Vestibular 2ª Fase Resolução das Questões Discursivas

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1 COMISSÃO PERMANENTE DE SELEÇÃO COPESE PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO PROGRAD CONCURSO VESTIBULAR 010 Prova de Matemática Vestibular ª Fase Resolução das Questões Discursivas São apresentadas abaixo possíveis soluções para as questões propostas Nessas resoluções buscou-se justificar as passagens visando uma melhor compreensão do leitor 4 3 1) O polinômio p x x x 6x 4x 1 foi dividido por um polinômio quociente, o polinômio q x x 3 e, por resto, um polinômio ( r x ) Sabe-se que r 1 a) Determine os graus dos polinômios d x e ( r x ) Designaremos por gr f o grau de um polinômio f x Assim, gr p 4 e gr q d x e obteve-se, por r 1 0 e Pelo algoritmo da divisão tem-se que p x d x q x r x, com gr r gr d ou 0 r x Daí, segue que: gr p gr d gr q 4 gr d gr d r 1, fica descartada a possibilidade de se ter r x 0 e, portanto tem-se, obrigatoriamente, gr d Como gr r Agora, como r 1 r 1, o polinômio r x não é constante e, portanto, gr r 1

2 b) Determine os polinômios d x e ( r x ) Sabemos, por (a), que r x ax b Então: r a b a b r a b a b Somando membro a membro as equações (1) e (), obtemos b 1 e, consequentemente, a 1 Com isso tem-se r x x 1 Agora, como p x d x q x r x, para se obter o polinômio d( x ), basta dividir o polinômio p x r x por qx : Portanto, d x x x

3 ) Dizemos que x é ponto fixo de uma função : 0 a) Verifique se a função : f, definida por afirmativo, determine seu(s) ponto(s) fixo(s) Seja x um ponto fixo da função f dada Então 0 O conjunto solução da última equação é,3 f se f x x 0 0 f x x 4x 6 possui ponto fixo e, em caso f x x 4x 6 x x 5x Portanto a função f dada possui dois pontos fixos: e 3 b) Seja g : uma função da forma g x ax b Determine a e b para que g admita dois pontos fixos x e x distintos 1 Sejam x e x pontos fixos distintos da função g Então 1 Fazendo () (1) obtém-se: a x x g x ax b x a x b g x ax b x a x b Como x x segue da última igualdade que a 1 1 Substituindo o valor de a, encontrado acima, em (1) ou () encontra-se b 0

4 3) Considere a reta r determinada pelos pontos P e Q e a circunferência, de centro C, que passa pelo ponto A, conforme representados no plano cartesiano abaixo Determine a equação da reta s, perpendicular à reta r, tangente à circunferência e que contém pontos do º quadrante Inicialmente calcula-se o coeficiente angular da reta r: Como s é perpendicular a r, tem-se que, o coeficiente angular da reta s é: 1 1 m 1 s m 1 r Seja t a reta que passa por C e pelo ponto de tangencia M entre a reta s e a circunferência Então t é paralela à reta r, m 1 e, t consequentemente, a equação de t é dada por: t : y 1 1 x 1 t : y x A equação da circunferência é dada por: m r x 1 y 1 R onde Portanto, a equação de é dada por: x y R é o raio de 1 1 5

5 Como M t, a abscissa do ponto M pode ser encontrada substituindo-se y x na equação de Obtém-se então: x 1 x 1 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 x Como M é um ponto do º quadrante, sua abscissa é negativa, donde: x 1 Daí, y 1 y 1 é a ordenada de M Portanto, a equação de será dada por: s : y 1 1 x 1 s : y x 10

6 4) Nessa questão trataremos do processo de redução ao 1º quadrante das funções trigonométricas de um arco 0, Se um arco tem extremidade C no º quadrante, podemos obter um arco, com extremidade no 1º quadrante, tal que sen sen e cos cos Para isso, consideremos o triângulo OCD, retângulo em D, representado no círculo trigonométrico abaixo Note que, nesse triângulo, OC 1 e o ângulo agudo CÔD Tomando e utilizando as razões trigonométricas em um triângulo retângulo obtemos: CD CD sen sen CD e OD OD cos cos OD Por outro lado, sen CD e cos OD Portanto, sen sen e cos cos Considere um arco com extremidade no 3º quadrante como ilustrado no círculo trigonométrico abaixo Procedendo como acima, escolha adequadamente um arco, com extremidade no 1º quadrante, e obtenha sen e cos em função de sen e cos, respectivamente Considere o triângulo OCD, retângulo em D, na figura ao lado Note que, nesse triângulo, OC 1 e o ângulo agudo CÔD Escolhendo, do triângulo OCD tem-se que: CD CD sen sen CD CD sen OD OD cos cos OD OD cos e Por outro lado, sen CD e cos OD Portanto, sen sen e cos cos

7 5) Sejam a e b números reais positivos que satisfazem simultaneamente as duas equações abaixo: log a 4log b 5 log a log b Calcule o valor de ab e expresse o resultado na forma de uma fração irredutível log a 4log b 5 log a log b 5 log a b 5 a b (1) a a 3 a 1 log a log b 3 log 3 4 () b b b Multiplicando, membro a membro, as equações (1) e () obtém-se: ab a 1 6 b Portanto, ab