MONÔMIOS E POLINÔMIOS

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1 MONÔMIOS E POLINÔMIOS

2 Problema: Observa as figuras Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do retângulo. Resolução: Se as figuras são equivalentes significa que têm a mesma área, logo podemos formar a seguinte equação: No 1.º membro da equação surge um produto que ainda não sabem efetuar. Portanto, torna-se necessário estudar novas epressões e suas operações que nos permitam dar resposta a alguns problemas.

3 POLINÔMIOS 1 6 a y 4y 3

4 y 4y 3 y 4y 3 No polinômio, às parcelas,, e chamam-se termos ou monômios. Um polinômio é uma soma algébrica de vários monômios. Eemplos: y 4y y 4y 7y Binômio, porque é constituído por dois monómios. Trinômio porque é constituído por 3 monómios

5 MONÓMIOS Um monômio é uma epressão que pode ser constituída por um número ou por um produto de números em que alguns podem ser representados por letras. Eemplos: M 3 -y 6 3 y 4 Curiosidade: Monômio é uma palavra de origem grega, derivada de monos, que significa único. Monômio significa único termo. y y 1 4 y Nota: Num monômio não aparecem adições nem subtrações.

6 Constituição de um monômio Eemplo: -7y 3 Neste monómio podemos distinguir uma parte numérica ou coeficiente (-7) e uma parte literal (y 3 ). Eercício: Completa a tabela seguinte: Monômio Coeficiente Parte literal 10 z 6 5yz 89 yz

7 Eemplo I Como escrever corretamente um monômio? a A área do maior retângulo da figura ao lado pode ser dada pela epressão: a mas deve escrever-se: a Eemplo II Observa a figura: Qual a sua área? 7 = 14

8 O produto de dois monômios é um monômio cujo coeficiente é o produto dos coeficientes e cuja parte literal é o produto das partes literais. Convencionou-se que para escrever um produto de vários fatores (um monômio) escreve-se primeiro os números, e, em seguida, as letras por ordem alfabética. Por eemplo: Monômio 5 y Escrita correcta 5y 5ba3 p ab 15ab 3q 6pq 3 a b 3 6a b

9 6 6a 6a 3 6a 6a 3 b 5 6a b Grau de um monômio grau 0 grau 1 grau grau 3 grau 4 grau 7 Então, como se determina o grau de um monômio? O grau de um monômio é igual à soma dos epoentes da parte literal.

10 Completa a tabela: Monômios Grau 3 7y 3 y y Considera o seguinte polinômio: Monômios semelhantes e Este polinômio é constituído por 4 monômios, 7, 4 e Os monômios 7 e 4 são semelhantes. Monômios semelhantes são aqueles que têm a mesma parte literal.

11 4 6 4 Os monômios e não são semelhantes porque não têm a mesma parte literal. Grau de um polinómio Consideremos o polinômio. 4 O grau deste polinômio é 4. Chama-se grau de um polinômio ao maior grau dos monômios que o constituem.

12 Adição algébrica de polinômios Nos monómios as letras representam números e as operações têm as mesmas propriedades que as operações com números. Por eemplo: Tal como na aritmética, é possível simplificar epressões quando estas têm termos semelhantes. Aritmética Álgebra a b b a ab ba ou ab ba Propriedade comutativa a b c a b c a bc ab c Propriedade associativa

13 Tal como na aritmética, é possível simplificar epressões quando estas têm termos semelhantes. Aritmética Álgebra = 43 a + a + a + a =4a = 4a = = 97 5a + 6a = 11a 3a + a + 4a = 9a A soma de vários monômios semelhantes é um monômio semelhante com coeficiente igual à soma algébrica dos coeficientes dos monômios das parcelas.

14 Eemplos: 1. O polinômio Polinômio reduzido porque não tem termos semelhantes. Transforma num polinômio reduzido os seguintes polinômios: 6y 3 y 5 7y 3 y 3y y 9 4y y y y 5 7y y 3y y y 5y 15

15 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS

16 Produto de um monômio por um polinómio

17 b a c A área é dada pela epressão: bc ab c b a b c a b ab bc b b c b bc Como escrever corretamente, sem utilizar parênteses, área do maior retângulo da figura? bc b c b b b c b b b bc

18 Para multiplicar um monômio por um polinômio, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, isto é, multiplica-se o monômio por cada um dos termos do polinômio

19 Multiplicação de polinômios A figura representa um retângulo A epressão que representa a sua área é: 8 Produto de dois polinômios Como transformar esta epressão num polinômio reduzido?

20 8 1.ª processo:.ª processo: Polinômio reduzido Epressão que representa a área do rectângulo dado. Para multiplicar polinômios, multiplica-se cada termo de um, por todos os termos do outro, obtendo-se assim um novo polinómio.

