Cálculo Diferencial e Integral I 1 o Sem. 2015/16 - LEAN, LEMat, MEQ FICHA 8
|
|
- Gabriel Henrique Carvalhal Minho
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I o Sem. 05/6 - LEAN, LEMat, MEQ FICHA 8 Regra de Cauchy. Estudo de funções. a. a) b 0 é uma indeterminação do tipo 0. Pela Regra de Cauchy, já que o 0 ite à direita eiste: a b 0 0 ln a a ln b b = ln a ln b = ln a b. ln(+e b) ) + é uma indeterminação do tipo. Pela Regra de Cauchy (duas vezes), já que o ite à direita eiste: ln( + e ) + + e + + e = + e + e =. arcsen() c), é uma indeterminação do tipo 0. Usando a Regra de Cauchy (já 0 0 que o ite à direita eiste): arcsen() 0 0 =. arctg( ) d) é uma indeterminação do tipo 0 0. Fazendo y = 4 0 e usando a Regra de Cauchy (o ite à direita eiste): arctg( ) 0 4 y 0 + arctg(y) y y y y = +. arctg e) + sen é uma indeterminação do tipo 0. Fazendo y = / e usando a Regra 0 de Cauchy, já que o ite à direita eiste: arctg + sen y 0 arctg y sen y y 0 + y cos y =.
2 f) (ln ln ln ) é uma indeterminação do tipo 0. Escrevendo ln ln ln ln ln ln temos uma indeterminação do tipo, e pela Regra de Cauchy, já que o ite à direita eiste, ln ln ln ln ln ln = 0. g) 0 + e / é uma indeterminação do tipo 0 0. Escrevendo e / e, / temos uma indeterminação do tipo, e pela Regra de Cauchy, uma vez que o ite à direita eiste, 0 + e/ e/ = 0. e/ (Nota: a Regra de Cauchy aplicada directamente a 0 + e / questão... ) h) 0 e / 0 e / = + =. (Note que a Regra de Cauchy não é aplicável!) não simplifica a i) 0 + sen sen 0 + sen = 0 = 0. sen (Note que não eiste 0 + j) = ln. ( sen ) (sen ) logo a Regra de Cauchy não é aplicável.) sh sen k) é uma indeterminação do tipo 0. Aplicando a Regra de Cauchy (três vezes), já que o ite à direita eiste: sh sen ch + cos 6 = 3. l) + é uma indeterminação do tipo. Aplicando a Regra de Cauchy (duas vezes), já que o ite à direita eiste: + ln + m) = 0 0 = 0. (ln ) + = +.
3 n) + ln sen é uma indeterminação do tipo 0. Temos, fazendo y = e usando a Regra de Cauchy (o ite à direita eiste): ln sen + ln y sen y + já que y 0 sen y y y 0 =. y 0 + ln y sen y y 0 + y cos y sen y y 0 + o) 0 + ln sen é uma indeterminação do tipo 0. Temos fazendo y =, (como alínea anterior). ln sen ln y sen y ln y sen y = y 0 + y 0 + p) ; q) a /b ; r) 0; s) ; t) 0; ( ) u) ( ) cos = 0, por enquadramento, já que ( ) 0, e 0 < cos <, logo ) 0 < ( ) ( cos < ( ). (A Regra de Cauchy não é aplicável.) ( v) ( ) cos + fazendo y =, ( ) + w) + ; ) 0; y) ; z). ), é uma indeterminação do tipo 0. Temos, ( cos ) cos y y 0 y. a) + ln ln é uma indeterminação do tipo. Temos y 0 sen y y =. ln ln eln(ln ln ) eln(ln ) ln = e + ln(ln ) ln Como + ln(ln ) ln = 0 (eercício anterior.f) logo ln ln = e 0 =. + sen y y cos y = 0 3
4 b) + é uma indeterminação do tipo 0. Temos + + eln ( ) e ln = e + ln. + Agora, + ln + ln é uma indeterminação do tipo e aplicando a Regra de Cauchy, já que o ite à direita eiste, Logo, + ln = + = 0. = e 0 =. + c) 0 + (sen ) sen é uma indeterminação do tipo 0 0. Temos (sen )sen = e 0 + sen ln sen. 0 + Temos que 0 + sen ln sen 0 + ln sen sen. Aplicando a Regra de Cauchy (ite à direita eiste) Logo ln sen 0 + sen 0 + cos sen cos sen (sen )sen = e 0 =. 0 + é uma indeterminação do tipo sen = d) + (ln ) é uma indeterminação do tipo 0. Temos + (ln ) = e + ln ln. Agora + ln ln ln ln + é uma indeterminação do tipo e temos logo + (ln ) =. e) (cos ) 0 ln ln + + ln = 0 é uma indeterminação do tipo 0. Temos (cos ) 0 = e ln cos 0 = e = e já que ln cos 0 sen cos 0 =. 4
5 ( f) sen ) ln + ln + é uma indeterminação do tipo 0 0. Temos ( sen ) ln + ( ln sen = e + ln ) = e já que, fazendo y = /, e pela Regra de Cauchy, já que o ite à direita eiste, ( sen ) ln y 0 + ln (sen y) ln y y 0 + cos y sen y y y 0 + y cos y sen y =. g) e ; h) ; i) e; j) ; k) ; l) ; m) e 3 ; n) e ; o) ; p) ; q); r) ; s) e ; t) ; u). 3. a) Para p =, aplicando a Regra de Cauchy, temos e p Assumindo por hipótese de indução que usamos de novo a Regra de Cauchy para calcular b) como a) p+ e (p + ) p e = (p + ) 0 = 0. c) como a), notando que 0 + (ln ) p 0 + e = 0. = 0 para um dado p N, e (ln ) p sen é uma indeterminação do tipo 0 0. Temos que 0 sen e sen ln = e 0 sen ln. 0 Vamos calcular 0 sen ln, que é uma indeterminação do tipo 0. Escrevendo sen ln = ln ficamos com uma indeterminação do tipo e podemos usar a Regra sen de Cauchy: ln 0 sen Logo, 0 sen = e 0 =. 0 cos sen sen 0 cos sen 0 sen cos = 0 = 0. Pela definição de ite segundo Heine, como 0, temos agora n ( ) sen n =. n 5
