ESC. SEC. ALBERTO SAMPAIO BRAGA TRIGONOMETRIA E COMPLEXOS (EM 20 AULAS)

Transcrição

1 º ANO ESC. SEC. ALBERTO SAMPAIO BRAGA PROPOSTA DE PLANIFICAÇÃO DA UNIDADE DIDÁCTICA TRIGONOMETRIA E COMPLEXOS (EM 0 AULAS) 00/004 ESAS 00_004 Página

2 º ANO CONTEÚDO DA UNIDADE DIDÁCTICA TRIGONOMETRIA E COMPLEXOS Conteúdos N.º de aulas previstas Revisões de Trigonometria 4 Funções seno, co-seno e tangente; estudo de propriedades; cálculo de derivadas. Números compleos: introdução histórica e definição. Operações com compleos na forma algébrica. Compleos na forma trigonométrica; operações Domínios planos e condições em variável complea. Teste de avaliação sumativa Total 0 Objectivos Específicos Estudar analítica e graficamente as funções seno, co-seno e tangente: domínio, continuidade, zeros, assímptotas, monotonia, etremos relativos e absolutos, concavidade, pontos de infleão, gráfico. - Resolver problemas envolvendo as funções estudadas, tanto sob os aspectos analíticos como numéricos e gráficos. - Operar com compleos na forma algébrica ou na forma trigonométrica. - Calcular as raízes quadradas de um real negativo. - Interpretar geometricamente o produto de um compleo z por i ou i. - Converter a forma algébrica na trigonométrica e vice-versa. - Representar geometricamente as n raízes índice n de um compleo. - Resolver equações simples. - Identificar domínios planos definidos por condições de variável complea. - Resolver problemas envolvendo números compleos e/ou domínios planos. - Usar a calculadora no estudo das funções trigonométricas e dos números compleos. ESAS 00_004 Página

3 º ANO AULA Nº Sumário Revisões sobre conceitos básicos da trigonometria Objectivos Específicos: Definir radiano e converter unidades do sistema seagesimal no sistema circular e vice- versa. Conhecer a noção de ângulo generalizado e calcular a determinação principal de um ângulo. Definir as razões trigonométricas de um ângulo, no triângulo rectângulo. Desenvolvimento da aula Definição de radiano como sendo a medida da amplitude de um ângulo ao centro cujo o comprimento do arco correspondente é igual ao raio. rad 57º Rad Conversão de unidades do sistema circular em centésimal e vice-versa. 80º e 80 80º Generalização do conceito de ângulo: ângulo é a porção de plano gerada pela rotação de uma semirecta em torno da sua origem. Eercícios. Converter em radianos. Converter em graus a) 750º a) 50 rad b) 000º 7 b) rad c) 000º c) rad. Achar a terminação principal dos ângulos dos dois eercícios anteriores. ESAS 00_004 Página

4 º ANO Definição das razões trigonométricas no triângulo rectângulo A α C B BC sen α AC AB cos α AC BC tg α AB sen α tg α cos α Eercícios No desenho anterior considera AB 4 cm e BC cm. Determina: a) sen α b) cos α c) tg α senα b) Verifica que tg α cosα Outros eercícios ESAS 00_004 Página 4

5 º ANO AULA Nº Sumário Valores das razões trigonométricas de 6, 4 e. Redução ao º Quadrante. Objectivos Específicos: Deduzir os valores das razões trigonométricas de 6, 4 e ; aplicar esses conhecimentos no cálculo dos valores das razões trigonométricas de ângulos de outros quadrantes a estes associados Desenvolvimento da aula Deduzir os valores das razões trigonométricas de 4. Seja o [ABC] isósceles e rectângulo em B, e AB a. Então AC a + a a e α. 4 Ou seja AC a a BC a sen α AC a sen 4. Como α 4 Calcular de modo análogo cos.g 4 sen sen α Considerar que tg α, então, cos α tg 4 4 cos 4 Α α a C a Β ESAS 00_004 Página 5

6 º ANO Deduzir os valores das razões trigonométricas de. Seja o [ABC] equilátero, de lado a. Então a AD DB e α. Pelo teorema de Pitágoras, DC a 4a a a DC, ou seja, 4 4a a DC a. Como, 4 a DC sen AC a. Calcular de modo sen α análogo concluir que cos, e como tg α, então cos α A α tg C D a B Sintetizar num quadro estes valores do seguinte modo: sen 6 4 cos tg 0 º º º Eercícios. Sem utilizar calculadora, calcular os valores de: a) 0º sen b) cos ( 750º ) c) tg ( 40º ) d) cos 0 7 e) sen f) tg 4 7 g) tg 0 h) tg i) sen j) sen l) cos m) tg 4 6 ESAS 00_004 Página 6

