MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Operações e simplificação de expressões Propostas de resolução

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1 MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Operações e simplificação de expressões Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. A operação multiplicar por i corresponde a fazer uma rotação de centro em O e amplitude radianos, pelo que a imagem geométrica de i está no primeiro quadrante a igual distância da origem do que a imagem geométirca de Imz) z 1 i A operação multiplicar por corresponde a fazer duplicar a distância à origem, mantendo o argumento do número complexo, pelo que i z 1 z i Rez) Finalmente, a imagem geométrica de um número complexo, e do seu simétrico correspondem a rotações de centro em O e amplitude radianos, pelo que i z Resposta: Opção D z i z 3 Exame 1, Ép. especial. As operações multiplicar por i e transformar no conjugado correspondem geometricamente a fazer uma rotação de centro em O e amplitude radianos e encontrar o ponto simétrico relativamente ao eixo real, respetivamente. i z 1 z Imz) z 1 z Assim, se considerarmos as operações inversas, pela ordem inversa, a partir da imagem geométrica de z, como indicado na figura), obtemos como resposta a imagem geométrica de z. z Rez) Ou, dizendo de outra forma, se z, temos que z z 1 e i i z 1 z, pelo que z. z 3 z 3. Se z + bi, então z bi Exame 13, Ép. especial Assim temos Re z) > e como b <, Im z) >, pelo que sabemos que representação geométrica de z pertence ao primeiro quadrante, logo Arg z) não pode ser α Por outro lado z + b, como b >, temos que z >, logo z não pode ser 3 Exame 13, a Fase Página 1 de 1

2 . Fazendo a simplificação temos: ) cos α) + i cos α cos α + i sen α cos α) + i sen α cos α + i sen α cos α) + i sen α) cos α + i sen α ) Porque cos α sen α Porque sen α sen α) cis α) cis α cis α α) Fazendo a divisão na forma trigonométrica cis α) Como queriamos mostrar 5. Temos que z 8) e sabemos que Arg z) α, pelo que podemos escrever que z 1 cis α Assim, temos que Exame 13, a Fase i z z do enunciado) i 1 cis α)) 1 cis α) calculado z e escrevendo z na f.t.) i 1 cis α α)) fazendo a divisão na f.t.) cis ) 1 cis 3α) escrevendo i na f.t.) 1 cis ) + 3α 1 cis 3α ) fazendo o produto na f.t.) Resposta: Opção A Exame 13, 1 a Fase 6. Sabemos que i 1, i 1 i, i 1 e i 3 i, e que é válida a igualdade i n i k, onde k é o resto da divisão inteira de n por. Assim, como 8n n+, temos que i 8n i 1 como 8n 1 8n + 3 n 1)+3 temos que i 8n 1 i 3 i como 8n 1 8n + n 1)+ temos que i 8n i 1 Temos que i 8n i 8n 1 + i 8n i i 3 + i 1 i) + 1) i 1 Logo a imagem geométrica de i 8n i 8n 1 + i 8n pertence ao terceiro quadrante. Exame 13, 1 a Fase Página de 1

3 7. Como z cis θ, então z cis θ). Como 3 < θ <, então 3 < θ <, ou seja θ ] 3, [ Imz) Logo z pertence ao o quadrante e z 1, ou seja z é da forma a + bi, com < a < 1 e 1 < b <. z 1 Rez) Assim z a ) + bi, em que a < e b <, pelo que z pertence ao 3 o quadrante. z z Teste Intermédio 1 o ano Sabemos que i 6 i 1 e que i 7 i 3 i. Logo i6 + i 7 i 1 + i) i 1 i) + i) i) + i) i i i 5i + i 5i i Teste Intermédio 1 o ano Se z e são inversos um do outro, temos que 1 z Por um lado 1 z i 1 i 1 i)1 i) 1 i 1 i 1 i 1 1 i Por outro lado. como , sabemos que i 11 i 3 i e assim k 1) + pi 11 k 1) + p i) k 1) p)i Como 1 z temos que 1 1 i k 1) p)i Logo 1 k 1 1 p k 1 p 3 k 1 p Assim temos que k + p Resposta: Opção D 1. Como z 3 + ki temos: z 1 z + i)3 + ki) 6 + ki + 3i + ki 6 1 k + ik + 3) 6 k) + k + 3)i Para que z 1 z seja um imaginário puro Re z 1 z ) Logo 6 k 6 k Resposta: Opção D Exame 1, Ép. especial Exame 1, a Fase 11. Sabemos que i 1, i 1 i, i 1 e i 3 i, e que é válida a igualdade i n i k, onde k é o resto da divisão inteira de n por. Assim, como n 6 n 8 + n )+ temos que i n 6 i 1 Devemos escrever cis cis 6 ) na f.a. para podermos somar as parcelas do numerador: ) 3 1 i ) cos ) + i sen )) ) )) cos i sen Página 3 de 1

