TEMA 3 TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS FICHAS DE TRABALHO 12.º ANO COMPILAÇÃO TEMA 3 TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS

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1 FICHS DE TRLH.º N CMPILÇÃ TEM 3 TRIGNMETRI E NÚMERS CMPLEXS Site: Facebook: TEM 3 TRIGNMETRI E NÚMERS CMPLEXS Matemática.º no Fichas de Trabalho Compilação Tema 3 Trigonometria e Números Complexos 06 07

2 . (Exercício n.º Ficha de Trabalho n.º Tema 3.º no 06 07) Na figura abaixo está representada uma circunferência de centro e raio. C Sabe-se que:, e C são três pontos da circunferência C é um diâmetro da circunferência o ângulo C tem amplitude, com 0,.. Mostre que a área sombreada pode ser dada, em função de, por sen cos... Considere agora que. 6 a) Qual a amplitude, em graus, do arco? b) Qual o comprimento do arco C? Proposta de Resolução aqui: Matemática.º no Fichas de Trabalho Compilação Tema 3 Trigonometria e Números Complexos 06 07

3 . (Exercício n.º Ficha de Trabalho n.º Tema 3.º no 06 07) Considere a função f, de domínio \ 0,, por: f x x e se x 0 x sen x se x 0 x x.. Estude a função f quanto à existência de assimptotas não verticais do seu gráfico. Caso exista(m), indique a(s) sua(s) equação(ões)... Determine: a) lim f x x, caso exista. b) f x lim x. x.3. Determine os zeros de f pertencentes ao intervalo no intervalo, 7. Proposta de Resolução aqui: Matemática.º no Fichas de Trabalho Compilação Tema 3 Trigonometria e Números Complexos

4 3. (Exercício n.º Ficha de Trabalho n.º 3 Tema 3.º no 06 07) 3 Considere a função g, de domínio,5 \, x sen, definida por g x x cos. 3.. Determine o conjunto solução da equação gx. 3.. recta de equação y x 3 é tangente ao gráfico de g num ponto de abcissa a. 3 Determine o valor de a Na figura estão representados, em referencial o.n. xy, o triângulo C e a recta r, bissectriz dos quadrantes ímpares. s pontos e C pertencem a r. Sabe-se que: y, o ponto tem abcissa negativa o ponto C tem abcissa simétrica do ponto C r x Seja a amplitude, em radianos, do ângulo C com 0,. a) Mostre que a área do triângulo C é dada em função de por sen. cos b) Mostre que o perímetro do triângulo C é dado em função de por g. c) Determine lim g 0 e interprete o resultado no contexto do problema. Proposta de Resolução aqui: Matemática.º no Fichas de Trabalho Compilação Tema 3 Trigonometria e Números Complexos

5 4. (Exercício n.º Ficha de Trabalho n.º 4 Tema 3.º no 06 07) Considere, em, conjunto dos números complexos: zsen icos, com 0, e w 3i z. z 4.. Mostre que cos isen 4.. Considere o número complexo z w. a) Determine de modo que z w seja um imaginário puro. b) Na figura estão representados, no plano complexo, os pontos,, C e D. Im z Re z C D Indique, justificando, qual dos pontos que pode ser a imagem geométrica do complexo z w Considere. 6 Sem recorrer à calculadora determine, na forma algébrica, z w 4 i. Proposta de Resolução aqui: Matemática.º no Fichas de Trabalho Compilação Tema 3 Trigonometria e Números Complexos

6 5. (Exercício n.º Ficha de Trabalho n.º 5 Tema 3.º no 06 07) Na figura está representado, no plano complexo, um sector circular. Im z Re z Sabe-se que: e são as imagens geométricas de duas raízes quintas, consecutivas, de um complexo w a área do sector circular é verigue se a imagem geométrica do número complexo cis i circular, isto é, à região sombreada da figura., com 0, 5.. Sejam z e z os números complexos cujas imagens geométricas são, respetivamente, e. pertence aos sector Sabe-se que w cis. w 3 Escreva z e z na forma trigonométrica Mostre que z z cos 8 5. Proposta de Resolução aqui: Matemática.º no Fichas de Trabalho Compilação Tema 3 Trigonometria e Números Complexos

7 6. (Exercício n.º Ficha de Trabalho n.º 6 Tema 3.º no 06 07) Números Complexos. Domínios Planos. 6.. Na figura está representado, no plano complexo, o polígono regular CDEF e, a sombreado, o sector circular CD. s vértices do polígono CDEF são as imagens geométricas das raízes índice n, com n, de 8i. C Im z D Re z E F Defina, por uma condição em, a região sombreada da figura, incluindo a fronteira. 6.. Em, conjunto dos números complexos, sejam z cis e z i, com e 0,. a) Determine e de modo que o número complexo z z pertença à região do plano definida pela condição: b) Considere arg 3 z z. Mostre que z z 4sen sen cos. Matemática.º no Fichas de Trabalho Compilação Tema 3 Trigonometria e Números Complexos

8 Solucionário.. a) 0º.. b) 3...H.: y 0, quando x.. a) Não existe.. b).3.,,, ,4 3.. a c) ; quando x 0 a distância entre e C tende para zero e as distâncias entre e, e e C, tendem para, pelo que o perímetro do triângulo C tende para a) 4.. b) i Não pertence. 5.. z cis e z cis a) 6.. z i arg z i e Matemática.º no Fichas de Trabalho Compilação Tema 3 Trigonometria e Números Complexos