6 5. a) f é diferenciável no ponto uma vez que é dada, numa vizinhança de, pela função arctg que é diferenciável no seu domínio (por ser a composta de uma função trigonométrica inversa com uma função racional). Temos ( arctg ) = + ( ) = +, logo f () =. A tangente ao gráfico no ponto é a recta y = f() + f ()( ) = π 4 ( ) = π 4 +. b) Em primeiro lugar, para f ser diferenciável em 0, f tem que ser contínua em 0. Logo, como f(0) = a e f() arctg = π, resulta que f é contínua em 0 sse a = π. Quanto à diferenciabilidade, e f e(0) 0 f() f(0) 0 f d(0) 0 + f() f(0) 0 Como se trata de uma indeterminação do tipo 0 0 Assim, como (arctg π ) 0 + () b 0 = b arctg π. 0 +, tentemos usar a regra de Cauchy. 0 + = + =, deduz-se que f d (0) = e que f é diferenciável em 0 sse a = π e b =. c) Se a < 0, então numa vizinhança de a f é dada pela função polinomial π, que é diferenciável. Logo f é diferenciável em ], 0[. Se a > 0, então numa vizinhança de a, f é dada pela função arctg, que é diferenciável no seu domínio R \ {0}. Concluimos que f é diferenciável em a se a > 0 e, portanto, f é diferenciável em ]0, + [. Como para a < 0, f (a) = b =, temos { se 0 f () = se > 0 + Para ver se f é de classe C, ou seja, se f é contínua: temos que f é contínua em R \ {0} (justifique). No ponto 0: f () = = f (0). Logo f é contínua em 0 e portanto é de classe C. 6
7 d) f é decrescente em R, não tem etremos. e) + f() + arctg = arctg(0) = 0 e f() π = +. O contradomínio é R + (justifique). 6. a) + f() =, + f() + e + = 0. (Justifique.) b) f é diferenciável em R \ 0 com derivada dada por ( f() = ln ( ) ) = se < < 0, ( e ) = e ( 3 ) se > 0. Temos f e(0) = 0 = f d (0), logo f é diferenciável em 0, com f (0) = 0. c) f é crescente em ], 0[ e em ]0, [, decrescente em ], + [, já que para < < 0 temos f () > 0 e para > 0, f () = e ( ) = 0 = ± logo tem um zero em e como f muda de sinal, é ponto de etremo, um máimo. d) CD f =], f()] (justifique). e) f d (0) f () f (0) 0 + f e (0) 0 + f () f (0) 0 + e ( ) = e, f : R R definida por f() = e. =. a) f() e é uma indeterminação do tipo 0. Escrevendo e = e, ficamos com uma indeterminação do tipo, a que podemos aplicar a Regra de Cauchy (o ite à direita eiste): e ( ) (e ) e = 0. Como a função é par, + f() f() = 0. b) A função e é diferenciável em R e é diferenciável em R \ {0}. Logo, para 0, f é dada pelo produto de duas funções diferenciáveis, sendo portanto diferenciável. Para = 0: e 0 + e e =, 0 +
8 e e 0 0 e =. 0 + Logo, f d (0) f e(0) e f não é diferenciável em 0. Conclui-se que o domínio de diferenciabilidade de f é R \ {0} e neste caso ) (e f = e ( ), se > 0, () = ) ( e = e ( ) se < 0. c) Para > 0: f () > 0 e ( ) > 0 < < > 0 0 < <, f () = 0 =, logo f é crescente em [0, ] e decrescente em [, + [. Para < 0: f () > 0 e ( ) > 0 ( < > ) < 0 < f ( ) = 0 logo f é crescente em ], ] e decrescente em [, 0]. Conclui-se que e são pontos de máimo, absolutos uma vez que f( ) = f(). Como f é decrescente em [, 0] e crescente em [0, ], temos também que 0 é ponto de mínimo, absoluto uma vez que f(0) = 0 e f() > 0, para 0. d) Temos da alínea anterior que f tem um máimo absoluto em, com f() = e e um mínimo absoluto em 0 com f(0) = 0, logo CD f = f(r) [0, e ]. Como f é contínua em [0, ], temos também, do Teorema do Valor Intermédio, que [0, e ] f(r). Logo o contradomínio de f é CD f = [0, e ]. 8. g : R R definida por: g() = onde α e β são constantes reais. { e + α + β se 0, arctg (e + e ) se > 0, a) Se g tem derivada finita em 0, será contínua em 0, logo g(0) = g(0 + ) = g(0 ), ou seja, g(0) = + β 0 + arctg ( e + e ) = arctg = π 4, logo β = π. Por outro lado, g é diferenciável em 0 logo 4 g e(0) = g d (0) e temos g e(0) 0 e + α + π 4 π 4 e + α = α +, 0 8
9 b) g d(0) 0 + arctg (e + e ) π 4 e e (e + e ) = 0 (onde se usou a Regra de Cauchy na indeterminação 0 ) logo α =. 0 g() e + π 4 = + g() arctg ( e + e ) = π + +. c) g é diferenciável em R (justifique) e { e se 0, g () = e e se > 0. +(e +e ) d) Temos para 0: g () = e < 0 para qualquer < 0 e g (0) = 0. Logo g é decrescente em ], 0]. Para > 0: g () = > 0 e > e e > > 0. Logo g é e e +(e +e ) crescente em ]0, + [. Conclui-se que 0 é um ponto de mínimo absoluto, usando a continuidade de g em 0. e) Da alínea anterior temos que g(0) = π é um mínimo absoluto, logo g() π para 4 4 qualquer e CD g = g(r) [ π, + [. Por outro lado, 4 g() = + e[ g é contínua em ], 0]. Conclui-se do Teorema do Valor Intermédio que π, + [ g(r). 4 Logo o contradomínio de g é CD g = [ π, + [ f() = e. a) f() e é uma indeterminação do tipo 0. Escrevendo e = temos uma indeterminação do tipo a que podemos aplicar a e Regra de Cauchy: e = 0. e Da mesma forma, f() = + + e + = + e = + = 0. e b) A função é diferenciável em R \ {0, } por ser dada nesse conjunto pelo produto de duas funções diferenciáveis: diferenciável em R \ {0} e e diferenciável em R \ {} (por ser a composta de duas funções: eponencial diferenciável em R e diferenciável em R \ {}). Em = : e + + e e + ( ) = 0
