Capítulo II. Funções reais de variável real. 2.1 Conceitos Básicos sobre Funções. ( x)

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1 Capítulo II Funções reais de variável real. Conceitos Básicos sobre Funções Sejam D e B dois conjuntos. Uma unção deinida em D e tomando valores em B é uma regra que a cada elemento de D az corresponder um único elemento de B. Escreve-se: : D Ao conjunto D chama-se o domínio de, a B conjunto de chegada e a ( ) imagem do elemento Nota: D. ( ) uma vez que representa uma unção e ( ) elemento pela unção. B ( ) representa a imagem do Seja : D B uma unção. Deinições: Chama-se imagem (ou contradomínio) de ao subconjunto de B ormado por todos os elementos que são imagem de algum elemento de D. Escreve-se Im ( ) ( CD ) B : ( ) { para algum D} Eemplo: : Im( ) (note-se que o quadrado de um número é sempre não negativo)

2 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real diz-se uma unção real de variável real se D, B. O gráico de ( ( ) ) é o conjunto de pontos P, e representa-se por: { } ( ) (, ) : D ( ) Gr Pergunta: Dado um gráico, como poderemos saber se representa o gráico de uma unção? Resposta: Note-se que na deinição de uma unção oi eigido que a cada elemento do domínio correspondesse um único elemento do conjunto de chegada, ou seja, cada recta vertical do plano pode intersectar o gráico no máimo uma vez. não representa uma unção representa uma unção Deinições: Uma unção : D B diz-se Crescente se ( ) ( ) D <, Estritamente crescente se ( ) < ( ) D <,

3 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Decrescente se < ( ) ( ), D Estritamente decrescente se < ( ) > ( ), D Monótona se é (sempre) crescente ou (sempre) decrescente. Estritamente monótona se é (sempre) estritamente crescente ou (sempre) estritamente decrescente. Deinições: Seja : D B. diz-se sobrejectiva se Im ( ) B, isto é, se o conjunto de chegada coincide com a imagem de : ( ) B D : Eemplos: ) ) ) ) Função Imagem Sobrejectividade : Im ( ) : : : Im( ) Im ( ) é sobrejectiva pois a imagem coincide com o conjunto de chegada. não é sobrejectiva pois a imagem ( ) é dierente do conjunto de chegada:. não é sobrejectiva. Im( ) é sobrejectiva. diz-se injectiva se a pontos dierentes do domínio corresponderem imagens distintas i.e., ( ) ( ), D ( ( ) ( ), ) D

4 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 5 Eemplos: Função ( ) ( ) Injectividade ) : ( ) ( ) é injectiva ) : ( ) ( ) ( )( ) não é injectiva ) : ( ) ( ) é injectiva ( )( ) (note-se que o caso não pode ocorrer) ) : ( ) ( ) é injectiva Nota: Graicamente, veriica-se que uma unção é injectiva se qualquer recta horizontal intersecta o gráico, no máimo, uma vez. diz-se bijectiva se é injectiva e sobrejectiva. Eemplos: Função ) : Bijectividade é bijectiva. ) : não é bijectiva porque não é sobrejectiva nem injectiva.

5 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real ) : é bijectiva pois é sobrejectiva e injectiva. Deinições: Uma unção : D diz-se par se ( ) ( ) D Eemplo: : Nota: Qualquer unção par é simétrica em relação ao eio dos s D ímpar se ( ) ( ) Eemplo: : Nota: Qualquer unção ímpar é simétrica em relação à origem. periódica se eistir > ) Eemplos: ) ( ) sen( ) T tal que ( T ) ( ) D é uma unção periódica de período. ) ( ) tg( ) ( ) sen( ) sen g é uma unção periódica de período.. (T diz-se o período de

6 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 7 ) ( ) tg( ) tg ( ) tg( ) h também é uma unção periódica de período. tg ( ) tg( ) Nota: Se uma unção é periódica de período T, o gráico de repete-se de T em T unidades. limitada se a imagem de or um conjunto limitado, i.e., L > : ( ) L D Eemplo: Função Imagem Limitada : ) ) ( ) [, [ Im conjunto não limitado : Im( ) [, ] sen( ) conjunto limitado é ilimitada é limitada Nota: Se uma unção é limitada, o todo gráico de está entre duas rectas horizontais, por eemplo, entre L e L. Deinições: Dada uma unção : D diz-se que ( c) é um máimo (absoluto) de se ( ) ( c) D. ( c) é um mínimo (absoluto) de se ( c) ( ) D. tem um etremo (absoluto) se possui algum máimo ou mínimo.

7 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 8. Alguns Eemplos de Funções Elementares Função aim São as unções mais simples que aparecem: os seus gráicos representam rectas. m b () m b b m m m declive b ordenada na origem () b Dados dois quaisquer pontos distintos da recta P, ) e P, ), o declive da recta que os contém é dado por: ( ( m dierença das ordenadas dierença das abcissas e a equação é: ( ) m. Nota: Suponhamos que θ é o ângulo que a recta az com o semi-eio positivo do s (no sentido directo contrário aos ponteiros do relógio) então também podemos calcular o declive pela órmula m tg(θ ). O declive dá a maior ou menor inclinação da recta: m > inclinação para a direita m horizontal m < inclinação para a esquerda

8 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 9 Nota: Rectas paralelas têm o mesmo declive, m. s r Se as rectas r e s são paralelas então m r m s Uma recta s perpendicular à recta r de equação mr b tem declive m s. m r s r Se as rectas r e s são perpendiculares então mr m s Eercícios:. Determine o declive e o ponto de intersecção com o eio dos s, das seguintes rectas:.. b) c) 5. Eplique porque é que a recta do eercício.b) não corresponde ao gráico de uma unção.. Determine a equação da recta:.. paralela à recta de equação 5 8 e que passa no ponto (, )... perpendicular à recta de equação 5 8 e que passa no ponto (, ).

9 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Função Quadrática Uma unção quadrática é uma unção deinida por uma epressão do tipo: ( ) a b c, a (Se a obtemos uma unção aim caso anterior) As unções quadráticas representam parábolas. Se a > a concavidade é voltada para cima Se a < a concavidade é voltada para baio A parábola não tem zeros A parábola tem um zero (duplo) A parábola tem dois zeros

10 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Zeros de uma parábola Para determinar os zeros da parábola é preciso resolver a equação ou seja, a b c b ± b ac a Podemos concluir que a parábola tem: dois zeros distintos se b ac > um zero duplo se b ac e não tem zeros reais se b ac <. Nota: As unções quadráticas são unções não injectivas e não monótonas. b ac b O vértice de uma parábola é o ponto de coordenadas, a a A ordenada do vértice de uma parábola é um máimo (respectivamente mínimo) se a < (respectivamente a > ).. Eercício: Determine os zeros da unção 7 ( ) e aça um esboço do seu gráico. Funções Polinomiais A unção aim e a unção quadrática são casos particulares de unções polinomiais. As unções polinomiais de grau n são do tipo: ( ) a a n n n an a onde an, an,, a, a são reais, a n e n é inteiro não negativo.

