Funções de varias variáveis ou Funções reais de variável vetorial

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1 Funções de varias variáveis ou Funções reais de variável vetorial F : R n R (1,,..., n ) w F( 1,,.., 3 ) n R Dom( F) S S é um subconjunto de R n Eemplo 1: Seja F tal que F : R R (, ) w 1 Identiique o domínio e a imagem de F

2 Eemplos

3 Gráico de unção z 1

4 Eemplos Domínio : semi-plano superior a = Imagem : toda reta real.

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6 Observações importantes Disco aberto, disco echado Identiique o domínio e a imagem de F

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8 Seja : z = (,), logo G()={(,,(,)) C R 3 } superície Curva nível = { (,,c) C R 3, c=(,)} curvas Seja : w = (,,z), logo G()={(,,z,(,,z) )C R 4 } hiper-super. Curva nível = { (,,z,c) C R 4, c=(,,z)} superícies

9 Curvas de nível: c=(,); c = cte. Gráico: = {(,, z) ϵ R 3, (,) ϵ D()}, z=(,))

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12 w (, ) 1 c 11, c 1 Curva de nível z 4

13 z= ln(-) Curvas de nível : c ln( ) e c e c

14 z: R R, z(,)= -5/( + + 1) A gráica da unção z, se da no espaço R 3 (é uma superície ). Qual é a equação das curvas de nível???

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16 : R 3 R w= (,,z) = z- -, Gráico () = {(,,z,w) ϵ R 4, (,,z) ϵ Domin() ϵ R 3 } não da para ver, só podemos visualizar as super. De nível Superície de nível: c = z- -

17 Limite e continuidade de unções reais com variável vetorial (varias variáveis) Eemplo: Seja (, ) 1 provar que lim (, ) L 1 (, ) (0,0)

18 lim (, ) (, ) ( 0, 0 ) L L Imagem de ( ) lim 0 ( 0 ) ( 0) disco de radio δ

19 Limite e continuidade

20 Continuidade de unções reais de variável vetorial

21 Eemplo 1.- A unção (,)= + +1, é continua para todo ponto (,) do domínio de =R Eemplo.- (,) = (+)/(-), domínio() = R - {a reta =}

22 Eemplo 3 Eemplo 4. veriique se a unção continua no ponto (1,1/4) (, ) e

23 Limite e continuidade: eercícios Eercício 1.- Analise a continuidade da unção z= (,) = ln( + +1) no ponto (0,0); Reposta: a unção (,) é continua no ponto (0,0). Eercício.- Em que ponto do espaço R 3 a unção 1 h,, z) é continua? ( 1 Resposta: em qualquer lugar eceto no cilindro + =1

24 Eercícios 1.- Identiique o domínio e a imagem da unção w = w(,) deinida assim w 1.-Desenhe a superície deinida pela equação z encontre as curvas de nível da equação z= Calcule lim (, ) (0,0) (, ) a), ) b) se ( (, )

25 4.- A unção z=(,) esta deinida como quando para (,) (0,0), e seria 0 para (,)=(0,0). Mostre se ela não é continua no ponto (,)=(0,0). 5.- utilize o teste dos caminhos para mostrar que não eiste, sendo 4 z ), ( lim ) (0,0 ), ( 4 4 ), (

26 Derivada parcial

27 Derivada parcial em relação a Desde que o limite eista. h h h ), ( ), ( lim ), ( 0 0 Derivada parcial em relação a h h h ), ( ), ( lim ), ( 0 0 Desde que o limite eista

28 Derivada parcial : interpretação geométrica

29 Derivada parcial : interpretação geométrica: (,) g( ) (, 0) Coe. angular das retas tangentes as curvas vermelhas h( ) ( 0, )

30 ln( 1) g ( 1) h ( 1)

31 Derivada parcial como taa de variação. A derivada parcial ( 0, 0) é a taa de variação de ao longo da reta que passa pelo ponto (0, 0) e na direção e1 = (1, 0), A derivada parcial ( 0, 0) é a taa de variação de ao longo da reta que passa pelo ponto (0, 0) e na direção e = (0, 1), Isto é, as derivadas parciais medem a velocidade da variação parcial da unção em relação a cada variável, quando as outras estão iadas.

32 Derivada parcial de segunda ordem. ; ; ; ) ( ); ( notação ; Notação

33 Teorema das derivadas mistas. Se (,) e suas derivadas parciais,, orem deinidas em uma região contendo o ponto (a,b) e todas orem contínuas em (a,b) então ( a, b) ( a, b) Eemplo 1.- Seja a unção z=(,)= e +, veriique que o teorema anterior se veriica.