10 (onde se usou a Regra de Cauchy para levantar a indeterminação 0 ) e da mesma 0 forma, e e e ( + ) =. Logo, f d () = 0 f e() = e f não é diferenciável em. No ponto 0, pode ver-se (justifique) que f d (0) = e f e(0) = e, logo f não é diferenciável em 0, e o seu domínio de diferenciabilidade é R \ {0, }. (e + ) = e + ( ), se >, f () = (e ) = e ( + ), se 0 < <, ( e ) = e ( + ), se < 0. c) Temos (justifique): f (0) = 0 =, estudando o sinal de f e usando a continuidade de f, f crescente em ], ] e em [0, ], f decrescente em [, 0] e em [, + [. Logo, é ponto de máimo, 0 é ponto de mínimo e é ponto de máimo. Como f(0) = 0 e f() > 0 para 0, 0 é mínimo absoluto. Por outro lado, f() = e f( ) = e <, logo é ponto de máimo absoluto, e consequentemente, é ponto de máimo relativo. d) Da alínea anterior, temos que 0 = f(0) é mínimo absoluto de f e = f() é máimo absoluto de f. Logo f(r) [0, ]. Como f é contínua em [0, ], do Teorema do Valor Intermédio, [0, ] f(r). Logo o contradomínio de f é CD f = f(r) = [0, ]. 0. f() = + arctg. a) f() = f() = + + arctg + arctg + + π =. + π = +. + b) A função arctg é diferenciável em R e a função é diferenciável em R \ {0}. Logo, para 0, arctg é dada pela composição de funções diferenciáveis, e é portanto diferenciável em R \ {0}, e também o será f(). Quanto a = 0: f d(0) arctg arctg = = 3 0
11 (onde se usou a Regra de Cauchy para levantar a indeterminação do tipo 0 resultante de arctg 0 +.) Por outro lado, 0 f e(0) 0 + arctg 0 + arctg( ) Logo, como f d (0) f e(0), f não é diferenciável em 0. Conclui-se que o domínio de diferenciabilidade é R \ {0}. Temos { f +, se > 0, + () =, se < 0. + = =. c) Para > 0, f () = + > 0 para qualquer, logo f é crescente em ]0, + [. + Para < 0, f () = =. Temos + + f () = 0 = 0 < 0 =, e, como + > 0, f () > 0 para <, ou seja, f é crescente em ], ], e f () < 0 para < < 0, ou seja f é decrescente em ], 0[. Conclui-se assim que é ponto de máimo, relativo uma vez que + f() = +. Por outro lado, como f é contínua e decrescente em ], 0[, crescente em ]0, + [, temos que 0 é ponto de mínimo, de novo relativo uma vez que f() =. d) Temos f() = e f(0) = 0, e temos um máimo relativo em com f( ) = + arctg = + π > 0. Como f é crescente e contínua ] em ], ] ] temos que, pelo Teorema do Valor Intermédio, f(], ]) =, + π. Por outro lado, como f é decrescente e contínua em [, 0] temos que f([, 0]) = [ ] ] ] 0, + π. Logo f(], 0]) =, + π.. Do teorema de derivação da função composta, (ϕ()) = ( tg (g()) g()) = ( + tg (g()))g () g () = g ()( tg (g()) + ). Logo ϕ (0) = 0. Como g (0) = 0 e g é estritamente monótona, temos que g muda de sinal numa vizinhança de 0 (se g é crescente, g () < g (0) = 0, para < 0 e g () > 0 para > 0) e portanto, como tg (g()) + > 0 para qualquer, ϕ também muda de sinal numa vizinhança de 0. Como ϕ é contínua em 0 - já que g é contínua por ser diferenciável, e tg é contínua em g(0) = 0 - conclui-se que ϕ(0) é etremo de ϕ (mínimo, se g for crescente).
12 . a) ϕ () = f (sen ) cos, logo os possíveis etremos encontram-se em cos = 0 ou f (sen ) = 0 sen = 0 (já que f é estritamente crescente, logo só tem um zero). Do sinal de ϕ vemos que: cos = 0: máimos locais, sen = 0: mínimos locais. b) Tem infinitas soluções (T. Rolle aplicado a ϕ ). 3. Em + : y = m + b é assíntota ao gráfico de f se m = f() + + arctg + arctg = + + b f() m arctg = π + +. Logo y = + π é assíntota à direita. Da mesma forma se vê que y = π é assíntota à esquerda. A função é crescente em R, com f () = + > 0, e não tem pontos de etremo. + Como f () =, o gráfico de f tem concavidade para cima em ], 0[ e (+ ) para baio em ]0, + [, sendo 0 um ponto de infleão. (Esboce o gráfico, notando que π < f() < + π, ou seja, o gráfico está entre as assíntotas.) 4. Dado que f C (R) temos =, f () = ( 4 e ) = 3 e (4 ), f () = e ( 8 + ), Monotonia e etremos: Os pontos críticos de f, i.e. as solução de f () = 0, são 0 e 4. Temos f () > 0 ]0, 4[, (justifique) logo a função é estritamente crescente no intervalo ]0, 4[ e estritamente decrescente nos intervalos ], 0[ e ]4, + [. Conclui-se que 0 é ponto de mínimo, absoluto uma vez que f(0) = 0 e f() 0,, ou vendo que f() e = 0, e 4 é um ponto de máimo, relativo uma vez que f() 4 e = +. Concavidade e infleões: Temos f () > > 0 < 0 = > 6. Logo f tem concavidade para cima em ], [ e em ]6, + [, e virada para baio em ], 6[ (notem que f (0) = 0 mas 0 não é ponto de infleão dado que f não muda de sinal em 0).
