Resumo do 5º e 6º testes de Matemática A 12º ano

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1 Escola Secundária de Franco Franco (009/00) Resumo do º e º testes de Matemática º ano. Considere a função de domínio R definida por f ( ) = Considere ainda as seguintes afirmações: (i) função f é contínua em R. lim f ( ). (ii) Não eiste + ssim, é possível concluir que: () afirmação (i) é verdadeira e a (ii) é falsa. () afirmação (i) é falsa e a (ii) é verdadeira. mbas as afirmações são verdadeiras. (D) mbas as afirmações são falsas. cos (D) cos 4. No círculo trigonométrico da figura, está representado o ângulo de amplitude, que tem por lado origem o semieio positivo e por lado etremidade o segmento de recta [ ]). Qual é o valor, arredondado às centésimas, de? () 0,8 () 0,7 0,84 (D) 0,9. Seja h a função definida por. Qual é a epressão geral das equações das assimptotas verticais do gráfico de h? () = +k, k () = +k, k = + k, k (D) = + k, k. É dada a função, de domínio 0,, definida por 4 gráfico de g contém alguns pontos onde a recta tangente é paralela ao eio. Qual é o conjunto das absas desses pontos? 0,, () {, } () { } {, } (D) { 0,, }. Seja h a função, de domínio R, definida por... Sem usar a calculadora, resolva os três itens seguintes:... Determine o contradomínio de h.... Mostre que 4 é o período de h.... Seja um número tal que ( ) Determine h ( ). << cos = 4.. Tratava-se de uma gravura em aço, representando um edifício oval, com janelas rectangulares e uma pequena torre na fachada. 984, George rwell Na figura junta, temos um sector circular de amplitude e raio inscrito num rectângulo em que um dos lados vale também. Qual das epressões seguintes dá a área da parte sombreada em função de? () sen () sen Na figura ao lado encontra-se parte do gráfico da função h no domínio [0, ] e um triângulo [ C ]. Sabe-se que: é o ponto do gráfico de h que pertence ao eio ; é um ponto do gráfico de h de ordenada ; C é um ponto do eio de absa igual à do ponto. Determine, recorrendo às capacidades gráficas C da sua calculadora, um valor, aproimado às h

2 décimas, da área do triângulo [ C ]. Nota: Nas coordenadas dos vértices em que é necessário fazer arredondamentos, utilize aproimações às décimas.. Três raparigas e três rapazes sentam-se em seis cadeiras dispostas lado a lado num cinema. De quantas maneiras diferentes podem ficar ocupados esses seis lugares, supondo que as raparigas ficam todas juntas? () 44 () 7 (D) 8, sabe-se que o seu gráfico passa no ponto,. De uma função g, de domínio [0, ] (0, ) e que a sua primeira derivada está definida, igualmente no intervalo [0, ] por g '( ) =. Usando eclusivamente métodos analíticos:.. Escreva a equação da recta tangente ao gráfico de g no ponto... Estude a função g quanto às concavidades do seu gráfico e determine as absas dos pontos de infleão.. Na figura está representado, no círculo trigonométrico, o trapézio [ PQR ]. Tal como é sugerido pela figura: t é a recta tangente ao círculo e é perpendicular ao eio ; P pertence ao eio ; Q pertence à recta t ; R pertence ao eio ; é o ponto de intersecção entre a recta Q e a circunferência. Considere que o ponto Q se desloca sobre a recta t mas apenas no primeiro quadrante. t s pontos, P e R acompanham o movimento do ponto Q de tal forma que a recta P é sempre paralela à recta t e a ordenada de R é igual à de Q. Para cada posição do ponto Q, seja a amplitude, em radianos, do ângulo P ( 0, ).. Mostre que f ( ) = e seja f a área do trapézio [ PQR ] em função de... Determine a área do trapézio [ PQR ] quando as duas coordenadas do ponto Q são iguais. R P Q. Castanhos, provavelmente, mas por vezes as pessoas de cabelo escuro têm olhos azuis. Sobre uma população de uma cidade, sabe-se que: 80% dos habitantes têm o cabelo castanho; 0% dos habitantes têm olhos azuis; todos os habitantes têm o cabelo castanho ou olhos azuis. o escolher um habitante ao acaso dessa cidade, qual é a probabilidade de ele () () 4. De uma função g de domínio, sabe-se que: 8 Qual dos seguintes não pode representar o gráfico da função g? () () (D) 984, George rwell (D) 9 g ', primeira derivada de lim f ( ) e interprete geometricamente o valor.. Calcule, analiticamente, obtido

