9 metros. 01) 3 metros 0) 36 metros 05) 5 metros 03) 38 metros 0) 0 metros (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-0_ado

5 Fazendo o eixo Oy coincidir com o mastro e a ordenada y = 7 com o topo desse mastro, a função f pode ser representada como f(x) = ax + bx + 7. Pelos dados da questão os pares ordenados (3, 3) e (7, 0) representam pontos da curva descrita pelo projétil lançado. Tem-se então o sistema: 1 9a 3b 7 3 9a 3b = + = 7a = 8 a = x 9 f (x) = + x a + 7b + 7 = 0 81a + 3b = b = 5 b = 81 f (9) = = = RESPOSTA: Alternativa 0 Questão 08. A medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é cinco vezes a medida do outro. Calcule o ângulo entre a altura e a mediana relativas à hipotenusa. 01) 0 0) 30 03) 0 0) 50 05) 60 De acordo com a condição da questão, A ĈB = 5ABˆ C = 5α α + 5α = 90 α = 15. Por propriedade, a medida da mediana AM é igual à metade da medida da hipotenusa. Então o triângulo ABM é isósceles. Sendo A Mˆ C externo ao triângulo ABM, sua medida é igual a α = 30 (Todo ângulo externo a um triângulo tem por medida a soma dos ângulos internos que não lhe são adjacentes). No triângulo retângulo AHM, tem-se: α + β = β = 90 β = 60. RESPOSTA: Alternativa 05. Questão 09. Determine a imagem da relação binária real definida pela sentença y = x +. x 01) R* 0) * R + 03) ]1; + [ 0) [1; + [ 05) ]; + [ x + O conjunto imagem da relação binária real definida pela sentença y = coincide com o domínio da sua x relação inversa. Para derminar a inversa dessa relação, nela deve-se substituir suas variáveis pelas ordenadas do par ordenado (y, x): y + x = y x = y y + y (x 1) = y = y = ± x 1 Que somente é um número real para x 1 > 0 x > (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-0_ado 5 x 1 Logo o conjunto imagem pedido é ]1; + [. RESPOSTA: Alternativa 03.

6 Questão 10. Na figura AC é bissetriz do ângulo  e AB = AC. Sabendo que 18 < β < 30, então 01) 10 < α < 0 0) 0 < α < 3 03) 3 < α < 0 0) 0 < α < 8 05) 8 < α < 5 A ĈB é externo ao triângulo ACD, logo a sua medida é igual O ângulo a (α + β). Como o triângulo ABC é isósceles (AB = AC), tem-se: A Bˆ C = AĈB = α + β. No triângulo ABD: (α + β) + α = 180 3α + β = 180 β = 180 3α. Sendo 18 < β < 30, então, 36 < β < 60. Como β = 180 3α, substituindo na última desigualdade β por esse valor: 36 < 180 3α < 60 1 < 3α < < 3α < 1 0 < 3α < 8. RESPOSTA: Alternativa 0. Questão 11. Dado o conjunto A = {(x; y) R / x 7, 0 y 5 e y x }, calcule a área da região que representa graficamente o conjunto A no plano cartesiano. 01) 5 u.a. 0) 50 u.a. 03) 0,5 u.a. 0) 18,5 u.a. 05) NRA Representando as três leis, que determinam o conjunto A, no plano cartesiano tem-se o gráfico ao lado. A região que representa graficamente o conjunto A é o pentágono ABCDEF cuja área é a soma da área do retângulo BCDE com a do trapézio ABEF. 3( + 5) Portanto, S = 5 + = ,5 = 0, 5. RESPOSTA: Alternativa 03. Questão 1. (UNICAMP/ ADAPTADA) O preço unitário de um produto é dado por P = n K + 0, sendo K uma constante e n, o número de unidades adquiridas. Sabendo que quando foram adquiridas 10 unidades o preço unitário foi de R$ 7,00, calcule quantas unidades do referido produto podem ser adquiridas com R$ 650,00. 01) 3 0) 5 03) 7 0) 9 05) (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-0_ado 6