11 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Eemplos: ( ) (grau ) 5 g ( ) 7 (grau 5) h ( ) (grau ) i( ) não é polinomial porque... Nota: Para polinómios de grau não eiste uma órmula simples para determinar os zeros (para grau e eiste mas é complicada). No entanto, às vezes é possível determinar os zeros. Eemplos: Determinar os zeros do polinómio p( ) p( ) ( ) ± 8 Determinar os zeros do polinómio q ( ) (eercício ) Funções racionais Se p ( ), q( ) são unções polinomiais, a unção : D com domínio D { : q ( ) } deinida por chama-se unção racional. ( ) p( ) q( )

12 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Eemplos: ( ) é racional g ( ) é racional h ( ) não é racional (porque Zeros p( ) Se ( ) é uma unção racional q( ) então ( ) p( ) q( ) Funções irracionais: Seja p () um polinómio. As unções irracionais são unções do tipo: onde n IN e m. [ n p( ] m ( ) ) Eemplos: ( ) é irracional ( ) 7 g ( ) é irracional O domínio destas unções é (note-se que p () um polinómio): Se n é par e > m : { : p( ) } D Se n é ímpar e m > : D Se n é par e < Se n é ímpar e < m : D { : p( ) n p( ) } { : p( ) > } m : { : p( ) } D

13 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Funções deinidas por ramos Considere-se a seguinte unção h ( ) ln ( ) se se se < < O domínio da unção é. Uma unção assim deinida signiica que: se ],[, então h( ) (por eemplo ( ) ( ) h ) se [,[, então h( ) (por eemplo ( ) ( ) h ) se [, [, então h( ) ln( ) (por eemplo ( ) ln( ) O seu gráico é: h ) Eemplo: Outra unção deinida por ramos é a unção módulo: se cujo se < gráico é: Eercício: Seja ( ) ln ( ) se. Determine o seu domínio. se < Resolução: D { : ( ) ( > < ) } {( ], ] [, [ ) [, [ } {], [ ], [ } [, [ ], [ ], [ [, [ \ [,[

14 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 5. Operações com unções. Composição de unções. Operações com unções Sejam e g duas unções com domínios Soma de unções Considere ( ) ln( ) e ( ) e g. Temos, ( ) g( ) ln( ) e e Pergunta: ( ) g( )? D e D g, respectivamente. Para que valores de az sentido alar na soma ( ) g( ) Resposta:? Para valores que pertencem simultaneamente aos domínios das duas unções consideradas. Logo, ( g)( ) ( ) g( ) ln( ) e, se > Portanto, podemos deinir a soma de duas unções do seguinte modo: g : D D g ( ) g( ) Dierença de unções Considere ( ) ln() e g( ). Temos, ( ) g( ) ln( ) ( ) g( )? ( ) g( )? Pergunta: Para que valores de az sentido alar na dierença ( ) g( )? Resposta: Para valores que pertencem simultaneamente aos domínios das duas unções consideradas. Logo, ( g)( ) ( ) g( ) ln( ), se ], ] Portanto, podemos deinir a dierença de duas unções do seguinte modo:

15 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real g : D D g ( ) g( ) Produto de unções Considere ( ) ln( ) e ( ) g. Temos, ( ) g( ) ln( ) ln( ) Pergunta: ( ) g( )? ( ) g( )? Para que valores de az sentido alar no produto ( ) g( )? Resposta: Para valores que pertencem simultaneamente aos domínios das duas unções consideradas. Logo, ( g )( ) ( ) g( ) ln( ), se > Portanto, podemos deinir o produto de duas unções do seguinte modo: g : D D g ( ) g( ) Quociente de unções Considere ( ) e e g( ) cos( ) Temos, g Pergunta: ( ) e ( ) cos( ) e e. ( ) ( )? g ( ) g ( )? Para que valores de az sentido alar no quociente Resposta: Para valores que pertencem simultaneamente aos domínios das duas unções g ( ) ( ) consideradas e que não anulem a unção do denominador.?

16 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 7 g Logo ( ) ( ) e ( ) cos( ) g se \ { } k, k Z Portanto, podemos deinir o quociente de duas unções do seguinte modo: g : D D g { : g( ) } ( ) g( ) Composição de unções Sejam e g duas unções com domínios D e D g, respectivamente tais que Im ( ) CD Dg ( ) g g ( ( ) ) g Denota-se por g lê-se g após. g, a unção composta de g com deinida por ( g )( ) g( ( ) ). Como calcular a imagem de um elemento? D g. calcular () ;. calcular a imagem de () pela unção g, i.e., ( ()) g. Nota: Só é possível calcular. se pertencer ao D ; e só é possível calcular. se este, (), pertencer ao D g. Consequentemente D D é g g { : D ( ) D } g

17 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 8 A maior parte das unções com que trabalhamos são unções compostas. Por eemplo, a unção ( ) g ( ) sen( ) com ( ) sen pode ser encarada como a composta da unção. De acto, sen ( ) ( g )( ) g( ( ) ) g( ) sen( ). Usando as mesmas unções podemos veriicar que a unção sen ( ) ser encarada como composta de duas unções. (Faça as contas!!!) Não conundir: ( ). também pode Eemplos: ) Seja ( ) e e ( ) unções Resolução: g e D \ { } D g g. log. Determine o domínio e a epressão analítica das g D g { : D g( ) D } { : log } { : } \ { 8} ( g)( ) ( g( ) ) ( log ) e g log D g { : D ( ) D } : { : } \ { } e > g ( g )( ) g( ( ) ) log g e e log e ( ) ln ) Seja ( ), ( ) g e h ). (. Veriique que ( g )( )

18 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 9 Resolução: D D g D g { : D ( ) D } { : } { : } ( g )( ) g( ( ) ) g( ) ( ) g Nota: Atenção: no eemplo anterior, embora h( ) ( g )( ), temos que D g e D h, e portanto h g. Convém lembrar que duas unções são iguais se os seus domínios orem iguais. Em geral, a composição de unções não comuta, isto é, eemplo). g g (ver o primeiro Não podemos recorrer à epressão analítica da unção composta para calcular o seu domínio (ver o segundo eemplo). Eercício: Caracterize as unções g e g. a) considerando ( ) e ( ) g ; b) considerando ( ) e ( ) ln( ) g.

