MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Potências e raízes

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1 MTMÁTI - 12o no N o s omplexos - Potências e raízes xercícios de exames e testes intermédios 1. m, conjunto dos números complexos, seja z = 2i 1 i + 2i23 etermine, sem recorrer à calculadora, os números complexos w tais que w 3 = z presente os valores pedidos na forma trigonométrica. xame 216, Ép. especial 2. m, conjunto dos números complexos, seja z = 3 + 4i Sabe-se que z é uma das raízes de índice 6 de um certo número complexo w onsidere, no plano complexo, o polígono cujos vértices são as imagens geométricas das raízes de índice 6 desse número complexo w Qual é o perímetro do polígono? ( 42 ( 36 ( 3 ( m, conjunto dos números complexos, seja z 1 = (1 + i 6 e z 2 = cis 8i ( 6π 5 xame 216, 2 a Fase Sabe-se que as imagens geométricas dos complexos z 1 e z 2 e são vértices consecutivos de um polígono regular de n lados, com centro na origem do referencial. etermine, sem recorrer à calculadora, o valor de n xame 215, Ép. especial 4. m, conjunto dos números complexos, seja z 1 = 1 + i 2 cis π 12 etermine os números complexos z que são solução da equação z 4 = z 1, sem utilizar a calculadora. presente esses números na forma trigonométrica. xame 215, 2 a Fase Página 1 de 1

2 5. Na figura ao lado, está representado, no plano complexo, um polígono regular [F ] Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das n raízes de índice n de um número complexo z O vértice tem coordenadas ( 2 2, 2 2 Qual dos números complexos seguintes tem por imagem geométrica o vértice? ( 2 ( ( cis 12 π ( 4 cis 12 π ( 2 2 cis ( π ( 4 cis ( π O F 6. m, conjunto dos números complexos, considere z 2 = ( π 2 cis 12 xame 214, 1 a Fase s imagens geométricas de z 2 e do seu conjugado, z 2, são vértices consecutivos de um polígono regular. Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de índice n de um certo número complexo w etermine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora. omece por calcular n xame 213, Ép. especial 7. m, conjunto dos números complexos, considere z 1 = cis 3π 4 e z 2 = 1 + i Sabe-se que z 1 z 2 é uma raiz quarta de um certo número complexo w etermine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora. 8. Seja o conjunto dos números complexos. onsidere o número complexo z = 8 3 8i etermine, sem recorrer à calculadora, as raízes de índice 4 de z presente as raízes na forma trigonométrica. xame 213, 1 a Fase xame 212, Ép. especial 9. Na figura ao lado, está representado, no plano complexo, um polígono regular [F GHI] F Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de índice n de um número complexo z G O vértice tem coordenadas (, 3 Qual dos números complexos seguintes tem por imagem geométrica o vértice F? H ( 3 cis 7π 18 ( 3 cis 2π 3 ( 3 cis 11π 18 ( 3 cis 5π 9 I xame 212, 2 a Fase Página 2 de 1

3 1. m, conjunto dos números complexos, considere z = 8 cis π 6 Qual dos números complexos seguintes é uma das raízes de índice seis de z? ( 2 cis 25π 36 ( 2 cis π 36 ( 2 2 cis 25π 36 ( 2 2 cis π 36 xame 211, Prova especial 11. onsidere, em, um número complexo w No plano complexo, a imagem geométrica de w é o vértice do octógono [F GH], representado na figura ao lado. Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de índice 8 de um certo número complexo. Qual dos números complexos seguintes tem como imagem geométrica o vértice do octógono [F GH]? ( w ( w + 1 H G ( i w ( i 3 w F xame 211, Ép. especial 12. Seja o conjunto dos números complexos. onsidere z 1 = 2 + 3i + i 4n+214, n N Sabe-se que z 1 é uma das raízes cúbicas de um certo complexo z etermine z, sem recorrer à calculadora. presente o resultado na forma algébrica. 13. Na figura ao lado, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular. xame 211, Ép. especial Sabe-se que: o ponto está situado no 1 o quadrante; o ponto está situado no 4 o quadrante; [] é um dos lados do polígono regular cujos vértices ( são as imagens π geométricas das raízes de índíce 5 do complexo 32 cis 2 o arco está contido na circunferência de centro na origem e raio igual a O Qual dos números seguintes é o valor da área do setor circular O? ( π 5 ( 4π 5 ( 2π 5 ( 8π 5 xame 211, 1 a Fase Página 3 de 1

