Vestibular UFRGS 2015 Resolução da Prova de Matemática

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1 Vestibular UFRGS 015 Resolução da Prova de Matemática 6. Alternativa (D) (0,15) [() ] Alternativa (C) Algarismo da unidade de 9 99 é 9 Algarismo da unidade de é Alternativa (E) X X Alternativa (C) f(x) g(x) x 5x + 6 h(x) x 11x + 0 f(x) g(x) x 5x + 6 x 5x + 0 As funções f e g têm seus pontos de encontro em x 1 e x. f(x) h(x) x 11x + 0 x 11x As funções f e h têm seus pontos de encontro em x e x 7. Portanto, o gráfico f intercepta os gráficos g e h em pontos distintos.

2 0. Alternativa (E) (A) falso, pois nem mesmo foi sempre crescente. final, (B) falso, a porcentagem de crescimento foi aproximadamente 15%. Taxa 1, 15. inicial 19, (C) falso, pois há valores menores que o de 009 no século XXI conforme gráfico. final 6, (D) falso, a porcentagem de crescimento foi aproximadamente 7%. Taxa 1, 7. inicial,6 final 6, (E) verdadeiro, Taxa 1, 7. inicial,6 1. Alternativa (E) f(x) x² x + g(x) x² x Vértice ( X, ) Vértice ( X, ) v Y v v Y v b ( ) X v a.1 Y (( ).1.) a.1 v 1 X v Y v b ( ) a.( 1) (( ).( 1).( )) a.( 1) 1 (, 1) (-, -1) Distância entre os vértices: dist dist dist dist dist dist AB AB AB AB AB AB 0 5 ( x x ) + ( y y ) (- ) + (-1 1) (- ) + (- ) Alternativa (A) A única possibilidade de se apostar em 6 números distintos em PG é 1,,, 8, 16,. Qualquer outra PG de razão inteira de 6 números distintos não se encaixa na condição estabelecida pelo problema: estar entre 1 a 60.

3 . Alternativa (B) Figura 1 0 trapézios Figura 1 trapézio Figura trapézios Figura 6 trapézios Cada figura é formado pela soma dos termos de uma P.A. figura 1 0 figura figura figura figura 6 (a1 + a6).6/ 15

4 . Alternativa (E) Os raios das circunferências estão em progressão geométrica de razão de 1. A área de uma circunferência é dada por A πr². Portanto, as áreas das circunferências estão em progressão geométrica de razão 1. Logo, a soma das áreas é dada pelo limite da soma. S π 1 1 π 5. Alternativa (B) 100 0, 100 log (10 ) log 10 log 10 log 6. Alternativa (B) t N(t) 500.1,0 Trata-se de uma função exponencial crescente de base 1,0, isto é, uma taxa de aumento de % ao mês. 7. Alternativa (E) Se P()0 e P(-)0, então, e - são raízes do polinômio. Soma das raízes b a e p(x) tem graus. Logo R 1 + R + R + R b a + (-) + R + R 1 R + R - Única alternativa que corresponde seria a alternativa (E).

5 8. Alternativa (B) Temos pontos de intersecção de f(x) cos x e g(x) x 9. Alternativa (C) Separando o emblema em duas figuras diferentes, temos um triângulo equilátero e um trapézio. Triângulo equilátero com lado 10 Área Trapézio com bases 8 e 10, e a altura 1 Área (10+8) Somando as duas áreas temos 9+5

6 0. Alternativa (A) Dada a figura e desenhando algumas outras diagonais, vemos que a diagonal de valor 6, forma altura de dois triângulos equiláteros. 6. l 6 l Racionalizando, temos: l Com o lado, podemos fazer a área do hexágono: Área 6.( ) Área 6.1 Área 6.1 Área Alternativa (D) R R R D R Unindo os raios temos um quadrado de lado R. A distância entre os centros é a diagonal do quadrado: D l D R