7 º ANO AULA Nº Sumário Representação das razões trigonométricas no círculo trigonométrico. Eercícios. Objectivos Específicos Identificar as linhas geométricas que representam as razões trigonométricas no círculo. Desenvolvimento da aula Definição de círculo trigonométrico e representação das razões trigonométricas no primeiro quadrante. cotg α cos α P(,) tg α sen α 0 α 0 α Generalização do circulo trigonométrico º Quadrante º Quadrante cotg β cotg β cos β tg β sen β β β tg β sen β cos β ESAS 00_004 Página 7

8 º ANO 4º Quadrante Sinal cotg β β cos β sen β tg β sen β + cos β tg β - cotg β sen β - cos β - tg β + cotg β + sen β + cos β + tg β + cotg β + sen β - cos β + tg β - cotg β - Variação das razões trigonométricas 0 Sen cos 0-0 tg ESAS 00_004 Página 8

9 º ANO AULA Nº 4 Sumário Fórmula fundamental da trigonometria e fórmulas secundárias. Fórmulas de redução ao primeiro quadrante. Eercícios. Objectivos Específicos Aplicar as fórmulas de redução ao primeiro quadrante na resolução de eercícios. Desenvolvimento da aula Dedução da fórmula fundamental da trigonometria directamente do círculo trigonométrico, aplicando o teorema de Pitágoras 0 α cos α sen α sen α + cos α Dividindo ambos os membros por tg α + cos α Dividindo ambos os membros por cotg α + sen α cos sen α α Dedução da fórmulas de redução ao primeiro semi quadrante, a partir do triângulo rectângulo: BC BC sen α cos ( 90º α) C AC AC cos ( 90º α) senα 90º α AB AB cos α sen ( 90º α) AC AC α A B sen 90º α cos ( ) α BC tg AB α cotg ( 90º α) cotg ( 90º α) tg α BC AB ESAS 00_004 Página 9

10 º ANO Dedução da fórmulas de redução ao primeiro quadrante, a partir do circulo trigonométrico sen ( α) senα cotg(80º-α) cotg α cos ( α) cosα cos(80º-α) cos α sen (80º-α) 80º-α α sen α tg α tg ( α) tg α cotg ( α) cotg α tg (80º-α) cotg(80º+α) cotg α sen ( α) senα cos α cos ( α) cosα 80º+ α α sen α tg (80º+α)tg α tg ( α) tg α sen (80º+α) cotg ( α) cotg α cos80º+α) cotg(60-α)cotg(-α) cotg α 60º- α cos α sen α α α tg α sen( α) sen( α) senα cos ( α) cos( α) cosα cos(60º-α)cos ( α) sen (60º-α)sen ( α) tg (60º-α)tg ( α) tg ( α) tg ( α) tg(α ) cotg ( α) cotg ( α) cotgα ESAS 00_004 Página 0

11 º ANO Referir ainda a partir do circulo as fórmulas: cos + α sen α sen + α cos α cotg + α tg α tg + α cotg α Eercícios: cos sen cotg tg α α α α sen α cos α tg α cotg α cos sen cotg tg + α + α + α + α sen α cos α tg α cotg α Resolver eercícios do livro ESAS 00_004 Página

12 º ANO AULA Nº 5 Sumário Estudo da função f ( ) sen Objectivos Específicos Determinação de: domínio, contradomínio, período, pontos notáveis (zeros, máimos e mínimos), assímptotas e estudo da monotonia, continuidade e simetrias. Desenvolvimento da aula Fazer um esboço da representação gráfica da função próprio circulo, e depois da calculadora: f ( ) sen, partindo do Ainda antes de começar o estudo da função, fazer uma representação mais alargada da mesma: ESAS 00_004 Página

13 º ANO Estudo da função: D : R D : [,] Zeros sen k Crescente + k, + k Máimos sen + k É continua È impar ( sen( ) sen ) Decrescente + k, + k Mínimos sen + k Não tem assímptotas É uma função periódica ( P ) Aproveitar o facto ter a representação gráfica para resolver algumas equações simples, como por eemplo: sen 0 sen sen + sen 0 sen sen ESAS 00_004 Página

14 º ANO AULA Nº 6 Sumário Estudo das funções f ( ) cos e f ( ) tg Objectivos Específicos Determinação de: domínio, contradomínio, período, pontos notáveis (zeros, máimos e mínimos), assímptotas, limites, e, estudo da monotonia, continuidade e simetrias. Desenvolvimento da aula Fazer um esboço da representação gráfica da função calculadora: f ( ) cos, partindo da Estudo da função: D : R D : [,] Zeros cos 0 + k Crescente Decrescente [ 0 + k, + k] + k, + k Mínimos Máimos cos 0 + k cos + k É continua Não tem assímptotas cos cos P È par ( ( ) ) É uma função periódica ( ) ESAS 00_004 Página 4