4 14. m, conjunto dos números complexos, considere o número complexo ( ( 1 i8 5π z = ( ( π 2 cis 2 cis 8 ( π Verifique, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que z = 16 cis etermine a área do polígono cujos vértices, no plano complexo, são as imagens geométricas das raízes quartas de z xame 21, Ép. especial 15. figura ao lado representa um pentágono [] no plano complexo. Os vértices do pentágono são as imagens geométricas das raízes de índice n de um número complexo w O vértice tem coordenadas (1, Qual dos números complexos seguintes tem por imagem geométrica o vértice do pentágono? ( 5 cis ( cis ( 6π 5 ( π 5 ( cis ( 6π 5 ( π ( cis 5 1 xame 21, 2 a fase 16. Seja w o número complexo cuja imagem geométrica está representada na figura ao lado. qual das rectas seguintes pertence a imagem geométrica de w 6? ( ixo real ( ixo imaginário ( issetriz dos quadrantes ímpares w ( issetriz dos quadrantes pares 17. m, conjunto dos números complexos, considere z = ( π 2 cis 4 etermine, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, o número complexo w = z4 + 4i i presente o resultado na forma trigonométrica. ( π 18. m, conjunto dos números complexos, considere e z 1 = cis e z 2 = 2 + i 7 xame 21, 2 a fase xame 21, 2 a Fase etermine o número complexo w = 3 i (z 1 7, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. (i designa a unidade imaginária, e z 2 designa o conjugado de z 2 presente o resultado na forma trigonométrica. z 2 xame 21, 1 a Fase Página 4 de 1

5 ( π 19. onsidere, em, o número complexo w = 2 cis. 6 No plano complexo, a imagem geométrica de w é um dos vértices do quadrado [], com centro na origem O, representado na figura ao lado. Qual dos números complexos seguintes tem como imagem geométrica o vértice do quadrado? ( ( 3π 7π ( 2 cis ( 2 cis 2 4 ( 11π ( 2 cis 6 ( 2 cis ( 5π 3 O ( ( π 7 cis + (2 + i 3 2. No conjunto dos números complexos, seja z = 7 (. 3π 4 cis 2 etermine z na forma algébrica, sem recorrer à calculadora. xame 29, Ép. especial xame 29, 2 a Fase 21. Na figura ao lado está representado, no plano complexo, o polígono [F GHI], inscrito numa circunferência de centro na origem do referencial e raio igual a 2. Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de índice 5 de um certo número complexo; um dos vértices pertence ao eixo real. Qual( é o vértice do polígono [F GHI] que é a imagem geométrica de 2 cis 3π? 5 G F I ( ( F ( H ( I H xame 28, Ép. especial 22. m, conjunto dos números complexos, considere z 1 = 1 i (i designa a unidade imaginária. onsidere z 1 uma das raízes quartas de um certo número complexo z. etermine uma outra raiz quarta de z, cuja imagem geométrica é um ponto pertencente ao 3. o quadrante. presente o resultado na forma trigonométrica. xame 28, 2 a Fase 23. m, conjunto dos números complexos, considere z 1 = 1 3i e z 2 = 8 cis (i designa a unidade imaginária. Mostre, sem recorrer à calculadora, que ( z 1 é uma raiz cúbica de z Qual das opções seguintes apresenta duas raízes quadradas de um mesmo número complexo? xame 28, 1 a Fase ( 1 e i ( 1 e i ( 1 i e 1 + i ( 1 i e 1 + i xame 27, 1 a Fase Página 5 de 1

6 25. Os pontos e, representados na figura ao lado, são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes quadradas de um certo número complexo z. Qual dos números complexos seguintes pode ser z? ( 1 ( i ( 1 ( i xame 26, 1 a Fase 26. Seja o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária. Sem recorrer à calculadora, determine ( 4 + 2i cis π i apresentando o resultado final na forma trigonométrica. ( π 27. m, conjunto dos números complexos, considere z 1 = cis 6 xame 26, 1 a Fase Sem utilizar a calculadora, determine o valor de presentando o resultado na forma algébrica. [ i (z1 6 1 ] 2 i 28. m qual das opções seguintes estão duas raízes cúbicas de um mesmo número complexo? xame 25, Ép. especial ( cis π 6 e cis 5π 6 ( cis π 3 e cis 2π 3 ( cis π 4 e cis 3π 4 ( cis π 2 e cis 3π 2 ( π 29. m, conjunto dos números complexos, considere z 1 = 2 cis e z 2 = 2i. 4 xame 25, 2 a fase Sejam P 1 e P 2 as imagens geométricas, no plano complexo, de z 1 e z 2, respetivamente. Sabe-se que o segmento de reta [P 1 P 2 ] é um dos lados do polígono cujos vértices são as imagens geométricas das raízes de índice n de um certo número complexo w. Qual é o valor de n? ( 4 ( 6 ( 8 ( 1 xame 25, 1 a Fase Página 6 de 1

