(Testes intermédios e exames 2010/2011)

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1 (Testes intermédios e eames 00/0) 57. Na Figura, está parte da representação gráfica da função f, de domínio +, definida por f() = log 9 () Em qual das opções seguintes está definida uma função g, de domínio, para a qual o teorema de Bolzano garante a eistência de pelo menos um zero no intervalo ],4[? (A) g()= + f() (B) g()= f() (C) g()= + f() (D) g()= f() (Intermédio ) P é o ponto do gráfico de f que tem ordenada Qual é a abcissa do ponto P? (A) (B) (C) (D) Determine, sem recorrer à calculadora, o conjunto dos números reais que são soluções da inequação log (7+6 ) + log ( ) Apresente a sua resposta usando a notação de intervalos de números reais. 59. Na década de sessenta do século passado, uma doença infecciosa atacou a população de algumas regiões do planeta. Admita que, ao longo dessa década, e em qualquer uma das regiões afectadas, o número, em milhares, de pessoas que estavam infectadas com a doença, t anos após o início de 960, é dado, aproimadamente, por kt 60. Seja f uma função, de domínio, contínua no intervalo [,4]. Tem-se f()= e f(4)=9. 6. Na Figura, está o gráfico de uma função f cujo domínio é o intervalo ],[. A função f tem primeira derivada e segunda derivada finitas em todos os pontos do seu domínio. Seja ],[. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) f '( ) 0 f ''( ) 0 (B) f '( ) 0 f ''( ) 0 (C) f '( ) 0 f ''( ) 0 (D) f '( ) 0 f ''( ) 0 6. Na Figura, está representada, num referencial o. n. Oy, parte do gráfico de uma função g, de domínio ], +[. A recta de equação y = - 4 é assimptota do gráfico de g. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) lim ( g ( ) 4) 0 (Intermédio ) It () e em que k e p são parâmetros reais. kt pe (B) lim g ( ) Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar cálculos numéricos. (C) lim ( g ( ) 4) 0 a) Admita que, para uma certa região, k e p =. (D) lim ( g ( ) ) 0 Determine o ano em que o número de pessoas que estavam infectadas, nessa região, atingiu 500. Nota Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a 6. Seja f uma função de domínio [0,+[, definida por arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. b) Numa outra região, constatou-se que havia um milhar de pessoas que estavam infectadas no início de 96. Qual é, para este caso, a relação entre k e p? Apresente a sua resposta na Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano forma k = ln(a + Bp), em que A e B são números reais. permite garantir a eistência de, pelo menos, um zero da função f? (A) ]0, [ (B) ], 4[ (C) ]4, 6[ (D) ]6, 7[ Cálculo Diferencial - Eercícios saídos em eames (.º ano) - pág. 7

2 64. Na Figura, está representada, num referencial o. n. Oy, parte do gráfico de uma função polinomial f de grau, de domínio Sabe-se que: -, e 5 são zeros de f f representa a função derivada de f Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) f '(0) f '(6) 0 (B) f '( ) f '(6) 0 (C) f '( ) f '(0) 0 (D) f '(0) f '(6) 0 f () f (4) > 0 Apenas uma das opções seguintes pode representar a função f 65. Num museu, a temperatura ambiente em graus centígrados, t horas após as zero horas do dia de Abril de 00, é dada, aproimadamente, por 0,5t Tt () 5 0,te com t [0,0]. Determine o instante em que a temperatura atingiu o valor máimo recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. Apresente o resultado em horas e minutos, apresentando os minutos arredondados às unidades. Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais. 66. Considere a função f, de domínio, definida por a) O gráfico de f admite uma assimptota horizontal. Seja P o ponto de intersecção dessa assimptota com a recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa e. Determine as coordenadas do ponto P recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. b) Eistem dois pontos no gráfico de f cujas ordenadas são o cubo das abcissas. Determine as coordenadas desses pontos recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; assinalar esses pontos; indicar as coordenadas desses pontos com arredondamento às centésimas. 67. Na Figura 6, está representada, num referencial o. n. Oy, parte do gráfico da função g. Sabe-se que: g é uma função contínua em g não tem zeros a segunda derivada, f, de uma certa função f tem domínio e é definida por f ''( ) g( ) ( 5 4) Elabore uma composição na qual: indique a opção que pode representar f apresente as razões que o levam a rejeitar as restantes opções Apresente três razões, uma por cada gráfico rejeitado. 68. Na Figura, está representada, num referencial o. n. Oy, parte do gráfico de uma função polinomial f, de grau 4. Qual das epressões seguintes pode definir a função f, segunda derivada de f? (A) ( ) (B) ( + ) (C) 9 (D) 9 (ª fase) 69. Na estufa de um certo jardim botânico, eistem dois lagos aquecidos, o lago A e o lago B. Às zero horas do dia de Março de 00, cada lago recebeu uma espécie diferente de nenúfares, a saber, Victoria amazonica e Victoria cruziana. N A (t ) é o número aproimado de nenúfares eistentes no lago A, t dias após as zero horas do dia de Março de 00. Esses nenúfares são da espécie Victoria amazonica e desenvolvemse segundo o modelo N () t 0 com t 0 A 0,t 7e N B (t ) é o número aproimado de nenúfares eistentes no lago B, t dias após as zero horas do dia de Março de 00. Esses nenúfares são da espécie Victoria cruziana e desenvolvem-se segundo o modelo N () t 50 com t 0 B 0,4t 50e Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. a) Como foi referido, às zero horas do dia de Março de 00, o lago A recebeu um certo número de nenúfares da espécie Victoria amazonica. Decorridos 7 dias, esse número aumentou. Determine de quanto foi esse aumento. Apresente o resultado com arredondamento às unidades. b) Determine quantos dias foram necessários, após as zero horas do dia de Março de 00, para que o número de nenúfares eistentes no lago A fosse igual ao número de nenúfares eistentes no lago B. Apresente o resultado com arredondamento às unidades. (ª fase) Cálculo Diferencial - Eercícios saídos em eames (.º ano) - pág. 8