15 º ANO Fazer um esboço da representação gráfica da função calculadora: f ( ) tg, partindo da Estudo da função: D : R\ + k Zeros tg k Crescente em todos os intervalos do tipo + k, + k Máimos Não tem É continua em todos os intervalos que constituem o seu domínio [ + ] R D :, Decrescente nunca Mínimos Não tem Assímptotas Verticais: Todas as rectas do tipo + k È impar ( tg( ) tg ) É uma função periódica ( P ) Resolver os seguintes eercícios:. Considera as funções reais de variável real, abaio representadas graficamente e também analiticamente,5 0,5 0-0,5 - h f g sen sen sen a) Identifica as funções f, g e h, fundamentando a resposta ESAS 00_004 Página 5

16 º ANO b) Pela observação do gráfico verifica-se que a equação f ( ) g( ) tem duas soluções no intervalo ] 0, [. Determina-as por via analítica.. Considera as funções reais de variável real, abaio representadas graficamente e também analiticamente f g h cos cos cos( ) a) Identifica as funções f, g e h, fundamentando a resposta b) Pela observação do gráfico verifica-se que a equação f ( ) h( ) tem duas soluções no intervalo ] 0, [. Determina-as por via analítica.. Considera as funções reais de varável real, abaio definidas f ( ) cos e g ( ) cos,5 0,5 0-0,5 - -,5 - f g 4 A 4 a) Determina f + g. b) Considera a função φ( ) f ( ) g( ) definida no intervalo ] 0, ]. Recorrendo ao gráfico, indica para que valores de se tem que φ( ) < 0. ESAS 00_004 Página 6

17 º ANO AULA Nº 7 Sumário Transformações nos gráficos de funções trigonométricas Objectivos Específicos Partindo por eemplo da função sen, obter gráficos de outras funções analisando as transformações geométricas. Desenvolvimento da aula Partindo da função sen, obter os gráficos seguintes: sen sen + sen sen( ) sen( ) sen ESAS 00_004 Página 7

18 º ANO sen sen Resolver eercício semelhante para a função cos, fazendo os gráficos de: cos cos( ) cos( ) cos Fazer quadro síntese das alterações ( ) a cos + cos cos cos f + Translação de a na direcção do eio dos. ( a) f + Translação de -a na direcção do eio dos. a ( ) f Esticar ou encolher segundo o factor a, na direcção do eio dos. ( a) f Esticar ou encolher segundo o factor, na direcção do eio dos. a f ( ) f ( ) ( ) Simetria em relação ao eio dos. Simetria em relação ao eio dos. f Mantêm-se os pontos de ordenada negativa ou nula e para os pontos de ordenada negativa tem-se uma simetria relativamente ao eio dos f Mantêm-se os pontos de abcissa ( ) positiva e o gráfico fica simétrico relativamente ao eio dos ESAS 00_004 Página 8

19 º ANO AULA Nº 8 Sumário Resolução eercícios e equações trigonométricas Objectivos Específicos Resolver eercícios e equações trigonométricas Desenvolvimento da aula. Considera as funções reais de variável real, abaio definidas: f ( ) + sen g ( ) + tg( + ) 4 5 Determina: a) O contradomínio de f. b) O domínio de g. c) Os zeros, caso eistam, das funções f e g. R : f ( ) 4 d) { }. Considera as funções reais de variável real, abaio definidas: f ( ). sen g tg ( ) + ( ) Determina: a) O contradomínio de f. b) O domínio de g. c) Os zeros, caso eistam, das funções f e g. R : f ( ) d) { }. Resolve as seguintes equações trigonométricas, nos domínios indicados. a) sen ( ) cos ] 0, ] b) sen + sen cos 0 e ], [ c) sen ( ) cos ( ) 0 e 4 e) sen( ) cos e ] 0, [ f) sen.cos e R g) 4 sen( ) cos( ) e ] 0, [ R d) +.cos( ) 0 e [, ] ESAS 00_004 Página 9

20 º ANO AULA Nº 9 Sumário sen Estudo intuitivo de lim. Derivadas das funções trigonométricas. 0 sen sen f, cos cos f, tg tg f., ( ( )) Objectivos Específicos, ( ( )) Calcular limites e derivadas de funções trigonométricas. Desenvolvimento da aula e ( ) sen Verificação intuitiva de que lim. 0 C sen Seja f ( ) área [ OAD] < área do sector OBD < área [ OBC] D como r e 0 < <, vem tg sen sen cos < < tg, ou, 0 A B cos < <, ou, sen cos sen sen cos < <. Como lim cos, lim. Como a função é par, + + sen 0 0 sen sen também lim logo lim 0 0 Eercícios.Calcular os limites de: cos a) lim 0 sen d) lim sen α. Mostra que lim 0 sen β ( ) tg b) lim 0 cos + e) lim 0 α ( ) ( ) β c) sen lim 0 ( + ) ESAS 00_004 Página 0