7 1. Se quando foram adquiridas 10 unidades o preço unitário foi de R$ 7,00: k + 0 = 7 k + 00 = 70 k = O preço unitário é dado pela relação p = + 0. n Se n produtos foram vendidos por R$650,00, então, o valor do preço unitário é de = = n 0n = 580 n = 9. n n RESPOSTA: Alternativa reais, logo: n Questão 13. Na figura, AB // CD, AB = cm e CEFD é um quadrado de lado 8cm. Sabendo que HE = HF = x, calcule, em cm, aproximadamente, o valor de y = HD 01) 6,1 0) 6, 03) 7 0) 7, 05) 7, Sendo AB // CD, os triângulos ABJ e CDJ são semelhantes e seus elementos correspondentes são proporcionais, logo: AB h ABJ x = = x = 15 x 3x = 15 x = 5. CD h 8 15 x CDJ No triangulo retângulo HGF, x = 16 + u 5 = 16 + u u = 9 u = 3. No triangulo retângulo DIH, y = (8 - u) + y = y = 1 = 6,. RESPOSTA: Alternativa (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-0_ado 7

8 Questão 1. Dadas as funções representadas nos gráficos abaixo, considere as seguintes afirmativas: v(x) : R + R + I) f é bijetora, g é injetora e h é sobrejetora. II) v não é injetora e não é sobrejetora. III) O conjunto imagem da função v é o intervalo ] 0; 00 ]. IV) g() < g(3). V) O gráfico de f 1 é: O número de afirmativas verdadeiras acima é igual a: 01) 01 0) 0 03) 03 0) 0 05) 05 I. f é bijetora porque é injetora ( para todo real x x, f(x ) f(x ) e também sobrejetora, pois, o seu conjunto imagem é igual ao seu contradomínio R. g é injetora e h é sobrejetora. VERDADEIRA II. III. v não é injetora pois existe x x,tal que, f(x ) = f(x ) e não é sobrejetora, pois o seu conjunto imagem é diferente do seu contradomínio R. VERDADEIRA Pela análise do gráfico de v conclui-se que seu valor máximo é y = 00 e seu valor mínimo é y > 0. Logo o seu conjunto imagem é o intervalo ] 0; 00 ]. VERDADEIRA (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-0_ado 8

9 IV. Pela análise do gráfico de g(x) chega-se à conclusão de que g é uma função decrescente, assim g() < g(3). VERDADEIRA. V. Pela análise do gráfico de f(x), verifica-se que f(0) = e f(1) = 0. Analisando o gráfico dado no item V, percebe-se que f( ) = 0 e f(0) = 1, logo, esse é o gráfico de f 1 (x). VERDADEIRA. RESPOSTA: Alternativa 05. Atenção : Esta questão somente será aceita se: QUESTÃO DISCURSIVA 1. apresentar todo o desenvolvimento do raciocínio necessário para a sua resolução.. a sua resolução for toda escrita a caneta (todos os cálculos, todas as justificativas e respostas). 3. toda resolução (todos os cálculos, justificativas e respostas) estiver limpa e organizada.. cada justificativa vier acompanhada dos cálculos correspondentes. 5. a resposta estiver completa e não apenas destacada. Se pelo menos, um dos itens acima não for observado, a questão será ZERADA. Questão 15. Prove que na figura ao lado, as retas r e s são paralelas. Inicialmente prolongando o segmento CD determina-se o triângulo ABC, onde A Bˆ C mede 0. Aplicando aos ângulos da figura o conceito de ângulos suplementares, determina-se: E Dˆ B = 60, D Bˆ G = 10 e E FˆG = 10. A soma dos ângulos internos de um pentágono mede 50, logo no pentágono BDEFG, x = 50 x = x = 10 F ĜH = 0 Como os CÂB e F ĜH são ângulos correspondentes formados por duas retas coplanares, r e s, e uma transversal e ambos medem 0, as retas r e s são paralelas como se queria demonstrar (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-0_ado 9