4 Assim temos que: ) 3 i n 6 + cis ) 3 3 1) + 1 i ) ) i i ) ) cis cis cis cis cis ) cis 5 ) 1 cis 5 ) 1 cis 7 ) 1 ) 13 1 cis 1 Exame 1, a Fase 1. As operações dividir por i e dividir por 3 correspondem geometricamente a fazer uma rotação de centro em O e amplitude radianos e dividir a distância ao centro por 3, respetivamente. Imz) z Assim, podemos fazer as operações por qualquer ordem e, por isso, temos duas alternativas: i z 3 z 3 Resposta: Opção A e e z 3 z 1, ou então z 3 i z 1 z 3 z z 1 Rez) Exame 1, 1 a Fase 13. Como o ponto M é a imagem geométrica do número complexo z 1 que vamos designar por z 1 ρ 1 cis θ, em que < θ < porque M é um ponto do primeiro quadrante e Rez 1) > Imz 1 ). Como o ponto N é a imagem geométrica do número complexo z 1 z que vamos designar por z 1 z ρ cis α, em que 3 Rez 1 z ) > Imz 1 z ). < α < porque N é um ponto do segundo quadrante e Assim temos que: z 1 z ρ cis α z ρ cis α z 1 z ρ cis α ρ 1 cis θ z ρ ρ 1 cis α θ) S Imz) N R Q P M α θ Rez) Logo, como 3 < α < e < θ <, então, subtraindo um número positivo) inferior a a α, vem que: 3 < α θ < < α θ < < α θ < 3 E assim, temos que < Arg z ) < 3 Ou seja, o ponto R é o único que pode ser a imagem geométrica do número complexo z. Exame 11, Prova especial Página de 1

5 1. Para que z 1 seja igual ao conjugado de z, temos que se verificar a condição Rez 1 ) Rez ) Imz 1 ) Imz ) Logo: Rez 1 ) Rez ) Imz 1 ) Im 3k + 3p p 5k) 3k + 6 3p p 5k k + p k + 5k k + p + 5k k k + p k 1 + p 1 k 3 p 1 k Exame 11, Ép. especial 15. Pela observação da figura podemos adicionar geometricamente os afixos de z e de z e temos que z + z z 3 A operação multiplicar por i corresponde geometricamente a fazer uma rotação de centro em O e amplitude, pelo que z 3 i z 5. Logo z + z ) i z 3 i z 5. z z 5 Imz) z 3 z 1 z Rez) z 6 Exame 11, a Fase 16. Sabemos que i 1, i 1 i, i 1 e i 3 i, e que é válida a igualdade i n i k, onde k é o resto da divisão inteira de n por. Imz) Assim, como n n +, temos que i n i 1 como n + 1 n +1 temos que i n+1 i 1 i como n + n + temos que i n+ i 1 Assim temos que: z 3 z z 1 Rez) i n + i n+1 + i n+ 1 + i 1 i, pelo que, de acordo com a z figura, temos que i n + i n+1 + i n+ z Exame 11, 1 a Fase Página 5 de 1