21 Eercício: Transforma num polinômio reduzido: y y ,4 y y

22 CASOS NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO

23 Entre todos os produtos de polinómios há dois casos que têm um interesse particular, não só pela sua aplicação a muitas situações, como pela sua ligação à geometria. Já vimos que um polinômio com dois termos, ou seja, com dois monômios, também se pode chamar BINÔMIO Se é um binômio, então representa o quadrado de um binômio.

24 Eemplos Quadrado de binômio: ( + 6) = = (5 + 3) = (3) = (y + ) = y + y + () = y + 4y + 4 (7a + 3b) = (7a) + 7a 3b + (3b) = 49a + 4ab + 9b

25 Eemplos Quadrado de um binômio (a - 5b) = a - a 5b + (5b) = a - 10ab + 5b

26 Diferença de quadrados

27 De um modo geral, a ba b a ab abb a b Quadrado do 1.º termo Quadrado do.º termo a b a b a b É importante ler a igualdade nos dois sentidos.

28 Repara que: Cada epressão dada é um produto de dois binômios, que só diferem num sinal. Têm um termo em comum e o outro é simétrico. O sinal, -, da diferença fica associado ao quadrado do termo que tem sinal diferente. A epressão que se obteve em cada caso é uma diferença de quadrados y y y y y y Observa :

29 Diferença de quadrados Mais Eemplos 9 = 3 = ( + 3)( 3) 16 4a 4 a 4 a 4 a 1 y 1 y 1 y 1 y

30 Geometricamente:

31 As igualdades a b a ab b a ba b a b são casos particulares da multiplicação de polinómios. Chamam-se por isso, CASOS NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO.

32 Resumo Quadrado de um binômio: + + a b a b a b a ab b Diferença de Quadrados: a b a b a b 3

33 Eercício 1 Escreve um polinômio equivalente a: 7 4 Resolução:

34 Eercício Escreve um polinômio equivalente a: a 7 3 Resolução: a a 4a

35 FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

36 DECOMPOSIÇÃO EM FATORES Recordar A+B é uma soma A e B são parcelas A B é um produto A e B são os factores Fatorar um polinômio é escrevê-lo sob a forma de um produto de fatores. Para decompor um polinômio em fatores, aplicando a propriedade distributiva, procuram-se os fatores comuns e colocam-se em evidência.

37 Já sabem transformar produtos em somas algébricas, agora pretende-se que façam o contrário. A Propriedade distributiva na decomposição em factores Distribuímos o factor a pelas parcelas b c ab ac a PRODUTO SOMA Colocamos em evidência o factor comum a ab ac a b c SOMA PRODUTO Acabamos de transformar a soma num produto de fatores fatoração do polinômio.

38 Fatorar a seguinte epressão: (4+5y) 4+5y = Fator comum Epressão obtida suprimindo o fator comum Se multiplicares o fator comum pela epressão dada, terás de obter a epressão inicial. Caso contrário, a epressão está mal fatorada. = 4+5y Colocamos em evidência o fator.

39 Mais eemplos: y y 10 y y y 3 5 y y y y 3b 6b 3bb 3b 3b b y y y

40 Os casos notáveis e a decomposição em fatores a b Diferença de quadrados a b a b m 1m1m c c c 3 3

41 Lei do anulamento do produto Reparem que: Um produto é nulo se e só se (sse) pelo menos um dos seus fatores é nulo. Assim, se o produto de dois (ou mais) fatores é zero, então, pelo menos um dos fatores é zero. Ou seja, A B 0 A 0 B 0 Nota: O símbolo lê-se ou. Esta propriedade é conhecida pela LEI DO ANULAMENTO DO PODUTO.

42 A lei do anulamento do produto permite resolver equações de grau superior ao primeiro. Mas, será possível aplicar a lei do anulamento do produto na resolução de qualquer equação? Atenção, para aplicar a lei do anulamento do produto na resolução de equações, é necessário que: A epressão de um dos membros seja um produto de fatores; O outro membro seja zero. ( 4)( 7) 0

43 ( 4)( 7) 0 ( 4) 0 ( 7) 0 Conseguirás descobrir mentalmente as soluções? 4 7 S 7 4 7,4 Ao aplicar esta lei, obtemos uma disjunção de duas condições, a que corresponde a reunião de dois conjuntos-solução.

44 ( 74)( ) ( 74)( )

45 Para aplicar a lei do anulamento do produto, é necessário factorizar o 1.º membro da equação S.={0, } Nota: é uma equação de grau, completa (porque tem o termo de grau, de grau um e de grau zero). Está escrita na forma canónica.

46 S.={-1/} -0,5 é raiz dupla

47 ) ( Resolve, por dois processos diferentes, as equações seguintes. ou

48 Problema: Observa as figuras Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do retângulo Um voluntário?!