RESOLUÇÃO Matemática APLICADA FGV Administração

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1 VESTIBULAR FGV /12/2013 RESOLUÇÃO DAS 10 QUESTÕES DE MATEMÁTICA DA PROVA DA TARDE - MÓDULO DISCURSIVO QUESTÃO 1 Considere, no espaço cartesiano bidimensional, os movimentos unitários N, S, L e O definidos a seguir, onde (a, b) R 2 é um ponto qualquer: N(a, b) = (a, b + 1) S(a, b) = (a, b 1) L(a, b) = (a + 1, b) O(a, b) = (a 1, b) Considere ainda que a notação XY(a, b) significa X(Y(a, b)), isto é, representa a combinação em sequência dos movimentos unitários X e Y, onde o movimento Y é executado primeiro e, a seguir, o movimento X. a) Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em qualquer ordem, é nula, isto é: NS(a, b) = SN(a, b) = (a, b). b) Partindo do ponto (1, 4), quantos caminhos mínimos (isto é, com a menor quantidade possível de movimentos) diferentes podem ser percorridos, utilizando apenas os movimentos unitários definidos, para se chegar ao ponto ( 1, 7)? a) NS(a, b) = N(S(a, b)) = N(a, b 1) = (a, b 1 + 1) = (a, b) SN(a, b) = S(N(a, b)) = S(a, b + 1) = (a, b + 1 1) = (a, b) b) Para ir de A a B por um caminho mínimo deve-se aplicar o movimento unitário N três vezes e O duas vezes. O número de modos de compor um caminho mínimo é o número de permutações das letras NNNOO, portanto: 3, 2 5! 5 $ 4 P ! 2! 2 Respostas: a) demonstração acima. b) 10 caminhos mínimos.

2 QUESTÃO 2 Em uma competição de Matemática, a prova é do tipo múltipla-escolha com 25 questões. A pontuação de cada competidor é feita de tal maneira que cada questão: respondida corretamente vale 6 pontos; não respondida vale 1,5 ponto; respondida erradamente vale 0 (zero) ponto. a) É possível um competidor fazer exatamente 100 pontos? Se a resposta for afirmativa, mostre uma maneira; se não for, justifique a impossibilidade. b) Márcia fez mais de 100 pontos. Quantas questões, no mínimo, ela respondeu corretamente? a) Sendo x o número de questões respondidas corretamente, y o número de questões não respondidas e z o número de questões respondidas erradamente, com x, y e z números naturais, temos: x + y + z = 25 x + y + z = 25 x + y + z = 25 * & * & * 6x + 1, 5y = x + 3y = 200 3( 4x + y) = 200 Na 2 a equação, temos (4x + y) natural e, portanto, 3(4x + y) é um múltiplo de 3. Como 200 não é um múltiplo de 3, não é possível um competidor fazer exatamente 100 pontos. b) x + y + z = 25 * 6x + 1, 5y > 100 6x + 1,5(25 x z) > 100 4,5x 1,5z > 62,5 9x 3z > 125 9x > z 125 z x > Como z 0, x mín é o menor inteiro que supera, portanto é 14. Nesse caso, são 14 acertos, 11 não 9 respondidas e nenhuma errada, totalizando ,5 11 = 100,5 pontos. Respostas: a) demonstração acima. b) 14 questões.

3 QUESTÃO 3 A figura mostra um semicírculo cujo diâmetro AB, de medida R, é uma corda de outro semicírculo de diâmetro 2R e centro O. a) Calcule o perímetro da parte sombreada. b) Calcule a área da parte sombreada. a) ( per) 1 1 R 5πR 2 somb = $ πr + 2 ( per) 6 2 $ π & 2 somb = R 1 2 R 3 R π b) S R S 3 somb = $ πf p > π H & somb = f p 4 6 Respostas: a) 5πR 6 b) R 2 c 4 π 3 m 6 QUESTÃO 4 Um sorvete de casquinha consiste de uma esfera (sorvete congelado) de raio 3 cm e um cone circular reto (casquinha), também com 3 cm de raio. Se o sorvete derreter, ele encherá a casquinha completa e exatamente. Suponha que o sorvete derretido ocupe 80% do volume que ele ocupa quando está congelado. Calcule a altura da casquinha ,8 V esf = V cone & 0, 8 $ π $ 3 = π $ 3 $ h & h = 0, 8 $ 4 $ 3 = 9, Resposta: 9,6 cm

4 QUESTÃO 5 Seja f uma função que, a cada número complexo z, associa f(x) = iz, onde i é a unidade imaginária. Determine os complexos z de módulo igual a 4 e tais que f(z) = z, onde z é o conjugado de z. z = x + yi, x e y reais z = 4 & x 2 + y 2 = 16 f(z) = z & i(x + yi) = x yi & y + xi = x yi & y = x Então: x 2 + ( x) 2 = 16 & x 2 = 8 & x =! 2 2 Logo, z = i ou z = i. Resposta: Os complexos são i e i. QUESTÃO 6 a) Lançam-se ao ar 3 dados equilibrados, ou seja, as probabilidades de ocorrer cada uma das seis faces são iguais. Qual é a probabilidade de que apareça soma 9? Justifique a resposta. b) Um dado é construído de tal modo que a probabilidade de observar cada face é proporcional ao número que ela mostra. Se lançarmos o dado, qual é a probabilidade de obter um número primo? a) Número de ternas possíveis: = 216 A soma 9 ocorre nas 25 ternas abaixo: 1, 2, 6 2,1,6 3, 1, 5 4, 1, 4 5,1,3 6, 1, 2 1, 3, 5 2, 2, 5 3, 2, 4 4, 2, 3 5, 2, 2 6, 2, 1 1, 4, 4 2, 3, 4 3, 3, 3 4, 3, 2 5, 3, 1 1, 5, 3 2,4, 3 3, 4, 2 4, 4, 1 1, 6, 2 2, 5, 2 3, 5, 1 2, 6, 1 25 Portanto, P(Soma 9) = 216 b) P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 e P(1) = k, temos: k + 2k + 3k + 4k + 5k + 6k = 1 & k Logo, P(primo) = 2k + 3k + 5k = 10k = 21 Respostas: 25 a) b) 21