7 3. Um número complexo w tem a sua imagem geométrica na parte positiva do eixo imaginário. s imagens geométricas das raízes cúbicas de w são os vértices de um dos triângulos abaixo representados. Qual é esse triângulo? ( ( ( ( xame 24, Ép. especial 31. e dois números complexos, z 1 e z 2, sabe-se que um argumento de z 1 é π 4 e que o módulo de z 2 é 3 2. Sem recorrer à calculadora, determine z ( 8 2 z 2 z1 + 9 z 1 xame 24, Ép. especial Página 7 de 1

8 32. Os quatro vértices de um dos quadriláteros seguintes são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes quartas de um certo número complexo w. Qual poderá ser esse quadrilátero? ( ( ( ( xame 24, 2 a Fase 33. m, conjunto dos números complexos, considere w = 1 + 2i Sabendo que w é uma raiz quarta de um certo número complexo z, determine, sem recorrer à calculadora, as restantes raízes quartas de z. 34. é conjunto dos números complexos i designa a unidade imaginária xame 23, Prova para militares Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma trigonométrica, as raízes quartas do número complexo 1 + 3i, simplificando o mais possível as expressões obtidas. 35. é o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária. ( 2 ( 3 2i + 2 cis π Sem recorrer à calculadora, determine 9 cis 3π 2 forma algébrica Seja α um número real. Sejam z 1 e z 2 dois números complexos tais que: z 1 = cis α z 2 = cis (α + π 3 xame 23, 2 a Fase apresentando o resultado na Mostre que z 1 e z 2 não podem ser ambos raízes cúbicas de um mesmo número complexo. xame 23, 1 a fase - 2 a chamada Página 8 de 1

9 36. Seja w um número complexo diferente de zero, cuja imagem geométrica pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. imagem geométrica de w 4 pertence a uma das retas a seguir indicadas. qual delas? ( ixo real ( issetriz dos quadrantes pares ( ixo imaginário ( issetriz dos quadrantes ímpares xame 23, 1 a fase - 1 a chamada 37. Seja w um número complexo cuja representação geométrica pertence à parte negativa do eixo real. s representações geométricas das raízes quadradas de w pertencem a uma das retas abaixo indicadas. qual delas? ( ixo real ( issetriz dos quadrantes pares ( ixo imaginário ( issetriz dos quadrantes ímpares xame 22, Prova para militares 38. e dois números complexos z 1 e z 2 sabe-se que: um argumento de z 1 é π 3 o módulo de z 2 é 4 z 1 e z 2 são duas das raízes quartas de um certo número complexo z. Sabendo que, no plano complexo, a imagem geométrica de z 2 pertence ao segundo quadrante, determine z 2 na forma algébrica. xame 22, 1 a fase - 2 a chamada 39. m, considere os números complexos: z 1 = 1 + i e z 2 = 2 cis 3π 4 Verifique que z 1 e z 2 são raízes quartas de um mesmo número complexo. etermine esse número, apresentando-o na forma algébrica. xame 22, 1 a fase - 1 a chamada 4. Qual dos seguintes números complexos tem a sua imagem geométrica no interior do círculo de centro na origem e de raio 1? ( ( 1 2 cis π 3 ( ( 2 cis π 3 ( 1 + i ( 2i m, conjunto dos números complexos, considere: xame 21, Prova para militares z 1 = ρ cis π 3 ρ (R + etermine, na forma trigonométrica, as raízes quadradas de z 1 z 1 xame 21, Prova para militares Página 9 de 1

10 42. m conjunto dos números complexos, considere w = 2 + i (i designa a unidade imaginária. etermine (w 2 11 (1 + 3i 2 na forma algébrica. xame 21, 2 a fase 43. Na figura ao lado está representado, no plano complexo,um heptágono regular inscrito numa circunferência de centro na origem e raio 1. Um dos vértices do heptágono pertence ao eixo imaginário. Os vértices do heptágono são, para um certo número natural n, as imagens geométricas das raízes de índice n de um número complexo z. Qual é o valor de z? ( 1 + i ( 1 i ( i ( i xame 21, 1 a fase - 2 a chamada 44. m, conjunto dos números complexos, seja z 1 = 2 cis π 3 Sem recorrer à calculadora, verifique z i é um imaginário puro. xame 21, 1 a fase - 1 a chamada 45. Seja z = yi, com y R \ {}, um número complexo (i designa a unidade imaginária. Qual dos quatro pontos representados na figura ao lado (,, ou pode ser a imagem geométrica de z 4? ( O ponto ( O ponto ( O ponto ( O ponto xame 21, Prova modelo 46. Na figura ao lado está representado um hexágono cujos vértices são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes de índice 6 de um certo número complexo. O vértice é a imagem geométrica do número complexo 2 cis 3π 4 Qual dos seguintes números complexos tem por imagem geométrica o vértice? ( 2 cis 7π 6 ( 2 cis 13π 12 F ( 6 2 cis 7π 6 ( 6 2 cis 13π 12 xame 2, 1 a fase - 1 a chamada Página 1 de 1