Trabalho feito e apresentado para a disciplina de matemática em: Instituto Estadual de Educação - 3º ano(306)

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1 Trabalho feito e apresentado para a disciplina de matemática em: Instituto Estadual de Educação - 3º ano(306) Colocado na internet Estude e se baseie nesse trabalho para os seus, mas não copie. Plágio é Crime. Wyllyan Rodrigues do Nascimento Números Complexos Florianópolis 2011

2 Wyllyan Rodrigues do Nascimento Números Complexos É ao juízo que pertence o sentimento, como as ciências pertencem ao espírito. A finura é a parte do juízo, a geometria, a do espírito. Zombar da filosofia, é, em verdade, filosofar. Blaise Pascal Florianópolis 2011

3 Sumário Introdução... 3 Números complexos... 4 Forma Algebrica... 4 Igualdade... 4 Adição... 4 Subtração... 4 Potências de i... 4 Multiplicação... 5 Conjugado... 5 Divisão... 5 Módulo... 6 Inverso... 6 Raiz de números negativos... 6 Forma Geométrica e Trigonométrica Forma Geometrica Forma Trigonometrica... 7 Multiplicação... 8 Divisão ª Lei de Moivre ª Lei de Moivre... 8 Exercícios... 9 Bibliografia... 16

4 Introdução Os números complexos começaram a ser estudados depois da grande contribuição do matemático Cardano que resolveu a equação do segundo grau x² - 10x + 40 = 0; provando que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada, era possível resolver a equação. A partir do estudo de Cardano outros matemáticos estudaram este impasse matemático, que deu um salto qualitativo e quantitativo com Gauss. 3

5 Números Complexos Número complexo é o conjunto de partes ordenados z = (x,y), onde X e Y pertencem aos reais. O conjunto dos números complexos é representado pela letra C. FORMA ALGÉBRICA Tem-se por definição que, se Z = (z,y) = (x,0) + (y,0)(0,1), onde i = (0,1), então podemos escrever da seguinte forma: Z = x + yi A está forma, damos o nome de forma algébrica dos números complexos, onde: Z = número complexo x = parte real de Z y = parte imaginária de z i = unidade imaginária. Imaginário Puro: quando a = 0 e b 0 Real: quando b = 0 1. Igualdade de Números Complexos. Números complexos são iguais, se e somente se, a parte real e imaginária for igual. Desta forma, utilizando-se de dois números complexos quaisquer, tem-se Za = a + bi e Zb = c + di; admitindo a igualdade Za=Zb, tem-se: a = c e b = d 2. Adição de Números Complexos Tomando como base dois números complexos Za = a + bi e Zb = c + di, tem-se que: Za + Zb = (a + c) + (b + d)i 3. Subtração de Números Complexos Utilizando dois números complexos como base Za = a + bi e Zb = c + di, tem-se que: Za Zb = (a c) + (b d)i 4. Potencias de i Este é um pré-requisito básico para entendermos a multiplicação de números complexos. Por definição temos que i = - (-1) 1/2, então, tem-se que: 4

6 i 0 = 1 i 1 = i i 2 = -1 i 3 = i 2.i = -1.i = -i i 4 = i 2.i 2 =-1.-1=1 i 5 = i 4. 1=1.i= i i 6 = i 5. i =i.i=i 2 =-1 i 7 = i 6. i =(-1).i=-i... Observamos que no desenvolvimento de i n (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4unidades. Desta forma, para calcularmos i n basta calcularmos i r onde r é o resto da divisão de n por Multiplicação de Números Complexos Tomando-se dois números complexos Za = a + bi e Zb = c + di; a multiplicação dos mesmos se dá por: Za * Zb = (a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci + bdi² Ou ainda Za * Zb = (ac bd) + (ad + bc)i 6. Conjugado de um Número Complexo Para se achar o conjugado de um número complexo basta inverter o sinal de adição ou subtração pelo seu oposto. Logo: Z = a + bi Para achar o conjugado, representado por, temos que: = a bi Propriedades do Conjugado 1ª Propriedade: O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados. 2ª Propriedade: O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados. 3ª Propriedade : O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real não negativo. ² ²² ² ² 7. Divisão de Números Complexos Para dividirmos números complexos, basta multiplicar o denominador e o numerador pelo conjugado do denominador. Desta forma tem-se: Considerando dois números complexos Za = a + bi e Zb = c + di; a divisão entre eles dá-se por: 5

7 Achando-se o conjugado o denominador, tem-se que Zb = C di; como para dividir devemos multiplicar o denominador e o numerador pelo conjugado, temos: 8. Módulo de Número Complexo Tem-se por módulo de um número complexo, dado por Z = a + bi, a seguinte forma: Z = (a² + b²) 1/2 ou Z = ² ² 9. Inverso de um Número Complexo O inverso de um número complexo, dá-se dividindo 1 pelo número complexo em questão, multiplicando em seguida o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Desta forma Considerando Z = a +bi, tem-se que o inverso deste número é, sabendo que o conjugado é Z = a bi. 1 1 Logo: ²² 1 ² ²² ² ² 1 Obs: a multiplicação de um número pelo seu inverso será sempre igual a Raiz de Números Negativos ² ² Tem-se como definição que i² = -1, logo 1 desta forma podemos definir a raiz de um número negativo, por propriedade de radiciação, como a multiplicação de um numero positivo na raiz, pela raiz de -1, ou seja i. Temos assim: Como 1 = i, temos o seguinte: 1 6

