Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido

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1 Módulo 2 Geometria Analítica Números Reais Conjuntos Numéricos Números naturais O conjunto 1,2,3,... é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros O conjunto...,3,2,1,0,1, 2,3,... é denominado conjunto dos números inteiros. Números racionais minador (diferente de zero) pertencentes ao conjunto. Simbolicamente p ; p, q e q 0. q Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido caro estudante, já aprendeu no ensino fundamental e no ensino médio. 17

2 Curso de Graduação em Administração a Distância Números Irracionais São os números que não são racionais, mas podem ser encontrados na reta. Por eemplo: 2 1, , 3, , e 2, Denotaremos por c, o conjunto dos números irracionais. Números reais É a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, que será denotada por, ou seja, U c. Como a matemática elementar envolve números reais, devemos estar familiarizados com algumas propriedades fundamentais do sistema de números reais. Observe, atentamente, cada uma dessas propriedades dadas a seguir: P1. Fechamento: Se a, b, então eiste um e somente um número real denotado por a b a e b e eiste um e somente um número real, denotado por a b a por b. P2. Comutatividade: Se a, b então: a b b a e a b b a. P3. Associatividade: Se a, b, c então: a (b c) (a b) c e a (b c) (a b) c. P4. Distributividade: Se a, b, c então: a (b c) a b a c. P5. Eistência de elementos neutros: Eistem 0 e 1 tais que: a 0 a e a 1 a, a. P6. Eistência de simétricos: Todo a tem um simétrico, denotado por a, tal que: a (a) 0. 18

3 Módulo 2 P7. Eistência de inversos: Todo a, a 0, tem um inverso, denotado por 1 a, tal que: a 1 1. a divisão de números reais. P8. Subtração: Se a, b, a diferença entre a e b, denotada por a b a b a (b). P9. Divisão: Se a, b eb 0, o quociente de a por b a b a 1 b. É importante observar que sempre que falarmos em número, sem A reta real O uso dos números reais para medição, tais como comprimento, - eio Figura 1.1 arbitrário, denominado origem ou ponto zero, e um outro ponto arbitrário a sua direita, o ponto 1. A distância entre esses pontos (distância unitária) serve como escala, por meio da qual é possível associar pontos da reta Todos os números positivos estão à direta do Zero, no sentido positivo, e todos os números negativos estão à sua esquerda. 19

4 Curso de Graduação em Administração a Distância Desigualdades A sucessão de pontos na reta real, da esquerda para a direita, corresponde a uma parte importante da álgebra dos números reais, a que trata das desigualdades. a b (leia-se a menor que b ) é simplesmente que a está à esquerda de b ; a desigualdade equivalente b a (leia-se b maior que a b está à direta de a. Um número a é positivo ou negativo conforme a 0 ou a 0. Se a é positivo ou igual a zero, escreve-se a 0 a maior ou igual a zero. Do mesmo modo, a b a b ou a b. Assim, 5 3e 5 5 são desigualdades verdadeiras. Assim como o conjunto dos Números Reais, as Desigualdades também apresentam propriedades fundamentais, dadas a seguir. Propriedades das desigualdades Para quaisquer números reais a, b, c e d, valem as propriedades: P1. a b a c b c, para qualquer real c. Por eemplo, P2. a b e c d a c b d. Por eemplo, 6 8 e P3. a b e b c a c. Por eemplo, 5 9 e P4. a b e c 0 a c b c. Por eemplo, 4 6 e P5. a b e c 0 a c b c. Por eemplo, 4 6 e (3) 6 (3). P6. 0 a b e 0<c d a c b d. Por eemplo, e

5 Módulo 2 Módulo ou valor absoluto Dado um número real a a, se a 0 a 0, se a 0 a, se a 0 Por eemplo, (i) 4 4 ; (ii) 3 4 ( 3 4 ) 3 4 ; (iii) 4 (4) 4 ; (iv) 0 0 ; (v) Podemos observar que (a) para qualquer número real a tem-se a 0 e a 0 a 0 ; (b) a a para qualquer real a ; (c) geometricamente, o valor absoluto de um número real a, é distância de a até zero; (d) para qualquer número real a tem-se: a 2 a, a raiz quadrada de qualquer número real, quando eiste, é maior ou igual a zero. Logo, a 2 a 2 (a) 2. 21

6 Curso de Graduação em Administração a Distância Propriedades do Valor Absoluto Valem as seguintes propriedades do valor absoluto: P1. a se e somente se, aou a ; P2. > a se e somente se, aou a ; P3. a se e somente se, a a (a 0) ; P4. a se e somente se, a a, (a 0) ; P5. para quaisquer e ; P6.,para e, ( 0). P7. Para quaisquer e vale a desigualdade triangular:. Intervalos Um conjunto I de números reais é denominado intervalo quando, dados a,b I com a b, valer a implicação a b I. Os intervalos podem ser limitados ou ilimitados. Intervalos limitados (ii) Aberto: (iii) Semi-abertos: a,b a,b a,b a b a b a b e Intervalos ilimitados a,b a b. a, a e,b b 22