3 70. Considere a função f, de domínio [0, +[, definida por Internet: roliveira.pt.to Resolva os três itens seguintes recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. a) Estude f quanto à eistência de assimptotas verticais do seu gráfico. b) Mostre, sem resolver a equação, que f () = - tem, pelo menos, uma solução em ]0, [ c) Estude f quanto à monotonia em ], +[ (ª fase) E6 Considere a função f, de domínio ]0, +[, definida por Seja (u n ) uma sucessão de números reais, de termos positivos, tal que limf(u n ) =. Qual das epressões seguintes pode definir o termo geral da sucessão (u n )? (A) (B) (C) (D) n n n n (ª fase especial) E7 Na Figura, está representada, num referencial o. n. Oy, parte do gráfico de uma função h, primeira derivada de h. E8 Sejam f e g duas funções deriváveis em. Sabe-se que: f () f '() g ( ) ( ) f ( ), para todo o valor real de Qual é a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa? (A) y = (B) y = + 4 (C) y = (D) y = + (ª fase especial) E9 O momento sísmico, M 0, é uma medida da quantidade total de energia que se transforma durante um sismo. Só uma pequena fracção do momento sísmico é convertida em energia sísmica irradiada, E, que é a que os sismógrafos registam. A energia sísmica irradiada é estimada, em Joules, por 0 5 E M, 6 0. A magnitude, M, de um sismo é estimada por M log ( ), 9 E. Resolva os dois itens 0 seguintes recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. a) Admita que um sismo que ocorreu no Haiti, em 00, teve magnitude 7,. Determine o momento sísmico, M 0, para esse sismo. Escreva o resultado na forma a 0 n, com n inteiro relativo e com a entre e 0 b) Sejam M e M as magnitudes de dois sismos. Mostre que, se a diferença entre a magnitude M e a magnitude M é igual a, então a energia sísmica irradiada por um dos sismos é dez vezes superior à energia sísmica irradiada pelo outro sismo. (ª fase especial) E0 Considere a função f, de domínio, definida por Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função h? (k designa um número real) Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. a) Determine k, sabendo que f é contínua em = b) Considere, agora, k =. Estude a função f quanto à eistência de assimptotas horizontais do gráfico de f (ª fase especial) E Na Figura 5, está representada, num referencial o. n. Oy, parte do gráfico da função f, de domínio ], 6[, definida por f ( ) 5ln( ). Considere que um ponto C se desloca ao longo do gráfico de f, e que C tem coordenadas positivas. Para cada posição do ponto C, considere o rectângulo [OACB], em que o ponto A pertence ao eio das abcissas e o ponto B pertence ao eio das ordenadas. (ª fase especial) Cálculo Diferencial - Eercícios saídos em eames (.º ano) - pág. 9

4 Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto A para a qual a área do rectângulo [OACB] é máima. Na sua resposta, deve: escrever a epressão que dá a área do rectângulo [OACB] em função da abcissa do ponto A; reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar a abcissa do ponto A com arredondamento às centésimas. (ª fase especial) E Considere uma função f, de domínio \{}, contínua em todo o seu domínio. Sabe-se que: lim f( ) lim f( ) lim ( f( ) ) 0 Em qual das opções seguintes as equações definem duas assimptotas do gráfico de f? (A) = e y = (B) = e y = (C) y = e y = (D) y = e y = Internet: roliveira.pt.to E Para um certo número real a, seja a função f, de domínio, definida por f() = a. Na Figura, está representada, num referencial o. n. Oy, parte do gráfico da função f, segunda derivada da função f. Qual dos valores seguintes pode ser o valor de a? (A) 0 (B) (C) (D) - E4 Para um certo valor real de k, admita que a quantidade de combustível, em litros, eistente no depósito de uma certa máquina agrícola, t minutos após ter começado a funcionar, é dada aproimadamente por Qt () log (8 kt ) com t[0,0]. Considere que essa máquina agrícola funcionou durante 0 minutos e que, nesse período de tempo, consumiu litros de combustível. Determine o valor de k recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. E5 Considere a função f, de domínio, definida por (a é um número real.) Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. a) Determine a sabendo que f é contínua em = b) Seja f a primeira derivada de f. Mostre, sem resolver a equação, que f '( ) tem, pelo menos, uma solução em 4 ]0, [. Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais. Cálculo Diferencial - Eercícios saídos em eames (.º ano) - pág. 0