13 Assíntotas: Uma vez que + f() = 0, y = 0 é assíntota horizontal à direita. Não há assíntota oblíqua à esquerda já que f() 3 e = +. (Não há assíntotas verticais, já que f é contínua em R.) O gráfico de f pode agora ser esboçado: f() = + ln( + ) ln( ), > Temos que f é vezes diferenciável em ], + [ e f () = + + = + ( ) ( + ) ( ) f () = ( + ) + ( ) = 4 ( + ) ( ). Monotonia, etremos: Como > 0 para >, temos que f () > 0 ( > 5 < 5) > > 5, = 5 ( ) logo f é decrescente em ], 5[ e crescente em ] 5, + [, sendo 5 um ponto de mínimo, absoluto (f é contínua). Concavidades e pontos de infleão: Temos f () > 0 para >, logo f tem concavidade para cima no domínio, não eistem pontos de infleão. 3
14 Assíntotas e contradomínio: Como + f() = +, eiste uma assíntota vertical à direita em =. Assíntota oblíqua: f() + + f() = = + ln( + ) + ln + logo y = é assíntota oblíqua à direita. Temos CD f = [f( 5), + [ (justifique). ( + ln( ) =, ) = ln() = 0, f() = + ln( + ) ln( ) 6. a) f() = +, D f = R \ {0} Temos f () = 3, f () = 6 4. f crescente em ], 0[ e em ] 3, + [, decrescente em ]0, 3 [, ponto de mínimo relativo em 3 ; concavidade para cima no domínio; assíntota vertical à direita e esquerda em = 0 já que 0 f() = +, assíntota oblíqua à direita e à esquerda y = ; CD f = R. b) f() = ( )( 3), D f = R \ {, 3}. Temos f 4 () = ( ) ( 3), f () = ( 4 + 5) ( ) 3 ( 3). 3 f crescente em ], [ e em ], [, decrescente em ], 3[ e em ]3, + [, ponto de máimo relativo em = ; concavidade para cima em ], [ e em ]3, + [, concavidade para baio em ], 3[, não há pontos de infleão ; assíntota vertical 4
15 à direita e esquerda em = e = 3, assíntota horizontal y = 0 à direita e esquerda; CD f =], ] ]0, + [. c) f() = 4 9, D f = R \ {±3}, f par. Temos f () = 0 ( 9), f () = 30( + 3) ( 9). 3 f crescente em ], 3[ e em ] 3, 0[, decrescente em ]0, 3[ e em ]3, + [, ponto de máimo relativo em = 0; concavidade para cima em ], 3[ e em ]3, + [, concavidade para baio em ] 3, 3[, não há pontos de infleão ; assíntota vertical à direita e esquerda em = 3 e = 3, assíntota horizontal y = à direita e esquerda; CD f =], 4/9] ], + [. d) f() =, D f = R \ {±}, f par. Temos f ( ), se > 0 () = f ( ), se > 0 () = 3 ( + ), se < 0,, se < 0, ( + ) 3 f não é diferenciável em 0: f d (0) =, f e(0) =. f decrescente em ], [ e em ], 0[, crescente em ]0, [ e em ], + [, ponto de mínimo relativo em = 0 (f é contínua e f muda de sinal); concavidade para baio em ], [ e em ], + [, concavidade para cima em ], 0 e ]0, [, não há pontos de infleão; assíntota vertical à direita e esquerda em = e =, assíntota horizontal y = à direita e esquerda; CD f =], [ [0, + [. e) f() = e, D f = R. Temos f () = ( )e, f () = ( 4 + )e. f decrescente em ], 0[ e em ], + [, crescente em ]0, [, ponto de máimo relativo em e de mínimo absoluto em = 0; concavidade para cima em ], [ e em ] +, + [, para baio em ], + [, infleões em ± ; assíntota horizontal y = 0 à direita; CD f = [0, + [. f) f() = e /, D f = R \ {0}. Temos f () = e /, f () = e/. 3 f crescente em ], 0[ e em ], + [, decrescente em ]0, [, ponto de mínimo relativo em = ; concavidade para cima em ], 0[, para baio em ]0, +, não há pontos de infleão; assíntota vertical = 0 à direita (à esquerda: 0 f() = 0), assíntota oblíqua à direita e à esuqerda y = + ; CD f =], 0[ [e, + [. g) f() = e+ +, D f = R \ { }. h) f() = + ln, D f = R + \ {/e}. 5
16 Temos f ln () = ( + ln ), f () = ln ( + ln ). 3 f decrescente em ]0, /e[ e em ]/e, [, crescente em ], + [, ponto de minimo relativo em = ; concavidade para cima em ]/e, e[, para baio em ]0, /e[ e em ]e, + [, infleão em = e; assíntota vertical = /e à direita e à esquerda; CD f =], 0[ [, + [. ( ) i) f() = arctg, D f = R \ {}. j) f() = + arctg, D f = R \ {0}, f ímpar. Temos f () = +, f 4 () = ( + ). f decrescente em ]0, [ e em ], 0[, crescente em ], [ e em ], + [, pontos de minimo relativo em = e de máimo relativo em = ; concavidade para cima em ]0, + [, para baio em ], 0[; assíntota oblíqua y = à direita e à esquerda, não há assíntotas verticais (f(0 + ) = π, f(0 ) = π); CD f = ], π/] [ + π/, + [. E.6.a) - 6.a) f() = b) f() = ( )( 3) 6
17 -5 -,5 0,5 5 5,5 -, c) f() = d) f() = e) f() = e f) f() = e / 7
18 g) f() = e ,5 - -0,5 0 0,5,5,5 3 3, h) f() = + ln ( ) 6.i) f() = arctg 5,5-5 -,5 0,5 5 -,5-5 6.j) f() = + arctg 8
19 7. f() = arctg ( ), 0. a) f(0) 0 f() = π, ± f() = 0 (f é par). b) f () = 4 +, 0, e f (0) = 0, f () =, f(0) = π, f() = π logo recta 4 tangente em = 0 é y = π, em = é y = π ( ). 4 c) f é crescente em ], 0[ e decrescente em ]0, + [, tem um ponto de máimo em = 0, absoluto (f é contínua em R). f () = (34 ) ( 4 + ), concavidade para cima em ], / 4 3[ e em ]/ 4 3, + [, concavidade para baio em ] / 4 3, / 4 3[, infleões em ±/ 4 3. Assíntota horizontal y = 0 à direita e à esquerda. d) Contradomínio: CD f =]0, π/] ( ) + 8. f() = arctg, 0, e f(0) = π. a) f é contínua em R (justifique), ± = ±π/4., se > 0, b) f () = + ( + ), se < 0, + ( + ) f d (0) = f e(0) = logo f não é diferenciável em f() = arctg ( ) c) f é crescente em R e decrescente em R +, tem ponto de máimo em = 0 (é contínua e f muda de sinal), absoluto. ( + ), se > 0, f ( () = + ( + ) ) ( + ), se < 0, ( + ( + ) ) Concavidade para cima em R + e em ], [, concavidade para baio em ], 0[, pontos de infleão em = e = 0. 9
20 Assíntotas horizontais em y = π 4 à direita e em y = π 4 à esquerda. d) Contradomínio: CD f =] π/4, π/].,5 0,5 3 -,5 - -,5 - -0,5 0 0,5,5,5 3-0,5 - ( ) + f() = arctg 0
Cálculo Diferencial e Integral I 1 o Sem. 2016/17 - LEAN, MEMat, MEQ
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I o Sem. 06/7 - LEAN, MEMat, MEQ FICHA 8 - SOLUÇÕES Regra de Cauchy. Estudo de funções.. a) 0; b) ln ; c) ln ; d) +
Leia mais4 Cálculo Diferencial
4 Cálculo Diferencial 1. (Eercício IV.1 de [1]) Calcule as derivadas das funções: a) tg, b) +cos 1 sen, c) e arctg, d) e log2, e) sen cos tg, f) 2 (1 + log ), g) cos(arcsen ) h) (log ), i) sen 2. 2. Derive:
Leia maisExercícios de Cálculo Diferencial e Integral I, Amélia Bastos, António Bravo, Paulo Lopes 2011
Eercícios de Cálculo Diferencial e Integral I, Amélia Bastos, António Bravo, Paulo Lopes Introdução Neste teto apresentam-se os enunciados de conjuntos de eercícios para as aulas de problemas do curso
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I Resolução do Eame / Testes de Recuperação I.. (, val.)determine os ites das seguintes sucessões convergentes (i) u n n + n n e n + n, (ii) v n n + π n Resolução: i) A sucessão
Leia mais1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
1 1 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 11 Funções trigonométricas inversas 111 As funções arco-seno e arco-cosseno Como as funções seno e cosseno não são injectivas em IR, só poderemos definir as suas funções
Leia maisEstudo de funções. Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática.
Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática Estudo de funções Continuidade Consideremos as funções: f : R R g : R R x x + x x +, x 1
Leia maisExercícios para as aulas TP
Generalidades sobre funções reais de variável real. FichaTP0. Considere os gráficos correspondentes a duas funções reais de variável real: y y 5-0 4-5 4 3-3 - - 0 3 4 - Indique para cada uma delas: (a)
Leia maisCálculo Diferencial em R. Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial em R Mariana Dias Júlia Justino Departamento de Matemática Conteúdo Cálculo Diferencial em R. Definiçãodederivadanumponto.... Interpretação geométrica.... Derivadas laterais... 4.4
Leia maisMaterial de Apoio. Roteiro para Esboçar uma Curva 1
Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matemática Disciplina: Cálculo M I Prof a Yane Lísle Material de Apoio Roteiro para Esboçar uma Curva A lista a seguir pretende servir como um guia
Leia maisA Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função
A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função Suponhamos que a função y = f() possua derivada em um segmento [a, b] do eio-. Os valores da derivada f () também dependem de, ou seja, a derivada
Leia maisx + 2 > 1 (x 2)(x + 2) x + 2 > e
Instituto Superior Técnico Departamento de Matematica TESTES DE RECUPERAÇÃO DE CDI I O SEM. / DURAÇÃO: H/H VERSÃO A LEMAT, LEAN, MEBIOL, MEQ, MEAMBI E LMAC, MEBIOM, MEFT RESOLUÇÃO. (,5 val.) (a) (,9 val.)
Leia maisExercícios para as aulas PL
Eercícios para as aulas PL Generalidades sobre funções reais de variável real. FichaPL0. Considere os seguintes gráficos de funções reais de variável real: A y B y 5 4 4 3 3-3 - - 3-3 4 5 - C D y y 4 3
Leia maisContinuidade de uma função
Continuidade de uma função Consideremos f : D f uma função real de variável real (f.r.v.r.) e a um ponto de acumulação de D f que pertence a D f. Diz-se que a função f é contínua em a se lim f x f a. x
Leia mais(x 2,y 2 ) (x 4,y 4 ) x
2.3. Derivadas 2.3.1. Definição e Interpretação Geométrica Anteriormente já mostrámos como o coeficiente angular de uma recta - declive de uma recta - indica a taa à qual a recta sobe ou desce. para uma
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II. Ficha de trabalho nº 3.
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II Ficha de trabalho nº 3 1. Resolver, da página 80 do seu manual, 1.1. as alíneas a), c) e e) dos
Leia maisAnálise Matemática I 1 o Semestre de 2002/03 LEBM, LEFT, LMAC Exercícios para as aulas práticas
Análise Matemática I o Semestre de 2002/03 LEBM LEFT LMAC Eercícios para as aulas práticas I Elementos de Lógica e Teoria dos Conjuntos (30/9/2002-4/0/2002) (Eercício 2 de [3]) Prove que quaisquer que
Leia maisNOVA School of Business & Economics CÁLCULO I 2ºSEM 2011/2012
NOVA School of Business & Economics CÁLCULO I ºSEM / Equipa Docente Responsável: Maria Helena Almeida.... (mhalmeida@novasbe.pt) Assistentes: Cláudia Alves.... (claudia.alves@novasbe.pt) Cláudia Andrade....
Leia maisLista 8: Análise do comportamento de funções - Cálculo Diferencial e Integral I - Turma D. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo
Lista 8: Análise do comportamento de funções - Cálculo Diferencial e Integral I - Turma D Professora: Elisandra Bär de Figueiredo 1. Seja f() = 5 + + 1. Justique a armação: f tem pelo menos uma raiz no
Leia maisCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I NOTAS DE AULAS Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática UNESP/Bauru
REGRA DE LHÔPITAL Teorema: Suponhamos que f (a) g(a) e que f (a) e g (a) eistam com g(a). Então: lim a f() g() f(a) g(a). in det er min ação. Forma mais avançada do Teorema de L Hospital: Suponhamos que
Leia maisProva Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 05 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I. Escolhendo os lugares das etremidades para os dois rapazes, eistem hipóteses correspondentes a uma troca entre os rapazes.
Leia maisLimites e Continuidade. Departamento de Matemática
Limites e Continuidade Mariana Dias Júlia Justino Departamento de Matemática Conteúdo Limites. Noção Intuitiva.... Definição... 3.3 PropriedadesdosLimitesFinitos... 5. Limites Laterais... 7.5 Limites Infinitos...
Leia maisConceitos: Função. Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Funções potência, exponencial e
Matemática II 05/6 Curso: Gestão Departamento de Matemática ESTG-IPBragança Ficha Prática : Revisões: Funções, Derivadas. Primitivas -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Leia maisCÁLCULO I - MAT Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão. Faça o esboço do gráfico de cada uma das funções.
UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza CÁLCULO I - MAT0009 9 a Lista de eercícios.
Leia maisINSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A Atualizada em A LISTA DE EXERCÍCIOS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A Atualizada em 007. A LISTA DE EXERCÍCIOS 0. Esboce o gráfico de f, determine f ( ), f ( ) e, caso eista, f ( ) : a a+ a, >, e a) f (
Leia maisx lim, sendo: 03. Considere as funções do exercício 01. Verifique se f é contínua em x = a. Justifique.
INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A 008. A LISTA DE EXERCÍCIOS 0. Esboce o gráfico de f, determine f ( ), f ( ) e, caso eista, f ( ) : a a a, >, e a) f ( ) =, = (a = )
Leia maisPROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 2ª FASE 18 DE JUNHO Grupo I
Associação de Professores de Matemática Contactos: Rua Dr João Couto, nº 7-A 1500- Lisboa Tel: +51 1 71 90 / 1 711 0 77 Fa: +51 1 71 4 4 http://wwwapmpt email: geral@apmpt PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA
Leia maisDERIVAÇÃO de FUNÇÕES REAIS de VARIÁVEL REAL
DERIVAÇÃO de FUNÇÕES REAIS de VARIÁVEL REAL Derivada de uma função num ponto. Sejam f uma função denida num intervalo A R e a um ponto de acumulação de A. Cama-se derivada de f no ponto a ao ite, caso
Leia maisFunções reais de variável real.
