Material Teórico - Módulo de Produtos Notáveis e Fatoração de Expressões Algébricas. Produtos Notáveis. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente

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1 Material Teórico - Módulo de Produtos Notáveis e Fatoração de Epressões Algébricas Produtos Notáveis Oitavo Ano Prof. Ulisses Lima Parente

2 Uma identidade algébrica é uma equação em que os dois membros são epressões algébricas e que é verdadeira se, e somente se, a igualdade é verdadeira para quaisquer valores que se atribua às variáveis envolvidas. Produtos notáveis são identidades algébricas que merecem ser destacadas por conta da grande frequência com que aparecem quando operamos com epressões algébricas. Quadrado da soma e quadrado da diferença de dois termos Utilizando as propriedades comutativa e associativa da adição e multiplicação de números reais, além da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, obtemos: +) 2 +)+) +)++) 2 +)++ 2 ) , em que e são números reais quaisquer. Fórmula para o quadrado da soma de dois termos: +) Podemos interpretar geometricamente a fórmula para o quadrado da soma de dois termos desenhando um quadrado de lado +. Então, a área desse quadrado, que é igual a +) 2, serádada tambémpela soma das áreasdos dois quadrados menores e dos dois retângulos que formam o quadrado maior de lado + veja figura ). Obtemos, assim, +) Figura : Quadrado da soma de dois termos. Eemplo. Desenvolvendo o quadrado a+2b) 2, obtemos: a+2b) 2 a 2 +2a 2b+2b) 2 a 2 +4ab+4b 2. Observe que, nos cálculos acima, o que fizemos foi substituir, na fórmula para +) 2, por a e por 2b. Eemplo 2. Se é um número real tal que + 7, calcule o valor de Solução. Utilizando a fórmula para + ) 2, com no lugar de, obtemos ) ) Eemplo 3 OCM). Eistem inteiros positivos a e b tais que a2 +a b 2 +b 4? Solução. Suponhamos a eistência de inteiros positivos a e b satisfazendo a2 +a b 2 4. Então, temos +b a 2 +a b 2 +b 4 a2 +a 4b 2 +4b Por outro lado, veja que a 2 +a+ 2b) b + 2 a 2 +a+ 2b+) 2. a 2 < a 2 +a+ < a 2 +2a+ a 2 +2 a + 2 a+) 2. Portanto,a 2 +a+nãopode seroquadradode umnúmero inteiro, pois encontra-se entre dois quadrados consecutivos. Como chegamos a uma contradição, concluímos que a únicapossibilidadeéquenãoeistemtaisinteirosaeb. Agora, utilizando a fórmula para o quadrado da soma de dois termos, obtemos ) 2 [+ )] )+ ) , em que e são números reais quaisquer. matematica@obmep.org.br

