Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto

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1 Erros Nenhum resultado obtido através de cálculos eletrônicos ou métodos numéricos tem valor se não tivermos conhecimento e controle sobre os possíveis erros envolvidos no processo. A análise dos resultados obtidos através de um método numérico representa uma etapa fundamental no processo das soluções numéricas. Número Aproimado Um número é dito uma aproimação para o número eato se eiste uma pequena diferença entre eles. Geralmente, nos cálculos os números eatos não são conhecidos e deste modo são substituidos por suas aproimações. Dizemos que é um número aproimado por falta do valor eato se <. Se > temos uma aproimação por ecesso. Eemplo Como 1.41 < 2 < 1.42 temos que 1.41 uma aproimação de 2 por falta e 1.42 uma aproimação de 2 por ecesso. Erros Absolutos erelativos Erro Absoluto A diferença entre um valor eato e sua aproimação é dito erro absoluto o qual denotamos por e. e :=

2 Cota para oerro Na prática, o valor eato é quase sempre não conhecido. Como o erro é definido por e := conseqüentemente também será não conhecido. Uma solução para este problema é ao invés de determinar o erro determinar uma cota para o erro. Isso permitirá que, mesmo não conhecendo o erro, saber que ele está entre dois valores conhecidos. Dizemos que um número ɛ > 0 é uma cota para o erro e se e < ɛ... e < ɛ < ɛ ɛ < < + ɛ Assim, mesmo não conhecendo o valor eato, podemos afirmar que ele esta entre ɛ e + ɛ que são valores conhecidos. É evidente que uma cota ɛ só tem algum valor prático se ɛ 0 Erro Relativo Considere : = 100 ; = e y = ; ỹ = Assim e = 0.1 e e y = Como e y é muito menor que e poderiamos imaginar que a aproimação ỹ de y é melhor que a de. Numa análise mais cuidadosa percebemos que as grandezas dos números envolvidos são muito diferentes. Inspirados nessa observação definimos: E := e que é denominado erro relativo. Temos então para os dados acima: E = e / = 0.1/100.1 = E y = e y /ỹ = / = Agora podemos concluir que a aproimação de é melhor que a ỹ de y pois E < E. Fontes de Erros Erros Inerentes São os erros que eistem nos dados e são causados por erros inerentes aos equipamentos utilizados na captação dos dados.

3 Erros de Truncamento São os erros causados quando utilizamos num processo algorítmico infinito apenas uma parte finita do processo. Eemplo e = ! + 3 3! + = n=1 Podemos assim usar /2! + 3 /3! como uma aproimação para o valor eato e. Observe que para isso truncamos uma série infinita utilizando apenas uma parte finita dela. No eemplo utilizamos para a aproimação apenas quatro termos da série. Usando a aproimação acima temos: ẽ = /2 + 1/6 = que é uma aproimação muito pobre para e Erros de Arredondamento Erros de Arredondamento são os erros originados pela representação dos números reais utilizando-se apenas um número finito de casas decimais. Como se sabe, desde a mais simples calculadora até o mais potente computador, utiliza apenas um número finito de casas decimais para representar um número real.(número real é denominado número de ponto flutuante nas linguagens de programação) Dizemos então que os equipamentos eletrônicos utilizam nos cálculos a chamada aritmética finita. Ao longo desse capítulo veremos que algumas propriedades que são válidas nas operações com os números na chamada aritmética infinita, por eemplo a lei comutativa da adição (a+b=b+a), podem não valer na aritmética finita. Eemplo Suponha que tenhamos um computador que trabalha com 5 casas decimais e que nele estejam armazenados os números : = e y = Queremos calcular z = y. Observe que como e y tem 5 casas decimais z terá 10 casas decimais. Como proceder para armazenar z com 10 casas decimais nesse computador que só pode armazenar números com 5 casas decimais? n n!

4 A seguir veremos duas maneiras de solucionar este problema. Para tanto será necessário introduzir os conceitos a seguir. Aritmética de Ponto Flutuante Seja = Utilizando potências de 10 o número pode ser representado das seguintes maneiras: = = = = Estas representações podem ser unificadas impondo-se a condição de que o número que multiplica a potência de 10 esteja entre 0.1 e 1. Observe que : > > < < < 1 Assim, apenas igualdade (2.2) satisfaz a condição imposta. Dizemos que um número não nulo esta representado na forma normalizada na base 10 se = m 10 e onde 1 10 m < 1 m é dita mantissa do número e e seu epoente. De um modo esquemático podemos sempre representar um número de ponto flutuante como sinal mantissa epoente ± a 1 a 2 a n e Observe que como a mantissa m satisfaz a desigualdade 0.1 m < 1 ela pode sempre ser escrita como m = ±0.a 1 a 2 a 3 a n com a i {0, 1, 2,..., 9} e a 1 0

