Planeamento de uma Linha Eléctrica

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1 Introdução aos Computadores e à Programação 006/007, º Semestre 1º Trabalho de OCTAVE Planeamento de uma Linha Eléctrica Introdução Pretende-se instalar uma linha eléctrica entre as localidades de Aldeia de Cima e de Aldeia de Baixo, de forma a fornecer electricidade a esta última localidade. Para esse efeito deverão colocarse postes de electricidade ao longo do caminho de forma a neles assentar a linha eléctrica. Naturalmente pretende fazer-se esta ligação com o menor custo possível, dentro das alternativas possíveis que respeitem as restrições de segurança seguintes: A linha eléctrica não pode em nenhum ponto estar a menos de 6 m do solo; e Para evitar que a linha se quebre, ela está apoiada num cabo de apoio em aço, com diâmetro de 10 mm que suporta uma tensão máxima de 3000N (o aço tem densidade de 8g/cm 3 ). Para dimensionar a linha entre as duas povoações deverá calcular-se o número de postes a colocar no caminho entre as duas localidades. Especificamente, este caminho tem exactamente 1533 metros, e assume-se que os postes de electricidade são colocados ao longo da via sempre com a mesma distância entre postes consecutivos. Os postes a utilizar podem ser de 3 alturas diferentes, permitindo a fixação da linha às alturas de 7, 8 e 9 metros, respectivamente. Como a tensão a que estão sujeitas as linhas é limitada, a distância entre postes deve ser tal que a curvatura que a linha faz não a aproxime a menos de 6 m do solo em nenhum ponto, e em particular nos pontos equidistantes de dois postes consecutivos (ver figura). > 6 m h_poste = 7 / 8 / 9 m distância_entre_postes Naturalmente quanto mais altos forem os postes, mais distanciados podem estar entre si, já que é permitida uma descida maior da linha a partir dos pontos de apoio. Naturalmente, postes mais altos são mais caros, e por isso não é garantido que seja vantajosa a utilização deste tipo de postes. Para se poder avaliar o custo associado ao número de postes, assuma-se que cada poste tem um custo (preço + colocação) de 1000, 1300 e 1800 para postes de 7, 8 e 9 m de altura, respectivamente. Por outro lado, para uma dada curvatura (e distância entre postes), quanto maior fôr o peso da linha, maior a tensão a que ela está sujeita. Para uma tensão constante (3000N neste caso) quanto maior a densidade da linha, menor deve ser a distância entre postes. Neste projecto (a adicionar ao peso do cabo de apoio) a linha eléctrica é constituida por 100 fios eléctricos de mm de diâmetro, que podem ser feitos de 3 materiais diferentes:

2 a) cabo de cobre, com densidade 9.6 g/cm3; b) cabo de liga leve, com densidade 5.7 g/cm3; e c) cabo de liga extra-leve, com densidade de.1 g/cm3. Materiais mais leves, ao permitirem um menor encurvamento da linha e consequentemente uma maior distância entre postes, deveriam ser preferíveis, em princípio. No entanto, como esses materiais são mais caros, não é claro se será vantajoso usar ligas leves em vez do mais clássico (e pesado) fio de cobre. Para se poder quantificar o valor dessa vantagem, deverão ser considerados custos de 1.8,.4 e 6.0 por metro de cabo para as linhas de cobre, liga leve e liga extra-leve, respectivamente (o preço inclui o custo do cabo de apoio). Com estas condicionantes, a resolução do problema deverá ter em conta a forma da curva feita pela linha entre dois postes. Esta curva é conhecida como catenária e foi determinada em 1691, independentemente, pelos matemáticos Leibniz, Huygens and Johann Bernoulli, em resposta a um repto lançado por outro matemático contemporâneo, Jacob Bernoulli (irmão e rival de Johann), para determinar a curva de uma linha suspensa entre dois pontos (o que constituiu uma das primeiras aplicações do então nascente cálculo diferencial e integral). Em notação moderna, a curva pode ser descrita como a solução da equação diferencial d y = k dy 1 + em que a constante k = ω 0 / T é obtida a partir de ω 0, o peso por unidade de comprimento da linha suspensa e T é a tensão a que o fio está submetido. O problema deverá então ser resolvido com a definição e utilização das seguintes componentes 1. Determinação da constante k para cada tipo de cabo;. Determinação da curva para um dado valor de k (curvatura e comprimento); 3. Determinação do valor máximo da distância entre postes, para cada combinação de tipo de poste e de linha, de forma a que a distância da linha ao chão não seja inferior a 6 metros; 4. Determinação do custo de cada combinação (e do seu mínimo); e 5. Preparação do problema e apresentação dos resultados, incluindo o gráfico da curva. 1. Determinação da constante k A determinação da constante k a utilizar para cada tipo de linha, pressupõe o cálculo do valor do peso por unidade de comprimento da linha (incluindo o cabo de apoio). Como é conhecido, o peso corresponde ao produto da massa pela aceleração da gravidade (9.8 ms -, ao nível da Terra). Q1: Especifique a função k = k_cat(n_fios, diam_f, dens_f, diam_a, dens_a, tensao) em que os 6 argumentos têm o seguinte significado: diam_a: Diametro do cabo de apoio da linha, expresso em milílimetros (mm) dens_a: Densidade do material do cabo de apoio, em gramas por centímetro cúbico (gcm -3 ) n_fios: Número de fios eléctricos que constituem a linha diam_f: Diametro de cado fio eléctrico que integra a linha, expresso em milímetros (mm) dens_f: Densidade do material de que são feitos os fios eléctricos (em g cm -3 ) tensao: Força com que o cabo é esticado, expressa em Newtons (N) O valor de k retornado pela função deve ser expresso em m -1, pelo que todas estas medidas devem ser convertidas em unidades padrão do sistema internacional (metros, kilogramas, segundos).

3 . Determinação da catenária A determinação da forma e do comprimento da curva catenária pode fazer-se a partir do ponto mais baixo da curva (que ocorre à meia distância entre postes) assumindo-se que nesse ponto a função tem valor 0, e a sua derivada é igualmente nula (ver figura abaixo). y h y i x i d x Q: Especifique a função [ct, h] = caten(d, k, n, sh) em que os seus 4 argumentos têm o seguinte significado: d: Semi-distancia entre dois postes (m) k: Constante da catenária, dependente do tipo de linha e da tensão a que está sujeita (m -1 ) sh: Directiva para desenhar (sh = true) ou não (sh=false) o gráfico da curva. A função dever retornar não apenas o valor de h mas também o comprimento da linha, ct, desde o ponto (0,0) até ao ponto (d,h). Sugestão: Tal como indicado nas aulas teóricas, sendo conhecidos y i e dy i / (o valor da função y e da sua derivada em ordem a x, num ponto x i ) pode determinar-se y i+1, uma aproximação de y(x i+1 ), valor da função no ponto x i +, através de y(x i+1 ) y i+1 dyi y( xi + 1 ) yi + 1 = yi + y i Assim, conhecendo-se o valor da função e da sua derivada num ponto x i pode determinar-se o valor da função no ponto seguinte, x i+1. De igual modo, a partir do valor das primeira e segunda derivadas de uma função no ponto x i, pode determinar-se o valor da primeira derivada no ponto seguinte, x i+1. Finalmente a segunda derivada em x i+1 é obtida através da equação diferencial. No caso da catenária d y i+ 1 = k dyi x i x i+1 O comprimento da linha, ct, entre x= 0 e x = d, pode naturalmente ser aproximado pela soma dos segmentos que unem os pontos (x i,y i ) e (x i+1, y i+1 ). Qa: Caso não consiga determinar a forma da catenária através da equação diferencial, poderá usar a função y(x) = (cosh(kx)-1)/k (o trabalho terá no entanto uma penalização de até 3 valores).