19 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real... Transormações em unções Translações horizontais: Seja uma unção real de variável real, c uma constante real qualquer, e, seja g uma unção aim,.r.v.r., deinida por g( ) c. Comparando o gráico da unção com o da unção g( ) ( c), observamos que o gráico de ( c) corresponde a uma translação v c,. horizontal de gráico de segundo o vector ( ) Eemplos:. Consideremos ( ) ln( ) e ( ) ( ) ln( ).5 g, g( ) ( ). Note-se que ( ) obtém-se a partir de ( ) unidades para a direita. Comparemos os gráicos: azendo uma translação horizontal de g( ) ( ) ln( ) g( ) ( ) ln( ) Consideremos ( ) ln( ) e ( ) ( ) ( ) ln( ) g. Note-se que o gráico de g obtém-se a partir do gráico de azendo uma translação horizontal de unidades para a esquerda. Comparemos os gráicos:.5 ( ) ln( ) g.5 ( ) ( ) ln( )

20 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Translações verticais: Seja uma unção real de variável real qualquer, e, seja g uma unção,.r.v.r., aim deinida por g ( ) c. Comparando o gráico da unção com o da unção g ( ) ( ) c, observamos que o gráico de ( ) c vector v (,c). corresponde a uma translação vertical de segundo o Eemplos:. Consideremos ( ) ln( ) e g ( ). Note-se que g ( ) ( ) ln( ) obtém-se a partir de ( ) azendo uma translação vertical de unidade para cima. Comparemos os gráicos: ( ) ln( ) g ( ) ( ) Consideremos ( ) ln( ) e g ( ). Note-se que g ( ) ( ) ln( ) obtém-se a partir de ( ) azendo uma translação vertical de unidade para baio. Comparemos os gráicos: ( ) ln( ) g ( ) ( ) ln( )

21 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Homotetias do eio horizontal: Seja uma unção real de variável real, c uma constante real qualquer, e, seja g uma unção aim,.r.v.r., deinida por g ( ) c. O gráico de g( ) ( c) dilatando ou contraindo o eio dos respectivamente. obtém-se a partir do de s conorme se tenha < c < ou c >, Eemplo: Consideremos ( ) ( )( ) obtém-se a partir de ( ) e g ( ). Note-se que g( ) esticando o eio dos s. Comparemos os gráicos: ( ) ( )( ) g ( ) Eemplo: Consideremos ( ) ( )( ) e g( ) g( ) ( )( ) obtém-se a partir de ( ) Comparemos os gráicos: ( ) ( )( ). Note-se que encolhendo o eio dos s. g ( ) ( )( )

22 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Homotetias do eio vertical: Seja uma unção real de variável real, c uma constante real qualquer, e, seja g uma unção aim,.r.v.r., deinida por g ( ) c. O gráico de g( ) c ( ) dilatando ou contraindo o eio dos respectivamente. obtém-se a partir do de s conorme se tenha c > ou < c <, Eemplo: Consideremos ( ) ( )( )( ) e g( ). Note-se que g ( ) ( )( )( ) obtém-se a partir de ( ) Comparemos os gráicos: esticando o eio dos s. ( ) ( )( )( ) g ( ) ( )( )( ) Eemplo: Consideremos ( ) ( )( )( ) e ( ) ( ) ( )( )( ) g obtém-se a partir de ( ) Comparemos os gráicos: ( ) ( )( )( ) g. Note que encolhendo o eio dos s. g ( ) ( )( )( )

23 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Módulo de uma unção Seja uma.r.v.r., e g ( ). O gráico de g ( ) ( ) obtém-se a partir do de relectindo no eio dos s a parte negativa da unção. Eemplo: Comparemos os gráicos: ( ) ( )( ) g ( ) ( ) Vejamos agora o que acontece, se aplicarmos a unção módulo ao argumento de, isto é, azendo a composição g( ) ( ) : Eemplo: ( ) ( )( ) ( ) O que se passa é que o gráico correspondente à parte positiva do domínio de é relectido no eio dos s, e portanto a unção ( ) é uma unção par.

24 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 5... Função Inversa Seja uma unção injectiva. Sejam D e Im( ) respectivamente o domínio e a imagem (ou contradomínio) da unção. À única unção g : Im( ) D que satisaz: ( g)( ) Im( ) ( g )( ) D chama-se unção inversa de e escreve-se g. Nota: Só podemos deinir se or injectiva (num determinado domínio); Se é a inversa de então é a inversa de ; Por deinição, D é igual à Im( ), sendo uma unção injectiva; Im( ) D. Caracteriza-se a inversa de uma unção da seguinte orma: : Im( ) D ou seja, sabendo que. ( ), então a unção inversa deine-se por ( ) e Repare que, por deinição de inversa de uma unção temos ( ) ( ( ) ) ( ( ) ). ( ) Graicamente, tem-se que (, ) Gr( ) ( ) ( ) (, ) Gr( ) P (, ) P (, )

25 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Seja P (, ) Gr( ) e P (, ) Gr( ), o ponto médio do segmento que une estes pontos é o ponto M, que é um ponto que pertence à recta. Podemos concluir, então que os gráicos de e são simétricos relativamente à recta. Pergunta: Porque é que só podemos deinir unção inversa para unções injectivas? Resposta: Repare que se não or injectiva acontece, pelo menos uma vez, a seguinte situação:, D, e ( ) ( ) e então a unção inversa,, terá de enviar em e, ao mesmo tempo, isto é, ( ( ) ( ) (, ) ( ( ) Gr ( ) (, ), ) Gr( ) (, ) e portanto tem duas imagens para o seu objecto. Mas isto contraria a deinição de unção, consequentemente isto não poderá acontecer, ou seja, tem de ser injectiva para que eista a unção. ) Não conundir!!! ( ) com designa ( ) a inversa enquanto representa ( ) Eemplo:. A inversa da unção ( ) ln em ], [ Temos: ( )( ) ( )( ) ], [ é a unção ( ) e (veriique!!!)

26 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 7. Caracterizar a unção inversa de ( ) [ [ D, ; Im( ) Para determinar a epressão analítica da inversa: iguala - se a a epressão de resolve - se a equação em ordem a Caracterização inversa: : Im ( ) [, [ Nota: Por deinição de unção inversa temos D Im( ) ; Esta igualdade ajuda-nos a determinar, em casos mais complicados, a Im( ), pois basta determinar a epressão analítica da unção inversa e calcular o seu domínio; Contudo só podemos azer isto quando a epressão analítica de deine, por si só, uma unção injectiva. (Nota, uma unção inversa é sempre injectiva, o que pode não ser injectiva é uma unção que tenha a mesma epressão analítica de ). Por eemplo, no anterior eemplo, ( ) deinida em D Im( ) é injectiva, mas tem-se que D, ou seja, a epressão analítica da unção inversa, por si só, não veriica ( ) D Im( ) ( ), mas isto acontece porque, por si só, a epressão analítica de, ( ), não é injectiva. Eercício: Veriique que a unção ( ) (Sugestão: calcular ). coincide com a sua inversa.

27 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 8.. Função eponencial e logaritmo. Funções trigonométricas directas e inversas. Função eponencial: A uma unção : deinida por nome de unção eponencial de base a. ( ) a, onde a, a > e a, dá-se o Eemplos destas unções são ( ) ; g( ) ( ) e ; h( ) ; i( ) ; esta unção é particularmente importante pelas suas aplicações em diversas áreas do conhecimento, nomeadamente na área da Economia. Nota: O número e é irracional ( e, ), e é conhecido por constante de Euler lim n n n e Características destas unções: Se a > Domínio: D Im Contradomínio: ( ) ( ) a Zeros: não tem zeros. () ( a ) O gráico de passa no ponto (,) Injectiva Estritamente crescente, em particular se > a >

28 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 9 Se < a < Domínio: D Im Contradomínio: ( ) ( ) a Zeros: não tem zeros. ( ) O gráico de passa no ponto (,) Injectiva Estritamente decrescente. (Note-se que agora a > quando < ) Função logaritmo: A unção inversa da unção eponencial é a unção : que se deine por ( ) log ( ) a onde a, a > e a, à qual se dá o nome de unção logaritmo de base a. Nota: ( ) log representa o número pelo qual se eleva a de modo a obter, isto é, a log ( ) a a Desta equivalência resulta também que ( ) a loga ( ) a log é a unção inversa da unção Notação: ( ) log logaritmo de base a a log ( ) logaritmo de base e log ( a ) a. a ln ( ) logaritmo de base e, estes logaritmos chamam-se neperianos, em homenagem ao matemático inglês Neper.

