ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO Matemática EXERCÍCIOS DE PROVAS DE EXAME NACIONAIS COMPLEXOS 1º ANO Parte 1 Escolha múltipla 1 Seja w um número complexo diferente de zero, cuja imagem geométrica pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares A imagem geométrica de w pertence a uma das seguintes rectas A qual delas? A Bissectriz dos quadrantes pares B Bissectriz dos quadrantes impares C Eixo real D Eixo imaginário 1C 1F 00 Considere em C a condição z 0 arg z Re z 1 Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto de pontos definido por esta condição? A b C 1 B ba D a C 1F 00 Exercícios_Exame_Complexosdoc ESAS 1º ANO 00/00 Página 1

2 Na figura estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números complexos: w, z z 1, z, z e Qual é o número complexo que pode ser igual a 1 w? A B z z D z C F 00 Qual das seguintes condições define, no plano complexo, o eixo imaginário? A + z = 0 z C Im ( z ) = 1 B z = 0 D z z = 0 1F 1C 00 5 Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, do z C : z + 1 = z i Im z? { } conjunto ( ) A 1 b B 1 C b D 1 C 1F 00 Exercícios_Exame_Complexosdoc ESAS 1º ANO 00/00 Página

3 6 Na figura está representado um rectângulo, de comprimento e largura, centrado na origem do plano complexo Seja z um número complexo qualquer, cuja imagem geométrica está situada no interior do rectângulo Qual dos seguintes números complexos tem também, necessariamente, a sua imagem geométrica no interior do rectângulo? A 1 z B z C z D z F 00 7 Seja w um número complexo diferente de 0, cuja imagem geométrica, no plano complexo, está no primeiro quadrante e pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares Seja w o conjugado de w Na figura estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro números complexos: z, z, z z 1 e Qual deles pode ser igual a w w? z z z A B C D 1C 1F Na figura está representado, no plano complexo, um heptágono regular inscrito numa circunferência de centro na origem e raio 1 Um dos vértices do hetágono pertence ao eixo imaginário Os vértices do hetágono são, para um certo número natural n, as imagens geométricas das raízes de índice n de um número complexo z Qual o valor de z? A i B 1 i C 1 + i D i C 1F 001 Exercícios_Exame_Complexosdoc ESAS 1º ANO 00/00 Página

4 9 Qual das seguintes regiões do plano complexo (indicadas a sombreado) contém as imagens geométricas das raízes quadradasde+ i? A A C C B b D d 10 Na figura está representado um hexágono cujos vértices são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes de índice 6 de um certo número complexo F 001 O vértice C é a imagem geométrica do número complexo cis Qual dos seguintes números complexos tem por imagem geométrica o vértice D? A B 7 cis 6 C 7 cis 6 D 6 1 cis 1 1 cis 1 6 1F 1C Seja z um número complexo de argumento 5 Qual poderá ser um argumento do simétrico de z? A B + C D C 1F 000 Exercícios_Exame_Complexosdoc ESAS 1º ANO 00/00 Página

5 1 Qual das seguintes condições define uma recta no plano complexo? A z 1 = C arg( z ) = B z + i = 0 D z 1 = z + i F 000 Exercícios_Exame_Complexosdoc ESAS 1º ANO 00/00 Página 5

6 Parte Resposta aberta 1 Em C, conjunto dos números complexos, considere 5 = i z = cis e z = 1+ i 11 Sem recorrer à calculadora, determine apresentando o resultado na forma algébrica z 1 Escreva uma condição em C que defina, no plano complexo, a circunferência que tem centro na imagem geométrica de e que passa na imagem geométrica de z C é o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária ( i) 1C 1F 00 1 Sem recorrer à calculadora, determine + cis 9 cis apresentando o resultado na forma algébrica Seja α um número real Sejam e z dois números complexos tais que: z 1 = cisα z = cis( α + ) Mostre que e z não podem ser ambos raízes cúbicas de um mesmo número complexo C é o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária C 1F 00 1 Sem recorrer à calculadora, calcule na forma trigonométrica, as raízes quartas do número complexo 1+ i, simplificando o mais possível as expressões obtidas Seja z um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A situado no segundo quadrante e pertencente à recta definida pela condição Re( z) = Seja B a imagem geométrica de z, conjudado de z Seja O a origem do referencial Represente, no plano complexo, um triângulo [ AOB ], de acordo com as condições enunciadas Sabendo que a área do triângulo [ AOB] é 8, determine z, na forma algébrica F 00 Em C, considere números complexos: z 1 = 1+ i e z = cis 1 Verifique que e z são raízes quartas de um mesmo número complexo Determine esse número, apresentando-o na forma algébrica Considere, no plano complexo, os pontos A, B e O em que: A é a imagem geométrica de B é a imagem geométrica de z O é a arigem do referencial Determine o perímetro do triângulo [ AOB ] 1F 1C 00 Exercícios_Exame_Complexosdoc ESAS 1º ANO 00/00 Página 6