4 3. Determinação da distância máxima entre postes Para cada combinação poste/linha deverá obter a distância máxima entre postes testando várias catenárias obtidas com a função definida anteriormente [ct, h] = caten(d, k, n, sh) Naturalmente quanto maior for a distância entre postes (note que a distância entre postes é o dobro de d) maior será o valor da altura h. Para cada altura dos postes, deverá obter um h que permita manter qualquer ponto da linha a pelo menos 6 m acima do solo. Q3: Especifique a função max_d = max_cat(k, hmax, n) em que os seus 3 argumentos têm o seguinte significado: k: Constante da catenária, como anteriormente (m -1 ); hmax: Altura máxima admissível para a catenária (em m); A função deverá retornar um valor max_d, o maior valor de x, para o qual a altura da catenária não excede a altura hmax (Nota: O valor de max_d é metade da distância entre postes). Sugestão: A distância máxima pode obter-se de duas (ou mais) formas alternativas, sendo a alternativa 1 abaixo desvalorizada em 1 valor: 1. Aumenta-se sucessivamente a distância a partir de um valor muito pequeno, até se exceder a altura admissível; ou. Bissecta-se sucessivamente o intervalo [d1 = 0, d = max] até se atingir uma altura muito próxima e inferior à permitida; 4. Determinação do custo Uma vez determinada a distância máxima entre postes, pode determinar-se o número mínimo de postes que são necessários para estender a linha. Esse número de postes determinará uma distância entre postes ligeiramente inferior, em geral, à distância máxima determinada anteriormente. É com este valor da distância e do número de postes que se pode calcular o custo total do projecto, tendo em conta o custo de cada poste e o custo por metro da linha. Q4: Especifique a função [cst, n_p] = custo_projecto (k, n, dist, max_d, cst_p, cst_c) em que os seus 6 argumentos têm o seguinte significado: k: Constante da catenária, como anteriormente (m -1 ); dist: Distância total entre as localidades. max_d: Semi-distância máxima entre postes, como calculada anteriormente; cst_p: Custo de cada poste cst_c: Custo de cada metro do cabo Como indicado, a função retorna valores com o seguinte significado cst: custo total do projecto; n_p: número exacto de postes utilizados. sendo este último valor útil para a apresentação dos resultados.

5 5. Preparação do problema e apresentação dos resultados As funções definidas anteriormente são suficientes para resolver o problema proposto, que deverá ser especificado num ficheiro separado. Este ficheiro, deverá 1) Preparar os dados do problema ) Obter os custos para todas as combinações tipo de torre /tipo de cabo 3) Apresentar os resultados 5.1. Preparação do Problema Na preparação dos dados deverá ser inicializada a distância entre as aldeias, o número de pontos usados para o cálculo das curvas e os parâmetros relativos aos postes e cabos. Os postes deverão ser definidos por uma matriz de linhas e 3 colunas, em que a 1ª linha contém as alturas dos postes e a ª linha os respectivos custos. Os cabos deverão ser definidos por uma matrix de 3 linhas e 3 colunas, em que a 1ª linha contém as densidades do material, a ª linha as tensões máximas a que podem estar sujeitos e a 3ª linha o preço por metro do cabo. 5.. Obtenção dos custos Para obtenção dos custos devem ser testadas todas as combinações de postes e cabos. Para cada uma deverá ser obtida o valor da constante k, bem como a distância máxima entre postes. Uma vez esta determinada a função custo_projecto deverá obter o custo da instalação para cada par cabo/poste. Ao mesmo tempo que são determinados estes custos, é mantida informação sobre qual a combinação cabo/poste que obtém menor custo. Guarde adicionalmente o número de postes utilizados, que é útil para a fase de apresentação de resultados 5.3. Apresentação dos resultados Uma vez determinada qual a combinação cabo/poste que conduz a um custo mínimo, bem como o númeo de postes utilizados, os resultados deverão ser apresentados. Para esse efeito deverá ser recalculada a catenária (a partir do número de postes pode determinar-se facilmente a distância entre postes) em mode sh = true de forma a ser desenhado o gráfico da curva. Adicionalmente, deverão ser apresentados no terminal os seguintes valores: numero_de_postes_a_utilizar =... altura_dos_postes =... distancia_entre_postes =... altura_minima_ao_solo =... comprimento_do_cabo =... densidade_do_cabo =... custo_total_do_projecto =... Nota: Se assim o desejar (e por ser útil na fase de desenvolvimento do programa) podem ser ainda apresentados outros valores como por exemplo, o custo total para todas as combinações cabo/poste o custo separado em custos dos postes e custos dos cabos