29 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Características destas unções: Se a > Domínio: D { R : > } R Contradomínio: Im ( ) Zeros: ( log ( ) ) a ( ) log ( ) a O gráico passa no ponto (,) Injectiva e sobrejectiva (bijectiva) Estritamente crescente, em particular, se < log ( ) < a Eemplos deste tipo de unções são ( ) log ( ) ; ( ) log ( ) ; h( ) ln( ) g. Se < a < Domínio: D { R : > } R Contradomínio: Im ( ) Zeros: ( log ( ) ) a ( ) log ( ) a O gráico passa no ponto (,) Injectiva e sobrejectiva (bijectiva) Estritamente crescente, em particular, se < log ( ) < a Eemplos deste tipo de unções são ( ) log ( ) ; g( ) log ( ),5 / e Propriedades dos logaritmos: Sejam,, a >, p log ( ) log ( ) log ( ) a a log log ( ) log ( ) p log ( ) p log ( ) a log ( a) a a a a a a

30 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real log ( ) a ( ) ( ) ( a) ln log a (órmula de mudança de base) ln Em particular, ( ) log e ln ln e ( ) ln( ) ln( ) ln( e) ln ( ) Eercícios:. O capital acumulado a prazo ao im de n anos, quando capitalizado de orma contínua, pode ser calculado através da unção C(n) C e tn, em que C representa a quantidade depositada e t a taa de juro anual (na orma decimal). Supondo C euros e t 5%, determine: a. A quantidade acumulada ao im de um, de dois e de quatro anos e meio. b. Aproimadamente ao im de quanto tempo duplica o capital?. O lucro L (em euros) obtido na venda de uma peça depende do número de unidades produzidas mensalmente. Esta relação é dada por L ( ) log. a. Se a ábrica tiver a capacidade de produzir entre 5 e 8 unidades por mês, entre que valores variará o lucro obtido em cada peça? b. Qual deverá ser o número de unidades produzidas num mês para que o lucro unitário seja?. Seja ( ) ln( ). a. Indique o domínio e contradomínio. b. Classiique-a quanto à injectividade, monotonia e paridade. c. Considere a unção deinida em [, [. Caracterize a sua inversa (isto é, indique o domínio e epressão analítica que deine )

31 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Funções Trigonométricas (directas) Considere-se um triângulo [ ABC ] rectângulo em A. C cateto oposto b a hipotenusa A c cateto adjacente α B Seja α AB ˆ C, a BC, b AC, c AB Deine-se: b cateto oposto sen α cos α a hipotenusa c a cateto adjacente hipotenusa sen( α) b cos( α) c tg α cotgα cos( α) c tg( α) sen( α) b Alguns valores de reerências destas unções: θ radianos sen θ cos θ - tg θ - cotgθ - -

32 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Função sen: / Seja α um ângulo representado no círculo trigonométrico (círculo de raio ). sen (α) corresponde ao valor da ordenada do ponto que resulta da intersecção entre a circunerência e o segmento que determina o ângulo com o eio dos s (medido no sentido sen α α / / contrário ao dos ponteiros do relógio), de acordo com a igura ao lado. P (cos α, sen α ) Assim, dado um ângulo α temos as / seguintes relações: (i) sen ( α) sen( α ) e (ii) sen( α) sen( α) Notar que a unção seno toma valores sen α sen (α) α α P (cos α, sen α ) positivos nos º e º quadrantes e valores negativos no º e º quadrantes. As relações anteriores permitem-nos determinar o seno de qualquer ângulo α conhecendo apenas o valor do seno no º Quadrante. / / Eemplo: 5 º quadrante ( i) ( ii) 5 5 sen sen sen sen

33 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Como unção real de variável real, temos : sen( ) À unção dá-se o nome de unção seno. Atenção: é a medida de um ângulo em radianos ( rad 8º ) O seu gráico é / / / / Características desta unção: Domínio: ; Contradomínio: Im( ) [, ] ; Injectividade: não injectiva; Zeros: k, k Z ; Paridade: sen( ) sen( ) (seno é uma unção ímpar); Periodicidade: sen( ) sen( ) ( é o período positivo mínimo); Limitada: sen( ) ; Máimos: em k, k Z ; Mínimos: em k, k Z ;

34 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 5 Função arcsen: Consideremos a unção : [, ] sen( ) Esta unção não é injectiva / / / / Por eemplo, há ininitos pontos do domínio que têm por imagem zero ( sen( ) k, k Z ). Pelo que não admite inversa. Contudo, podemos considerar uma restrição do domínio onde a unção seno seja injectiva (chamada restrição principal): cujo gráico é: g :, [, ] sen( ) / / / / Assim deinida, g é uma unção injectiva e portanto az sentido alar na sua inversa, Então g tem por domínio [, ], imagem, e a cada [, ] corresponder o ângulo (ou arco) cujo seno é, que se representa por arcsen ( ). g. az

35 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real g : [, ], arcsen( ) cujo gráico é / / Características desta unção: Domínio: [, ]; Imagem:, ; Injectividade: injectiva; Zeros: ; Paridade: arcsen( ) arcsen( ) ( arcsen é uma unção ímpar); Monotonia: estritamente crescente; Limitada: Máimo em ; Mínimo em ; arcsen ( ) ; Nota: O arcsen () é o valor real tal que sen ) ( arcsen( ) ) sen onde ; ( sen( ) ) arcsen onde (, onde [, ] arcsen ( ) sen( )., ou seja:

36 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 7 Eemplos: arcsen sen sen arcsen arcsen sen arcsen pois, ; ( ) ( )? arcsen sen (note que Eercício: Considere a unção deinida em por: cos ) ( arcsen Determine o domínio e contradomínio de. Caracterize a inversa. Resolução: { } [ ], : : D Determinemos o contradomínio de : cos cos cos cos é crescente) unção (notar que a () ) ( arcsen arcsen arcsen arcsen arcsen arcsen arcsen arcsen Logo, ( ), Im

37 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 8 é uma unção injectiva porque é composta de transormações injectivas (eercício) Comecemos por determinar a epressão analítica da inversa: cos cos sen sen sen arcsen sen arcsen arcsen arcsen Portanto [ ],, : sen Eercício: Dada a unção: ) ( arcsen. Calcule D e CD. Veriique que não tem zeros. Resolução: { } { } { } { } [ ], : : : : D Determinemos a imagem de : ( ) ( ) ( ) arcsen arcsen arcsen

38 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 9, Logo, ( ) Im Vejamos agora que não tem zeros: ( ) arcsen arcsen sen( arcsen ) sen não tem zeros, pois a unção módulo é sempre não negativa (isto é, ). Eercício: Considere a unção real de variável real deinida por: a) Veriique que ], ] [, [ b) Determine a imagem de D. ( ) arcsen c) Caracterize a unção inversa de,.

