Matemática A. Teste Intermédio de Matemática A. Versão 2. Teste Intermédio. Versão 2. Duração do Teste: 90 minutos º Ano de Escolaridade

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1 Teste Intermédio de Matemática A Versão 2 Teste Intermédio Matemática A Versão 2 Duração do Teste: 90 minutos º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março Na sua folha de respostas, indique claramente a versão do teste. A ausência dessa indicação implica a classificação das respostas aos itens de escolha múltipla com zero pontos. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 Página 1

2 rupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à alternativa que seleccionar para responder a esse item. Não apresente cálculos, nem justificações. Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. 1. Considere, num referencial o. n. SBCD, a superfície esférica de equação B C D œ * A intersecção desta superfície com o plano BSC é (A) uma circunferência (B) um círculo (C) o conjunto vazio (D) um ponto " BSC < C œ % B 2. Considere, num referencial o. n., a recta de equação Seja = a recta perpendicular a < que passa no ponto de coordenadas Ð"ß Ñ Qual é a equação reduzida da recta =? (A) C œ % B (B) C œ % B (C) C œ % B ' (D) C œ % B 3. Considere a equação trigonométrica sen B œ!, Num dos intervalos seguintes, esta equação tem apenas uma solução. Em qual deles? (A) 1 1!ß (B) ß 1 (C) 1 1 ß (D) Ò1ß 1Ó Teste Intermédio de Matemática A - Versão - Página 2

3 4. Na figura estão representados, em referencial o.n. BSC: o círculo trigonométrico o raio ÒSFÓ deste círculo o arco de circunferência ponto EF, de centro no Tal como a figura sugere, o ponto pertence ao primeiro quadrante, os pontos E e pertencem ao eixo SB e a recta F é perpendicular a este eixo. Seja ) a amplitude do ângulo ESF Qual é a abcissa do ponto E? F (A) cos ) sen ) (B) " cos ) sen ) (C) " sen ) (D) " cos ) 5. Num certo problema de Programação Linear, pretende-se maximizar a função objectivo, a qual é definida por P œ B C Na figura está representada a região admissível. Qual é a solução desse problema? (A) (C) B œ ' e C œ (B) B œ % e C œ B œ % e C œ (D) B œ ' e C œ Teste Intermédio de Matemática A - Versão - Página 3

4 rupo II Nas respostas a itens deste grupo apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o exacto. valor 1. Relativamente à figura junta, sabe-se que: o triângulo o ponto ÒEFHÓ é rectângulo pertence ao cateto ÒFHÓ B designa a amplitude, em radianos, do ângulo EF œ % e F œ FEH 1.1. Mostre que a área do triângulo ÒEHÓ é dada por ) tg B % 1.2. Determine o valor de B para o qual a área do triângulo ÒEHÓ é igual a % Sabendo que senš e que, determine o valor de + œ +!ß ) tg + % Ó Ò 2. Na figura está representado, em referencial o. n. SBCD, um cone de revolução. Sabe-se que: a base do cone está contida no plano equação B C D œ " α de o vértice Z do cone tem coordenadas Ð"ß ß 'Ñ o ponto é o centro da base do cone 2.1. Determine uma equação do plano que contém o vértice do cone e que é paralelo ao plano α 2.2. Seja o plano definido pela equação Averigúe se os planos e são perpendiculares. " B C D œ α " [ Z BSC [ ÒZ [ Ó 2.3. Seja o ponto simétrico do ponto, em relação ao plano. Indique as coordenadas do ponto e escreva uma condição que defina o segmento de recta Sabendo que o raio da base do cone é igual a, determine o volume do cone. Sugestão: comece por escrever uma condição que defina a recta que contém o vértice do cone e que é perpendicular ao plano α e utilize-a para determinar as coordenadas do ponto. Teste Intermédio de Matemática A - Versão - Página 4

5 3. Na figura está representada uma circunferência de centro S e raio <. Sabe-se que: ÒEÓ é um diâmetro da circunferência O ponto F pertence à circunferência α é a amplitude do ângulo FSE ÒSHÓ é perpendicular a ÒFÓ Prove que E. F œ % < cos ˆ α Sugestão Percorra as seguintes etapas: Justifique que o triângulo ÒSFÓ Justifique que F œ H Justifique que a amplitude do ângulo é isósceles FE α Escreva H, em função de e de Conclua que E. F α œ % < < cos ˆ é α FIM Teste Intermédio de Matemática A - Versão - Página 5

6 COTAÇÕES rupo I...(5 10 pontos) pontos rupo II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos Total pontos Teste Intermédio de Matemática A - Versão - Página 6

7 TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A RESOLUÇÃO - VERSÃO 2 rupo I 1. A superfície esférica de equação B C D œ * tem centro no ponto de coordenadas Ð!ß!ß Ñ e raio, pelo que é tangente ao plano BSC. Assim, a intersecção da superfície esférica com este plano é um ponto. Resposta D " 2. A recta tem declive, pelo que o declive da recta é % Este facto exclui as alternativas A e C. < = % Entre as alternativas B e D, a que corresponde a uma recta que passa no ponto de coordenadas Ð"ß Ñ é a alternativa D. Resposta D 3. Na figura está representado o círculo trigonométrico, bem como os lados extremidade dos ângulos cujo seno é!, Como se pode observar: 1 1 em!ß e em ß, a equação B œ!, não tem solução. 1 sen Ò1ß 1Ó sen B œ!, em, a equação tem duas soluções. 1 1 em, a equação, tem apenas uma solução. ß sen B œ! Resposta C Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Resolução - Página 1