5 (Testes intermédios e eames 0/0) 7. Considere a sucessão (u n ), definida por n u ( ) n n Seja f uma função contínua, de domínio +. Sabe-se que lim f (u n ) =0. Qual das seguintes epressões pode definir a função f? (A) ln (B) + ln (C) ln (D) + ln 7. Para um certo valor de e para um certo valor de, é contínua no ponto 0 a função g, definida por Qual é esse valor de e qual é esse valor de? (A) = e = (B) = e = (C) = e = (D) = e = 7. Na Figura, está representado, em referencial o.n. Oy, a sombreado, o quadrado [OABC]. Os pontos A e C pertencem aos semieios positivos Oy e O, respetivamente. Considere que um ponto P se desloca sobre o semieio positivo O, iniciando o seu movimento na origem do referencial e percorrendo todos os pontos desse semieio. Para cada posição do ponto P, considere o segmento de reta que é a intersecção da reta AP com o quadrado [OABC]. Seja f a função que, à abcissa do ponto P, faz corresponder o comprimento do referido segmento. Qual dos gráficos seguintes pode ser o gráfico da função f? 78. Seja f uma função de domínio +, contínua em todo o seu 74. Seja f a função, de domínio +, definida por domínio. Sabe-se que: f()= +log. Resolva os três itens seguintes sem recorrer à lim f( ) calculadora. 0 a) Determine o conjunto dos números reais para os quais se a bissetriz dos quadrantes ímpares é assíntota do gráfico de f tem f()4 +log (8). Apresente a sua resposta na forma de Em qual das opções seguintes pode estar representado o intervalo de números reais. gráfico da função b) Determine o valor de f(6 000 ) f (4 000 ) f? c) Seja g a função, de domínio +, definida por g() = f() Mostre que c ],[ : g(c) = Um vírus atacou os frangos de um aviário. Admita que dias após o instante em que o vírus foi detetado, o número de frangos infetados é dado aproimadamente por f( ) 00 0, (considere que = 0 corresponde ao instante em que o vírus foi detetado). Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos numéricos. a) No instante em que o vírus foi detetado, já eistiam frangos infetados. Passados alguns dias, o número de frangos infetados era dez vezes maior. Quantos dias tinham passado? b) Para tentar verificar se um frango está infetado, o veterinário aplica um teste que ou dá positivo ou dá negativo. Sabe-se que: quando o frango está infetado, a probabilidade de o teste dar positivo é 96% quando o frango não está infetado, a probabilidade de o teste dar negativo é 90% Trinta dias após o instante em que o vírus foi detetado, eistiam no aviário 450 frangos não infetados. Nesse dia, de entre todos os frangos do aviário (infetados e não infetados), o veterinário escolheu, ao acaso, um frango e aplicou-lhe o teste. O teste deu negativo. Qual é a probabilidade de o frango escolhido não estar infetado? Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas. 76. Para cada valor de k, a epressão define uma função, de domínio, cujo gráfico tem: uma assíntota horizontal, quando + uma assíntota horizontal, quando Eiste um valor de k para o qual as duas assíntotas são coincidentes, ficando assim o gráfico de f com uma única assíntota horizontal. Determine esse valor de k, sem recorrer à calculadora. 77. Seja a um número real maior do que e seja b = a Qual é o valor, arredondado às unidades, de log a (a b 00 )? (A) 8 (B) 6 (C) 8 (D) 770 (Intermédio ) Cálculo Diferencial - Eercícios saídos em eames (.º ano) - pág.

6 Averigue se a função f é contínua em = (Intermédio ) (Intermédio ) 79. Relativamente a duas funções, f e g, sabe-se que: têm domínio [, ] são funções contínuas f () g() > 0 e f() g() < 0 Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) Os gráficos de f e g intersectam-se em pelo menos um ponto. (B) A função f g é crescente. (C) Os gráficos de f e g não se intersectam. (D) A função f g é decrescente. (Intermédio ) 80. De uma certa função f sabe-se que: o seu domínio é ], +[ a sua derivada é dada por 9 f '( ) 4 4 ln( ) a) Na Figura, estão representadas: parte do gráfico da função f a reta r que é tangente ao gráfico da função f no ponto A, de abcissa a reta s que é tangente ao gráfico da função f no ponto B As retas r e s são paralelas. Seja b a abcissa do ponto B Determine, recorrendo à calculadora gráfica, o valor de b Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir e identificar o(s) gráfico(s) que tiver necessidade de visualizar na calculadora para resolver graficamente a equação; assinalar o ponto relevante para a resolução do problema; apresentar o valor de b arredondado às centésimas. b) Tal como a figura sugere, o gráfico da função f tem um ponto de infleão. Determine a abcissa desse ponto, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. (Intermédio ) 8. Seja f a função de domínio definida por 8. Seja f uma função de domínio, definida por f() = e Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite afirmar que a equação f( ) tem, pelo menos, uma solução? (A) ]0, [ (B) ], [ (C) ], [ (D) ],[ Na Figura, está representada, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico de uma função g, de domínio [a,+[, com a Para esse valor de a, a função f, contínua em, é definida por Qual é o valor de a? (A) 8 (B) 5 (C) 9 (D) Na Figura, está representada, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico de uma função f, de domínio Sejam f ' e f '', de domínio, a primeira derivada e a segunda derivada de f, respetivamente. Qual dos valores seguintes pode ser positivo? (A) f '() (B) f '( ) (C) f '( ) (D) f ''() 85. Considere a função f, de domínio, e a função g, de 4 4 domínio ]0,+[, definidas por f( ) e e e e g ( ) ln 4 a) Mostre que ln( ) é o único zero da função f, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. b) Considere, num referencial o. n. Oy, os gráficos das funções f e g e o triângulo [OAB]. Sabe-se que: Cálculo Diferencial - Eercícios saídos em eames (.º ano) - pág.