5 QUESTÃO 7 Observe a notícia abaixo e utilize as informações que julgar necessárias. a) Suponha que a partir de 2010 os índices de perdas no varejo, no Brasil e nos EUA, possam ser expressos por funções polinomiais do 1 grau, y = ax + b, em que x = 0 representa o ano 2010, x = 1 o ano 2011, e assim por diante, e y representa o índice de perdas expresso em porcentagem. Determine as duas funções. b) Em que ano a diferença entre o índice de perdas no varejo, no Brasil, e o índice de perdas no varejo, nos EUA, será de 1%, aproximadamente? Dê como solução os dois anos que mais se aproximam da resposta. a) Brasil: em 2010 temos x = 0 e y = 1,75. em 2011 temos x = 1 e y = 1,76. 1, 75 = a $ 0 + b Daí, * 1, 76 = a $ 1+ b * a 0, 01 b 1, 75 Logo, y = 0,01x + 1,75. EUA: em 2010 temos x = 0 e y = 1,49 em 2011 temos x = 1 e y = 1,40. 1, 49 = a $ 0 + b Daí, * 1, 40 = a $ 1+ b Logo, y = 0,09x + 1,49. * a 0, 09 b 1, 49 b) A diferença é: 0,01x + 1,75 ( 0,09x + 1,49) = 1 0,10x + 0,26 = 1 x = 7,4 Como 7 < 7,4 < 8, os anos que mais se aproximam da resposta são 2017 (x = 7) e 2018 (x = 8). Respostas: a) Brasil: y = 0,01x + 1,75 EUA: y = 0,09x + 1,49 b) 2017 e 2018.

6 QUESTÃO 8 Conta a lenda: Havia um rei que tinha costume de dar liberdade a um prisioneiro no dia do seu aniversário. Em certa ocasião levou três condenados a um quarto escuro, no qual havia três chapéus brancos e dois chapéus negros. Contou aos prisioneiros quantos chapéus havia e a cor de cada um. Colocou um chapéu em cada prisioneiro, depois os tirou do quarto e levou-os a um lugar onde cada um pudesse ver o chapéu dos outros dois, mas não o seu. Perguntou ao prisioneiro A a cor do seu chapéu e ele não soube responder. O mesmo aconteceu com o prisioneiro B. Finalmente, fez a mesma pergunta ao prisioneiro C, que era totalmente cego e havia escutado as respostas dos outros dois. Não necessito enxergar para saber que meu chapéu é branco. Foi colocado em liberdade assim que todos observaram que havia acertado a resposta. a) Faça uma tabela em que apareçam todas as possibilidades das cores dos chapéus colocados nos prisioneiros. b) Explique por que o condenado C somente podia estar com o chapéu branco. a) A B C 1 b b b 2 b b n 3 b n b 4 b n n 5 n b b 6 n b n 7 n n b b = branco n = negro b) O prisioneiro A viu dois chapéus brancos ou um branco e um negro, pois não sabe a cor do dele. O prisioneiro B vê o chapéu do cego; se fosse negro, ele saberia que o dele é branco, porque A teria visto um chapéu negro e um branco. Como B não sabe responder, o chapéu do cego não é negro, é branco. Respostas: a) tabela acima. b) explicação acima.

7 QUESTÃO 9 a) Para medir a largura x de um rio sem necessidade de cruzá-lo, foram feitas várias medições como mostra a figura abaixo. Calcule a largura x do rio. b) Demonstre que a distância do vértice B ao baricentro M de um triângulo é o dobro da distância do ponto E ao baricentro M. a) Considerando BED t = 90, temos que: ACB EDB AC AB x 24 = & = & x = 19,2 ED EB 2 2, 5 b) ADE ABC AD DE AD DE DE 1 = & = & = AB BC 2AD BC BC 2 DEM CBM DE EM 1 EM = & = & BM = 2EM CB BM 2 BM Respostas: a) 19,2 m b) demonstração acima

8 QUESTÃO 10 a) Um sábio da Antiguidade propôs o seguinte problema aos seus discípulos: Uma rã parte da borda de uma lagoa circular de 7,5 metros de raio e se movimenta saltando em linha reta até o centro. Em cada salto, avança a metade do que avançou no salto anterior. No primeiro salto avança 4 metros. Em quantos saltos chega ao centro? b) O mesmo sábio faz a seguinte afirmação em relação à situação do item A: Se o primeiro salto da rã é de 3 metros, ela não chega ao centro. Justifique a afirmação. a) Como ,5 = 7,5, bastam 4 saltos b) 3,,,... é PG com a = 3 e q =. Temos: a = 1 = = q Como 6 < 7,5, ela não chega ao centro. Respostas: a) 4 saltos. b) Justificativa acima.