21 º ANO Aplicar a definição de derivada para calcular a função derivada de sen sen Justificação sen ( + h) sen lim sen ( a + b) sena cosb + senb cos a h 0 h sen cosh + sen h cos sen lim h 0 h sen ( cosh ) + sen h cos lim h 0 h sen ( cosh ) sen h cos lim + h 0 h h sen ( cos h ) sen h cos lim + lim h 0 h h 0 h cos h sen h sen h lim sen lim + lim lim cos lim h 0 h 0 h h 0 h h 0 h 0 h ( cos h )( cos h + ) sen lim + cos h 0 h cos h + sen lim h 0 h ( ) ( cos h ) ( cos h + ) + cos sen cos h + cos h h sen sen h sen h sen lim + cos h 0 h cos h sen + cos sen 0 cos h REGRAS DE DERIVAÇÃO ( sen ) cos ( sen U ) U cosu tg cos U tg U cos U ( ) ( ) ( cos ) sen ( cos U ) U senu cotg sen U cotg U sen U ( ) ( ) Eercícios Calcula as derivadas das seguintes funções: a) sen( ) b) cos( 7) c) sen( ) d) sen ( ) + cos( 5 ) ESAS 00_004 Página

22 º ANO AULA Nº 0 Sumário Aula prática (eercícios) Objectivos Específicos Aplicar as derivadas no estudo de funções e na resolução de problemas. Desenvolvimento da aula. Fazer o estudo analítico da função sen( ) e verificar as conclusões através do gráfico. Domínio Zeros Sinal (positiva/negativa) Monotonia (crescente/decrescente e o sinal da função derivada) Etremos relativos (?) (máimos/mínimos e os zeros da derivada) Sentido das concavidades (e o sinal da segunda derivada) Pontos de infleão (e os zeros da segunda derivada). Calcular a função derivada de cada uma das seguintes funções: a) sen( + ) b) sen 5 ( 7) c) sen ( + ) e) 7 cos ( 5 ) f) cos sen + cos h) sen cos i) tg ( + ) d) ( ) 5 sen + g) ( ). Determinar a equação da recta tangente ao gráfico da função sen + no ponto de abcissa As plantas não crescem numa razão constante durante o dia. Considere que o modelo matemático que descreve o crescimento de uma plante é dado por: h() t 0,0t + 0,06 sen( t) onde h é o crescimento diário da planta em cm, t é o tempo em dias desde que a planta começou a aparecer e t 0 corresponde às horas do primeiro dia (eercício nº do livro PE pág 98) 4.) Usar a calculadora para obter o gráfica do função h. 4.) Calcular a hora do dia em que o crescimento é máimo. 4.) Calcular a hora do dia em que o crescimento é máimo. Resolver outros problemas do livro ESAS 00_004 Página

23 º ANO AULA Nº Sumário Definição de número compleo. Representação geométrica de número compleo. Adição números compleos. Objectivos Específicos Calcular a raiz quadrada de um número negativo. Representar geometricamente um número compleo. Adicionar e subtrair números compleos. Desenvolvimento da aula Evolução do conceito de número: Naturais Inteiros Racionais Irracionais Imaginários Definir i como unidade imaginária Eercícios. Resolver, em C, cada uma das seguintes equações: a) 4 b) ( ) c) + 0 d) e) + 0 f) + 0 Definir número compleo como sendo todo o número da forma a + bi sendo a e b números reais e i a unidade imaginária z a + bi a é a parte real e escreve-se are(z); bi é a parte imaginária ; b é o coeficiente da parte imaginária e escreve-se b Im(z) Se b 0 o número compleo é real Se b 0 o número compleo é imaginário Se b 0 e a 0, o número compleo é imaginário puro Compleos conjugados se as partes reais são iguais e as imaginárias simétricas: + i e i, a + bi e a bi O conjugado de z representa-se por z ( z + 5i então z 5i ) Igualdade de compleos a c a + bi c + di b d Eemplo: a + bi 8i, então a e b 8 ESAS 00_004 Página

24 º ANO Representação geométrica de um compleo O ponto A chama-se afio ou imagem do compleo z O plano chama-se plano de Argand O vector OA é a imagem vectorial do compleo z A cada ponto do plano de Argand corresponde um número compleo b A(a,b) OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS Adição e Subtracção Seja a + i e b 8 5i. Calcular a + b e a b a a + b ( + i) + ( 8 5 ) a + b i + i + 8 5i i 5i i 0 ( ) i a b ( + i) ( 8 5i) a b + i 8 + 5i 8 + i + 5i i ( ) i Eercícios: Determina 8 + i + ( + i) a) ( ) i i c) i 5 i b) ( ) ESAS 00_004 Página 4