6 17. Designando por, z 1 e z os números complexos cujas imagens geométricas são os pontos B, A e C, respetivamente, temos que z 1, porque os pontos A e B estão à mesma distância da origem; logo arg ) arg z ) 9, como arg z ) 3, temos que arg ) Assim temos que 5 cis 5 18 Teste Intermédio 1 o ano A operação multiplicar por i corresponde geometricamente a fazer uma rotação de centro em O e amplitude radianos. Imz) Q Assim temos que i z, sendo o número complexo que tem por imagem geométrica o ponto Q. R P Logo i z, ou seja o número complexo que tem por imagem geométrica o ponto T. S Rez) Resposta: Opção D T Exame 1, Ép. especial 19. z é um imaginário puro, se arg z + k, k Z Assim temos que: 8 θ + k, k Z θ 8 k, k Z θ 8 8 k, k Z θ 3 8 k, k Z Atribuíndo valores a k, temos: Se k, θ 3 8 Se k 1, θ Resposta: Opção D Exame 1, 1 a Fase. Como i 6 i + i 1 i 7 i +3 i 3 i 1 + i)3 + i) 3 + i + 6i + i 3 + 1) + 7i 1 + 7i Temos que: 1 + i)3 + i) i 6 + i 7 3i 1 + 7i 1) i 3i + 6i 3i + 6i) i 3i i i + 6i 3i i i 3 3 i Teste Intermédio 1 o ano Página 6 de 1

7 1. Como i cis, podemos fazer a multiplicação na forma trigonométrica: z i. cis θ) cis ) cis θ cis + θ Assim o conjugado de z é: ) ) z cis + θ cis ) θ Resposta: Opção A Exame 9, Ép. especial. Temos que i 3 i 1+3 i 3 i Calculando z1 temos: z1 3 i) 3 3i) + i) 9 1i + i 9 1i 5 1i ) 3 Como 8 cis 8i, calculando z na forma algébrica, temos: z z 1 + z1 + i ) cis 3 i) + 5 1i) + i) 8i 8 16i 8i 1 i i 1 i) i i i i i i i 1) 1) + i Exame 9, Ép. especial 3. Se arg z) 3 então arg z) 3 Escrevendo i na f.t. temos i cis Assim, sendo ρ z e por isso também ρ z ) e fazendo a divisão na f.t. temos que: i z ρ cis Logo arg cis 3 ) ρ cis )) 3 ρ cis + ) 3 3 ρ cis 6 + ) 6 ρ cis 5 6 ) i 5 z 6 Exame 9, 1 a Fase Página 7 de 1

8 . Como i 18 i + i 1, temos que: z 1 i 1 i i1 + i) i + i18 i 1) 1 i)1 + i) 1 i i i i i Escrevendo z 1 na f.t. temos z 1 ρ cis θ, onde: 1 ) ) 1 1 ρ z tg θ Logo z ; como sen θ > e cos θ >, θ é um ângulo do 1 1 o quadrante, logo θ cis Exame 9, 1 a Fase Imz) 5. A imagem geométrica do número complexo ρ cis α) é um número complexo tal que: z apenas os pontos B e C verificam esta condição) arg) argz) apenas os pontos A e B verificam esta condição) Assim o ponto B é a imagem geométrica de ρ cis α) A B C α P Rez) D Teste Intermédio 1 o ano Como i 35 i 8 +3 i 3 i, e + i) + i) + i) + i + i + i 1 + i 3 + i temos que: + i) i i 3 + i i) 1 + i i 6i 1 + i i i)1 i) 1 + i 1 + i)1 i) 8i i + i 1 i 1i 1i i Teste Intermédio 1 o ano Como cis i, temos que: z 1 1 i).1 + i) 1 i Na f.t.: z 1 cis Fazendo a divisão na f.t.: z 1 z 8 cis cis ) 8 cis )) 1 cis Exame 8, Ép. especial Página 8 de 1

