TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A RESOLUÇÃO - VERSÃO 1

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1 TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A RESOLUÇÃO - VERSÃO 1 rupo I 1. A superfície esférica de equação B C D œ % tem centro no ponto de coordenadas Ð!ß!ß Ñ e raio, pelo que é tangente ao plano BSC. Assim, a intersecção da superfície esférica com este plano é um ponto. Resposta B 2. A recta tem declive, pelo que o declive da recta é Este facto exclui as alternativas B e C. < = Entre as alternativas A e D, a que corresponde a uma recta que passa no ponto de coordenadas Ðß %Ñ é a alternativa A. Resposta A 3. Na figura está representado o círculo trigonométrico, bem como os lados extremidade dos ângulos cujo co-seno é!, $ se pode observar: 1 $ 1 em!ß e em ß, a equação B œ!, $ não tem solução. 1 cos 1 $ 1 em, a equação, tem duas soluções. ß cos B œ! $ Ò!ß 1Ó cos B œ!, $ em, a equação tem apenas uma solução. Resposta B Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 1

2 4. Tem-se SE œ S E œ S F œ cos ) sen ) Resposta C 5. Das alternativas apresentadas, apenas a C e a D correspondem a pontos pertencentes à fronteira da região admissível. Este facto permite excluir as alternativas A e B. Das hipóteses C e D, aquela em que a função objectivo tem valor mais elevado é a D, pois $ ' $ % $ Resposta D rupo II 1.1. A área do triângulo ÒEHÓ é igual à diferença entre a área do triângulo ÒEFHÓ e a área do triângulo. ÒEFÓ Área do triângulo ÒEFÓ œ œ Área do triângulo ÒEFHÓ œ EF FH FH FH B œ œ vem FH tg B EF œ tg Assim, a área do triângulo tg B ÒEFHÓ é igual a œ B tg Logo, a área do triângulo ÒEHÓ é dada por tg B 1.2. tg B œ Í tg B œ Í tg B œ B designa a amplitude, em radianos, de um ângulo agudo, tem-se B œ 1 % Outro processo: A área do triângulo Portanto, tem-se: Área do triângulo ÒEFÓ é igual a. ÒEHÓ œ Í Área do triângulo ÒEFHÓ œ Í EF FH FH Í œ Í œ Í FH œ Tem-se, então, EF œ FH pelo que B œ 1 % Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 2

3 Tem-se senš + œ Í cos + œ tg + œ e como cos + œ vem: cos + tg + œ Í tg + œ Í Š '* '* %% Í tg + œ Í tg + œ Í tg + œ Ó Ò '* 1 + pertence ao intervalo!ß, vem tg + œ * Logo, tg + œ œ 2.1. O vector de coordenadas Ðß ß Ñ é perpendicular ao plano α, pelo que também é perpendicular ao plano. Assim, o plano pode ser definido por uma equação do tipo B C D. œ! este plano contém o vértice do cone, o qual tem coordenadas '. œ!, donde resulta. œ ( Portanto, uma equação do plano é B C D ( œ! Ðß ß 'Ñ, vem: 2.2. O vector de coordenadas Ðß ß Ñ é perpendicular ao plano α. O vector de coordenadas Ðß ß Ñ é perpendicular ao plano. Os planos α e são perpendiculares se, e só se, os vectores de coordenadas Ðß ß Ñ e Ðß ß Ñ forem perpendiculares, ou seja, se, e só se, o produto escalar Ðß ß Ñ. Ðß ß Ñ for igual a zero. Ora, Ðß ß Ñ. Ðß ß Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ œ Portanto, os planos α e não são perpendiculares. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 3

4 2.3. Tem-se que o ponto [ tem coordenadas Ðß ß 'Ñ A recta Z [ pode ser definida pela condição B œ C œ Assim, uma condição que define o segmento de recta B œ C œ ' Ÿ D Ÿ ' ÒZ [ Ó é 2.4. O volume de um cone é igual a $ Área da base Altura Relativamente ao cone em causa, tem-se: A área da base é igual a 1 $ œ * 1 A altura é igual a ½ Z ½ ½Z ½ Para determinarmos, precisamos de saber as coordenadas do ponto. O ponto é o ponto de intersecção do plano com a recta perpendicular a este plano e que passa por. Z α Tem-se: uma condição que define o plano α é B C D œ uma condição que define a recta perpendicular a este plano e que passa por ÐBß Cß DÑ œ Ðß ß 'Ñ - Ðß ß Ñ ß - Z é Assim, as coordenadas de satisfazem a condição ÐBß Cß DÑ œ Ðß ß 'Ñ - Ðß ß Ñ B C D œ, que é equivalente a ÐBß Cß DÑ œ Ð -ß -ß ' -Ñ B C D œ Tem-se: - - ' - œ Í Í - % %- %- œ Í *- œ ) Í - œ Portanto, o ponto tem coordenadas Ð ß ß ' Ñ œ Ð$ß 'ß Ñ Vem, então: ½Z ½ œ l Z l œ lðß %ß %Ñl œ È % Ð %Ñ œ ' Portanto, o volume do cone é igual a $ * 1 ' œ ) 1 Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 4

5 3. SE œ S, o triângulo ÒSEÓ é isósceles. o triângulo ÒSEÓ é isósceles, a altura ÒSHÓ intersecta ÒEÓ deste segmento, donde EH œ H, pelo que E œ EH no ponto médio SF o ângulo é um ângulo ao centro, a amplitude do arco é igual à amplitude do ângulo SF. Portanto, a amplitude do arco F é igual a α. EF O ângulo é um ângulo inscrito, pelo que a sua amplitude é igual a metade da amplitude do arco F. F Logo, a amplitude do ângulo EF é igual a α Tem-se ˆ ˆ ˆ α EH α α cos vem œ EH œ ES cos œ < cos ES α EF. E œ ½EF ½ ½E ½ cosˆ ½ EF ½ œ EF œ < e como ½ E ½ œ E œ EH œ < cosˆ α vem ˆ ˆ ˆ EF. α α α E œ < < cos cos œ % < cos Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 5