3 4. Sobre o gráfico de uma função h de domínio, sabe-se que a bissectriz dos quadrantes pares é a única assimptota (tal como se pode ver na figura). Indique o valor de. () () 0 + (D) h. Esta seria evidentemente uma viagem triangular para um navio de carga britânico. FEGÃ, Frederick Forsth Na figura está representado um triângulo [ C ], rectângulo em. Sabe-se que C = e que a amplitude do ângulo C é igual a. Qual é o valor de? () () (D) C. Sejam as funções f e g, ambas de domínio ], + [, definidas por f ( ) = e por g ( ) = f ( ) + 8 Resolva os dois itens seguintes, sem recorrer à calculadora... Usando a definição de derivada num ponto, calcule f '(0).. Verifique que g ''( ) = e estude g quanto ao sentido das 4 ( + ) concavidades do seu gráfico e quanto à eistência de pontos de infleão.. Considere o número compleo z =, em que b < 0. Dos seguintes números, qual é o que pode representar o número z, conjugado do compleo z? () () 9 (D) 7 8. Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano compleo, o conjunto de pontos definidos pela condição, definida em C, por = iz z? () () (D)

4 4. Na figura está representado um pentágono cujos vértices são as imagens geométricas, no plano compleo, das raízes de índice de um certo número compleo. s pontos e pertencem a esse pentágono; ponto pertence ao eio ; ponto pertence primeiro quadrante. Qual dos seguintes números compleos pode ter por imagem geométrica o vértice? () () 7 (D) 0. Dado n, sabe-se que o número compleo é um imaginário puro. Indique dois possíveis valores para n. () e () e 4 e 7 (D) e.. Determine, na forma trigonométrica, todas as raízes de índice n de z sabendo que as suas imagens geométricas formam os vértices de um triângulo equilátero.. Em, conjunto dos números compleos, sejam a e b são números reais. Resolva os itens seguintes sem usar a calculadora... s números w e w podem ser iguais? Justifique a resposta... Resolva, em, a equação z + i = w + z i, apresentando a sua solução na forma algébrica... Calcule ( ) w 4 4 apresentando o resultado final na forma trigonométrica Represente a região do plano compleo definida pela condição, em, por: z w w rg( z ) 4. Ildefonso fez a seguinte eperiência: tirou um cubo de gelo do congelador, deiou-o à temperatura ambiente durante alguns minutos, voltou a meter o cubo no congelador e tirou-o novamente passado algum tempo. Considere que, nos primeiros 9 minutos da eperiência, a temperatura do cubo de gelo (em graus Celsius) foi dada, após t minutos, pela função definida por (a variável t vem em radianos).. Usando eclusivamente métodos analíticos (e a calculadora para eventuais cálculos numéricos), determine quanto tempo passou desde que o cubo de gelo foi reintroduzido no congelador até ser novamente retirado. presente o resultado em minutos e segundos (com estes arredondados às unidades). Em caso de cálculos intermédios, conserve duas casas decimais. 4. Na figura estão representados, no plano compleo, dois triângulos rectângulos geometricamente iguais, [ P ] rectângulo em P e [ Q ] rectângulo em Q. Sabe-se que: s pontos P e Q pertencem ao eio real; Q P.. Durante a eperiência, quantas vezes a temperatura do cubo de gelo foi igual a 8 graus Celsius? Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, indique, em minutos e arredondado às centésimas, quanto tempo passou para cada caso. presente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s) para a resolução do problema. é a amplitude do ângulo P ; P+ P = P Suponha que z é a imagem geométrica de.. Considere, no conjunto dos números compleos, o número.. Sejam a imagem geométrica de z e a imagem geométrica de 4 z. Sendo a origem do referencial no plano compleo, represente o triângulo [] nesse plano e determine a sua área

5 . s nomes de código eram fornecidos por um computador por meio de um processo conhecido como selecção aleatória, cuja finalidade era não revelar absolutamente nada. FEGÃ, Frederick Forsth Considere que uma palavra-passe num sítio da internet pode ser formada por seis dígitos (com algarismos e/ou letras das eistentes). o escolher uma aleatoriamente, qual é a probabilidade de ela ter, pelo menos, uma letra?. Na figura ao lado, é o único zero da função g e o ponto de absa é o único ponto de infleão do gráfico de g. Qual é a afirmação necessariamente falsa? () g ''( ) = () g ''(0) = g ''() = 0 (D) g ''() =. Na figura está parte da representação gráfica da função f de domínio. Tal como a figura sugere, o ponto de absa é um ponto de descontinuidade do gráfico de f. u. Considere a sucessão definida por = n n Qual pode ser o valor de lim f ( u )? n n + () + () 0 (D). Seja g a função, de domínio R \{0}, definida por g ( ) = Sem usar a calculadora, determine, se eistirem, as equações das assimptotas do gráfico de g. 9