8 4. Tem-se SE œ S E œ S F œ cos ) sen ) Resposta A 5. Das alternativas apresentadas, apenas a C e a D correspondem a pontos pertencentes à fronteira da região admissível. Este facto permite excluir as alternativas A e B. Das hipóteses C e D, aquela em que a função objectivo tem valor mais elevado é a C, pois % ' Resposta C rupo II 1.1. A área do triângulo ÒEHÓ é igual à diferença entre a área do triângulo ÒEFHÓ e a área do triângulo. ÒEFÓ Área do triângulo ÒEFÓ œ % œ % Área do triângulo ÒEFHÓ œ EF FH Como FH FH B œ œ vem FH % tg B EF % œ tg Assim, a área do triângulo % % tg B ÒEFHÓ é igual a œ ) B tg Logo, a área do triângulo ÒEHÓ é dada por ) tg B % 1.2. ) tg B % œ % Í ) tg B œ ) Í tg B œ " Como B designa a amplitude, em radianos, de um ângulo agudo, tem-se B œ 1 % Outro processo: A área do triângulo Portanto, tem-se: Área do triângulo ÒEFÓ é igual a %. ÒEHÓ œ % Í Área do triângulo ÒEFHÓ œ ) Í EF FH % FH Í œ ) Í œ ) Í FH œ % Tem-se, então, EF œ FH pelo que B œ 1 % Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Resolução - Página 2

9 Tem-se senš + œ Í cos + œ Como " tg " + œ e como cos + œ vem: cos + " tg + œ " Í " tg + œ " Í * Š "' Í " tg + œ * Í tg + œ * " Í tg + œ * 1 % Como + pertence ao intervalo!ß, vem tg + œ %! Logo, ) tg + % œ ) % œ Ó Ò 2.1. O vector de coordenadas Ð"ß ß Ñ é perpendicular ao plano α, pelo que também é perpendicular ao plano. Assim, o plano pode ser definido por uma equação do tipo B C D. œ! Como este plano contém o vértice do cone, o qual tem coordenadas " '. œ!, donde resulta. œ Portanto, uma equação do plano é B C D œ! Ð"ß ß 'Ñ, vem: 2.2. O vector de coordenadas Ð"ß ß Ñ é perpendicular ao plano α. O vector de coordenadas Ðß "ß Ñ é perpendicular ao plano ". Os planos α e " são perpendiculares se, e só se, os vectores de coordenadas Ð"ß ß Ñ e Ðß "ß Ñ forem perpendiculares, ou seja, se, e só se, o produto escalar Ð"ß ß Ñ. Ðß "ß Ñ for igual a zero. Ora, Ð"ß ß Ñ. Ðß "ß Ñ œ " " Ð Ñ Ð Ñ œ * Portanto, os planos α e " não são perpendiculares. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Resolução - Página 3

10 2.3. Tem-se que o ponto [ tem coordenadas Ð"ß ß 'Ñ A recta Z [ pode ser definida pela condição B œ " C œ Assim, uma condição que define o segmento de recta B œ " C œ ' Ÿ D Ÿ ' ÒZ [ Ó é 2.4. O volume de um cone é igual a " Área da base Altura Relativamente ao cone em causa, tem-se: A área da base é igual a 1 œ * 1 A altura é igual a ½ Z ½ ½Z ½ Para determinarmos, precisamos de saber as coordenadas do ponto. O ponto é o ponto de intersecção do plano com a recta perpendicular a este plano e que passa por. Z α Tem-se: uma condição que define o plano α é B C D œ " uma condição que define a recta perpendicular a este plano e que passa por ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß ß 'Ñ - Ð"ß ß Ñ ß - Z é Assim, as coordenadas de satisfazem a condição ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß ß 'Ñ - Ð"ß ß Ñ B C D œ ", que é equivalente a ÐBß Cß DÑ œ Ð" -ß -ß ' -Ñ B C D œ " Tem-se: " - - ' - œ " Í Í " - ' %- " %- œ " Í *- œ ") Í - œ Portanto, o ponto tem coordenadas Ð" ß ß ' Ñ œ Ðß (ß Ñ Vem, então: ½Z ½ œ l Z l œ lðß %ß %Ñl œ È % Ð %Ñ œ ' Portanto, o volume do cone é igual a " * 1 ' œ ") 1 Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Resolução - Página 4

11 3. Como SF œ S, o triângulo ÒSFÓ é isósceles. Como o triângulo ÒSFÓ é isósceles, a altura ÒSHÓ intersecta ÒFÓ deste segmento, donde FH œ H, pelo que F œ H no ponto médio FSE Como o ângulo é um ângulo ao centro, a amplitude do arco é igual à amplitude do ângulo FSE. Portanto, a amplitude do arco FE é igual a α. FE O ângulo é um ângulo inscrito, pelo que a sua amplitude é igual a metade da amplitude do arco FE. FE Logo, a amplitude do ângulo FE é igual a α Como ˆ ˆ ˆ α H α α cos vem œ H œ S cos œ < cos S Tem-se Como ½ E F œ ½E ½ ½F ½. E ½ œ E œ < cos ˆ α e como ½ ½ F œ F œ H œ < cos ˆ α vem ˆ ˆ ˆ E. F α α α œ < < cos cos œ % < cos Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Resolução - Página 5