7 O é a origem do referencial; A e B são pontos do gráfico de f a abcissa do ponto A é o zero da função f o ponto B é o ponto de intersecção do gráfico da função f com o gráfico da função g Determine a área do triângulo [OAB], recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: reproduzir os gráficos das funções f e g, devidamente identificados, incluindo o referencial; assinalar os pontos A e B indicar a abcissa do ponto A e as coordenadas do ponto B com arredondamento às centésimas; apresentar o valor da área pedida com arredondamento às décimas. 86. Considere a função f, de domínio, definida por Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. a) Estude a função f quanto à eistência de assíntotas não verticais do seu gráfico. b) Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa = 87. Na Figura, está representada, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico de uma função f, de domínio ], [. Sabe-se que: f() = 4 a reta de equação = é assíntota do gráfico de f ( n ) é uma sucessão com termos em ], [ lim ( n ) = Qual é o valor de lim f( n )? (A) + (B) 4 (C) 5 (D) 6 Internet: roliveira.pt.to (ª fase) 89. Seja f uma função de domínio. Sabe-se que: lim ( f( ) ) lim f( ) lim f( ) lim f( ) Em qual das opções seguintes as duas equações definem assíntotas do gráfico da função f? (A) = e y = + (B) = e y = + (C) y = e y = + (D) y = e y = + (ª fase) 90. Considere a função f, de domínio [7, 0[, definida por f( ) e ln( ). Sejam A e B os pontos de intersecção do gráfico de f com a bissetriz dos quadrantes pares, e seja d a distância entre os pontos A e B. Determine d, recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; assinalar os pontos A e B indicar as coordenadas dos pontos A e B com arredondamento às centésimas; apresentar o valor de d com arredondamento às centésimas. (ª fase) E6 Na Figura, está representada, num referencial o. n. Oy, parte do gráfico de h '', segunda derivada de uma função h, de domínio 88. Na Figura, está representada, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico da função f, de domínio ] 6, +[, definida por f( ) ln( ) Sabe-se que: a reta r é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a a inclinação da reta r é, em radianos, 4 Qual é o valor de a? 9 (A) 4 (B) (C) (D) 5 (ª fase) Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função h? Cálculo Diferencial - Eercícios saídos em eames (.º ano) - pág.

8 E7 Sejam f e g funções de domínio ]0, +[. Sabe-se que: a reta de equação y = é assíntota horizontal do gráfico de f f não tem zeros; g ( ) e f( ) Qual das opções seguintes define uma assíntota horizontal do gráfico de g? (A) y = (B) y = e (C) y = 0 (D) y = E8 Sejam a, b e c três números tais que a ],+[, b + e a segunda derivada, h '', da função h é tal que h ''( ) 0 para > b Apenas uma das opções seguintes pode representar uma parte do gráfico da função h c +. Sabe-se que log a b c e que log c Qual das epressões seguintes é equivalente a log a a b c? c (A) c + (B) c (C) (D) c E9 Admita que a concentração de um produto químico na água, em gramas por litro, t minutos após a sua colocação na 0,t água, é dada, aproimadamente, por Ct () 0,5t e com t 0. Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. a) Mostre que, durante os primeiros 5 minutos após a colocação desse produto químico na água, houve, pelo menos, um instante em que a concentração do produto foi gramas por litro. Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais. b) Determine o valor de t para o qual a concentração desse produto químico na água é máima. E40 Considere, num referencial o. n. Oy, o gráfico de uma função h, de domínio. Sabe-se que: a, b e c são números reais positivos e a < b < c h tem um mínimo relativo em ]a, c[ h é crescente em ],0[ lim ( h ( ) ) 0 Elabore uma composição na qual: indique a opção que pode representar h apresente três razões para rejeitar as restantes opções, uma por cada opção rejeitada. E4 Considere, num referencial o. n. Oy, o gráfico da função f, de domínio + 0,, definida por f( ) e ln( ) Seja P um ponto do gráfico de f. A distância do ponto P à origem é igual a. Determine a abcissa do ponto P, recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar a abcissa do ponto P com arredondamento às centésimas. Cálculo Diferencial - Eercícios saídos em eames (.º ano) - pág. 4

9 (Testes intermédios e eames 0/0) 9. Para certos valores de a e de b (a > e b > ), tem-se log a b =. Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de log b a + log a b? (A) (B) (C) (D) 9. Seja (u n ) a sucessão definida por u. De uma n n certa função f, sabe-se que lim f( u ). Em qual das n seguintes opções pode estar representada parte do gráfico da função f? 9. Considere a função f, de domínio, definida por Seja g uma outra função, de domínio. Sabe-se que a função f g é contínua no ponto. Em qual das seguintes opções pode estar representada parte do gráfico da função g? 94. Seja f a função, de domínio R, definida por Resolva os itens a) e b), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. a) Averigue se eiste lim f ( ) 4 b) O gráfico da restrição da função f ao intervalo ],4] tem uma assíntota horizontal. Determine uma equação dessa assíntota. c) Considere, num referencial o.n. Oy, o triângulo [OPQ] tal que: o ponto P é o ponto de intersecção do gráfico da função f com o eio das ordenadas; o ponto Q é o ponto do gráfico da função f que tem abcissa positiva e ordenada igual à ordenada do ponto P Determine um valor aproimado da área do triângulo [OPQ], recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: reproduzir, num referencial, o gráfico da função f para [0,0] desenhar o triângulo [OPQ] indicar a abcissa do ponto Q arredondada às milésimas; apresentar a área do triângulo [OPQ] arredondada às centésimas. Nota Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 95. Considere que dois balões esféricos, que designamos por balão A e por balão B, se deslocam na atmosfera, por cima de um solo plano e horizontal. Num determinado instante, é iniciada a contagem do tempo. Admita que, durante o primeiro minuto imediatamente a seguir a esse instante, as distâncias, medidas em metros, do centro do balão A ao solo e do centro do balão B ao solo são dadas, respetivamente, por a(t) = e 0,0t 0,0t + e b(t) = 6e 0,06t 0,0t + A variável t designa o tempo, medido em segundos, que decorre desde o instante em que foi iniciada a contagem do tempo (t [0,60]). Resolva os dois itens seguintes sem utilizar a calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos. Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. a) Determine a distância entre o centro do balão A e o centro do balão B, cinco segundos após o início da contagem do tempo, sabendo que, nesse instante, a distância entre as projeções ortogonais dos centros dos balões no solo era 7 metros. Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas. b) Sabe-se que, alguns segundos após o início da contagem do tempo, os centros dos dois balões estavam à mesma distância do solo. Cálculo Diferencial - Eercícios saídos em eames (.º ano) - pág. 5