Capítulo 3 Funções reais de variável real. Continuidade. Diferenciabilidade. Este capítulo tem como primeiro objectivo desenvolver as bases da teoria da continuidade de funções reais de variável real.
Leia mais= ; a = -1, b = 3. 1 x ; a = -1, b = 0. M > 0 é um número real fixo. Prove que quaisquer que sejam x, y em I temos f ( x) < x.
INSTITUTO DE MATEMÁTICA -UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LIMITES E DERIVADAS MAT B a LISTA DE EXERCÍCIOS - 008. - Prof a Graça Luzia Dominguez Santos. Prove que entre duas raízes consecutivas de uma função
Leia mais, respetivamente. Sabe-se que uma das funções é par e a outra não é par nem ímpar. Identifique cada uma delas f x x e
mata O gráfico de uma função é, na maioria das vezes bastante útil para visualizar propriedades da função. Assim, de forma a podermos representar com rigor uma função, devemos fazer um estudo pormenorizado
Leia maisPlanificação Anual Matemática 11º Ano
ESCOLA SECUNDÁRIA/3 RAINHA SANTA ISABEL 402643 ESTREMOZ Planificação Anual Matemática 11º Ano Ano letivo 2016/2017 PERÍODO Nº de AULAS PREVISTAS (45 min) 1º 78 2º 72 3º 36 Total: 186 1º Período Total de
Leia maisLimites, derivadas e máximos e mínimos
Limites, derivadas e máimos e mínimos Psicologia eperimental Definição lim a f ( ) b Eemplo: Seja f()=5-3. Mostre que o limite de f() quando tende a 1 é igual a 2. Propriedades dos Limites Se L, M, a,
Leia maisCÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos
Leia maisExercício- teste 7 (+) ( ) Figura 1: Análise de sinais de f(x) = ln(x+3) x=0 é A.V. x + = lim. x + x. indet. y=0 é A.H.
2 o Semestre de 2009/200 Eercício- teste 7 a) Faça o estudo da função f() = ln(+3), determinando o seu domínio máimo de definição, assímptotas, caso eistam, intervalos de crescimento e decrescimento (critério
Leia maisTEMA 2 FUNÇÕES FICHAS DE TRABALHO 12.º ANO COMPILAÇÃO TEMA 2 FUNÇÕES. Jorge Penalva José Carlos Pereira Vítor Pereira MathSuccess
FICHS DE TRLHO 1º NO COMPILÇÃO TEM FUNÇÕES Site: http://wwwmathsuccesspt Facebook: https://wwwfacebookcom/mathsuccess TEM FUNÇÕES Matemática 1º no Fichas de Trabalho Compilação Tema Funções 1 1 (Eercício
Leia maisPreparação para o Cálculo
Preparação para o Cálculo Referencial cartesiano Representação gráfica Um referencial cartesiano é constituído por duas rectas perpendiculares (fias), com ponto de intersecção O: O diz-se a origem do referencial;
Leia maisUniversidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso
Universidade Federal Fluminense Matemática I Professora Maria Emilia Neves Cardoso Notas de Aula / º semestre de Capítulo : Limite de uma função real O conceito de ite é o ponto de partida para definir
Leia maisCapítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5
Capítulo III Limite de Funções. Noção de Limite Dada uma unção, o que é que signiica ( 5? A ideia intuitiva do que queremos dizer com isto é: quando toma valores cada vez mais próimos de, a respectiva
Leia maisCapítulo Diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais
Cálculo 2 - Capítulo 27 - Diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais Capítulo 27 - Diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais 27 - Teorema do Valor Médio 272 - Diferenciabilidade
Leia maisLista de Férias. 6 Prove a partir da definição de limite que: a) lim. (x + 6) = 9. 1 Encontre uma expressão para a função inversa: b) lim
Lista de Férias Bases Matemáticas/FUV Encontre uma epressão para a função inversa: + 3 a) 5 2 + e b) e c) 2 + 5 d) ln( + 3) 6 Prove a partir da definição de ite que: a) 3 ( + 6) = 9 b) = c) 2 = 4 2 d)
Leia mais1 Definição de Derivada
Departamento de Computação é Matemática Cálculo I USP- FFCLRP Prof. Rafael A. Rosales 5 de março de 2014 Lista 5 Derivada 1 Definição de Derivada Eercício 1. O que é f (a)? Eplique com suas palavras o
Leia maisTEMA TÓPICOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS AVALIAÇÃO* Lei dos senos e lei dos cossenos. casos de ângulos retos e obtusos. Resolução de triângulos
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO Escola Básica e Secundária Dr. Vieira de Carvalho Departamento de Matemática e Ciências Experimentais Planificação Anual de Matemática A 11º ano Ano Letivo
Leia maisLimites e continuidade
Limites e continuidade Limite (finito) de uma função em a Salvo indicação em contrário, quando nos referimos a uma função estamos sempre a considerar funções reais de variável real (f.r.v.r.), ou seja,
Leia maisApostila de Cálculo I
Limites Diz-se que uma variável tende a um número real a se a dierença em módulo de -a tende a zero. ( a ). Escreve-se: a ( tende a a). Eemplo : Se, N,,,4,... quando N aumenta, diminui, tendendo a zero.
Leia maisCálculo I - Curso de Matemática - Matutino - 6MAT005
Cálculo I - Curso de Matemática - Matutino - 6MAT005 Prof. Ulysses Sodré - Londrina-PR, 17 de Abril de 008 - provas005.te TOME CUIDADO COM OS GRÁFICOS E DETALHES DA SUBSTITUIÇÃO UTILIZADA.....................................................................................................
