FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

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1 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Introdução Considere os seguintes enunciados: O volume V de um cilindro é dado por V r h onde r é o raio e h é a altura. Um circuito tem cinco resistores. A corrente deste circuito é unção das resistências R i i Analisando esses enunciados veriicamos que as unções envolvidas requerem o uso de duas ou mais variáveis independentes. O volume do cilindro denotado por V é uma unção do raio r e da altura h. Assim: V V r h V r h r h Sobre o circuito podemos dizer que a corrente do circuito dado é uma unção de cinco variáveis independentes. Temos: onde E representa a tensão da onte. I R E 1 R... R5 I R 1 R... R 5 E R R... R 1 5 Funções de Várias Variáveis Deinição1: Seja D um conjunto de pares ordenados de números reais. Uma unção de duas variáveis é uma correspondência que associa a cada par em D eatamente um número real denotado por. O conjunto D é o domínio de. O contradomínio de consiste em todos os números reais com em D.

2 D n Deinição: Seja A. Uma unção deinida em A com valores em é uma correspondência que associa a cada ponto de A um e um só número real. Os pontos de A são chamados variáveis independentes. O conjunto A é chamado domínio de. O conjunto B { P / P A} é chamado imagem de e denotado por Im. Notação: : A n A n P P Eemplos: Seja A o conjunto de pontos do representado na igura: A cada ponto pertencente a A podemos azer corresponder um número z dado por z 4.

3 Neste caso estamos diante de uma unção de duas variáveis reais denotada por O domínio dessa unção é o conjunto : A A isto é o conjunto de pontos Logo: D z { / 4}. tais que A imagem dessa unção é o conjunto dos z tais que 0 z : Im z { z / 0 z } Eercícios: 1- Fazer uma representação gráica do domínio das seguintes unções: a- ln b- g z 16 z

4 - Seja 5 a- Esboce o domínio D de b- Represente os números 5 e 1 em um eio-w 3- Seja a unção com domínio D dada por 9 e D { / 9}. Esboce o gráico de e eiba os traços nos planos z 0 z z 4 z 6 e z 8.

5 LIMITE E CONTINUIDADE EM FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS Neste momento estenderemos os conceitos de limite e continuidade para as unções de duas variáveis. Esses conceitos auiliam no desenvolvimento ormal das idéias principais do cálculo dierencial das unções de várias variáveis. Se é uma unção contínua de duas variáveis podem interessar-nos as mudanças nos valores uncionais quando varia no domínio D e. Como ilustração ísica suponha que uma chapa metálica plana tenha a orma da região D da igura abaio. Chapa Metálica Temperatura w a b D L 0 A cada ponto da chapa corresponde uma temperatura que é registrada em um termômetro representado pelo eio-w. Quando o ponto se move na chapa a temperatura pode aumentar diminuir ou constante portanto o ponto do eio-w que corresponde a se moverá numa direção positiva ou numa direção negativa ou permanecerá io respectivamente. Se a temperatura se aproima de um valor io L quando se aproima de um ponto io ab utilizamos a seguinte notação. lim a b L ou L quando a b Lê-se: O limite de quando tende para a b é L. Para dar precisão matemática procedamos como segue. Para 0 arbitrário consideramos o intervalo aberto L L no eio-w conorme a igura abaio. Se a notação é verdadeira eiste um 0 tal que para todo ponto interior ao círculo de raio com centro em a b eceto possivelmente o próprio a b o valor uncional está no intervalo L L. Isto equivale a seguinte airmação: Se 0 a b então L. Deinição de Limite: Se uma unção de duas variáveis deinida em todo o interior de um círculo de centro a b eceto possivelmente no próprio a b. A airmação lim L a b signiica que para todo 0 eiste um 0 tal que se 0 a b então L.

6 Eemplo1: Ache 3 a- lim b- lim 34 Regra dos dois caminhos: Se dois caminhos dierentes para um ponto a b resulta em dois limites dierentes então lim não eiste. a b Eemplo: Mostre que lim 00 não eiste.