25 º ANO AULA Nº Sumário Multiplicação, divisão e potenciação. Objectivos Específicos Multiplicar, dividir e calcular a potência de um compleo. Desenvolvimento da aula Multiplicação Calcular o produto ( + i) por ( 8 5i) ( + i) ( 8 5i) ( 8 5i) + i( 8 5i) 6 0i + 4i 5i 6 + 4i i Se multiplicarmos um número compleo pelo seu conjugado obtemos um número real: + i i 9 6i + 6i 4i ( ) ( ) ( a + bi) ( a bi) a abi + abi b i a + b Eercícios z z é um número real Determinar: a) ( + i) ( 4 i) b) ( ) + i c) i Divisão + i Calcular 8 5i Para obtermos um número da forma a + bi, o denominador terá de ser um número racional. Para que tal aconteça multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador: + i ( + i) ( 8 + 5i) 6 + 0i + 4i 5 + 4i 4 + i 8 5i 8 5i 8 + 5i i 40i ( ) ( ) Outro método para calcular a divisão ESAS 00_004 Página 5

26 º ANO + i a + bi + i 8a + 8bi 5ai 5bi 8 5i + i ( 8a + 5b) + ( 8b 5a) i 8a + 5b 40a + 5b 0 5a + 8b 40a + 64b 4 89b 4 b 8a + 5b 64a 40b 6 89a 5a + 8b 5a + 40b 5 Portanto, + i + i a + bi 8 5i 8 5i i 4 89 a 89 Eercícios: Determina a) ( + i) ( 8 5i) b) ( 5i) ( + 6i) c) + i Potenciação i 0 i i i i i i 4 i 5 i i 6 i 7 i i 8 i 9 i i 0 i i i n 4n+ i i 4n+ i 4n+ i i Eemplo: i + i i ( i ) i 76 + i 8 + Eercícios: Determina: ( ) i ( i ) i i 0 a) i i i b) i 7 + i 999 ( i ) 5 ESAS 00_004 Página 6

27 º ANO AULA Nº Sumário Raiz quadrada de um compleo. Raízes compleas de uma equação do º grau Objectivos Específicos Calcular a raiz quadrada de um compleo. Calcular raízes compleas de uma equação do º grau Desenvolvimento da aula Raiz quadrada de um compleo Calcular a raiz quadrada de + 4i Suponhamos que a + bi é uma raiz quadrada de + 4i. Então: + 4i a + bi + 4i a + abi b ( ) 4 a a b a 4 ab b a 4 4 resolvendo a equação a a a 4 0 substituindo a por t, a t t 4 0 t 4 t logo a ± t ± 4 ±. Então as soluções do sistema são: a a, se a + bi era b b + 4i, então ± + 4i ± ( + i) Eemplo Resolver a equação 0 Uma das soluções é. Pela regra de Ruffini, vem r 0 Logo a equação 0, tem as raízes ( ) ( + + ) 0 ± ± i + i + i i i ESAS 00_004 Página 7

28 º ANO Eemplo Determinar as raízes da equação + 0. Eemplo Eemplo 4 Escrever uma equação cujas raízes sejam i e + i Determina uma equação do 4º grau que admite as raízes 8i e + i Eercícios (do Livro). Escrever uma equação que tenha as raízes: a) i e i b) + i e i c) i, 5 i e. Escrever uma equação do 5º grau, sabendo que tem as raízes compleas + i e + i, e a raiz real 0. ESAS 00_004 Página 8

29 º ANO AULA Nº 4 Sumário Eio real e eio imaginário. Módulo e argumento de um número compleo. Eercícios Objectivos Específicos Representar números compleos no plano de Argand. Calcular o módulo e o argumento de um número compleo Desenvolvimento da aula Número i como operador da rotação de 90º. Na figura ao lado representam-se vectorialmente os compleos ( + i), i ( + i) e i ( + i). Termos: v + i ( + i) ( i) v i + v i ( + i) ( i) Observamos que os vectores v, v e todos a mesma norma. v v v v, têm z - v - v v z z v v 90º e v v 90º v v v pode ser obtido de por uma rotação de 90 º com centro na origem. v pode ser obtido de por uma rotação de -90 º com centro na origem. De um modo geral: Se z a + bi tem afio P, então z i( a + bi) tem afio P, que se obtém de P por uma rotação de centro na origem e ângulo +90º. Se z a + bi tem afio P, então z i( a + bi) tem afio P, que se obtém de P por uma rotação de centro na origem e ângulo -90º. Eercícios: Representa no plano de Argand os seguintes compleos: a) i b) z i c) i z d) z 4 4i e) z 5 0 f) z 6 z ESAS 00_004 Página 9