9 8. Os números complexos z e z, têm argumentos que diferem de radianos, logo arg z) + arg z) Seja z um número complexo de argumento 6. Resposta: Opção D 9. Como i 18 i + i 1, temos que z 1 i i 1 i) 1) 3 1 i i i Exame 8, a Fase i i1 + i) i i 1 i 1 i)1 + i) 1 i) i i i Exame 8, a Fase 3. O número complexo 3i tem a sua representação geométrica sobre a parte positiva do eixo imaginário, pelo que faz um ângulo de radianos com o semieixo real positivo, logo argz) 1 Exame 8, 1 a fase 31. Sabemos que i 1, i 1 i, i 1 e i 3 i, e que é válida a igualdade i p i k, onde k é o resto da divisão inteira de p por. Assim, como i n i, temos que i n i i 3 i p+3, para p N. Logo i n+1 i p+3)+1 i p+ i p+1) i p+1)+ i 1 Resposta: Opção A 3. Como arg z 1 ) α, temos que z 1 ρ cis α Como z iz 1, temos que z iz 1 Como i cis 3, fazendo a multiplicação na f.t. temos que: z iz 1 cis 3 ) ) 3 ρ cis α) ρ) cis + α ] Assim, como α, [, temos que arg z ) 3 + α Exame 7, a fase Exame 7, a fase 33. Designando por, z 1 e z os números complexos cujas imagens geométricas são os pontos C, A e B, respetivamente, temos que z 1, porque os pontos A e C estão à mesma distância da origem; logo Como rad rad rad, então: 1 arg ) arg z ) Assim temos que 5 cis 3 5 Resposta: Opção D Exame 6, Ép. especial Página 9 de 1

10 3. Como cis i temos que z 1 i) + cis ) i) + i) i 1) 5 Escrevendo z 1 na f.t. temos z cis Fazendo a divisão na f.t. vem: z 1 z 5 cis 1 5 cis 7 ) 5 cis )) 5 cis Exame 6, a fase 35. Seja z a + bi com a R \ {} e b R \ {}, cuja imagem geométrica é o ponto A. Assim z a bi, cuja imagem geométrica é o ponto A, simétrico do ponto A relativamente ao eixo real. Logo z a bi) a + bi, cuja imagem geométrica é o ponto B, simétrico do ponto A relativamente ao eixo imaginário. 36. Escrevendo 1 na f.t. temos 1 ρ cis θ, onde: ρ Exame 5, Ép. especial tg θ ; como sen θ > e cos θ >, θ é um ângulo do 1o quadrante, logo θ Assim 1 cis Calcular o produto 1 na f.t., e escrevendo o resultado na f.a. vem: ) ) 1 cis cis ) cis 1 1) + 3 cis 1 + ) 1 ) )) ) 1 3 cos + i sen i 1 + 3i Podemos ainda escrever 3 na f.a.: 3 3 cis ) 3i cis 1 cis 3 Assim temos que: i 3 3i 1 + 3i 3i 1 + 3i) i 3i i i + 3i 3i i i i Exame 5, a fase Página 1 de 1

11 37. + i + i)1 + i) + i + i + i i i 1 i 1 i)1 + i) 1 i i + 3i 1 1 1) i 1 + 3i i 1 + i i Escrevendo na f.t. temos ρ cis θ, onde: 1 ) ) 1 1 ρ tg θ Assim 1 1 ; como sen θ > e cos θ >, θ é um ângulo do 1 1 o quadrante, logo θ cis 38. Exame 5, 1 a fase Como 3i) 3i) 16 1i 1i + 9i 16 i 9 7 i i + i i + 7 i i i + 7 i) i i i i + 7i i 7i + i i + i 7i 5i Se arg) α então ρ cis α, sendo ρ + 3) Assim 5 cis α) Como i cis, fazendo o produto na f.t., temos: i cis ) ) 5 cis α)) 5 cis α Exame, a fase 39. Como i 3 i 5+3 i 3 i temos que: z 1 + i i + i) 6 + i) 1 + i) z 1 i 1 i) 1 + i) 1 1i 1 1i i Escrevendo i na f.t. temos i ρ cis θ, onde: 6 1i + i + i 6 1i 1 i) 1 i ρ i ) + ) + tg θ 1 ; como sen θ < e cos θ <, θ é um ângulo do 3o quadrante, logo θ + 5 Assim z 1 + i 3 z cis 5. Para que z seja um número real arg z) arg z) Exame, 1 a fase Assim θ 5 θ 5 θ 5 θ + 5 θ 5 θ 6 5 Resposta: Opção A Exame 3, Prova para militares Página 11 de 1