39 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 5 Função cos: Seja α um ângulo representado no círculo trigonométrico (circulo de raio ). cos(α ) corresponde ao valor da abcissa do ponto que resulta da intersecção entre a circunerência e o segmento que determina o ângulo com o eio dos se pode ver na igura ao lado. ' s, conorme Recorrendo ao círculo trigonométrico, é ácil veriicar as seguintes igualdades para um determinado ângulo α : α α α α cos( α ) cos( α ) cos( α ) cos( α ) cos( α ) cos( α ) Assim, usando as igualdades anteriores, é sempre possível determinar o valor do co-seno de um ângulo α conhecendo apenas os valores da unção co-seno no º quadrante. Eemplo: º quadrante cos cos cos cos

40 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 5 Como unção real de variável real, temos : cos( ) À unção dá-se o nome de unção co-seno. (Nota: é a medida de um ângulo em radianos) O seu gráico é / / / / Características desta unção: Domínio: ; Contradomínio: Im( ) [, ] ; Injectividade: não injectiva; Zeros: k, k Ζ ; Paridade: cos( ) cos( ) (co-seno é uma unção par); Periodicidade: cos( ) cos( ) ( é o período positivo mínimo); Limitada: Máimos: em Mínimos: em cos( ) ; k, k Ζ ; k, k Ζ.

41 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 5 Função arccos Consideremos a unção : [, ] cos( ) Esta unção não é injectiva / / / / Por eemplo, há ininitos pontos do domínio que têm por imagem zero ( cos( ) k, k Z ). Pelo que não admite inversa. Contudo, podemos considerar uma restrição do domínio onde a unção co-seno seja injectiva (chamada restrição principal): g : [, ] [, ] cos( ) cujo gráico é: / / Assim deinida, g é uma unção injectiva e portanto az sentido alar na sua inversa, Então g tem por domínio [, ], imagem [, ] e a cada [, ] ângulo (ou arco) cujo co-seno é, que se representa por arccos ( ). g. az corresponder o

42 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 5 cujo gráico é g : [, ] [, ] arccos( ) Características desta unção: Domínio: [, ]; Imagem: [, ]; Injectividade: injectiva; Zeros: ; Paridade: nem é par nem é ímpar; Monotonia: estritamente decrescente; Limitada: [, ] Máimo em ; Mínimo em ; arccos () ; Nota: O arccos( ) é o valor real tal que ( arccos( )) cos onde ; ( cos( )) arccos onde. cos( ), onde [, ], ou seja: arccos( ) cos( )

43 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 5 Eemplos: cos arccos arccos cos 5 7 arccos cos arccos pois 7 [, ] ; cos ( arccos( ))? (note que Eercício: Considere a unção deinida por: ( ) arccos Determine o domínio e contradomínio de. Caracterize a inversa, caso eista. Resolução: D { : } { : } { : } { : } [,] Determinemos o contradomínio de : Logo, ( ) Im arccos() arccos arccos() (notar que a unção arccos arccos, arccos é decrescente)

44 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 55 A unção não admite inversa, pois não é injectiva:, D mas Eercício: Dada a unção: a) Calcule D e ( ) arccos ( ). CD. b) Caracterize a inversa, caso eista. c) { : ( ) } Resolução: a) D { : } { : } { : } [,] Determinemos a imagem de : Logo, ( ) Im arccos( ) arccos( ) arccos arccos( ) arccos( ) arccos( ), b) é uma unção injectiva porque é composta de unções injectivas. arccos Portanto ( ) arccos( ) : arccos, [,] cos( ) ( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )

45 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 5 c) Estudemos os zeros de ( ) arccos arccos arccos ( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) ( ) cos tem um zero em.

46 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 57 Função tangente Seja α um ângulo representado no círculo trigonométrico. tg (α) corresponde ao valor da ordenada do ponto que resulta de projectar o lado etremidade do ângulo α no eio paralelo ao eio das ordenadas e que passa pelo ponto de coordenadas (,). (ver igura ao lado) α (,tg α) (,) Recorrendo ao círculo trigonométrico é ácil veriicar as seguintes igualdades para um determinado ângulo α : α α tg( α) tg( α ) tg ( α ) tg( α ) Estas igualdades permitem calcular a tangente de um ângulo α conhecendo apenas os seus valores no º quadrante. Eemplo: º quadrante tg tg tg tg

47 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 58 Como unção real de variável real, temos : \ k, k Ζ tg( ) À unção dá-se o nome de unção tangente. (Nota: é a medida de um ângulo em radianos) O seu gráico é Características desta unção: Domínio: \ k, k Ζ; Contradomínio: ; Injectividade: não injectiva; Zeros: k, k Z ; Paridade: tg( ) tg( ) (tangente é uma unção ímpar); Periodicidade: tg( ) tg( ) ( é o período positivo mínimo); Limitada: não limitada; Máimos: não tem; Mínimos: não tem.

48 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 59 Função arco tangente Consideremos a unção : \ k, k Ζ tg( ) Esta unção não é injectiva. Por eemplo, há ininitos pontos do domínio que têm por imagem zero ( tg( ) k, k Z ). Pelo que não admite inversa. Contudo, podemos considerar uma restrição do domínio onde a unção tangente seja injectiva (chamada restrição principal): cujo gráico é: g :, tg( ) Assim deinida, g é uma unção injectiva e portanto az sentido alar na sua inversa, Então g tem por domínio, imagem, e a cada ângulo (ou arco) cuja tangente é, que se representa por arctg ( ). g. az corresponder o

49 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real g :, arctg( ) cujo gráico é / / / / Características desta unção: Domínio: ; Contradomínio:, ; Injectividade: injectiva; Zeros em ; Paridade: arctg( ) arctg( ) ( arctg é uma unção ímpar); Monotonia: estritamente crescente; Limitada: Máimos: não tem; Mínimos: não tem; < arctg ( ) < ; Nota: O arctg () é o valor real tal que tg ( ), onde, ou seja: ( arctg( ) ) tg onde ; ( tg( ) ) arctg onde arctg ( ) tg( ).

50 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Eemplos: 7 7 arctg tg tg arctg 7 tg arctg tg arctg tg arctg pois, 7. Eercício: Considere a unção deinida por arctg ) (. Determine o domínio e contradomínio de. Caracterize a inversa, caso eista. Resolução: { } \ : : D ( ) ( ) { } { } \, \, Im arctg pois nunca se anula! Nota: é injectiva: arctg arctg arctg é uma unção injectiva (recordar!) porque ) ( ) ( Determinemos a epressão analítica da inversa: ( ) ( ) ( ) cot cot g g tg arctg Portanto { } ) ( cot \ \, : g

51 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Função co-tangente Seja α um ângulo representado no círculo trigonométrico. cotg ( α ) corresponde ao valor da abcissa do ponto que resulta de projectar o lado etremidade do ângulo α no eio paralelo ao eio das abcissas que passa no ponto (,). (ver igura ao lado) (,) (cotg α,) α Recorrendo ao círculo trigonométrico é ácil veriicar as seguintes igualdades para um determinado ângulo α : α α α α ( α ) cotg( ) cotg( α ) cotg α cotg( α ) cotg( α) Estas igualdades permitem calcular a co-tangente de um ângulo α conhecendo apenas os seus valores no º quadrante. Eemplo: º quadrante cotg cotg cotg

52 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Como unção real de variável real, temos : \ { k, k Ζ} cotg( ) À unção dá-se o nome de unção co-tangente. (Nota: é a medida de um ângulo em radianos) O seu gráico é Características desta unção: Domínio: { k, k Ζ} \ ; Contradomínio: ; Injectividade: não injectiva; Zeros: k, k Z ; Paridade: cotg( ) cotg( ) (co-tangente é uma unção ímpar); Periodicidade: cotg( ) cotg( ) ( é o período positivo mínimo); Limitada: não limitada; Máimos: não tem; Mínimos: não tem.