7 Propriedades dos Limites de Funções de Duas Variáveis As regras a seguir são verdadeiras se L M e k são números reais e L lim 0 0 e M g lim 0 0 Regra da Soma M L g lim 0 0 Regra da Dierença M L g lim 0 0 Regra do Produto M L g.. lim 0 0 Regra da Multiplicação por Constante para todo número real k L k k.. lim 0 0 Regra do Quociente 0 lim 0 0 M se M L g Regra da Potência se m e n orem inteiros então n m n m L / / lim 0 0 desde que n m L / seja um número real. Continuidade A deinição de continuidade de uma unção de duas variáveis é análoga à de uma unção de uma variável. Propriedades A soma de n unções contínuas em um ponto é uma unção contínua no ponto. Deinição: Uma unção de duas variáveis é contínua em um ponto interior b a de seu domínio se lim b a b a

8 O produto de n unções contínuas em um ponto é uma unção contínua no ponto portanto como conseqüência toda unção polinomial é contínua. Eemplo: Veriicar se é contínua em 0 0. Eercício: Mostre que Lim não eiste.

9 DERIVADAS PARCIAIS Quando iamos todas as variáveis independentes de uma unção eceto uma e derivamos em relação a essa variável obtemos uma derivada parcial. Relembrando: A derivada de uma unção de uma variável é deinida como: lim h0 h h Interpretando: Damos um acréscimo h à variável independente ; em seguida dividimos a variação correspondente de que é + h por h; e inalmente azemos h tender para 0. Podemos então aplicar o conceito análogo às unções de diversas variáveis. Deinição: Seja uma unção de duas variáveis. As derivadas parciais primeiras de em relação a e são as unções e tais que lim h0 lim h0 h h h h Podemos achar derivadas parciais sem utilizar limites como segue: Para achar consideramos como constante e dierenciamos em relação a. Para achar consideramos como constante e dierenciamos em relação a. Dão-se a seguir algumas notações comuns usadas para derivadas parciais. Se w então w ou w w ou w

10 Eemplo 1: Se 3 3 então ache a- e b- 1 e 1 Eemplo : Encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem da seguinte unção: g

11 Obs.: Valem para derivadas parciais órmulas análogas às das unções de uma variável. Eemplo 3: Ache w dado w. e Eemplo 4: Veriicar se a unção z z z ln satisaz a equação Eercício: Encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem da seguinte unção: a- 3 4 b- z sen

12 DERIVADAS PARCIAIS - Continuação Derivadas Parciais de Segunda Ordem Quando derivamos uma unção duas vezes produzimos suas derivadas de segunda ordem. Essas derivadas em geral são denotadas por Teorema: Sejam S o gráico de z e b a b a P um ponto de S onde e eistem. Sejam 1 C e C os traços de S nos planos a e b respectivamente e sejam 1 l e l as tangentes a 1 C e C em P. O coeiciente angular de 1 l no plano- = a é b a O coeiciente angular de l no plano- = b é b a C C 1 C 1 l 1 l z S z = Pa b a b

13 Eemplo1: Ache as derivadas de segunda ordem para a seguinte unção: Eemplo: Ache as derivadas de segunda ordem para a seguinte unção: 3 3

14 Teorema Schwartz: Seja uma unção de duas variáveis e. Se contínuas em uma região aberta R então em toda R teremos: e são Obs.: Deinem-se de modo análogo derivadas parciais terceiras ou de ordens mais elevadas. DIFERENCIAÇÃO PARCIAL REGRA DA CADEIA Se e g são unções de uma variável tais que w u e u g então a unção composta de e g é dada por w g. Aplicando a regra da cadeia podemos achar a derivada de w em relação a como segue: dw d dw du du d Agora aplicaremos está órmula a unções de diversas variáveis. Sejam g e h unções de duas variáveis tais que w u v com u g e v h. Se para cada par em um subconjunto D do o par correspondente u v estiver no domínio de então w g h deine w como uma unção composta de e com domínio D. Teorema: Regras da Cadeia Se w u v com u g e v h e se g e h são dierenciáveis então w w u w v u v w w u w v u v