10 Determine quanto tempo decorreu entre o instante inicial e o instante em que os centros dos dois balões estavam à mesma distância do solo. Apresente o resultado em segundos, arredondado às unidades. 96. Para um certo número real k, positivo, seja f a função, de domínio ],[, definida por Considere as afirmações seguintes. I) Os gráficos das funções f e g não se intersectam. II) As funções f e g são monótonas crescentes. III) f '( ) g '() ln a a Qual das opções seguintes é a correta? (A) II e III são verdadeiras. (B) I é falsa e III é verdadeira. (C) I é verdadeira e III é falsa. (D) II e III são falsas. Sabe-se que f é contínua. Qual é o valor de k? (A) ln (B) e (C) ln (D) e (Intermédio ) 0. Considere a função f, de domínio \{0}, definida por 97. Seja f a função, de domínio +, definida por f () = a + a ln (a é um número real maior do que ), e seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a. Qual é o declive da reta r? (A) a a + a (B) a a + a (C) a a + a (D) a a + a (Intermédio ) 98. Seja f uma função de domínio e seja f a segunda 99. Seja a um número real tal que a > e (e número de Neper ou número de Euler). Seja g a função, de domínio +, definida por g() = a + ln. Mostre que a função g tem, pelo menos, um zero no intervalo ], [ a e (Intermédio ) 00. Seja f uma função de domínio +. Sabe-se que ln f( ) lim. Qual das equações seguintes pode definir uma assíntota do gráfico da função f? (A) y (B) y (C) y = (D) y = 0. Considere, para um certo número real a superior a, as funções f e g, de domínio, definidas por f ( ) a e g ( ) a. Resolva os itens a) e b), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. a) Estude a função f quanto à eistência de assíntotas verticais do seu gráfico. b) Seja g a função, de domínio +, definida por g() = f() + ln. Estude a função g quanto à monotonia e quanto à eistência de etremos relativos em ]0, e] Resolva o item c), recorrendo à calculadora gráfica. c) Considere, num referencial o.n. Oy, a representação derivada da função f. Sabe-se que f tem domínio e é definida por f ''( ) e ( ). Qual das afirmações seguintes é verdadeira? gráfica da função g, de domínio +, definida por (A) O gráfico da função f tem eatamente quatro pontos de infleão. (B) O gráfico da função f tem eatamente três pontos de infleão. (C) O gráfico da função f tem eatamente dois pontos de infleão. (D) O gráfico da função f tem eatamente um ponto de infleão. (Intermédio ) g() = f() + ln. Sabe-se que: A é o ponto de coordenadas (, 0) B é o ponto de coordenadas (5, 0) P é um ponto que se desloca ao longo do gráfico da função g Para cada posição do ponto P, considere o triângulo [ABP]. Determine as abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [ABP] é. Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar as abcissas dos pontos P com arredondamento às centésimas. 0. Na Figura, está representada, num referencial ortogonal Oy, parte do gráfico de uma função polinomial f de grau. Sabese que: - e são os únicos zeros da função f g, a primeira derivada de uma certa função g, tem domínio e é definida por g '( ) f( ) e lim [ g ( ) ] 0 Cálculo Diferencial - Eercícios saídos em eames (.º ano) - pág. 6