53 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Função arco co-tangente Consideremos a unção : \ { k, k Ζ} cotg( ) Esta unção não é injectiva. Por eemplo, há ininitos pontos do domínio que têm por imagem zero ( cotg( ) k, k Z ). Pelo que não admite inversa. Contudo, podemos considerar uma restrição do domínio onde a unção co-tangente seja injectiva (chamada restrição principal): g : cujo gráico é: ], [ cotg( ) Assim deinida, g é uma unção injectiva e portanto az sentido alar na sua inversa, Então g tem por domínio, imagem ], [ (ou arco) cuja co-tangente é, que se representa por arccotg ( ). g. e a cada az corresponder o ângulo

54 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 5 g : ], [ arccotg( ) cujo gráico é / Características desta unção: Domínio: ; Contradomínio: ],[; Injectividade: injectiva; Zeros não tem; Paridade: não é par nem é ímpar; Monotonia: estritamente decrescente; Limitada: Máimos: não tem; Mínimos: não tem; < arccotg ( ) < ; Nota: O arccotg () é o valor real tal que cotg ( ), onde ( arccotg( ) ) cotg onde ; ( cotg( ) ) arccotg ( ) cotg( ) arccotg onde < <., ou seja:

55 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Eemplos: 7 7 arcccotg cotg cotg arcccotg 7 cotg arccotg cotg arccotg cotg arcccotg pois ] [, 7. Eercício: Considere a unção deinida por ( ) ) ( arccotg. Determine o domínio e contradomínio de. Caracterize a inversa, caso eista. Resolução: D. Determinemos o contradomínio de : ( ) ( ) ( ) < < < < < < arccotg arccotg Logo ( ), Im. é uma unção injectiva porque é composta de unções injectivas. Determinemos a epressão analítica da inversa: ( ) ( ) ) ( cotg cotg arccotg arccotg Portanto, : cotg

56 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 7 Função secante A unção secante deine-se como : \ k, k Z sec( ) cos( ) O seu gráico é: Características desta unção: Domínio: { : cos( ) } \ k, k Ζ ; Contradomínio: \ [, ]; Se logo,, temos cos( ) < < cos( ) ou seja, Dsec cos( ) sec( ) cos( ) sec( ) ], ] [ [ sec( ),

57 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 8 Injectividade: não injectiva; Zeros: não tem; Paridade: sec( ) sec( ) cos( ) cos( ) (secante é uma unção par); Periodicidade ( ) ( é o período mínimo positivo) Limitada: não limitada; Máimo: em sec sec cos k, k Z ; ( ) cos( ) ( ) Mínimo: em k, k Z ; Nota: Os máimos e mínimos reeridos nas características da unção secante são relativos. No entanto, a unção secante não tem etremos absolutos. Eercício:. cos Considere a unção deinida por ( ) Determine o domínio e o contradomínio. (Sugestão: esboce o gráico de usando as transormações descritas nas páginas -) Caracterize a inversa da unção na restrição 5, \.

58 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 9 Função co-secante A unção co-secante deine-se como : \ { k, k Z} cosec( ) sen( ) O seu gráico é: Características desta unção: Domínio: { : sen( ) } \ k, k Ζ ; { } Contradomínio: ], ] [, [ Injectividade: não injectiva; Zeros: não tem; Paridade: co sec( ) co sec( ) sen( ) sen( ) (co-secante é uma unção ímpar); Periodicidade: co sec( ) co sec( ) sen( ) sen( ) Limitada: não limitada; Máimos: em Mínimos: em ( é o período mínimo positivo) k, k, k Z ; k Z ;

59 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 7 Nota: Os máimos e mínimos reeridos nas características da unção co-secante são relativos. No entanto, a unção secante não tem etremos absolutos. Eercício: Considere a unção deinida por ( ) contradomínio. Caracterize a inversa da unção na restrição cosec. Determine o domínio e o 5, \. Resolução de equações trigonométricas: Resolução de equações com senos ( α ) k Ζ sen ( ) sen( α ) α k, k Eercício: Resolva as seguintes equações trigonométricas: a) sen ( ) b) sen ( ) c) sen( ) sen( ) Resolução: a) sen( ) sen ( ) sen k k k, k Z 5 k, k Z

60 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 7 b) ( ) ( ) Z k k k Z k k k Z k k k sen sen sen sen sen sen, 9 9 5, 9 9, é ímpar) (porque a unção ) ( c) ( ) ( ) ( ) ( ) Z k k Z k k k Z k k k sen sen sen sen,,, ) ( ) ( Resolução de equações com co-senos Ζ ± k k, ) cos( ) cos( α α Eercício: Resolva as seguintes equações: a) ( ) cos b) ( ) ) cos( cos c) ) ( ) cos( sen Resolução: a) Ζ ± Ζ ± k k k k, 9, cos ) cos( ) cos(

61 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 7 b) cos ( ) cos( ) cos() cos( ) ± ( ) k, k Ζ k k k, ( k ), k Ζ k k, k Ζ k Ζ c) cos( ) sen( ) Para resolver esta equação é necessário começar por escrever sen ( ) cos( ) e seguidamente aplicar a órmula: Relações entre seno e co-seno Recorrendo ao círculo trigonométrico, é ácil veriicar as seguintes igualdades para um determinado ângulo α : /α α /α α cos sen ( α ) α sen ( α ) cos α Continuação da resolução do eercício c): cos( ) sen( ) cos( ) cos

62 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 7 Resolução de equações com tangente tg ( ) tg( α ) α k, k Ζ Eercício: Resolva as seguintes equações: a) tg ( ) b) tg( ) tg Resolução: a) b) tg( ) tg( ) tg k, tg() tg tg() tg( ) (porque a unção tg é ímpar) k, k Z k, k Z k Z Resolução de equações com co-tangente cotg ( ) cotg( α ) α k, k Ζ Eercício: Resolva as seguintes equação: a) cotg ( ) b) cotg( ) cotg( ) c) cotg ( ) tg( ) Resolução a) cotg( ) cotg( ) cotg k, k Z

63 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 7 b) cotg() cotg( ) c) cotg ( ) tg( ) cotg() cotg( ) (porque a unção cotg é ímpar) k, k Z k, k Z Para resolver esta equação é necessário começar por escrever tg ( ) cotg( ) e seguidamente aplicar a órmula: Relação entre tangente e co-tangente Recorrendo ao círculo trigonométrico é ácil veriicar as seguintes igualdades para um determinado ângulo α. /α α /α α tg ( α) cotg α cotg ( α) tg α Continuação da resolução do eercício c): cotg( ) tg( ) cotg( ) cotg