5 Representação de um Número com tdigitos Seja 0 um número de ponto flutuante. Assim pode ser escrito como Como = ±0.a 1 a 2... a t a t+1... a n 10 e com a i {0, 1, 2,..., 9} e a a 1 a 2... a t a t+1... a n 0. a 1 a 2... a t a t+1... a n e a t+1...a n =0.a t+1...a n 10 t Usando 2.5 e 2.6 temos : = ±(0.a 1 a 2... a t a t+1... a n ) 10 e ±(0.a 1 a 2... a t a t+1... a n ) 10 e ±(0.a 1 a 2... a t 10 e + 0.a t+1... a n ) 10 e t Fazendo { f = 0.a1 a 2... a t g = 0.a t a n temos = f 10 e + g 10 e t ondef e g satisfazem as condições { 0.1 f < 1 0 g<1 Observe que f esta na forma normalizada e tem t digitos (casas decimais). Erros de Arredondamento Arredondamento Truncado Como acabamos de mostrar todo número real (de ponto flutuante) não nulo pode ser colocado na seguinte forma = f 10 e + g 10 e t com f e g satisfazendo (2.8)

6 Vamos considerar = f 10 e como uma aproimação para. O erro cometido ao aproimarmos por é denominado erro de arredondamento truncado sendo definido por e := = g 10 e t AT ENÇÃO! Note que aproimar por é equivalente a considerar apenas t casas decimais de e desprezar as restantes. Eemplo Seja = Determine uma aproimação de para usando arredondamento truncado e 4 digitos(4 casas decimais). Observe que = não está na forma normalizada, assim devemos colocá-lo nesta forma. = = ( )10 3 Temos então como aproimação para o valor = O erro cometido neste caso será dado por e = = = Arredondamento Simétrico Como já vimos R pode ser escrito separando-se t digitos na forma normalizada como = f 10 e + g 10 e t. Quando consideramos a aproimação para definida por { f 10 e se 0 < g < 0.5 = f 10 e + 10 e t se 0.5 g<1 então o erro cometido é denominado erro de arrendondamento simétrico e é dado por e = { g 10 e t se 0 < g < 0.5 (g 1) 10 e t se 0.5 g < 1 Proposição Oarredondamento simétrico definido em (2.9) éequivalente à conhecida regra de arredondamento de um número com t casas decimais:

7 Se o valor do algarismo que fica na (t + 1)-ésima casa decimal for menor do que 5 arredondamos o número desprezando-se todos algarismos após a t-ésima casa decimal; Se for maior ou igual a 5 soma-se 1 ao algarismo na t-ésima casa decimal e desprezam-se os algarismos restantes. Antes de demonstrar a proposição vejamos um eemplo. Eemplo Sejam = e y = Se estivermos arredondando os números e y usando 3 casa decimais teremos = e ỹ = pois no primeiro caso temos na quarta casa decimal temos algarismo 7 que é maior que 5 e assim devemos somar 1 ao algarismo na terceira casa decimal (6 + 1 = 7) e desprezar os restantes. No segundo caso temos algarismo 3 na quarta casa decimal, que é menor que 5 e então apenas desprezamos todos algarismos a partir da quarta casa decimal. Demonstração. = f 10 e se 0 g < 0.5 Como f = 0.a 1... a t e g = 0.a t+1... a n temos = (0.a 1 a 2... a t ) 10 e se 0 g < g < a t+1... a n < 0.5 a t+1 < 5. Isto mostra a primeira parte da equivalência. Para a segunda parte temos = (0.a 1 a 2... a t ) 10 e + 10 e t se g 0.5 g a t+1... a n 0.5 a t+1 5 Basta agora verificar que = (0.a 1 a 2... a t ) 10 e + 10 e t = (0.a 1... a t + 10 t ) 10 e = ( 0.a 1... a t + 0. } 00 {{... 1} ) 10 e = (0.a 1... a t + 1) 10 e t AT ENÇÃO! Na aritmética finita ou seja quando os números de ponto flutuante são representados apenas por um número finito de casas decimais as operações aritméticas envolvendo estes números introduzem sempre um erro de arredondamento. Como já salientamos todo equipamento eletrônico de cálculo desde a mais simples calculadora até o mais potente main frame utiliza a aritmética finita em seus cálculos. Veremos a seguir que os erros introduzidos pela aritmética finita podem ser controlados.