30 º ANO Módulo e argumento de um número compleo Ao número compleo z a + bi corresponde, no plano de Argand, um ponto P ( a, b) e um vector v ( a,b). Chama-se módulo do número compleo z a + bi, e representa-se por r ou z, ao comprimento do vector Im v ( a,b). r z a + Chama-se argumento do número compleo z a + bi à amplitude, em radianos, do ângulo θ que o vector v ( a, b ) b faz com o semi-eio positivo dos. b O r θ a P Re Sendo θ argumento de z, também o são θ +, θ 6 ou θ + k, k R. Chamase argumento principal, ou simplesmente argumento a θ, < θ. Representa-se por arg z. Eemplos: Calcular o módulo e o argumento principal de: z + i z + i z i z + arg z θ Im tg 4 z ( ) + arg z θ tg usando a calculadora, θ,6 rad ( c. d. ) Im z ( ) + ( ) arg z θ θ + tg 4 + Im i r θ r θ - r O θ Re O Re O Re ESAS 00_004 Página 0

31 º ANO No cálculo do argumento de um número compleo pode usar-se o seno e o coseno. z i z Eercícios cos θ senθ θ Calcular o módulo e o argumento de cada um dos compleos: a) z b) z + i c) z 5i d) z 4 + i e) z 5 f) z 6 4i g) i h) i z 7 z 8 ESAS 00_004 Página

32 º ANO AULA Nº 5 Sumário Forma trigonométrica de um compleo Eercícios. Objectivos Específicos Passar da forma algébrica de um compleo para a forma trigonométrica e vice-versa Desenvolvimento da aula Forma algébrica z a + bi. Observando a figura ao lado, vem: b a b cos θ e sen θ r r ou seja, a r cos θ e b r sen θ Então o compleo z a + bi pode ser escrito na forma z r( cosθ + i senθ) O A epressão cos θ + i sen θ representa-se abreviadamente por z r cosθ + i senθ z r cisθ r E θ. Logo, ( ) ( ) Eemplos. Representar na forma trigonométrica r θ a ( ) cis θ ou E θ. i i cos + i sen i cis cos + i sen cis ( ) i z arg ( ) + ( ) z 4 z cos + i sen 4 i cis 4 4 (ver as imagens na página seguinte) ESAS 00_004 Página

33 º ANO Im Im Im - O Re O Re - O - - Re - Eercícios. Representar na forma trigonométrica cada um dos seguintes compleos: a) z b) z + i c) z 4i d) z 4 4 4i e) z 5 i f) i. Escrever na forma algébrica: a) z cos + i sen b) z 5 cos + i sen 4 4 z 6 ESAS 00_004 Página

34 º ANO AULA Nº 6 Sumário Operações com compleos na forma trigonométrica. Objectivos Específicos Multiplicação, potenciação de epoente inteiro, divisão e radiciação. Construção geométrica das raízes. Desenvolvimento da aula Multiplicação Sejam os compleos z r cis θ e z r cis θ O seu produto será: z z r cis θ r cis θ r r cis θ cis θ r r ( cosθ + i senθ)( cosθ + i senθ ) r r ( cosθ cosθ + i cosθ senθ + i senθ cosθ senθ senθ ) r r [( cosθ cosθ senθ senθ ) + i( cosθ senθ + senθ cosθ )] r r [ cos( θ + θ ) + i sen( θ + θ )] z z r r cis( θ + θ ) Generalização z z L zn r r Lrn cis θ + θ + Lθ Eemplos: ( ) n. Representar graficamente z z, sendo cis e z z Começar por escrever trigonométrica: z z cis na forma - O ESAS 00_004 Página 4

35 º ANO z z cis cis 6 cis 6 cis O -6. Sendo z i ; z cis e z 5, determinar na forma trigonométrica z z z Começar por escrever trigonométrica: z i cis e, z 5 5cis0 z e z na forma 5 z z z 5 cis cis 6 Passando à forma algébrica z z z 5 cos + i sen 5 + i i Eercícios (livro). Mostrar que: z. z z z. z z. Se r cisθ z, então z r cis( θ ) Im O z z 5 Re. Sendo z cis, z 5cis e z cis, calcular na forma trigonométrica:. z z. z z. z z z. Escrever na forma trigonométrica dois compleos cujo produto seja 4cis Sendo z 6 i, z i e z cis, calcular na forma trigonométrica: 4. z z 4. z z z ( ) ESAS 00_004 Página 5