64 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 75 Identidades trigonométricas: sen ( ) ( α ) tg α sen( α ) sen( α ) cos( α ) cos cotg ( ) ( α ) α cos ( α ) cos( α ) sen( α ) tg( α ) sec( α ) tg( α ) tg( α ) cos( α ) sen cosec ( α ) ( α ) cotg ( α ) cotg ( α ) Vamos ver mais algumas identidades trigonométricas, mas em primeiro lugar vamos deduzir a órmula undamental da trigonometria. De acordo com a deinição de seno e co-seno de um ângulo α, dado um ponto P da circunerência unitária (com raio igual a ver igura) α b P a temos que sen ( α ) e ( ) P ( sen( α ), cos( α )) a b cos α pelo que as coordenadas do ponto P são. Como P é um ponto da circunerência temos que a distância do ponto P à origem é d (,P) sen ( α ) cos ( α ), ou seja, ( α ) cos ( α ) sen. sen ( α ) cos ( α ) Fórmula undamental da trigonometria Outras identidades trigonométricas: tg ( α ) sec ( α ) ctg ( α ) cos ec ( α )

65 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 7 sen ( a ± b) sen( a) cos( b) ± cos( a) sen( b) cos( a ± b) cos( a) cos( b) sen( a) sen( b) tg( a ± b) tg ( a) ± tg( b) tg( a) tg( b) sen( a) sen( a) cos( a) cos( a) cos ( a) sen ( a) cos( a) sen ( a) ( ) ( ) cos tg( a) sen ( a) cos ( a) a cos a tg tg ( a) ( a) cos ( ) a cos ( ) a sen ( a) sen( b) ( cos( a b) sen( a b) ) sen( a) cos( b) ( sen( a b) sen( a b) ) cos( a) cos( b) ( cos( a b) cos( a b) )

66 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Eercícios. Considere os seguintes esboços. a. Indique aqueles que não podem ser gráicos de unções reais de variável real, justiicando. Fig.. Fig.. Fig.. b. De entre as unções representadas determine os respectivos domínios, contradomínios e indique quais as que são injectivas. c. Complete o seguinte quadro, usando o símbolo X para relacionar o gráico com a respectiva unção. Fig.. Fig..5 Fig.. Fig..7 Fig..8 Fig..9 Fig./unção e / e ln(). Determine o domínio das seguintes unções: a. b. 5 c. 5 d.

67 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 78 e. 5. g. log (9 ) h. ln( ) ( ), >, i. sen j. cos k. tg ( ). Considere a unção : D B onde D e B são dois subconjuntos de. Indique D e B de modo que: a. seja injectiva e não sobrejectiva; b. seja sobrejectiva e não injectiva; c. seja bijectiva; d. não seja sobrejectiva nem injectiva; e. seja monótona crescente e possua um etremo;. Indique o valor lógico das seguintes airmações: a. Uma unção é injectiva se toda recta vertical intersecta o gráico da unção no máimo uma vez. b. A unção : é sobrejectiva e limitada. c. Se uma unção é periódica de período T então tem etremos. d. Se uma unção é limitada então tem etremos. e. Se uma unção é periódica de período T então não é injectiva.. Se é uma unção sobrejectiva e o conjunto de chegada é [,], então tem etremos. g. Se é uma unção sobrejectiva então tem pelo menos um zero.

68 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Seja () uma unção cujo gráico, para, tem a orma apresentada na igura. Complete esse gráico no domínio <, se: a. () é par b. () é ímpar.. Analise a paridade das unções seguintes: a. ( ) b. ( ) ln( ) 7. Veriique se as unções seguintes são injectivas: a. ( ) b. ( ) ln( ) 8. Determine a equação reduzida das rectas a seguir indicadas e represente-as graicamente. a. Recta que passa pelos pontos (,-) e (,). b. Recta paralela à recta reerida na alínea anterior e que passa pelo ponto (,). c. Recta perpendicular à recta da alínea (a) que passa pelo ponto (,). 9. Indique o valor lógico das seguintes airmações justiicando devidamente a sua opção. a. A inversa de uma unção crescente é decrescente. b. Seja :[, ] [, ] uma unção sobrejectiva e periódica de período, então podemos airmar que ( ) / tem uma única solução. c. Se : [, 5] é uma unção crescente tal que ( ) e ( 5 ) 7 um elemento c ], 5[ tal que ( c) 5., então eiste d. Se é uma unção injectiva no intervalo [,], ( ) e ( ) então eiste c ],[ tal que ( c).

69 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 8. O gráico de ( ) pode ser obtido a partir do gráico de ( ) uma translação de uma unidade a. para a direita. b. para cima. c. para a esquerda. por meio de d. na direcção da recta.. O gráico de uma unção com domínio [;] é dado por: Esboce o gráico de: a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( ) e. ( ). ( ) g. ( ) h. ( ). Uma representação gráica da unção deinida por t ( ) é:

70 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 8. A igura 5. representa o gráico de uma unção :. a. Qual dos gráicos seguintes poderá ser o de? b. E o de g ( ) se se ( ) ( ) < c. E o de h ( ) se se ( ) ( ) >. A igura seguinte representa o gráico da unção g. Então o gráico da unção deinida por g( ) poderá ser:

71 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 8 5. Seja (. a unção cuja representação gráica é a indicada na igura. Indique qual a representação gráica da unção deinida por h ) ( ) A. B. (. C. D.

72 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 8. A igura representa o gráico da unção g. Qual dos seguintes poderá representar o gráico da unção deinida por h( ) g( )? 7. Se uma unção tem dois zeros então (.: a. Tem obrigatoriamente zeros. b. Tem no mínimo zeros. c. Pode ter ou não zeros. d. Tem obrigatoriamente zeros.

73 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 8 8. Na igura está representada parte do gráico de uma unção, de domínio : Em qual das iguras seguintes poderá estar representada parte dos gráicos de duas unções, g e h, de domínio, tais que g h? 9. Os gráicos seguintes representam as unções e g, reais de variáveis reais.

74 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 85 a. Determine: i. ( g )() ii. ( g)() b. Represente graicamente as unções () e g ( ). c. Resolva as condições: ( ) i. < g( ) ii. g ( ) d. Tendo em atenção o gráico da unção, eplicando o seu raciocínio., escreva a epressão analítica da unção g. Calcule:. Dadas as unções, reais de variável real, ( ) e ( ) a. O domínio de ( g )(). b. ( g )().. Dadas as unções reais de variável real, g( ) e ( ), obtenha, se possível, as unções compostas ( g)( ) ( g( )) e ( g )( ) g( ( )). 5,,. Sendo ( ), < 8 e ( ) > 8 g, calcule ( g )().. As iguras abaio, representam parte dos gráicos das unções, g : Gráico de - - Gráico de g

75 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 8 Qual das iguras abaio pode representar parte do gráico da unção composta g? a. b. g? E de c. - d Seja p( ) um polinómio de grau e q( ) um polinómio de grau. Então p q tem grau: a. igual a. b. igual a. c. igual a 7. d. superior a. 5. Seja e ( ) g( ) esta propriedade (comutativa) seja veriicada?. Mostre que ( g)( ) ( g )( ). É comum que. Seja g( ). Encontre todos os polinómios de primeiro grau, ( ) que ( g)( ) ( g )( ). a b ( a ), tal 7. Seja uma unção deinida por ( ). Então pode ser deinida por: a. c. ( ) ( ) b. ( ) ( ) d. nenhuma das opções. 8. Considere a unção real de variável real ( ) 5. a. Indique o seu domínio e contradomínio. b. Determine e caracterize a sua unção inversa, caso eista. c. Determine o conjunto { R : ( ) } S.