7 Módulo 2 (ii) Abertos: a, a e Figura 1.2,b (,). b Veja a representação de intervalos na reta real: (-1,4) ( ) (1,2] ( ] Figura 1.3 [0 ) [ Figura 1.4 Resolver uma desigualdade consiste em determinar o conjunto dos números reais que tornam usa as propriedades das desigualdades (e do módulo quando este estiver envolvido). Eemplo 1.1 Resolver a desigualdade 4 7. Resolução: Pela propriedade P3, do módulo, temos: 7 4 7, ou seja, 7 4 e e e 3. Portanto, 11 3 ou ainda 11,3. Eemplo 1.2 Resolver a desigualdade 5 8. alguns eercícios. Nosso a resolução de eercícios sobre desigualdades, e potencialize seu entendimento para os propostos posteriormente. 23

8 Curso de Graduação em Administração a Distância Resolução: Pela propriedade P1, do módulo, temos 5 8 ou ou ou 13. Portanto, 3 ou 13. Eemplo 1.3 Resolver a desigualdade 5 9. Resolução: Pela propriedade P3, do módulo, temos 9 5 9, ou seja, 9 5 e e e 4. Agora, pela propriedade P5, da desigualdade, vem 14 ou 14 e 4 ou 4. Portanto, 4 14 ou seja, 4,14. Eemplo 1.4 Resolver a desigualdade Resolução: Resolvendo simultaneamente, vem: ou , ou seja, 2 4. (P1 da desigualdade) O conjunto solução, S, da desigualdade proposta é S 2 4 [2,4). Eemplo 1.5 Determine todos os números reais que satisfazem a equação Para resolver este eemplo, use os seguintes passos. 24

9 Módulo 2 Passo 1: se ou 3 5 ou 5 3. Admita então 5 neste passo. Logo, que resolvendo tem-se 3. Como neste passo 5, 3 é uma solução da equação dada. 3 Passo 2: 3 5 (3 5) 3 5 se ou 5 3. Logo, que resolvendo tem-se 1 3. Como , 1 é também, solução da equação dada. 3 Portanto, o conjunto solução de és 1 3,3. Eercícios propostos - 1 Para saber, procure, então, resolver os eercícios propostos faça uma releitura cuidadosa dos conceitos ou resultados ainda não bem entendidos. 1) Determinar todos os números reais que satisfazem as desigualdades abaio. a) 3. b) c) d)

10 Curso de Graduação em Administração a Distância 2) Determinar todos os números reais que satisfazem a equação: Geometria analítica mada geometria de coordenadas é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, também mensões. O sistema de coordenadas cartesianas O sistema de coordenadas cartesianas é constituído de duas retas como vertical. Essas retas interceptam num ponto 0. Uma escala numérica é colocada ao longo dos eios e. Um ponto no plano pode ser representado de modo único no sistema de coordenadas por um par ordenado - (, ), onde é o primeiro número e é o segundo. Eio 0 Eio Figura O sistema de coordenadas cartesianas. O primeiro número é representado no eio e o segundo no eio. No par ordenado (, ), o abscissa ou coordenada, o ordenada ou coordenada de, e conjuntamente P 26

11 Módulo 2 P (,) 0 Figura Um par ordenado (, ). A (3,2) 2 B ( 2,1) C ( 3, 2) 2 4 D (1, 4) Figura 1.7 Vários pontos do plano cartesiano. Distância entre dois pontos associado a um par ordenado. Dados dois pontos 1, 1 e 2, 2. Então, a distância entre esses dois pontos pode ser calculada mediante o uso da seguinte fórmula: A distância d entre dois pontos P 1 1, 1 e P 2 2, 2 no plano é dada por d (1) 27

12 Curso de Graduação em Administração a Distância P (, ) d P (, ) Figura 1.8 Eemplo 1.6 Encontre a distância entre os pontos P 1 3,4 e P 2 2,5. Resolução: Temos 1 3, 1 4, 2 2 e 2 5. Pela fórmula (1), temos: d A reta A reta é o conjunto de pontos que seguem a mesma direção. Veja como encontrar agora a equação da reta. Vamos considerar uma reta que faça um ângulo a (radianos) com o eio (abscissa) e que passa pelo ponto P 0 0, 0. Denotamos por 28

13 Módulo 2 m tgainclinação da reta. Seja, qualquer ponto da reta. Aplicando, a trigonometria, podemos facilmente obter: m 0 0 m m( 0 ) 0 m( 0 ) m 0 m 0. Portanto, a equação da reta que passa pelo pontos P 0 0, 0 e tem inclinação m é dada por: ou seja, m tg PA P 0 A 0 0, m b, (2) onde m tg a e b m 0 0 é uma constante. P (,) P (, ) A 0 0 Figura 1.9 Eemplo 1.7 Calcular a equação da reta que passa pelo ponto (2,1) e tem inclinação m 2. Resolução: É dado que m 2 ep 0 0, 0 2,1. Substituindo esses valores na equação (2), obteremos: 29

