24/Abril/2013 Aula 19. Equação de Schrödinger. Aplicações: 1º partícula numa caixa de potencial. 22/Abr/2013 Aula 18

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1 /Abr/013 Aula 18 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda e níveis de energia. 4/Abril/013 Aula 19 Equação de Schrödinger. Aplicações: 1º partícula numa caixa de potencial 1

2 Aula anterior Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.) Se uma medição da posição for feita com precisão x e, simultaneamente, se se medir a componente p x do momento com precisão p x, então o produto das duas incertezas não pode ser inferior a h / (). Princípio da Incerteza xp com h Se existe uma incerteza no momento da partícula, também existirá uma incerteza na sua energia. E t Esta relação impõe um limite para a medição da energia de um sistema.

3 Aula anterior Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região A probabilidade P ab de encontrar a partícula no intervalo b x a é igual a P ab b a dx Experimentalmente, existe sempre alguma probabilidade de encontrar a partícula num ponto para um dado instante, pelo que a probabilidade vai estar entre 0 e 1. Por exemplo, se a probabilidade de encontrar uma partícula entre dois pontos for igual a 0,3, então há 30% de hipóteses de ela estar nesse intervalo. A probabilidade de uma partícula se encontrar entre os pontos a e b é igual à área definida pela curva entre a e b. 3

4 Aula anterior Posição média de uma partícula A função de onda, para além de permitir calcular a probabilidade de encontrar uma partícula numa dada região, também pode dar informações de outras quantidades mensuráveis, como o momento e a energia. Em particular, é por vezes útil conhecer qual a posição média de uma partícula numa dada região: valor expectável. O valor expectável é definido como b x x dx a e é igual ao valor médio da posição da partícula representada pela função de onda na região delimitada por a e b. 4

5 Aula anterior Partícula numa caixa de potencial a) funções de onda b) distribuições de probabilidade A partir da função de onda (x) = A sen (n x / L) que tipo de informações será possível obter acerca da partícula? 5

6 Energia Aula anterior Partícula numa caixa (cont.) E h 8 m L n n com n = 1,, 3 No estado com menor energia (n =1) esta tem o valor de E h 1 8 m L Os estados mais energéticos (n >1) têm energias A energia mínima é > 0 E = 4E 1, E 3 = 9 E 1, Uma partícula numa caixa não pode ter energia nula 6

7 Equação de Schrödinger Será possível usar o modelo da partícula numa caixa para prever os níveis de energia electrónicos num átomo? Problema: O electrão não está confinado a uma caixa de paredes infinitas (nem as paredes são verticais). Modelo da energia potencial em função da distância ao núcleo para um átomo. 7

8 Equação de Schrödinger (cont.) Solução: a equação de Schrödinger permite determinar as funções de onda de uma partícula num poço de potencial qualquer, de uma maneira sistemática; a partir das funções de onda é possível determinar as densidades de probabilidade, os comprimentos de onda, os momentos, os níveis de energia, 8

9 Equação de Schrödinger (cont.) A expressão geral (clássica) da equação das ondas para ondas que se deslocam ao longo do eixo x é 1 x v t em que v é a velocidade da onda e depende do espaço (x) e do tempo (t ) No caso mais simples, é possível separar a dependência no espaço da dependência no tempo: (x, t ) = (x) cos t Substituindo na equação das ondas, vem cos t - cos t x v - x v 9

10 Equação de Schrödinger (cont.) Partindo da expressão anterior e considerando as relações de de Broglie para as ondas (de matéria) = f = v / e p = h / 4 p p v h Sendo a energia total E a soma das energias cinética e potencial p E E U U m total cin pot pot p m Etotal -U pot v p m E -U total pot 10

11 Equação de Schrödinger (cont.) Substituindo na equação das ondas obtém-se a Equação de Schrödinger na sua forma mais simples, independente do tempo, para uma partícula com movimento ao longo de x : x d - U pot x x Etotal x m dx Equação de Schrödinger d x m - E -U dx 11

12 Aplicações da equação de Schrödinger 1º partícula numa caixa de potencial A equação de Schrödinger permite explicar os sistemas atómico e nuclear, onde os métodos clássicos falham. Equação de Schrödinger para uma partícula numa caixa: d x m - E -U dx A energia potencial nas paredes da caixa é nula e as paredes são infinitas. U (x) = 0 para 0 x L U (x) = para x 0 e x L 1

13 1º partícula numa caixa de potencial (cont.) Na região 0 x L a equação de Schrödinger pode ser escrita como d x - m E dx Para simplificar, se se fizer k m E d dx x -k 13

14 1º partícula numa caixa de potencial (cont.) Agora é necessário resolver a equação de Schrödinger para determinar a função de onda que representa a partícula na caixa. Como as paredes são infinitas, vai ser nula fora da caixa. Neste caso, as duas condições fronteira são : (x) = 0 para x = 0 e x = L A solução da equação de Schrödinger que satisfaz estas condições é do tipo x A sen k x 14

15 Energia 1º partícula numa caixa, verificação da solução 1ª condição fronteira : (x) = 0 para x = 0 É verificada (sen 0 = 0) ª condição fronteira : (x) = 0 para x = L É verificada se k L for um múltiplo de, ou seja, se k L = n, com n inteiro Como se definiu k m E, tem-se, a partir desta condição m E k L L n A energia mínima é > 0 15

16 1º partícula numa caixa, verificação da solução (cont.) m E k L L n (em função da energia) E h 8 m L n n (idêntico ao resultado obtido anteriormente) 16

17 1º partícula numa caixa, verificação da solução (cont.) x A sen k x m E k L L n x n x A sen L Para determinar A vai ser necessário usar a condição de normalização: dx 1 17

18 1º partícula numa caixa, verificação da solução (cont.) A probabilidade da partícula estar na caixa (ou seja, em 0 < x < L) tem de ser igual a 1: L 0 dx1 x n x A sen L L L n x dx A sen dx 1 L 0 0 Dado que sen ax x sen ax dx 4a L n x L 0 L A sen dx A 1 L 18

19 1º partícula numa caixa, verificação da solução (cont.) x n x sen L L (finalmente ) 19

20 Uma partícula é descrita pela função de onda = a x entre x = 0 e x = 1 e por = 0 fora desta região. O seu movimento está limitado ao eixo x. Determine a probabilidade da partícula ser encontrada entre x = 0,45 e x = 0,55. A função de onda pode ser representada por: 0 0,45 0,55 1 x A probabilidade vai ser dada por: x1 0, ,55 x P dx a x dx a 0,05 a 3 x 0,45 0,45 0