8 Cotas para os Erros de Arredondamento Proposição Suponha que estejamos utilizando arredondamento truncado e uma aritmética finita com t casas decimais. Então 10 1 t é uma cota para o erro relativo cometido a cada operação efetuada. Demonstração. E = e = No caso de arredondamento truncado temos: g 10e t f 10 e < 10e t (0.1)10 e = 10e t 10 e 1 = 101 t Proposição Suponha que estejamos utilizando arredondamento simétrico e uma aritmética finita com t casas decimais. Então t é uma cota para o erro relativo cometido a cada operação efetuada. Demonstração. { g 10 e t se 0 < g < 1 e = 2 (g 1) 10 e t 1 se 2 g < 1 E = e = g 10 e t /f 10 e se 0 < g < 1 2 (g 1) 10 e t /(f 10 e t + 10 e t ) se 1 2 g < 1 Observando que 0 g < 1 2 g < 1 2 e 1 2 g < 1 g 1 < 1 2 E = g 10 e t f 10 e < t se 0 < g < 1 2 g 1 10 e t g 1 10e t f 10 e t < + 10e t f 10 e t < t 1 se 2 g < 1 Casas Decimais Eatas Dizemos que uma aproimação de um número eato tem r casas decimais eatasse r

9 Eemplo Seja = com 4decimais eatas. O que se pode afirmar sobre o valor eato? Temos = = ( ) ( ) ( ) ( ) Ou seja pode-se afirmar que ( ) ( ) Propagação dos Erros Propagação dos Erros Absolutos Seja uma aproimação para e ỹ uma aproimação para y ou seja e = e e y = y ỹ Então temos: 1. Soma e +y = e + e y Demonstração. e (+y) = ( + y) ( + ỹ) = ( ) + (y ỹ) = e + e y 2. Subtração e y = e e y Demonstração. e ( y) = ( y) ( ỹ) = (y ỹ) = e e y 3. Multiplicação e.y = e y + ỹe Demonstração. Por definição e = e e y = y ỹ y = ( + e )(ỹ+e y )= ỹ+ỹe + e y +e e y

10 Como e e e y são supostamente pequenos o produto e e y torna-se desprezível com relação aos outros termos de 2.10 e assim podemos escrever y = ỹ e y + ỹe = e (y) = (y) ( ỹ) e y + ỹe 4. Divisão e ( y ) = e ỹ (ỹ) 2 e y Demonstração. Como = + e e y = ỹ + e y temos: y = ( + e ) (ỹ + e y ) = ( + e 1 ) ỹ(1 + e y ỹ ) Mas a R com a < 1 vale a igualdade 1 1 a = 1 + a + a2 + + a n +... ( Série Geométrica ) e como e y ỹ é proimo de zero, ou seja e y ỹ < 1, podemos fazer a = e y ỹ na igualdade acima e teremos e = 1 e y y ỹ + (e y ỹ )2 ( e y ỹ ) ỹ Assim temos 1 1 e y 1 + eỹ ỹ y pois como e y ỹ é pequeno os fatores (e y ỹ )2, ( e y ỹ )3... são desprezíveis. Substituindo esta aproimação na equação 2.11 temos y ( + e ) (1 e y ỹ ỹ ) = ỹ + ỹe e y e e y (ỹ) 2 = y ỹ e ỹ e y (ỹ) 2 pois e e y 0 Assim é bastante razoável considerar e ( y ) = e ỹ e y (ỹ) 2

11 Propagação dos Erros Relativos 1. Soma e Subtração E (±y) = e ± e y ± ỹ = e ± ỹ ± e y ± ỹ = ± ỹ E ± ỹ ± ỹ E y onde a ultima igualdade foi conseguida substituindo e por E e e y por ỹe y. E (±y) = 2. Multiplicação ± ỹ E ± ỹ ± ỹ E y E y = e (y) ỹ = e y + ỹe ỹ = e y ỹ + ỹe ỹ = e y ỹ + e = E + E y E y = E + E y 3. Divisão E ( y ) = e ( y ) ỹ = ỹ e ( y ) = ỹ (e ỹ (ỹ) 2 e y) = e e y ỹ = E E y E ( y ) = E E y Eemplo Seja 0< 1 < 2 < 3 < 4 onde os números i são eatos ou seja E i = 0, i = 1, 2, 3, 4. Determine uma cota para o erro cometido no cálculo de w = , supondo que estejamos usando uma aritmética finita com t casas decimais e arredondamento simétrico. É claro que na aritmética infinita a ordem com que somamos os fatores i para calcular w é irrelevante pois vale a lei comutativa da adição, ou seja, ( = ). Veremos a seguir que o mesmo não acontece na aritmética finita ou seja neste caso a ordem em que efetuamos as somas parciais pode influir no resultado.