14 Curso de Graduação em Administração a Distância b b 3. Logo, a equação da reta é: 2 3. Equação da reta que passa por dois pontos Sejam P 1 1, 1 e P 2 2, 2 dois pontos de uma reta dada. A seguir obtemos a equação de uma reta que passa por esses pontos P (,) a P (, ) P (, ) a Figura 1.10 m tga , (3) 1 2 1, obtemos (4) que representa a equação da reta que passa pelos pontos P 1 1, 1 e P 2 2, 2. Observação (i) Pela epressão 3 podemos observar que: m , 30

15 Módulo 2 ou seja, podemos sempre obter o valor da inclinação ou declividade através dos pontos dados. (ii) Sejam m 1 e m 2 declividade de duas retas, então: (a) As retas são paralelas quando m 1 m 2. (b) As retas são perpendiculares quando m 1 m 2 1. (iii) A equação geral da reta é da forma a b c 0, onde a, b e c são constantes e a e b são não nulos. (iv) A equação de uma reta é uma equação linear, reciprocamente, toda equação linear representa uma reta. Eemplo 1.8 Determine a equação da reta que passa pelos pontos 1, 2 e 3,4. Encontre também a inclinação da reta. Resolução: Pela fórmula (4), temos: A inclinação é obtida pela fórmula (3), ou seja m tg a

16 Curso de Graduação em Administração a Distância Ângulo entre duas retas Sejam L 1 : m 1 b 1 e L 2 : m 2 b 2 duas retas dadas. L 1 L Figura 1.11 Seja o ângulo formado entre duas retas L 1 e L 2. Então, aa 1 a 2 tg a tg a 1 a 2 tg a 1 tg a 2 1 tg a 1 tg a 2 pela trigonometria tg a m 1 m 2 1 m 1 m 2, m 1 m 2 1. (5) Logo, o ângulo entre duas retas L 1 e L 2 é dado por m m 1 m 2 1 m 1 m 2, m 1 m 2 1. Observação Já eplicamos anteriormente que, quando m 1 m 2 1, então as duas retas são perpendiculares. Eemplo 1.9 Determine o ângulo entre as retas 2 3 e

17 Módulo 2 Resolução: Sabemos que m 1 2 em 2 3. Logo, o ângulo é dado por: m m 1 m 2 1 m 1 m m m tg a 1. a arc tg(1) Eemplo 1.10 Calcular a equação da reta que seja ortogonal (perpendicular) à reta 3 2 e que passa pelo ponto (2,4). Resolução: Sabemos que se duas retas são perpendiculares então m 1 m 2 1. É dado que: m 1 3 m 2 1 m 1 m 2 Aplicando a fórmula (2), temos 1 3 m b 1 3 b. m Como a reta 1 b passa pelo ponto (2,4), então: b b b 3 3. Logo, a equação da reta é: Distância de um ponto a uma reta Dada a reta m b e o ponto P 0 0, 0 que não passa pela reta. Precisamos encontrar a distância do ponto P 0 0, 0 à reta m b 33

18 Curso de Graduação em Administração a Distância P (, ) d Q L =m+b Figura 1.12 A distância do ponto P 0 0, 0 até à reta L, é dada por dp 0,L m b 0 0. (6) 1 m 2 Eemplo 1.11 Calcular a distância do ponto P3,2 a reta 41. Resolução: Temos que m 4, 0 3 e 0 2. Logo, dp,l Interseção entre duas retas Sejam L 1 : m 1 b 1 e L 2 : m 2 b 2 duas retas com m 1 m 2. Vamos supor que estas retas interceptam-se no ponto Q. 34

19 Módulo 2 L : = m + b Q 0 L : = m + b Figura 1.13 Para encontrar as coordenadas do pontoq, simplesmente precisamos resolver as equações: m 1 b 1 m 2 b 2. Veja o eemplo abaio: Eemplo 1.12 Encontrar os pontos de interseção das retas Resolução: = 2 1 (1,1) = Figura

20 Curso de Graduação em Administração a Distância Resolvendo as equações dadas obteremos Agora, Logo, o ponto de interseção é dado por (1,1). Eercícios propostos 2 1) Determine a equação da reta usando os seguintes dados: a) que passa pelo ponto 2,1 b) que passa pelo ponto 3,2 c) que passa pelos pontos 3,4 d) que passa pelos pontos 2,3 2) Encontre a distância entre ponto e reta: a) 4 3; ponto 2,3. b) 2 5 ; ponto 4,2. c) ; ponto 2,4. e tem inclinação de 2. e tem inclinação de 3. e2,3. e1,5. 3) Encontre a inclinação das seguintes retas: a) b) ) Calcule o ângulo entre as duas retas: a) 4 3 e 3. b) 21 e 3. 5) Encontre os pontos de interseção das seguintes retas: a) e 3 5. b) e

21 Eercícios propostos 1 1) a) 3 ou b) < < c) φ (conjunto vazio). d) 4 ou ) S = 3, 2 Eercícios propostos 2 Respostas Unidade 1 1) a) = b) = c) = d) 2 = ) a) b) c) ) a) m = 2. b) 4) a) 1 m =. 13 b) m = 3. 5) a) ( 2, 1). b) 4 m = , 2.