3 Fórmula para o quadrado da diferença de dois termos: ) Também podemos interpretar geometricamente a fórmula para o quadrado da diferença de dois termos. Neste caso, desenhamos um quadrado de lado e, dentro dele, um quadrado de lado, um retângulo de lados e, e um quadrado de lado veja a figura 2). Então, a área do quadrado maior, que por um lado vale 2, também é dada pela soma ) 2 +2 ) + 2, ou seja, 2 ) Logo, ) ou seja, a+b d 2 ab. 2 Essa última igualdade, por suavez, acarreta que ab é racional, pois é dado por uma fração com numerador e denominador racionais. Mas isso contradiz o fato, assumido como hipótese, de que ab é irracional. Concluímos, pois, que a b é irracional. 2 Quadrado da soma de três termos Utilizando duas vezes a fórmula para o quadrado da soma de dois termos, obtemos: Figura 2: Quadrado da diferença de dois termos. Eemplo 4. Desenvolvendo o quadrado p 2 3q) 2, com o auílio da fórmula para o quadrado da diferença entre dois termos, obtemos: p 2 3q) 2 p 2) 2 2p2 3q +3q) 2 p 4 6p 2 q +9q 2. Eemplo. Sejam a e b números racionais positivos, tais que ab é irracional. Mostre que a diferença a b também é irracional. Solução. Primeiramente, observe que o quadrado de um número racional é ainda racional. Por contradição, suponhamos que d a b seja racional. Então, d 2 também o será uma vez que d 2 será representado pela fração cujos numerador e denominador são, respectivamente, iguais aos quadrados do numerador e do denominador da fração que representa d). Utilizando novamente a fórmula para o quadrado da diferença entre dois termos, obtemos: d 2 a b ) 2 a 2 ab+b, + +z) 2 +) 2 +2+)z +z )+2z +2z)+z z z +2z z z +z). Também é possível interpretar geometricamente o quadrado da soma de três termos. Na figura 3, o quadrado maior, de lado + + z, tem área dada pela soma das áreas dos quadrados e retângulos que o compõem. São dois retângulos de área, dois de área z e dois de área z, além dos três quadrados menores, de áreas 2, 2 e z 2. Então, vê-se facilmente que + +z) z z +z). z Figura 3: Quadrado da soma de três termos. Fórmula para o quadrado da soma de três termos: + +z) z z +z). z 2 matematica@obmep.org.br

4 Eemplo 6. Desenvolvendo a epressão z 3) 2 com o auílio da fórmula anterior, obtemos: z 3) 2 2 ) 2 +2) 2 + z 3) 2 +2[ z 3 +2z 3 ] z z 3 +4z 3. 3 Produto da soma pela diferença Utilizando novamente as propriedades das operações aritméticas de números reais listadas anteriormente, obtemos: +) ) )+ ) 2 )+ 2 ) , em que e são números reais quaisquer. Então, temos: Fórmula para o produto da soma pela diferença de dois termos: +) ) 2 2. Eemplo 7 OBMEP ). Qual o valor da diferença ? a) b) c) d) e) Solução. Veja que e Daí, aplicando a fórmula para o produto da soma pela diferença de dois termos, obtemos: ) ) 3 28) ) Portanto, a alternativa correta é o item c. Eemplo 8. Detremine o quociente da divisão de 6 por 8 + ) 4 + ) 2 + ) +). Demonstração. Aplicando a fórmula para o produto da soma pela diferença algumas vezes, temos: ) 8 + 8) 4 4) 4 + 4) 8 + ) 2 2) 2 + 2) 4 + ) 8 + ) )+) 2 + ) 4 + ) 8 + ). Portanto, o quociente da divisão de 6 por 8 + ) 4 + ) 2 + ) +) é. Eemplo 9 EUA). Se determine o valor de Demonstração. Observe que , ) 2 + ) ) ) Daí, obtemos: Portanto, temos ) ) ) Analogamente, temos 2 + ) 4 2 ) 4 2) ) ) ou seja, 4 4 +, matematica@obmep.org.br