15 Eemplo 1: Por meio de uma regra da cadeia ache s p sen q. w p e w q se w r 3 s com r pq e Obs.: Podemos aplicar regras da cadeia a unções compostas de um número arbitrário de variáveis. w 3 Eemplo : Por meio de uma regra da cadeia ache se w r sv t com r z z s z e v e e t z.

16 w Eemplo 3: Por meio de uma regra da cadeia ache t 3 z t. se w z com 3t 1 t 4 e Eercícios: 1- Use a regra da cadeia e calcule w e w a- w usen v ; u v b- w uv v ; u sen v sen - Use a regra da cadeia e calcule w r e w s a- w u uv ; u r ln s v r s b- tv w e ; t r s v rs 3- Use a regra da cadeia e calcule z z e a- z 3 r s v ; r e s e v b- z pq qw; p q w 4- Certo gás obedece à lei dos gases ideais PV 8T. Suponha que o gás esteja sendo aquecido à taa de 1 / min e a pressão esteja aumentando a taa de Kg / cm / min. Se em certo instante a temperatura é de 00 e a pressão é de 10 Kg / cm ache a taa à qual o volume está variando.

17 3 5- A areia está vazando por um buraco em um recipiente à razão de 6cm / min. Ao vazar a areia vai ormando uma pilha em orma de um cone circular reto cujo raio da base aumenta à razão de 1 cm / min. Se no instante em que já vazaram 40cm 3 o raio é de 5 centímetros determine a taa de 4 aumento da altura da pilha.

18 EXTREMOS DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS Os etremos de unções de uma variável já são conhecidos. Para uma unção de duas variáveis os máimos locais correspondem aos pontos mais altos da superície S gerada pelo gráico da unção no espaço 3D. Analogamente os mínimos locais correspondem aos pontos mais baios. Os máimos e mínimos locais são ditos etremos locais. Todos os pares ordenados do plano que originam etremos locais em uma superície devem ser soluções de equações especíicas por isso recebem o nome particular de pontos críticos. Deinição: Seja uma unção de duas variáveis. Um par a b é ponto crítico de se: a b 0 e a b 0 ou a b ou a b não eiste. Na pesquisa de etremos locais de uma unção começa-se por determinar os pontos críticos. Testamos então cada par para veriicar se se trata de máimo ou mínimo local. Eemplo 1: Seja 1 com 4. Ache os etremos de. Deinição: Seja uma unção de duas variáveis dotadas de derivadas parciais segundas contínuas. O discriminante D de é: D. [ ]

19 Uma orma de lembrar a epressão anterior é considerar a matriz que lhe dá origem chamada matriz hessiana da unção : H Teste para etremos locais: Seja uma unção de duas variáveis dotadas de derivadas parciais segundas contínuas. Se a b a b 0 e D a b 0 então a b é: máimo local de se a b 0 mínimo local de se a b 0 Teorema: Seja dotada de derivadas parciais segundas contínuas em todo um disco aberto R que contém a b. Se a b a b 0 e D a b 0 então o ponto P a b a b é o ponto de sela do gráico de.

20 Eemplo : Se ache os etremos locais e os pontos de sela de.

21 3 Eemplo 3: Deve-se construir um depósito retangular sem tampa com volume V 1 m. O custo por metro quadrado do material a ser usado é de R$ para o undo R$ para dois dos lados opostos e R$ 0000 para os lados opostos restantes. Determine as dimensões do depósito que minimizem o custo.

22 Eercícios: 1- Determinar os pontos críticos de Classiicar os pontos críticos da unção Mostrar que 5 tem mínimo local em 11.