EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

Transcrição

1 PROVA 435/9 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos Duração da prova: 120 minutos 2002 Militares PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui cinco questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de dez. Na página 9 deste enunciado encontra-se um formulário. 435/1

2 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos. 1. Na figura ao lado está a representação gráfica de uma função 0 e, a tracejado, parte da recta de equação Cœ. Em qual das figuras seguintes pode estar a representação gráfica da função " 0, função inversa de 0? (A) () (C) (D) 435/2

3 2. De uma função 0, de domínio Ò!ß Ò, sabe-se que as rectas de equações C œ " e œ são assimptotas do seu gráfico. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) A função 0 é contínua em todo o seu domínio. () A função 0 tem máximo absoluto. (C) O gráfico de 0 não tem assimptota oblíqua. (D) O gráfico de 0 não tem assimptota vertical. 3. Sejam + e, dois números reais positivos. Qual das seguintes igualdades é equivalente a ln +œ ln,? (A) +,œ" () +, œ" (C) +,œ" (D) +,œ" 4. Seja 0 uma função de domínio e + um ponto do domínio de 0 tal que 0Ð+Ñœ! Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) + é zero de 0 () 0Ð+Ñ é extremo relativo de 0 (C) +ß 0Ð+Ñ é ponto de inflexão do gráfico de 0 (D) A recta de equação C œ 0Ð+Ñ é tangente ao gráfico de 0 435/3

4 5. A Joana comprou dez discos, todos diferentes, sendo três deles de música clássica e os restantes de Jazz. Pretende oferecer esses dez discos aos seus dois irmãos, o Ricardo e o Paulo, de modo a que cada irmão fique com o mesmo número de discos; o Ricardo fique com exactamente dois discos de música clássica. De quantas maneiras o poderá fazer? (A) $ G ( G$ () $ G ( G $ $ G " ( G% (C) $ G ( G$ (D) $ G ( G$ $ G " ( G% 6. Numa caixa há bolas de duas cores: verdes e pretas. O número de bolas verdes é seis. De forma aleatória extraem-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caixa. A probabilidade de a segunda bola extraída ser preta, sabendo que a primeira bola " extraída foi verde, é. Quantas bolas pretas havia inicialmente na caixa? (A) % () & (C) ' (D) ( 7. Seja A um número complexo cuja representação geométrica pertence à parte negativa do eixo real. As representações geométricas das raízes quadradas de rectas abaixo indicadas. A qual delas? A pertencem a uma das (A) Eixo real () Eixo imaginário (C) issectriz dos quadrantes pares (D) issectriz dos quadrantes ímpares 435/4

5 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Em, conjunto dos números complexos, seja D " œ" 3 ( 3 designa a unidade imaginária) Determine, na forma trigonométrica, os valores, não nulos, de para os quais D œ D D" D 1.2. Represente, no plano complexo, a região do plano definida por $ 1!Ÿarg D D Ÿ kd D k Ÿ " " % " 2. Numa turma de vinte e cinco jovens, as suas idades e sexos estão distribuídos como indica a tabela: Idade Rapazes Raparigas Pretende-se escolher um jovem para representar a turma. Sabendo que esse representante é escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de que tenha dezasseis anos ou seja uma rapariga? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível Ao escolher dois jovens ao acaso, qual é a probabilidade de eles serem de sexo diferente e terem a mesma idade? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 435/5

6 3. Considere as funções 0À Ä e 1À Ä, definidas por: 0 œ ln ( ln designa logaritmo de base /) 1 œ $ 3.1. Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude, quanto à monotonia, a função Utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora, investigue se todo o número do intervalo c!,"à ",) d é solução da inequação 0 1. Indique a conclusão a que chegou e explique como procedeu. Deverá incluir na sua explicação os gráficos obtidos na sua calculadora. 4. Na figura está representada a Terra e uma nave espacial R. Considere que a Terra é uma esfera de centro G e raio <. A área da superfície da terra visível da nave, representada a sombreado na figura, é dada, em função do ângulo ), por 0Ð) Ñ œ 1 < " sen ) ˆ 1 ) Ó!, Ò Determine o valor de ) para o qual é visível, da nave, a quarta parte da superfície terrestre Designando por 2 a distância da nave à Terra, mostre que a área da superfície da terra visível da nave é dada, em função de 2, por 1Ð2Ñ œ 1 < 2 < 2 Sugestão: tenha em conta que o ângulo GER é recto Calcule lim 2Ä 1Ð2Ñ e interprete o resultado obtido no contexto da situação descrita. 435/6

7 5. Na figura está representada, em referencial o. n. SC, uma recta < paralela ao eixo SC. Considere que um ponto de toda a recta <Þ T se desloca ao longo Sejam: a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo S e por lado extremidade a semirecta ST ; 0 a função que dá, para cada, a distância de T à origem S do referencial. Dos gráficos seguintes, apenas um deles pode ser o da função 0. Qual? Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explique por que é que os outros três estão incorrectosß apresentando, para cada um deles, uma razão pela qual o rejeita. (A) () (C) (D) FIM 435/7

8 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL /8

9 Formulário Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: H < H /89< F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema Círculo: 1 < ( < <+39) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Prog. Aritmética:?"? 8 8 " < Prog. Geométrica:? " " < Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? @ œ 8 Volumes Prisma: Área da base Altura 8 8 " Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Cilindro: Área da base Altura Ð cos?ñ œ?þ sen? Pirâmide: " $ Área da base Altura? Ð tg?ñ œ cos? Cone: " $ Esfera: Área da base Altura % $ Trigonometria $ 1 < ( < raio) sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) Þ 3-3= ) œ 33-3= ) ) 3-3=) 3 3-3= ) œ 3-3= ) ) 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ È8 3 ) È8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 "?? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis lim Ä! lim Ä! lim Ä! lim Ä sen œ" / " ln Ð "Ñ / œ" œ" : œ Ð: Ñ 435/9