36 º ANO AULA Nº 7 Sumário Potenciação de epoente inteiro. Divisão. Radiciação. Raízes de uma equação. Construção geométrica das raízes. Objectivos Específicos Calcular na forma trigonométrica a potenciação, divisão e radicialização. Desenvolvimento da aula Sendo z r cisθ e n z z 4z 4z L4 44 z z n N, temos por definição de potência que: n vezes Substituindo z por r cisθ e aplicando a fórmula de Moivre para a multiplicação, vem n z r 4r 4r L4 44 r r cis( θ + θ + θ + L+ θ + θ ) Então, z n n vezes + ( nθ ), n n r cis Z Vejamos se esta fórmula é válida para z r cisθ e z r cis θ Seja ( ) Então z n n z n z n z z Como r cis( ) e z n n z r cis ( nθ ) z n n z n ( z z) n n Z z θ z z, vem: z n r n Então, z n n r cis( nθ ) Seja z r cisθ e n 0 r n cis ( nθ ) Então z 0 e aplicando a fórmula definida para n Z \ 0, vinha {} ( 0 ) ( nθ ) n Z 0 0 z r cis θ, logo, se, vem z n n r cis, n Z n vezes b O -b θ θ z a z ESAS 00_004 Página 6

37 º ANO Eemplos Calcular ( + i) 00 + i cis cis 50 cis0 00 ( + i ) ( ) cis ( ) 00 i 0 i cis i 5 5 cis cis 0 cis 6 Divisão Consideremos os compleos z r cisθ e z r cisθ e z 0 O quociente entre z e z é: z z z z z z z Atendendo a que: Se z r cisθ, então z r cis( θ ), vem: z r cis( θ ) r cisθ, simplificando z r z r cisθ cis( θ ), z r como já se demonstrou na dedução da fórmula de Moivre para a multiplicação, z r cis θ cis( θ ) cis( θ θ ), logo cis( θ θ ) z r Eemplo Sendo z cis e z + i, calcular i z z i cis ; z cis ; z + i cis 4 temos então: cis cis cis cis 4 4 cis cis cis + cis cis cis 4 5 ESAS 00_004 Página 7

38 º ANO Eercícios Efectuar as operações indicadas e apresentar o resultado na forma trigonométrica (eercícios do livro). 4. i cis 6 i 5 ( + i) + i 4 i i + i 5 4i i i. 5 + i + i 5 Radiciação Seja z r cisθ Eemplo: Chama-se raiz índice n de z e representa-se por n z a todo o número que elevado a n é igual a z. Aplicando a definição: z r cisθ Logo, n z z t t cisγ n cis nγ n n t z r t θ + k θ nγ + k, k Z γ, k Z n n n θ + k r cisθ r cis, k Z n Resolver, em C, a equação z + 0 e representar geometricamente as soluções. ( ) z + 0 z z cis( ) + k z cis cis, k 0,, Im Im k 0 z cis k z cis k z cis Construção geométrica das - O Re - - O Re ESAS 00_004 Página 8

39 º ANO raízes No eemplo anterior viu-se que as raízes da equação pertenciam a uma circunferência de raio e centro na origem. Verificou-se ainda que as raízes estavam igualmente espaçadas e que portanto dividiam a circunferência em três partes iguais. n θ + k De facto temos n r cisθ r cis, n k 0,, L n As raízes têm todas o mesmo módulo: n r θ k Os argumentos são dados por +, n n k 0,, L, n, ou seja, estão em progressão aritmética de razão. n Conclusão Os afios das raízes pertencem a uma circunferência de centro na origem e raio n r e dividem a circunferência em n partes iguais. Eercícios (livro). Calcular:. as raízes quadradas de i. as raízes quartas de + i. as raízes quintas de i. Resolver, em C, cada uma das seguintes equações: 4 6. z 0. z + 0. z + i 0.4 z z.5 z z ESAS 00_004 Página 9

40 º ANO AULA Nº 8 Sumário Operações com condições e com conjuntos. Objectivos Específicos Representação geométrica de conjunções e disjunções de condições. Desenvolvimento da aula Correspondência entre um número compleo e um ponto no plano de Argand. Ao número compleo P, ponto ( ) z + i corresponde um Im P(,) À condição z, o conjunto de pontos que a satisfaz, em C é : Re z z 0, que corresponde à questão: Quais são os pontos do plano de Argand que distam da origem ou menos de unidades? - Im O Re Trata-se de um círculo de centro na origem e raio. O conjunto de pontos definido pela condição ( z) universo (U) que são solução da condição. Uma condição universal define o universo z 0 Uma condição impossível define o conjunto vazio z < 0 - p é o conjunto dos valores do ESAS 00_004 Página 40

41 º ANO Conjunção de Condições Considere-se em C as condições z e z À conjunção de condições corresponde a intersecção de conjuntos z z Im Sendo { C : z } B { C : } A z vem, - O Re z z A I B ( à conjunção de condições corresponde a intersecção de conjuntos) - Disjunção de Condições Qual é o conjunto que corresponde à condição z z? Im Sendo A C : z B C : z { } { } - - O Re z z A U B - - ( à disjunção de condições corresponde a reunião de conjuntos) Condições contrárias e conjuntos complementares p ( z) : z > P { z C : z > } ~ p( z) : z > P { z C : z } Im Im - O Re - O Re - - P U P C e P I P ESAS 00_004 Página 4