7 . Anulada Observação: A questão foi anulada pela banca. Embora não apresente inconsistência em seu enunciado ela contêm duas alternativas equivalentes, letra D e letra E, pois os valores de sen 7 e sen 108 são equivalentes, vide a representação no círculo trigonométrico abaixo:. Alternativa (A) Hexagono A Hexagono B 1 16 Hexagono A 6 l Hexagono A 6 1 Hexagono A Hexagono B 6 l Hexagono B 6 Hexagono B

8 . Alternativa (C) Basta calcular a área do losango cujas diagonais são: Diagonal maior 6 Diagonal menos A D d A 6 A 6 5. Alternativa (D) O sólido é formado por dois prismas como base um trapézio. Logo, o volume do sólido é duas vezes o volume do prisma com base um trapézio. Volume do trapézio V Área da base altura B + b V h h V 5 10 V 750 Logo, o volume do sólido é 1500.

9 6. Alternativa (B) O sólido em questão é um tronco de pirâmide. De onde prolongamos e obtemos a seguinte pirâmide: Do triângulo em destaque, por semelhança de triângulos obtemos a altura da pirâmide gerada: y y+ y E, por Pitágoras no triângulo abaixo, temos: x + x

10 E, por semelhança de triângulos, a altura da pirâmide é de. Volume da pirâmide superior (pequena): V V V p p p Sb h Volume da pirâmide grande: V V V g g g SB H Volume do Tronco de Pirâmide: V V V t g p Vt V t 8

11 7. Alternativa (A) Para determinar a interseção das circunferências, devemos resolver o sistema: ( x ) + ( y ) ( x 10) + ( y ) 16 9 Isolando ( y ) em cada equação, temos: ( y ) 16 ( x ) ( y ) 9 ( x 10) Igualando as equações: ( x ) 9 ( x 10) (x² 6x + 9) 9 (x² 0x + 100) 16 x² + 6x 9 9 x² + 0x x x x 6x x x 98 x 1 7 x Atribuindo x 7 nas equações das circunferências, temos: ( x ) + ( y ) ( 7 ) + ( y ) ( x 10) + ( y ) ( 7 10) + ( y ) ( ) + ( y ) 16 ( ) + ( y ) 16 + ( y ) ( y ) 9 ( y ) 0 ( y ) 0 y y (7, ) (7, ) 9 9 9

12 8. Alternativa (A) Legenda: x: moedas de R$ 1,00 y: moedas de R$ 0,50 z: moedas de R$ 0,5 w: moedas de R$ 0,10 Do enunciado, temos o seguinte sistema: x+ 0,5y+ 0, 5z 6, 75 0,5y+ 0, 5z+ 0,1w, 5 0, 5z+ 0,1w,95 Substituindo a ª equação na ª, temos: 0,5y+ 0, 5z+ 0,1w, 5 0,5 y +,95, 5 y Substituindo y no sistema inicial, tem-se: x+ 1,5 + 0, 5z 6, 75 1,5 + 0, 5z+ 0,1w, 5 0, 5z+ 0,1w,95 De onde vem: x+ 0,5z 5,5 0, 5z+ 0,1w,95 Subtraindo as duas equações temos: x+ 0,5z 5,5 0, 5z+ 0,1w,95 x 0,1w 5, 5,95 x 0,1w, Verificando as possibilidades a partir da equação x 0,1w, Se x então w7, então, de acordo com a equação 0, 5z+ 0,1w,95, tem-se z9. Somando x+y+z+w teremos. Única solução possível dentre as alternativas apresentadas.

13 9. Alternativa (E) De acordo com o enunciado temos as seguintes possibilidades: Selecionando os números divisíveis por e por concomitantemente (divisíveis por 6), temos: Probabilidade: 1 1 P 50% 50. Alternativa (C) De acordo com o enunciado, ao girarmos a roleta, se os números 1,,,, e 10 forem sorteados, a pergunta a ser respondida será a de número. Portanto, há 5 chances de um total de 10, ou seja: 5 1 P 10