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - 2 a Derivada (concavidades e pontos de inflexão)
MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - 2 a Derivada (concavidades e pontos de inleão) Eercícios de eames e testes intermédios 1. Na igura ao lado, está representada, num reerencial o.n., parte do gráico de uma
Leia maisEsboço de Gráfico - Exemplos e Regras de L Hospital Aula 23
Esboço de Gráfico - s e Regras de L Hospital Aula 23 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 06 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia
Leia maisConcavidade e pontos de inflexão Aula 20
Concavidade e pontos de inflexão Aula 20 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 22 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica
Leia maisMatemática Exercícios
03/0 DIFERENCIAÇÃO EM R Matemática Eercícios A. Regras de Derivação Calcular a derivada de f( considerando que toma unicamente os valores para os quais a fórmula que define f( tem significado:. f ( 3 5
Leia maisP L A N I F I C A Ç Ã 0 E n s i n o S e c u n d á r i o
P L A N I F I C A Ç Ã 0 E n s i n o S e c u n d á r i o 206-207 DISCIPLINA / ANO: Matemática A - ºano MANUAL ADOTADO: NOVO ESPAÇO - Matemática A º ano GESTÃO DO TEMPO Nº de Nº de Nº de tempos tempos tempos
Leia maiscotg ( α ) corresponde ao valor da abcissa do
Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 59 Função co-tangente Seja α um ângulo representado no círculo trigonométrico. ( α ) corresponde ao valor da abcissa do ponto que resulta de projectar o lado
Leia maisLista de Exercícios de Calculo I Limites e Continuidade
Lista de Eercícios de Calculo I Limites e Continuidade ) O gráfico a seguir representa uma função f de [ 6, 9] em Determine: ) Dada a função f definida por:, se f ( ), se, se Esboce o gráfico de f e calcule
Leia maisProva Escrita de Matemática A 12. O Ano de Escolaridade Prova 635/Versões 1 e 2
Eame Nacional de 0 (. a fase) Prova Escrita de Matemática A. O Ano de Escolaridade Prova /Versões e GRUPO I. Versão : (B); Versão : (A) Se apenas são distinguíveis pela cor, os discos brancos entre si
Leia maisGráficos de Funções Trigonométricas
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Gráficos de Funções
Leia maisPROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 1ª FASE 25 DE JUNHO Grupo I
Associação de Professores de Matemática Contactos: Rua Dr. João Couto, n.º 27-A 500-236 Lisboa Tel.: +35 2 76 36 90 / 2 7 03 77 Fa: +35 2 76 64 24 http://www.apm.pt email: geral@apm.pt PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
Leia maisDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS
Escolas João de Araújo Correia ORGANIZAÇÃO DO ANO LETIVO 16 17 GESTÃO CURRICULAR DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA A 11º ANO 1º PERÍODO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Leia maisMetas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática A (11º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período (13 de setembro a 15 de dezembro) Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas
Leia maisCONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL
BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL a Edição Rio Grande Editora da FURG 206 Universidade Federal
Leia maisMetas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática A (11º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período (15 de setembro a 16 de dezembro) Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas
Leia mais13 Fórmula de Taylor
13 Quando estudamos a diferencial vimos que poderíamos calcular o valor aproimado de uma função usando a sua reta tangente. Isto pode ser feito encontrandose a equação da reta tangente a uma função y =
Leia maisFunções Elementares. Sadao Massago. Maio de Alguns conceitos e notações usados neste texto. Soma das funções pares é uma função par.
Funções Elementares Sadao Massago Maio de 0. Apresentação Neste teto, trataremos rapidamente sobre funções elementares. O teto não é material completo do assunto, mas é somente uma nota adicional para
Leia maisComplementos de Cálculo Diferencial
Matemática - 009/0 - Comlementos de Cálculo Diferencial 47 Comlementos de Cálculo Diferencial A noção de derivada foi introduzida no ensino secundário. Neste teto retende-se relembrar algumas de nições
Leia maisCapítulo II. Funções reais de variável real. 2.1 Conceitos Básicos sobre Funções. ( x)
Capítulo II Funções reais de variável real.1 Conceitos Básicos sobre Funções Sejam D e B dois conjuntos. Uma unção deinida em D e tomando valores em B é uma regra que a cada elemento de D az corresponder
Leia maisCálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 3: Derivadas Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Derivada
Eercícios de Derivada Eercícios de Fiação Cálculo I (0/) IM UFRJ Lista : Derivadas Prof Milton Lopes e Prof Marco Cabral Versão 7040 Fi : Determine a equação da reta tangente ao gráco de f() no ponto =
Leia maisFUNÇÕES. a < 0. a = 0. a > 0. b < 0 b = 0 b > 0
FUNÇÕES As principais definições, teorias e propriedades sobre funções podem ser encontradas em seu livro-teto (Guidorizzi, vol1, Stewart vol1...); Assim, não vamos aqui nos alongar na teoria que pode
Leia maisAnálise Matemática I 1 o Semestre de 2004/05 LEAero, LEBiom, LEFT e LMAC Exercícios para as aulas práticas
Análise Matemática I o Semestre de 2004/05 LEAero LEBiom LEFT e LMAC Eercícios para as aulas práticas I Elementos de Lógica e Teoria dos Conjuntos (20-24/9/2004) (Eercício 2 de [3]) Prove que quaisquer
Leia maisMAT Cálculo I - POLI a Lista de Exercícios
MAT 453 - Cálculo I - POLI - 003 a Lista de Eercícios. Calcule a derivada indicada em cada caso: a) y se y = ; b) y se y = ( ) d ; c) ; d + ( d) d d 3 + ); e) d500 3 d 500 (3 3 79 + 4).. Calcule dy por
Leia mais5.1 O Teorema do Valor Médio & Aplicações
5. O Teorema do Valor Médio & Aplicações. Se f () = + 4, encontre o número c que satisfaz a conclusão do TVM (Teorema do Valor Médio) no intervalo [; 8] : 2. Seja f () = j j. Mostre que não eiste um número
Leia maisRafael A. Rosales 29 de maio de Diferencial 1. 4 l Hôpital 3. 5 Série de Taylor 3 01.
Departamento de Computação é Matemática Cálculo I USP- FFCLRP Física Médica Rafael A. Rosales 9 de maio de 07 Sumário Diferencial Teorema do Valor Médio 3 Máimos e Mínimos. Gráficos 4 l Hôpital 3 5 Série
Leia maisMAT096. Tutoria de Cálculo Diferencial e Integral
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Eatas e Tecnológicas - CCE Departamento de Matemática MAT096 Tutoria de Cálculo Diferencial e Integral Apostila DMA - UFV 010 Sumário 1 Função 4 1.1 Noções
Leia maisAplicações das derivadas ao estudo do gráfico de funções
Aplicações das derivadas ao estudo do gráfico de funções MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS: Seja f uma f. r. v. r. definida num intervalo e D f. 1) f tem um mínimo local f ( ), em, se e só se f ( ) f ( ) para qualquer
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I CDI I
Cálculo Diferencial e Integral I CDI I Limites laterais e ites envolvendo o infinito Luiza Amalia Pinto Cantão luiza@sorocaba.unesp.br Limites 1 Limites Laterais a à diretia b à esquerda c Definição precisa
Leia maisCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LMAC, MEBIOM, MEFT 1 o SEM. 2010/11 2 a FICHA DE EXERCÍCIOS - PARTE 2
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LMAC, MEBIOM, MEFT 1 o SEM. 010/11 a FICHA DE EXERCÍCIOS - PARTE I. Representação gráfica
Leia maisProva Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 06 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I. Como P (A B) P (A B) P (B) P (A B) P (A B) P (B) vem que: P (A B) 6 0 60 0 Como P (A B) P (A) + P (B) P (A B), temos que:
Leia maisMATEMÁTICA I ECONOMIA (5598) Ficha de exercícios 1 (2012/2013)
Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática MATEMÁTICA I ECONOMIA (5598) Ficha de eercícios (0/03). Determine o conjunto dos pontos interiores, eteriores e fronteiros dos seguintes conjuntos:
Leia mais5.1 Noção de derivada. Interpretação geométrica de derivada.
