PROVA 135/8 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

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1 PROVA 135/8 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos - Programa «antigo» Duração da prova: 120 minutos 2001 Reserva (não usada) PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA VERSÃO 1 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUPO I. V.S.F.F. 135.V1/1

2 A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui nove questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui quatro questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de dez. 135.V1/2

3 Grupo I As nove questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para responder a cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos. 1. Seja 0 uma função de domínio, estritamente crescente. Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira? A função 0 não pode ter mais do que um zero. (B) A função 0 tem contradomínio. O gráfico da função 0 tem a concavidade voltada para cima. (D) O gráfico da função 0 é simétrico em relação ao eixo das ordenadas. # 2. Para um certo número real +, o gráfico da função 1, definida por 1ÐBÑ œ +B $, tem, no ponto de abcissa 1, uma recta tangente com declive %. Qual é o valor de +? " $ % (B) # # (D) # 3. Considere uma função 2, contínua em Ï $, tal que: lim 2ÐBÑ œ & lim 2ÐBÑ œ lim 2ÐBÑ œ! BÄ BÄ 3 Qual das seguintes afirmações é verdadeira? BÄ O gráfico da função 2 não tem assimptotas verticais. (B) O gráfico da função 2 não tem assimptotas horizontais. A função 2 tem mínimo absoluto. (D) A equação 2ÐBÑ œ # tem pelo menos uma solução. V.S.F.F. 135.V1/3

4 4. Num referencial o.n. SBCD, considere a superfície esférica de equação # # # B C D œ " Um ponto T desloca-se sobre o diâmetro que está contido no eixo SD. Para cada posição do ponto T, considere o cone, inscrito na superfície esférica, que tem por base o círculo cujo centro é o ponto T e que tem por vértice o ponto Ð!ß!ß"Ñ. Seja 0 a função que faz corresponder, à cota - do ponto T, o volume Z do referido cone. Qual dos seguintes gráficos pode ser o da função 0? (B) (D) 135.V1/4

5 5. Na figura estão representados, em referencial o.n. BSC : um rectângulo de comprimento 10 e largura 6, centrado na origem do referencial; uma elipse inscrita nesse rectângulo. Quais são as coordenadas dos focos dessa elipse? Ð#ß!Ñ e Ð #ß!Ñ (B) Ð%ß!Ñ e Ð %ß!Ñ Ð!ß #Ñ e Ð!ß #Ñ (D) Ð!ß %Ñ e Ð!ß %Ñ 6. Considere, num referencial o.n. SBCD, as superfícies esféricas definidas pelas equações B # ÐC #Ñ # D # œ# e B # ÐC $Ñ # D # œ# A intersecção destas superfícies esféricas é... um ponto. o conjunto vazio. (B) (D) uma circunferência. um segmento de recta. 7. Num referencial o.n. SBCD, um plano α é perpendicular ao plano Qual das seguintes pode ser uma equação do plano α? BSDÞ DœB # DœC (B) (D) DœB C Cœ# 8. Uma estante tem oito prateleiras. Pretende-se expor, nessa estante, seis peças de porcelana: duas jarras iguais e quatro pratos diferentes. De quantas maneiras podem ser expostas as seis peças nas oito prateleiras, de tal modo que não fique mais do que uma peça em cada prateleira? ) G # ' E% (B) ) # E %x ) G # ) E% (D) ) E # ' G% 9. Considere seis pontos distintos ÐEßFßGßHßI e JÑ, pertencentes a uma circunferência. Escolhidos três desses pontos ao acaso, qual é a probabilidade de eles definirem um triângulo que contenha o lado ÒEFÓ? (B) (D) " " " " ' & % $ V.S.F.F. 135.V1/5

6 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Considere a função, de domínio, definida por 0ÐBÑ œ ln B B ( ln designa logaritmo de base / ) Utilize métodos exclusivamente analíticos para resolver as três alíneas seguintes: 1.1. Estude a função 0 quanto à existência de assimptotas verticais Investigue se a função 0 tem máximo e, em caso afirmativo, determine-o Considere ainda a função 1, de domínio, definida por 1ÐBÑ œ " #B Determine os valores de B para os quais se verifica 0ÐBÑ Ÿ 1ÐBÑ Apresente o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. 2. Na figura, ÒEFGHÓ é um quadrado de lado "; ÒELFÓ, ÒFKGÓ, ÒGJ HÓ e ÒHIEÓ são triângulos rectângulos iguais; B designa a amplitude do ângulo LFE Mostre que a área da superfície sombreada é dada, em função de B, por 1 0ÐBÑ œ " sen Ð#BÑ B Ó!ß % Ó Calcule 0 e interprete geometricamente o valor obtido (deve incluir, na sua % interpretação, a figura que se obtém para Bœ 1 ). % 135.V1/6

7 3. Um saco contém sete bolas, numeradas de 1 a 7, indistinguíveis ao tacto. Retiram-se sucessivamente, de forma aleatória, duas bolas do saco, repondo-se a primeira bola antes de se retirar a segundaþ 3.1. Qual é a probabilidade de os números saídos serem ambos pares? Apresente o resultado na forma de fracção Qual é a probabilidade de saírem dois números cuja soma seja igual a quatro? Apresente o resultado na forma de fracção. 4. Na figura está representado, em referencial o.n. SBCD, um sólido formado por um paralelepípedo rectângulo ÒEFGHIJ KLÓ e uma pirâmide ÒEFGHZ Ó. A base ÒIJ KLÓ do paralelepípedo está contida no plano BSC e a base da pirâmide coincide com a face superior do paralelepípedo. A aresta ÒKJ Ó está contida no eixo SC. Uma equação da superfície esférica com centro EÐ"ß "ß "Ñ e que contém K é # # # ÐB "Ñ ÐC "Ñ ÐD "Ñ œ "" 4.1. Verifique que o ponto L tem coordenadas Ð"ß #ß!Ñ 4.2. Mostre que uma equação do plano EKL é C $D # œ! 4.3. Designando por - a cota do ponto Z, mostre que o volume do sólido é # - Formulário sen Ð#BÑ œ # Þ sen B Þ cos B # # cos Ð#BÑ œ cos B sen B Volume da Pirâmide œ " $ Área da base Altura FIM V.S.F.F. 135.V1/7

8 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL V1/8