34 Dierenciabilidade de uma unção z=(,). A unção z=(,) é dierenciável em ( 0, 0 ) se, sejam deinidas em uma região que contenha o ponto ( 0, 0 ) e que z ( 0, 0 ) ( 0, 0) satisaz z ( 0, 0) ( 0, 0) 1 Na qual, 0 quando 0, 0 1 0

35 Eemplo: análise a dierenciabilidade da unção z = (,) = + Continuidade de derivadas parciais implica Dierenciabilidade. (, ) D Dada a unção : D R R, e, z=(,) se, eistirem e são contínuas no domínio D, então é dierenciável nesta ponto (,). Dierenciabilidade implica continuidade Importante: Dada a unção dierenciável (,), logo a dierencial de, em (,), relativa aos acrescimos d, d é indicada por dz ou d dz (, ) d (, ) d

36 Plano tangente a uma superície no espaço R 3

37 Plano tangente a uma superície. O plano tangente ao gráico de uma unção (,) num ponto é o plano que contem todas as retas tangentes ao gráico de que passam pelo ponto. Se todas as retas tangente a esse ponto não são co-planares, então dizemos que o plano tangente não eiste. Seja uma unção dierençável no ponto ( 0, 0 ) : A R R Equação do plano tangente a o gráico G() no ponto ( 0, 0,z 0 ), z 0 =( 0, 0 ) ( ) ( ) 1.( z z0) 0 ( 0, 0) ( 0, 0) 0 0

38 Plano tangente a uma superície. A interseção do plano e a curva z=(,) é justamente o ponto ( 0, 0 ), que é o ponto de intercepto das duas superícies. O plano tangente à superície z=(,) no ponto ( 0, 0,z 0 ) só é deinida se a unção (,) or dierenciável neste ponto. Casso a unção or dierenciável o plano conterá todas as retas tangentes ao gráico de (,) no ponto ( 0, 0 ). Se não or dierenciável em ( 0, 0 ), mas admitir derivadas parciais neste ponto, então o plano eistirá mas não será plano tangente. PlanoTangente/sotware/planoTangente-con-normal.html

39 eemplos Determine a equação do plano tangente á superície w (, ) 1, no ponto Q=(1,,6). Determine também a equação da reta perpendicular ao plano que passa pelo ponto Q. Determine a equação do plano tangente à superície S deinida pela equação z = ln(-), no ponto Q=(1,,0). Encontre também um vetor unitário perpendicular a dita superície S no mesmo ponto.

40 Regra da cadeia:unções de variáveis independes Dada a unção w=(,), e se, são contínuas e se =g(t), =h(t) orem unções dierenciáveis de t então a unção composta w(t)=(g(t),h(t)) será uma unção dierençável de t, logo d dt. d dt. d dt, d dt é chamada de derivada total Eemplo 1: Seja (,)= ; e seja = cos(t), = t, determine d dt

41 d dt Esta derivada total indica como esta variando a unção ao longo da curva r(t) = (cos(t),t, cos(t) t) que descansa na superície z=(,)

42 Taa de variação da unção z=(,) ao longo da curva r(t) = (cos(t), t, cos(t) t)

43 Eemplo d dt Determine ao longo da curva r(t)=(-t, t ). A curva r(t) = (-t, t, ln(3 t)) que descansa na superície z = (,)= ln (-) se observa na igura anterior. A derivada solicitada daria a taa de variação de conorme nos movimentamos Alo longo da curva horizontal r(t)=(-t,t).

44 Regra da cadeia Regra da cadeia:unções de 3 variáveis independes Dada a unção w=(,,z), e se,, z são contínuas e se =g(t,s), =h(t,s),z=k(t,s) orem unções dierenciáveis de t e s então a unção composta w(t,s) = (h(t,s),h(t,s),k(t,s)) será uma unção dierençável de t e s, logo t. d dt. d dt z,. t s. d ds. d ds z. dz ds,

45 Eemplos 1.- Seja a unção z= (u,v) = sin(u v) + cos (u v), e considere as seguinte parametrizações. u= - c t, e v= +ct. Sendo c uma constante, a) Determine, t t b) Determine,.- seja a unção w= + +z, e consideremos as parametrizações = t+s, = t-s, z= t s; a) Determine as derivadas parciais tt w, t w s b) Determine a dierencial total da unção w(,,z), dw.

46 Derivada implícita O teorema da unção implícita airma que se F(,) é deinida num disco aberto contento o ponto (a,b), onde F(a,b)=0, F (a,b) 0, F, F são unções continuas então d/d esta deinida. F(, ) 0, d d F F Eemplo: Seja = 6, calcular d/d

47 Eercícios 1.- Dados a) (,)= +, b) (,,z) = cos(+)z+ z determine,,,, z, zz.- Seja determine e em que parte do (, ) domínio são iguais. 3.- Mostrar a dierenciabilidade de (,) = + 4 em qualquer ponto do seu domínio. 4.- calcular a dierencial de a) z= 3, b) sin( ) 5.- determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráico da unção dada por a) (,)= +4 +1, b) ln( -) c) (,)= 5/( + + 1) nos pontos (,,z)=(1,1,6), (,,z)=(,3,0), (,,z)=(1,1,5/3) respectivamente.

48 Eercícios 6) Uma caia em orma de paralelepípedo de lados e z estão variando de volume, de tal orma que num instante dado esses 3 lados medem 0 =1m, 0 =m, z 0 =3m respectivamente. No mesmo instante a taa de variação dos lados, e z em relação ao tempo é respectivamente 1, 1 e -3. Determine a taa de variação do volume e da superície total da caia em relação ao tempo no mesmo instante. 7) Seja uma unção duas vezes dierençável na reta real ; seja u(, t) = a (+c t) + b (-c t) sendo a, b, c constantes reais e c 0. Mostre que Equação de onda u 1 c t u 0