11 Apenas uma das opções seguintes pode representar a função g 07. Sejam f e f, de domínio, a primeira derivada e a segunda derivada de uma função f, respetivamente. Sabe-se que: a é um número real; P é o ponto do gráfico de f de abcissa a f( ) f( a) lim 0 a a f (a) = Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) a é um zero da função f (B) f (a) é um máimo relativo da função f (C) f (a) é um mínimo relativo da função f (D) P é ponto de infleão do gráfico da função f (.ª fase) Nota Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota desse gráfico. Elabore uma composição na qual: identifique a opção que pode representar a função g apresente as razões para rejeitar as restantes opções. Apresente três razões diferentes, uma por cada gráfico rejeitado. 04. Considere, para um certo número real a positivo, uma função f, contínua, de domínio [a, a]. Sabe-se que f( a) = f (a) e f(a) > f (0). Mostre que a condição f () = f ( + a) tem, pelo menos, uma solução em ]a, 0[. 05. Sejam a e b dois números reais tais que < a < b e log a b =. Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de log b 5 a log ( b) a a a? (A) 6 + b (B) 8 + b (C) 6 + a b (D) 8 + a b (.ª fase) 06. Seja f uma função de domínio [ e,]. Sabe-se que: f é contínua no seu domínio; f ( e) = f () = e Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) A equação f () = 0 tem pelo menos uma solução em ] e,[ (B) A equação f ()= e tem pelo menos uma solução em ] e,[ (C) A equação f () = 0 tem pelo menos uma solução em ] e,[ (D) A equação f () = e tem pelo menos uma solução em ] e,[ (.ª fase) 08. Na Figura, está representada, num referencial ortogonal Oy, parte do gráfico de uma função polinomial g, de grau. Seja f uma função, de domínio, que verifica a condição f () = g( ). Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f, primeira derivada da função f? (.ª fase) 09. Seja g uma função, de domínio +, cuja derivada, g, de domínio +, é dada por g () = ln(e + 6e + 4). Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à eistência de pontos de infleão, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. (.ª fase) 0. Considere, num referencial o.n. Oy, a representação gráfica da função f, de domínio [, ], definida por Cálculo Diferencial - Eercícios saídos em eames (.º ano) - pág. 7

12 ln( ) f ( ), o ponto A de coordenadas (, 0) e um ponto P que se desloca ao longo do gráfico da função f. Eiste uma posição do ponto P para a qual a área do triângulo [AOP] é mínima. Determine a área desse triângulo, recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar o valor da área do triângulo [AOP] com arredondamento às centésimas. (.ª fase) E4 Seja f uma função cuja derivada, f, de domínio, é dada por f '( ) (4 ). Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) O gráfico da função f tem a concavidade voltada para cima em (B) A função f tem um máimo relativo em = -4 (C) O gráfico da função f não tem pontos de infleão. (D) O gráfico da função f tem um ponto de infleão de coordenadas (-4, f (-4)) E4 Seja f uma função de domínio. Sabe-se que: lim f( ) lim [ f( ) ] Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f? Nota Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, assíntotas desse gráfico. E44 Seja a um número real positivo. Considere o conjunto S = { : ln(e a) 0}. Qual dos conjuntos seguintes é o conjunto S? (A) ] ln( + a), ln a[ (B) [ ln( + a), ln a[ (C) ] ln( + a)] (D) [ ln( + a), +[ E45 Considere, para um certo número real k positivo, a função f, de domínio, definida por Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. a) Determine k de modo que e b) Mostre que ln( ) intervalo ]0, +[ lim f ( ) f (0) 0 é um etremo relativo da função f no E46 Considere duas funções g e h, de domínio +. Sabe-se que: a reta de equação y = - é assíntota do gráfico da função g [ g ( )] a função h é definida por h ( ). Mostre que o gráfico da função h tem uma assíntota horizontal. Cálculo Diferencial - Eercícios saídos em eames (.º ano) - pág. 8

13 . Seja b um número real. Sabe-se que log b = 04. Qual é o valor de log (00b)? (A) 06 (B) 04 (C) 4 (D) 408 (Intermédio ). Na Figura, está representada parte do gráfico de uma função h, de domínio \{,e}. Tal como a figura sugere, as retas de equações y = 0, = e = e são as assíntotas do gráfico da função h. Seja ( n ) uma sucessão tal que lim h( n ) = +. Qual das epressões seguintes não pode ser termo geral da sucessão ( n )? (A) ( ) n (B) ( ) n n (C) n (D) e n Internet: roliveira.pt.to (Testes intermédios e eames 0/04) (Intermédio ). Seja f uma função, de domínio +, com derivada finita em todos os pontos do seu domínio. A sua derivada, f, é definida por f '( ) ln. Quantos pontos de infleão tem o gráfico da função f? (A) Zero. (B) Um. (C) Dois. (D) Três. 4. Seja f a função, de domínio R, definida por (Intermédio ) Resolva os itens a) e b) recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. a) Seja t a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa. Determine a equação reduzida da reta t b) Estude a função f quanto à eistência de assíntotas do seu gráfico. Na sua resposta, deve: mostrar que eiste uma única assíntota vertical e escrever uma equação dessa assíntota; mostrar que eiste uma assíntota horizontal quando + e escrever uma equação dessa assíntota; mostrar que não eiste assíntota não vertical quando c) Na Figura, estão representados, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico da função f, os pontos A e B, ambos pertencentes ao gráfico de f, e a reta AB. Sabe-se que: a reta AB é paralela à bissetriz dos quadrantes pares; os pontos A e B têm abcissas simétricas; a abcissa do ponto A pertence ao intervalo ]0,[ Seja a a abcissa do ponto A. Determine o valor de a, recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções que visualizar na calculadora, devidamente identificado(s); indicar o valor de a, com arredondamento às milésimas. (Intermédio ) 5. Numa certa escola, eclodiu uma epidemia de gripe que está a afetar muitos alunos. Admita que o número de alunos com gripe, t dias após as zero horas de segunda-feira da próima semana, é dado aproimadamente por Como, por eemplo, f(,5) 76, pode concluir-se que 76 alunos dessa escola estarão com gripe às horas de terçafeira da próima semana. a) Resolva este item recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Estude a função f quanto à monotonia e conclua em que dia da próima semana, e a que horas desse dia, será máimo o número de alunos com gripe. b) Nessa escola, há 00 alunos. Às 8 horas de quinta-feira da próima semana, vão ser escolhidos aleatoriamente alunos, de entre os 00 alunos da escola, para responderem a um inquérito. Qual é a probabilidade de pelo menos um dos alunos escolhidos estar com gripe? Apresente o resultado na forma de dízima, com arredondamento às centésimas. (Intermédio ) 6. Seja f a função, de domínio +, definida por f( ) e. Considere a sucessão de números reais ( n ) tal que. Qual é o valor de n n lim? f ( ) n (A) (B) e (C) 0 (D) + 7. Considere, para um certo número real k, a função f, de domínio, definida por f () = k e +. O teorema de Bolzano garante que a função f tem, pelo menos, um zero no intervalo ]0,[. A qual dos intervalos seguintes pode pertencer k? Cálculo Diferencial - Eercícios saídos em eames (.º ano) - pág. 9