Capítulo V Derivação 5 Noção de derivada Interpretação geométrica de derivada Seja uma unção real de variável real Deinição: Chama-se taa de variação média de uma unção entre os pontos a e b ao quociente:
Leia maisNotas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral
Notas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral Volume I Fábio Henrique de Carvalho Copright c 03 Publicado por Fundação Universidade Federal do Vale do São Francisco Univasf) www.univasf.edu.br Todos
Leia maisAssíntotas. Assíntotas. Os limites infinitos para a função f(x) = 3/(x 2) podem escrever-se como
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Assíntotas Os limites
Leia maisA. Funções trigonométricas directas
A. Funções trigonométricas directas As funções seno, cosseno, tangente e cotangente são contínuas e periódicas nos respectivos domínios. Todas elas são funções não injectivas e, portanto, não possuem inversa.
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA TERCEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos a Regra de L Hôpital, que será utilizada para solucionar indeterminações de ites de qualquer
Leia maisCálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 2: Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Limite
Eercícios de Limite. Eercícios de Fiação Cálculo I (05/) IM UFRJ Lista : Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 30.03.05 Fi.: Considere o gráco de = f() esboçada no gráco
Leia maisDerivada de funções na forma paramétrica
Derivada de funções na forma paramétrica Sejam ( t) y y( t) (1) duas funções da mesma variável t [a,b]. Tomando e y como as coordenadas de um ponto P, podemos dizer que a cada valor de t, corresponde um
Leia maisQUESTÕES ANPEC CÁLCULO A UMA VARIÁVEL 2 2., calcule a derivada dw dt t = 1.
QUESTÕES ANPEC CÁLCULO A UMA VARIÁVEL QUESTÃO Se ( ) a, e a, eamine as seguintes afirmações: () A função é crescente () A função d/d é crescente () lim ( ) () lim ( ) ( ) ( y) y Se, y, então (4) QUESTÃO
Leia maisMAT Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática
MAT- - Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática - 200 a Lista de eercícios I. Limite de funções. Calcule os seguintes ites, caso eistam: 2 3 + 9 2 + 2 + 4 2 + 6 5 ) 2 3 2 2 2) + 4 + 8
Leia mais1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: 22/08/16 a 26/08/2016
1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: /08/16 a 6/08/016 1. Matéria dessa semana de acordo com o Plano de ensino oicial: Assíntotas Horizontais e Verticais. Continuidade. Material para estudar: Assíntotas
Leia maisAula 3 Propriedades de limites. Limites laterais.
Propriedades de ites. Limites laterais. MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Propriedades de ites. Limites laterais. Objetivos Estudar propriedades elementares de ites, tais como: soma, produto, quociente e confronto.
Leia maisMatemática I - 2 a Parte: Cálculo Diferencial e Integral real
Matemática I - 2 a Parte: Cálculo Diferencial e Integral real Ana Rita Martins Católica Lisbon 1 o Semestre 2012/2013 1 / 99 Funções Uma função é uma correspondência f entre dois conjuntos A e B, que a
Leia maisDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS - Grupo 500 Planificação Anual /Critérios de avaliação. Disciplina: Matemática A 12º ano 2016/2017
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS ANSELMO DE ANDRADE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS - Grupo 500 Planificação Anual /Critérios de avaliação Disciplina: Matemática A 12º ano 2016/2017 Início Fim
Leia maisCAPITULO I PRIMITIVAS. 1. Generalidades. Primitivação imediata e quase imediata
CAPITULO I PRIMITIVAS. Generalidades. Primitivação imediata e quase imediata Sendo f () uma função real de variável real definida no intervalo não degenerado I, chama-se primitiva de f () em I a qualquer
Leia maisA derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e Máximos e Mínimos - Aula 18
A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e - Aula 18 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 10 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106
Leia maisCálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo
Cálculo I IM UFRJ Lista : Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão 7.03.05 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chamaremos de pré-cálculo.
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA FERREIRA DIAS, AGUALVA SINTRA ENSINO RECORRENTE DE NÍVEL SECUNDÁRIO POR MÓDULOS CAPITALIZÁVEIS CURSO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA FERREIRA DIAS, AGUALVA SINTRA ENSINO RECORRENTE DE NÍVEL SECUNDÁRIO POR MÓDULOS CAPITALIZÁVEIS CURSO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS DISCIPLINA
Leia maisResolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão)
R é ordenado: Se a, b, c R i) a < b se e somente se b a > 0 (a diferença do maior com o menor será positiva) ii) se a > 0 e b > 0 então a + b > 0 (a soma de dois números positivos é positiva) iii) se a
Leia mais1. Polinómios e funções racionais
Um catálogo de funções. Polinómios e funções racionais Polinómios e funções racionais são funções que se podem construir usando apenas as operações algébricas elementares. Recordemos a definição: Definição
Leia maisTÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO13
TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO3 Gil da Costa Marques 3. Introdução 3. Derivada da soma ou da diferença de funções 3.3 Derivada do produto de funções 3.4 Derivada de uma função composta: a Regra da Cadeia 3.5
Leia maisMAT146 - Cálculo I - Esboço de Gráficos. Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira
Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Nas aulas anteriores, estudamos várias ferramentas (Teste da Derivada Primeira, Teste da Derivada Segunda, Existência de Pontos Críticos,
Leia maisFEUP - MIEEC - Análise Matemática 1
FEUP - MIEEC - Análise Matemática Resolução da a Chamada - de Janeiro de 9 Respostas a perguntas diferentes em folhas diferentes Justifique cuidadosamente todas as respostas. Não é permitida a utilização
Leia maisLimites envolvendo infinito primeira parte
Limites envolvendo infinito primeira parte Ao infinito... e além! Buzz Lightyear, Toy Story Meta da aula Estender o conceito de ites de funções aos casos que envolvem o símbolo. Objetivos Ao final desta
Leia maisMódulo 3 FUNÇÕES (1ª Parte)
. Módulo 3 FUNÇÕES (ª Parte) Eercícios ) O esquema seguinte representa uma página da agenda teleónica da Maalda Objectivos Recordar: A (nomes) Médico (João) B (teleones) 397345 (casa) 3973456 (consultório)
Leia mais