76 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Considere as unções: ( ) e a. Caracterize e g. 5 g ( ). b. Caracterize ( ) g e g. O que se conclui?. Considere a unção real de variável real deinida por ( ) sgn( ), sgn denota a unção sinal deinida por, > ( ),., < a. Mostre que a unção é invertível e escreva a sua unção inversa. b. Esboce, numa única igura, o gráico de e de. O que se pode concluir?. Sendo h uma unção cuja representação gráica é: Então o gráico de A.. h será: B C D

77 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 88. Escolha a airmação correcta: Se s or uma unção cuja representação gráica é então, a. s admite inversa b. A restrição de s a [, [ gráica é tem inversa cuja representação c. A restrição de s a [, [ representação gráica é tem inversa cuja d. s ( ). Seja uma unção que admite inversa obrigatoriamente:, tal que. Então o gráico de é a. a recta. b. simétrico em relação à bissectriz dos quadrantes impares. c. simétrico relativamente à origem do d. uma linha continua. reerencial.

78 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 89. Indique o valor lógico das seguintes airmações justiicando devidamente a sua opção. a. Se e g são duas unções injectivas então g é uma unção injectiva. b. Se ( ) e ( ) g então Dg,. c. Seja e g duas unções sobrejectivas tal que :[, ] [, [ e g : ], [ a imagem (ou contradomínio) de g é Im( g ) ], [., então 5. A representação gráica da unção deinida por ( ) e, é: a. c. b. d.. Considere as unções e g, de domínio, deinidas por Qual o conjunto solução da inequação ( ) > g( )? a. Conjunto vazio b. c. d. ( ) e g ( ). 7. Calcule: 8 a. ( log ) log b. log 8 c. log d. log 9 ln e

79 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 9 8. O gráico da unção ( ) e, intersecta a recta em: a. Dois pontos: (-;) e (,). b. Um ponto: (ln;). c. Um ponto: ( ln ; ). d. Nenhum ponto. 9. Seja g uma unção deinida por g( ) ln. Então o domínio de g é: a. ] ; [ b. \ { } c. \ {,} d. ] ;[ ] ; [ ln( ). O valor da epressão e é igual a: e. b. e ( ) a. c. d. e ln ( ) e. A epressão ( e ) log ln a. log ( ) é identicamente igual a:. b. log log d. log c. ( ). Determine os valores reais de que veriicam cada uma das seguintes condições: ln( ) a. < ln( ) c. 8 b. e e d. ( ) ln ln ln e. ln ln( ). log 5( ) log (8) e g. e e < h. > i. log log ( ) >

80 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 9. Dada a unção real de variável real h( ) e. a. Resolva a seguinte equação: ( ( )). b. Caracterize h ( ) h. Considere a unção real de variável real ( ) ( e ) Determine: a. O seu domínio. b. (). log. e c. O conjunto A R : ( ) log e e. 5. Determine: a. sen b. 5 cos c. tg d. cos( ) e. 8 cot g. sec g. cos ec h. 9 sec i. cos ec ( ) j. arcsen k. arctg l. arccos ( ) m. cos ec arccos n. sec arctg o. sen arccos 5 p. sen arccos 5 q. cos arcsen 5 r. arctg ( cos( ) s. tg arccos t. tgarccos arcsen arcsen sen arccos u. ( )

81 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 9. Considere a epressão ( ) a bsen ( ). Sempre que se atribui um valor real a e um valor real b, obtemos um a unção de domínio. a. Nesta alínea, considere que a e b 5. Sabendo que tg θ, calcule ( θ ). b. Para um certo valor de a e um certo valor b, a unção tem o seu gráico parcialmente representado na igura seguinte: Conorme esta igura sugere, tem-se: Determine a e b. O contradomínio de é [,] e são maimizantes e são minimizantes 7. Seja uma unção deinida por ( ) ln( sen( ) ) [ ; ] é:. Então, o domínio de em a. 5 ; b. 5 7 ; ; c. 5 7 ; ; d. 5 ; 8. Dadas as unções arcsen(), arccos(), arctg() e sec(), associe cada uma delas ao respectivo gráico. a. b.

82 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 9 c. d. 9. Resolva cada uma das seguintes equações. a. sen b. tg ( ) cot g( ) c. arccos ( ) d. cos( ) e. sen( 5 ). sen( ) sen( ) g. tg ( ) 9tg ( ) h. 5cos ( ) cos ( ) i. ( arccos ( )) tg j. arctg k. arccos l. tg arctg 5. Sabendo que tg α α, calcule α sen α sen. 5. Resolva as seguintes inequações. a. sen( ) < sen( ), em [ ; [.

83 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 9 b. sen( ) >, em [ ; [. c. arccos <. 5. Qual é a inversa e o domínio da unção deinida por ( ) arcsen( )? a. D ( ) arcsen( ) [, ] b. D ( ) sen( ) ], [ c. d. D ( ) sen( ) ],[ D ( ) sen( ) [, ] arcsen é: 5. O domínio da unção deinida por ( ) a.,. b. [, ] c. [, ] d. [, ] 5. Dadas as unções reais de variável real ( ) cos( ), g( ) cos( ) sen( ) a. Determine os valores de no intervalo ], [ ( ) > b. Resolva a equação ( ) g ( ) que veriicam a condição 55. Considere a unção real de variável real ( ). cos a. Determine o seu domínio e contradomínio. b. Escolha um domínio (de maior amplitude possível) onde seja injectiva, e calcule,

84 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 95 nesse domínio, a respectiva unção inversa. c. Veriique que ( ) 5. Considere a unção ( ) arcsen( ). a. Calcule o domínio e contradomínio da unção. b. Determine a unção inversa. c. Calcule os zeros da unção. d. Determine R : ( ) 57. Dada a unção h( ) arccos a. Mostre que h é par. b. Determine o seu contradomínio. c. Caracterize a inversa da restrição de h ao subconjunto não negativo de D h d. Deina em etensão: A Dh : h( ). 58. Considere a unção real de variável real ( ) arctg( ). a. Determine o domínio e contradomínio de. b. Prove que [, ], ( ). c. Deina a unção inversa. 59. Considere a unção ( ) tg ( ) sen ( ). a. Determine o seu domínio. b. Justiique que a unção é ímpar.. Considere as unções e g, reais de variável real, ( ) sen( ) e g ( ) arccos( ), deinidas nas respectivas restrições principais. a. Determinar tal que ( ) (). b. Escreva a epressão designatória da aplicação ( g)( ) e determine o número