14 8. Considere, para um certo número real a positivo, a função f, de domínio +, definida por f( ) a ln a. Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f, primeira derivada da função f? o ponto C pertence ao eio Oy e tem ordenada igual à do ponto B a área do triângulo [ABC] é igual a 8 Determine a abcissa do ponto B, recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: escrever uma epressão da área do triângulo [ABC] em função da abcissa do ponto B equacionar o problema; reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções visualizados, devidamente identificados; indicar a abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas. 9. Considere a função f, de domínio, definida por. Seja g uma função, de domínio ], e[, definida por g() = ln (e ). Considere a sucessão estritamente crescente de termo geral ( n ). Qual é o valor de lim g( n )? n n (A) + (B) e (C) (D) (.ª fase). Na Figura, está representada, num referencial ortogonal Oy, parte do gráfico da função gll, segunda derivada de uma função g Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. a) Averigue se a função f é contínua em = 4 b) O gráfico da função f tem uma assíntota oblíqua quando tende para +, de equação y = + b, com b. Determine b 0. Considere a função f, de domínio ] e, +[, definida por f() = ln( + e ). Na Figura 5, estão representados, num referencial o. n. Oy, parte do gráfico da função f e o triângulo [ABC] Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função g? Sabe-se que: o ponto A tem coordenadas (0, -) o ponto B pertence ao gráfico da função f e tem abcissa negativa; (.ª fase). Considere as funções f e g, de domínio ]-, 0[, definidas por ln( f( ) ) e g()=-+f(). Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. a) Estude a função f quanto à eistência de assíntotas do seu gráfico e, caso eistam, indique as suas equações. b) Mostre que a condição f() = e tem, pelo menos, uma solução em ]-e, -[ Cálculo Diferencial - Eercícios saídos em eames (.º ano) - pág. 40

15 c) Estude a função g quanto à monotonia e quanto à eistência de etremos relativos. Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) de monotonia e, caso eistam, os valores de para os quais a função g tem etremos relativos. (.ª fase) 4. Considere, num referencial o.n. Oy, a representação gráfica da função f, de domínio [0,0], definida por E48 Seja f uma função de domínio ]-5, 5[. Sabe-se que o gráfico da função f tem eatamente dois pontos de infleão. Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função f, segunda derivada da função f? e dois pontos A e B. Sabe-se que: o ponto A é o ponto de intersecção do gráfico da função f com o eio das ordenadas; o ponto B pertence ao gráfico da função f e tem abcissa positiva; a reta AB tem declive - Determine a abcissa do ponto B, recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificados; indicar o valor da abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas. (.ª fase) 5. Na Figura 6, está representada, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico de uma função polinomial f, de grau. Sabe-se que: - e são os únicos zeros da função f a função f tem um etremo relativo em = h, primeira derivada de uma função h, tem domínio e é f( ) definida por h '( ) e h ( ) lim Considere as afirmações seguintes. I) A função h tem dois etremos relativos. II) h ( ) = 0 III) y + = 0 é uma equação da assíntota do gráfico da função h quando tende para + Elabore uma composição, na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa. Na sua resposta, apresente três razões diferentes, uma para cada afirmação. (.ª fase) E47 Seja f a função, de domínio \{0}, definida por f( ). Considere a sucessão de números reais ( n ) tal e que n n. Qual é o valor de lim f( n)? (A) - (B) 0 (C) (D) + E49 Seja f uma função de domínio +. A reta de equação y = 5 é assíntota do gráfico da função f. Qual é o valor de lim 6? f( ) (A) 0 (B) (C) (D) + E50 Considere a função g, de domínio +, definida por g ( ) ln a) Estude a função g quanto à monotonia e quanto à eistência de etremos relativos, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) de monotonia e, caso eistam, os valores de para os quais a função g tem etremos relativos. b) Considere, num referencial o.n. Oy, a representação gráfica da função g, os pontos A e B, e a reta r de equação y = m, com m <0. Sabe-se que: os pontos A e B pertencem ao gráfico da função g a abcissa do ponto A é o zero da função g o ponto B é o ponto de intersecção da reta r com o gráfico da função g a área do triângulo [OAB] é igual a Determine a abcissa do ponto B, recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções visualizados, devidamente identificados; indicar a abcissa do ponto A e a abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas. E5 Considere uma função f, de domínio. Sabe-se que: a reta de equação = 0 é assíntota do gráfico da função f f (-) f (5)< 0 Cálculo Diferencial - Eercícios saídos em eames (.º ano) - pág. 4