42 º ANO A negação da conjunção de duas condições é equivalente à disjunção das negações das duas condições: ~ p z q z ~ p z ~ q z [ ( ) ( )] ( ) ( ) Leis de De Morgan O complementar da intersecção de dois conjuntos é igual à reunião dos complementares dos dois conjuntos P I Q P U Q A negação da disjunção de duas condições é equivalente à conjunção das negações das duas condições: ~ p z q z ~ p z ~ q z Eemplo [ ( ) ( )] ( ) ( ) O complementar da reunião de dois conjuntos é igual à intersecção dos complementares dos dois conjuntos P U Q P I Q z z ~ ( z z ) z < z > Im Im - - O Re - - O Re Eercícios (livro) Aplicar as leis de De Morgan para representar geometricamente o conjunto de pontos definido por:. ~ ( z z > ). ~ ( z z ) ESAS 00_004 Página 4

43 º ANO AULA Nº 9 Sumário Conjunto definidos por condições envolvendo números compleos. Eercícios Objectivos Específicos Representar geometricamente condições definidas analiticamente, e definir analiticamente lugares geométricos Desenvolvimento da aula Circunferência e círculo. Qual a condição que corresponde ao conjunto de pontos sombreado na figura ao lado? A circunferência de raio menor é o lugar geométrico dos pontos que distam do afio do compleo i uma unidade. Ou seja, é definida pela condição: z i A circunferência de raio maior é o lugar geométrico dos pontos que distam do afio do compleo 0 duas unidades. Ou seja, é definida pela condição: z 0 ou Então o domínio plano é definido por: z i z <. Representar geometricamente a condição z + i 4 Geometricamente z + i 4 z ( i) 4 (pontos que distam 4 ou menos unidades do afio de i ) Algebricamente z + i 4 + i + i 4 ( ) + ( + ) i 4 ( ) + ( + ) 4 ( ) + ( + ) 6 ESAS 00_004 Página 4

44 º ANO Mediatriz Identificar, geométrica e algebricamente, o lugar geométrico definido por z i z A condição dada representa o lugar geométrico dos pontos que distam igualmente do afio do compleo i e do compleo. Ou seja representa a mediatriz do segmento de recta definida pelos pontos A ( 0, ) e B (,0). Notas: z z z z representa a mediatriz do segmento de recta que tem por etremos os afios de z e z z z z representa o semi plano limitado pela mediatriz referida ao z qual pertence o afio de z Recta paralela ao eio dos ou eio imaginário ( z + i) Re Algebricamente ( z + i) ( + i + i) Re Re 4 Geométricamente 4 4 ESAS 00_004 Página 44

45 º ANO Recta paralela ao eio dos ou eio real Im z + i ( ) Algebricamente Geometricamente ( z + i) ( + i + i) Im Im De um modo geral, se z a + bi Re ( z z ) r representa a recta a + r Im z r representa a recta b + r ( ) z Semi recta Identificar o lugar geométrico correspondente às condições. arg z. 6 Geometricamente Algebricamente O 6 arg ( + i) tg arg z 6 arg z 6 O 6 A equação não representa o lugar geométrico correspondente a arg z. 6 A equação representa a recta de suporte da semi-recta > 0 que corresponde ao lugar geométrico pedido. ESAS 00_004 Página 45

46 º ANO 4 Geometricamente. arg ( z ) 4 Algebricamente O 4 arg( + i ) 4 tg > > + > 0 Eercícios (livro). Escrever uma condição que represente cada um dos lugares geométricos do plano de Argand assinalados a cor:.... Representar no plano de Argand os conjuntos definidos por:. z. z. + i z >.4 z + i z. Indicar o domínio definido por:. z z +. z i z + i. z i z i 4. Representar no plano de Argand o domínio definido por: 4. Re( z + i) 4. Re( z i) 4. Im ( z i) Im( i + z) 5. Representar geometricamente no plano de Argand os conjuntos definidos por: 5. arg z 5. arg ( z + ) 5. arg ( z ) arg z 5.5 z arg z arg z 4 6 ESAS 00_004 Página 46

47 º ANO AULA Nº 0 Sumário Prova de avaliação sumativa Objectivos Específicos Avaliar se os objectivos referentes aos temas deste capítulo foram atingidos pelos alunos. Desenvolvimento da aula Distribuição de uma prova escrita (teste aos conhecimentos) para ser resolvida individualmente pelos alunos. ESAS 00_004 Página 47