12 Observe que a cada operação realizada na aritmética finita é introduzido um erro de arredondamento que vamos denotar r i i = 1, 2, Como estamos utilizando t casas decimais e arredondamento simétrico temos que r i t. E (1 + 2 ) = E E 2 + r 1 = r 1 pois como 1 e 2 são eatos E 1 = E 2 = 0 E (1 + 2 )+ 3 = ( ) 3 E (1 + 2 ) + E 3 + r = r 1 + r 2 E ( )+ 4 = ( ) E ( ) E 4 + r 3 (E 4 = 0) E ( )+ 4 = w Portanto temos : = (r r 2 ) + r 3 (r r 2 ) + r 3 1 w (r 2( ) + r 1 ( ) + r 3 ( ) = 1 w ( 1(r 1 + r 2 + r 3 ) + 2 (r 1 + r 2 + r 3 ) + 3 (r 2 + r 3 ) + 4 r 4 ) E w 1 w ( 1( r 1 + r 2 + r 3 ) + 2 ( r 1 + r 2 + r 3 ) + 3 ( r 2 + r 3 ) + 4 r 4 ) 1 w ( ) t (pois r i t ) Observe que o tamanho de E w depende do tamanho da epressão ( ). Esta por sua vez atinge seu valor mínimo quando temos 1 2 < 3 < 4. No eemplo acima se tivessemos mudado a ordem da

13 soma, ou seja, se tivessemos utilizado parcela 4 no lugar da parcela 1 a cota para o erro seria maior pois como 4 > 1 teríamos ( ) > ( ). É claro que na aritmética finita isto não aconteceria pois pela lei comutativa da soma teríamos : = (a b) ( a ) ( ) b Eemplo Considere as epressões u= e v =. c c c Supondo a, b e c positivos e eatos mostre que embora tenhamos u = v na aritmética infinita o erro relativo por arredondamento em v pode ser muito maior que em u se a b. E(a b) = a a b E a b a b E b + r1 = r1 (E a = Eb = 0) E u = E (a b) c = E(a b) E c + r2 = r1 + r2 E c = 0 Assim E u r1 + r t = 10 1 t Por outro lado E ( a c ) = E a E c + r 3 = r 3 E ( b c ) = E b E c + r 4 = r 4 E v = ( a c ) ( a c ) ( b c )E ( a c ) ( b c ) ( a c ) ( b c )E ( b c ) + r 5 = a a b r 3 b a b r 4 + r 5 a E v a b r b 3 + a b r a + b 4 + r 5 ( a b + 1) t Basta agora observar que a + b lim( + 1) = + a b a b

14 Eercícios Propostos 1 Seja w = n i e i aproimações para i. i=1 Sabendo-se que i < ɛ para i = 1,..., n. Mostre que o erro máimo cometido no cálculo de w é n ɛ. 2 Seja S = Supondo que as proimações para as raizes foram calculadas com 2 casas decimais eatas teremos S = Quantas casas decimais eatas tem esse resultado? Deseja-se determinar o valor de S = e i. Supondo que desejamos obter o valor de S com 3 casas decimais eatas com que precisão deveremos calcular os valores de e i? 4 Quantos termos devemos considerar na soma da série para que tenhamos uma aproimação para a soma com 3 casas decimais eatas. Sugestão: Pode ser provado que o erro cometido quando se trunca uma série alternada decrescente no termo de ordem n é menor que o valor absoluto do termo de ordem n + 1. Por eemplo, se aproimarmos a série por, digamos, o erro cometido será menor que Suponha que a seja um número positivo e eato e que o número 2 possa ser representado de maneira eata num computador. Determine limites para os erros relativos cometidos em u = a + a e v = 2a e conclua que este limites são iguais. 6 Suponha que a seja um número positivo e eato e que o número 3 possa ser representado de maneira eata num computador. Determine cotas para os erros relativos cometidos em u = a + a + a e v = 3a. Conclua que a cota para a epressão u é maior que a cota para a epressão v. i=1

15 7 Suponha que a e b sejam números positivos eatos. Mostre que o limite superior do erro relativo cometido no cálculo de u = 3(ab) é menor que o cometido em v = (a + a + a)b. 8 Suponha: a e b positivos e eatos e que a > b. Mostre que, embora em precisão infinita seja verdadeira a igualdade a + b = (a 2 b 2 )/(a b), os erros de arredondamento podem tornar o valor da epressão à esquerda da igualdade diferente do da direita. 9 Suponha que a seja eato e positivo e que 1 possa ser corretamente representado. Considere as epressões u = (1+a) 2 e v = 1+(2a+a 2 ). Mostre que quando a torna-se muito grande os limites de erro relativo para u e v aproimam-se da igualdade mas quando a torna-se muito pequeno o limite para o erro relativo em u se aproima de três vezes o limite do erro relativo em v. 10 Considere as epressões u = a(b c) e v = ab ac, nas quais supomos que a, b, c são eatos, a > 0, b > 0, c > 0, b > c e b c. Mostre que u tem uma eatidão relativa muito melhor sob as condições estabelecidas.