16 f( h) f( ) lim eiste e é positivo, para qualquer número 0 h real não nulo; lim ( f( ) ) 0 Considere as afirmações seguintes. I) O teorema de Bolzano permite garantir, no intervalo [-,5], a eistência de, pelo menos, um zero da função f II) O gráfico da função f admite uma assíntota horizontal quando tende para - III) A função f é crescente em ]0, +[ Elabore uma composição, na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa. Na sua resposta, apresente três razões diferentes, uma para cada afirmação. Soluções:. B. A.C 4. D 5. B 6. B 7. D 8. B; D 9. 0; 5m0d; 4,54c/m; 6,99 e,0 0. C. A. -; 90; 0,0loge. C 4. C 5. B 6. 0,5 e 4; 7/4; 5,7 7. C 8. D ; y=0; 0 0 ; verd.; 8 0. B. C. C. C 4. D 5. C 6. A 7. y=0; 8 e 0, D 9. D 0. D.,m; 0m. D. A 4. D 5. D 6. = 7. C 8. D 9. A 40. y=-; sim; p.inf. p/ = 4. D 4. A 4. A 44. 9, 45. A 46. C 47. D 48. D 49. h0min 50. B 5. D 5. C 5. B 55. B 56. D 57. A 58. C 59., km/s 60. C 6. D 6. C 6. A 64. Sim 65. A 66. C 67. C 68. A 69.,5 70. D 7. A 7. B 7. y=; p.i. em =-4 e =- 75. B 76. A 77. B 78. B 79. mín em =; =; = e y=0 80. C 8. B 8. D 8. 76; 5,8 84. B 85. C 86. D 87. f cresc. e y=5 ass. hor. 88. C 89. D 90. A 9. C 9. =0; min para =/;, 9. D 94. A 95. B 96. B 97. ; 0,8 99. C 00. D 0. A 0. B 0.,; h8m 05. B 06. B 07. C 08. B 09. 0,05; h9m; Carlos,Ana 0.C. A. B C 6. B 7. A A. D. B. D 4. 0,8; H4 6. C 7. D 8. B 9. A 0. 5,4; dec [0,5] e cresc [5,0].,. C. B 4. A 5. 9,8; 87 6 B 7. C 8. B 9. C C 4. B 4. A 44. y=+e; y=0; 0,5 e,7 46. D 47. A 48. C 49. 0; 7, ½ ; /e 5. D 5. D 5. C 54. 7,97;, B 56. A 57. B 58.A 59. D 60.,4 e 4,96 6. =0 e y=0 6. d 64. A 65. C 66. C 67. C 68. /e 70.,7; 0,6 7. A 7. A 7. C 74. =; 0/ 76. B 77. B 78. C 79. B 80. é contínua e 0,5 8., 84. D 85. D 86. C 87. B 88., ,0; I decresc.; assimp. y=0 90. A 9. C 9. D 9. C 94.,6 e 4,6 95. e 96. (e,0) e (-e,0); f não tem etremos 97. C 98. 5h,dia 99. C 00. D 0. A 0. 9; 6 0. /;, 04. D 05. B 06. C 07., e 000; 59 ou A. B. B. 0, e 4. 4h9min 5. A 6. D 7. A 8. ],5][9,[ 9.,8 e -0,; 0,5 0. = e y=; 5,08. A. B 4. y=4+; - 5. É; 0,4 6. C 8. (0,;0,6) 9. [5/,[ 0. 0; h0. B. C. D 4. É cont; y=0 5.,47; 6,05 6. D 7. C 8. A 9. B 40. Não; y=+; 0,7 e,9 4. ; 0, 4. D 4. C 44. A 45. y=; ; -/ e / 46. A 47. C 48. A 49. h , A 5. D 54. C 55. Não há; para =5; 0,4 56. y= +/e 57. C 58. ]0,] ; k=ln(p) 60. D 6. C 6. C 6. B 64. D 65. h0 66. (5e/,0);(-,;-,4) e (,;,80) 67. III 68. D 69. 9; Não há; crescente 7. A 7. B 7. D 74. ]8,9]; ; 0, B 78. D 79. A 80. 4,4; 8. é 8. B 8. A 84. C 85., 86. y=+; y=e +e 87. A 88. D 89. B 90. 9,46 9. D 9. C 9. A 94. ; y=-;, ,5; 96. B 97. D 98. D 00. D 0. B 0. Não tem; min= e ma=; 0, e 0,6 e,56 e,5 0. IV 05. A 06. D 07. B 08. A 09. ln(+0) 0.,9. A. B. B 4. y=+; =0 e y=; 0,4 5. h de.ªf; 0,6 6. C 7. B 8. B 9. Não; ln 0. -6,7. D. A. =0 e y=-; -e 4. 9,5 5. FVF E. C E. D E. A E4. B E5. 9,7; 5 E7. B E8. D E9. A E0. = e y=0; decrescente; 0,7 E. A E. D E. y=-e /4 +e ;,6 E4. 0 E5. 7 e 5; 9 8 E6. D E7. B E8. 4 E9. y= E0. ; 7 0 E. C E. B E. A E5. cont. esq.; ],4[ E6. B E7.D E8. A E9. 6,60 9 E0. 0; y= E.,47 E. C E. D E4. 0,8 E5. - E6. A E7. D E8. C E9. 0 E40. I E4. 0,48 E4. D E4. A E44. B E45. e -/ E47. D E48. A E49. C E50. e -/ ; 5,4 E5. FFV Cálculo Diferencial - Eercícios saídos em eames (.º ano) - pág. 4