7 5 De dois números complexos e z sabe-se que: um argumento de z 1 é o módulo de z é + i 51 Seja w = 1 i Justifique que w é diferente de e de z 5 e z são duas das raízes quartas de um certo número complexo z Sabendo que, no plano complexo, a imagem geométrica de z pertence ao segundo quadrante, determine z na forma algébrica C 1F 00 6 Em C, conjunto dos números complexos, considere z = 1+ i (i designa a unidade imaginária) 1 61 Determine os números reais b e c para os quais é raiz do polinómio x + bx + c 6 Seja z = cisα Calcule o valor de α, pertencente ao intervalo [ 0, ], para o qual z 1 z é um número negativo ( z designa o conjudado de z ) 7 Em C, conjunto dos números complexos, seja z 1 = cis + 71 Sem recorrer à calculadora, verifique que é um imaginário puro i 7 No plano complexo, a imagem de z 1 é um dos cinco vértices do pentágono regular representado na figura Este pentágono está inscrito numa circuferência centrada na origem do referencial F 00 Defina, por meio de uma condição em região sombreada, excluindo a fronteira C, a 1C 1F Em C, conjunto dos números complexos, seja z = 1 i (i designa a unidade imaginária) 81 No plano complexo, a imagem geométrica de z 1 é um dos quatro vértices de um losango de perímetro 0, centrado na origem do referencial Determine os números complexos cujas imagens geométricas são os restantes vértices do losango 8 Sem recorrer à calculadora, resolva a equação cis z = + Apresente o resultado na forma algébrica C 1F 001 Exercícios_Exame_Complexosdoc ESAS 1º ANO 00/00 Página 7

8 9 Em C, conjunto dos números complexos, considere w = +i (i designa a unidade imaginária) Determine ( w ) ( 1+ i ) na forma algébrica 9 Averigúe se inverso de w é,ou não, cis F Seja A o conjunto dos números complexos cuja imagem, no plano complexo, é o interior de um círculo de centro na origem do referencial e raio Defina, por meio de uma condição em C, a parte de A contida no segundo quadrante excluindo os eixos do referencial) 1+ i 10 Sem recorrer à calculadora, mostre que o número complexo pertence cis 6 ao conjunto A 11 Considere no plano complexo o quadrado [ ABCD ] Os pontos A e C pertencem ao eixo imaginário, e os pontos B e D pertencem ao eixo real Este quatro pontos encontran-se à distância de uma unidade da origem do referencial 111 Sejam w = 1 i e z = cis Sem recorrer à calculadora, mostre que as raízes quartas do complexo pontos A, B,C, e D w z têm por imagens geométricas os 1C 1F Defina, por meio de uma condição em C, a circunferência inscrita no quadrado [ ABCD] C 1F Seja C o conjunto dos números complexos, e sejam e z dois elementos de C z 1 tem argumento 6 z = z 1 A1 e A são as imagens geométricas de e, respectivamente z 11 Justifique que o ângulo A1 O A é recto ( O designa a origem do referencial) 1 Considere no plano complexo, a circunferência C definida pela condição z = Sabendo que o perímetro de C é, represente na forma algébrica, o numero complexo z 1 F 000 Exercícios_Exame_Complexosdoc ESAS 1º ANO 00/00 Página 8