8 FORMA GEOMÉTRICA E TRIGONOMÉTRICA Forma Geométrica ( O gráfico acima é chamado de representação geométrica dos números complexos, com isso temos às seguintes informações: Ө e Ө Podemos considerar que Z = ρ; logo por dedução ρ = ² ² Sendo assim também podemos considerar as formas geométricas da seguinte forma Ө e Ө Estas formulas também são chamadas de Argumento de um número complexo. Forma Trigonometrica A partir da representação geométrica, conseguimos encontrar a representação trigonométrica, desta forma: b = ρ * senө e a = ρ * cosө Substituindo isto na forma algébrica dos números complexos Z = a + bi, tem-se: Z = ρ * cos Ө + z * sen Ө * i Z = ρ ( cos Ө + senө * i) Está é a forma trigonométrica dos números complexos: 7

9 ρө Ө Obs: Está forma também é conhecida como forma polar dos números complexos. 1. Multiplicação pela Forma Polar Para multiplicarmos formas trigonométricas dos números complexos, devemos considerar duas formas polares e, então temos a seguinte forma: Ө Ө Ө Ө 2. Divisão pela Forma Polar Para dividirmos formas trigonométricas dos números complexos, temos a seguinte forma: Ө Ө Ө Ө 3. Potenciação pela Forma Polar (1ª Fórmula de Moivre) Para fazer a potenciação usamos a 1ª Formula de Moivre, uma fórmula muito importante, pois caso não existisse teríamos de usar o binômio de Newton, o que acarretaria em um calculo enorme. A fórmula de Moivre, para potenciação é a formula a seguir: ρ Ө Ө 4. Radiciação de um Número Complexo na Forma Polar (2ª Lei de Moivre) A radiciação de um número complexo na forma polar é dado através da seguinte expressão, que é a 2ª lei de Moivre. Primeiro iremos considerar que 8

10 n ρ Ө n Ө n Onde 2kπ é a expressão geral dos arcos, para descobrir suas determinações. EXERCÍCIOS 1) Analise os seguintes números complexos e determine se é Imaginário Puro, Real ou Imaginário comum (nem imaginário puro, nem real). a) 2i b) 2 + 0i c) 3 + 4i d) 3i Para um número ser Imaginário Puro, tem-se que ele deve ser desta forma: a = 0 e b 0; para ser real b = 0 e para ser imaginário comum tem-se que ele deve possuir a 0 e b 0; então: a) Imaginário Puro b) Real c) Imaginário Comum d) Imaginário Puro 2) Resolva as expressões algébricas dos seguintes números complexos: Za = 1 + 2i e Zb = 2 + 3i a) Adição b) Subtração c) Multiplicação d) Divisão a) Za + Zb = (1 + 2) + (2 + 3)i Za + Zb = 3 + 5i b) Za Zb = (1 2) + ( 2 3)i Za Zb = -1 i c) Za * Zb = (1 * 2 2 * 3) + (1 * * 2)i 9

11 Za * Zb = (2 6) + (3 + 4)i Za * Zb = i d) Temos que o conjugado de Zb é 2 3, logo: ² ² ) Determine o inverso do número complexo Z = 1 + 2i ² ² 1 2 1² 2² ) Determine as raízes complexas da seguinte equação: x² - 4x + 5 = 0 = (-4)² - 4 * 1 * 5) = = -4 X = X = 10

12 X = X = 2 + i X = X = 2 - i S = {2 + i, 2 i} 5) Determine as raízes complexas da seguinte equação x² - 4x + 8 = 0 = (-4)² - 4 * 1 * 8 = = -16 X = X = X = X = 2 + 2i X = X = 2 2i S = { 2 + 2i; 2 2i} 6) Determine o argumento do número complexo Z = ρ = ²+² 1²+ 3² ρ = 1+3 ρ =

13 7) Determine a forma trigonométrica do número complexo Z = ρ = ²+² 1² 3² ρ = 1 3 ρ = 2 60 ρө Ө 3 3 8) Determine a multiplicação na forma polar do número complexo Za = e Zb = 1 + = ² ² 1² 3² = 1 3 = 2 ²² ²² 60 12

14 Ө Ө Ө Ө ) Determine na forma polar do número complexo Z = ρ = ² ² 1² 3² ρ = 1 3 ρ =

15 Utilizando a 1ª Lei de Moivre: ρ Ө+ Ө ) Determine a raiz quadrada do número complexo Z = pela forma polar: ρ = ² ² 1² 3² ρ = 1 3 ρ = 2 60 Como pede-se a raiz quadrada, então temos que K = {0,1} Utilizando a 2ª Lei de Moivre: n ρ Ө n Ө n 0: n ; K 0,1} 14

16 2 2 π 6 π 6 Para k = n

17 Bibliografia 1. COMPLEXOS/Paacutegina1.html Material Impresso: 1. Matemática (Ensino médio) I, Barreto, Claúdio Xavier, II. Titulo Editora: FTD s.a Volume único. Pg