5 Daí, ) Eemplo 0. Simplifique a epressão ) ) ) ) 7. Solução. Utilizendo as fórmulas para o quadrado da soma, quadrado da diferença e produto da soma pela diferença de dois termos, obtemos: ) ) ) ) 7 ) ) [ )] [ )] [ ) 2 ) ] [ 2 ) 2 ) ] [ +2 ] [ 30+6) )] ) ) ) Cubo da soma e cubo da diferença de dois termos Mais uma vez utilizando as propriedades da adição e multiplicação de números reais citadas anteriormente, além da fórmula para o quadrado da soma de dois termos, obtemos: +) 3 +)+) 2 +) ) ) ) , em que e são números reais quaisquer. Fórmula para o cubo da soma de dois termos: +) Por vezes, utilizaremos a fórmula para o cubo da soma de dois termos da seguinte forma: +) ). Eemplo. Utilizando a fórmula para o cubo da soma de dois termos podemos epandir a epressão 2a 2 +3b ) 3. Para tanto, substituímos, na fórmula acima, por 2a 2 e por 3b, obtendo: 2a 2 +3b ) 3 2a 2 ) a 2 ) 2 3b) +3 2a 2) 3b) 2 +3b) 3 8a a 4 3b+3 2a 2 9b 2 +27b 3 8a 6 +36a 4 b+4a 2 b 2 +27b 3. Eemplo 2. Se a e b são números reais positivos, mostre que 4 a 3 +b 3) a+b) 3. Prova. Utilizando a fórmula para o cubo da soma de dois termos, obtemos 4 a 3 +b 3) a+b) 3 4 a 3 +b 3) Agora, observe que a 3 +b 3 +3aba+b) 3 a 3 +b 3) 3aba+b) a 3 +b 3 aba+b) a 3 +b 3 a 2 b+ab 2 a 3 +b 3 a 2 b ab 2 0. a 3 +b 3 a 2 b ab 2 a 3 a 2 b+b 3 ab 2 pois a+b > 0 e a b) 2 0. a 2 a b) b 2 a b) a 2 b 2) a b) a+b)a b)a b) a+b)a b) 2 0, Aplicando afórmulaparaocubo da somade dois termos a ) 3 + )) 3, obtemos: ) 3 + )) )+3 ) 2 + ) Fórmula para o cubo da diferença de dois termos: ) matematica@obmep.org.br

6 Eemplo 3. Utilizando a fórmula para o cubo da diferença de dois termos, com 2 no lugar de e no lugar de, podemos epandir a epressão 3, 2 ) obtendo: 2 ) 3 2) 3 3 2) ) ) 2 ) ) Cubo da soma de três termos Aplicando a fórmula para o cubo da soma de dois termos duas vezes e utilizando as propriedades usuais das operações aritméticas, obtemos: + +z) 3 [+)+z] 3 +) 3 +z 3 +3+)z[+)+z] )+z 3 +3+)[+)z +z 2 ] z 3 +3+)[ +z +z +z 2 ] z 3 +3+)[ +z)+z +z)] z 3 +3+)+z) +z). Fórmula para o cubo da soma de três termos: ++z) z 3 +3+)+z)+z). Eemplo 4. Se a, b e c são números reais que satisfazem a+b+c 0, mostre que a 3 +b 3 +c 3 3abc. Solução. Observando que a+b c, a+c b e b+c a e utilizando a fórmula para o cubo da soma de três termos, temos: 0 a+b+c) 3 a 3 +b 3 +c 3 +3a+b)a+c)b+c) 0 a 3 +b 3 +c 3 +3 c) b) a) 0 a 3 +b 3 +c 3 3cba a 3 +b 3 +c 3 3abc. ) ) ) ) ) ) 3 3. Fórmula para a diferença de dois cubos: 3 3 ) ). +) ) ) ) ) ) Fórmula para a soma de dois cubos: ) ). Eemplo. Aplicando a fórmula para a diferença de dois cubos, temos: ) 3 ) ) [ ) ) ] 2 + ) ) 2 ) ) 2, donde concluímos que Dicas para o Professor Recomendamos que sejam utilizadas duas sessões de 0min para cada uma das seções, 3 e 4, e uma sessão de 0min para as demais seções que compõem esta aula possivelmente discutindo mais eemplos, os quais podem ser encontrados na bibliografia sugerida). Ao longo de toda a aula, é importante chamar a atenção dos alunos para as propriedades das operações aritméticas que são utilizadas para a dedução da fórmula de cada produto notável. Ressalte também a diferença entre quadrado da soma e soma de quadrados, cubo da soma e soma de cubos, etc. 6 Soma e diferença de cubos Mais uma vez fazendo uso das propriedades que as operações aritméticas com números reais satisfazem, obtemos os produtos notáveis abaio. Sugestões de Leitura Complementar. A. Caminha. Tópicos de Matemática Elementar, Volume : Números Reais. Rio de Janeiro, Editora S.B.M., matematica@obmep.org.br