12 1. Como Re ) > 1 então Re 1) > e Im ) Im 1), pelo que é razoável admitir que 1 z 1 z Imz) z 1 1 Como Re z 3 ) Re z 1 ) Im z 3 ) Im z 1 ), temos que z 3 z 1 1) Assim temos que z 3 z 1 1) 1 1 Rez) z 3 z Exame 3, a fase. Escrevendo z 1 na f.t. temos z 1 ρ cis θ, onde: ρ z 1 + ) + 8 tg θ 1 ; como sen θ < e cos θ >, θ é um ângulo do o quadrante, logo θ Assim z 1 cis 7 Fazendo a divisão na f.t. e escrevendo o quociente na f.a., temos: z cis 7 1 z 7 cis 5 cis 5 ) cis cis i Exame 3, 1 a fase - 1 a chamada 3. Como < Re z) < 1 < Im z) < 1 e Re z) Re z) Im z) Im z) Temos que, também, < Re z) < 1 < Im z) < 1 Logo a imagem geométrica de z também pertence ao interior do retângulo. Imz) Rez). 1 + i i 1 + i) i i i i + i i 1 i 1 Escrevendo na f.t. temos ρ cis θ, onde: ρ i Exame, a fase tg θ ; como sen θ > e cos θ >, θ é um ângulo do 1o quadrante, logo θ Assim cis, e por isso: arg ) 3 arg z 1), pelo que z 1 z, pelo que z Exame, 1 a fase - a chamada Página 1 de 1

13 5. Como i 3 i 5+3 i 3 i, temos que: z 1 + i 3 + i 1 + i + i) + i 5 i 5 + i) i) + i) 1 + 5i 1 + 5i 1 + 5i + i i 1) 5 6. Se + i, então i 1 i) + i) i) i i i 1) i i Escrevendo cis 3 na f.a., temos que: 3 cis cos 3 + i sen 3 ) Logo 1 cis 3 ) + i i Exame 1, Ép. especial Exame 1, a fase 7. Se a imagem geométrica de está no primeiro quadrante e pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, então arg ), e é da forma ρ cis Assim temos que ρ cis ) Logo ρ cis ρ cis ) ρ ρ cis )) 1 cis + ) cis cis Logo a representação geométrica de está sobre a parte positiva do eixo imaginário, como a imagem geométrica de z Imz) z Rez) Exame 1, 1 a fase - 1 a chamada Imz) 8. Se arg z) 5, então z tem a imagem geométrica no 1o quadrante. b z Se z a + bi, com a > b >, então z a bi, com a > b >, logo arg z) + 5 z a + 5 b 5 a Rez) Exame, 1 a fase - a chamada Página 13 de 1

14 9. Sabemos que z A se z < 1. Como 1 + 3i , sendo θ arg 1 + 3i) podemos escrever 1 + 3i cis θ, Assim temos que : 1 + 3i cis cis θ cis 6 6 Logo, como 1 + 3i cis 1, e 1 6 cis θ ) 1 6 cis θ ) i < 1, podemos afirmar que cis 6 pertence ao conjunto A. Exame, 1 a fase - 1 a chamada 5. A operação multiplicar por i corresponde geometricamente a fazer uma rotação de centro em O e amplitude radianos pelo que a imagem geométrica de i, está sobre a circunferência de centro na origem que contem. z i Imz) A operação multiplicar por corresponde a duplicar a distância à origem, mantendo o ângulo que com o sei-eixo real positivo. Assim temos que i z i Rez) Exame, Prova modelo Página 1 de 1