POLINÔMIOS. 1. Função polinomial. 2. Valor numérico. 3. Grau de um polinômio. 4. Polinômios idênticos

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1 POLINÔMIOS 1. Função polinomial É a função P() = a 0 + a 1 + a + a a n n, onde a 0, a 1, a,..., a n são os coeficientes e os termos do polinômio são : a 0 ; a 1 ; a ; a ;... ; a n n. Valor numérico O valor numérico do polinômio P() = a 0 + a 1 + a + a a n n valor = é P() = a 0 + a 1 + a + a a n n para o Eemplo: Sendo P() = + 1 calcule: a) P() =.().() + 1 = = 11 b) P( 1) =.( 1). ( 1) + 1 = =. Grau de um polinômio O grau do polinômio P() = a 0 + a 1 + a + a a n n é o maior epoente n desde que a n 0 para n=0,1,,,... Se todos os coeficientes forem nulos teremos P() = 0 denominado polinômio nulo. Eemplos: P() = 5 é polinômio de grau ero na variável P(t) = t t + 8 é polinômio de grau ou polinômio de grau na variável t P() = ( 1). ( + ) é polinômio equivalente a P() = + de grau na variável P() = + 1 não é um polinômio na variável P() = 1/ + não é um polinômio na variável P() = 0 é polinômio nulo e não possui grau. Polinômios idênticos Os polinômios P() = a 0 + a 1 + a a n n e Q() = b 0 + b 1 + b b n n são iguais (idênticos) se : a 0 = b 0 ; a 1 = b 1 ; a = b ;... ; a n = b n Eemplo : Os polinômios P() e Q() são idênticos : P() = (a ) e Q() = b +. Calcule os valores de a e b P() = (a ) = a a + = a + a

2 Como P() = Q() vem a + a = b + a = b e a = Resolvendo a = teremos a = ou a = Sendo a = b ou b = a vem: Para a = ; b = e Para a = ; b = Resposta : a = ; b = ou a = ; b = EXERCÍCIOS DE SALA 1) Marque com V ( verdadeiro ) ou F ( falso ) as epressões que representam polinômios : ( ) 1 ( ) ( ) 5 ( ) ( ) 6 1 ( ) 5 ( ). ( ) 8 ) Sendo P() = + calcule : a) P( ) = b) P() = c) P( a 1 ) = ) Determine os valores de a,b,c para que o polinômio P() = (a c) 5 + ( b + 1) seja um polinômio nulo. ) Sejam os polinômios P() = (a 1) + b + c e Q() = a + b c Em que condições os polinômios são idênticos?

3 5. Soma de polinômios Se P() = a 0 + a 1 + a a n n e Q() = b 0 + b 1 + b b n n a soma P() + Q() é o polinômio : (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 ) + (a + b ) (a n + b n ) n Eemplo: Dados os polinômios F() = + e G() = + 7 determine a) F() + G() F() + G() = = b) F() G() = F() G() = + ( + 7 ) = = = 5 6. Mutiplicação de polinômios Se P() = a 0 + a 1 + a a n n e Q() = b 0 + b 1 + b b n n o produto (multiplicação) P().Q() corresponde a : a 0 (b 0 + b 1 + b b n n ) + a 1 (b 0 + b 1 + b b n n ) + + a (b 0 + b 1 + b b n n ) + + a n n (b 0 + b 1 + b b n n ) Eemplo: P() = 1 e Q() = + P(). Q() = ( 1 ). ( + ) = = + P(). Q() = 7. Divisão de polinômios Sendo os polinômios F() e G() teremos F() G() Q() R() G() F() G() Q() R() é o dividendo é o divisor é o quociente da divisão é o resto da divisão Prova real : F() G().Q() R()

4 F() é divisível por G() se o resto R() = 0 DIVISÃO EXATA Teorema do resto : O resto da divisão de F() por ( a) é F(a) Teorema de D Alembert : Um polinômio F() é divisível por ( a), se e somente se, a é rai de F() ou seja, F(a) = 0. Eemplos : a) F() = 10 G() = + 1 F() Determine G() Então : F() G() b) c) d) Determine o valor de m para que F() = m + (m 1) + 15 seja divisível por 5

5 8. Algoritmo de Briot-Ruffini a) 1 b) Fatore a epressão c) 1 EQUAÇÃO POLINOMIAL 9. Definição : Equação polinomial ou equação algébrica é a sentença F() = G() sendo F() e G() polinômios Eemplo : F() = + 1 e G() = Então + 1 = é uma equação polinomial equivalente a + = Rai de equação polinomial : É o valor para a variável que torna a sentença verdadeira. No eemplo acima o valor = 1 é rai pois (1) (1) (1) + = 0 é uma sentença verdadeira. 11. Solução de equação polinomial : É o conjunto formado pelas raíes da equação a 0 + a 1 + a + a a n n = 0

6 Eemplo : Determine a solução das equações algébricas a) = + b) + = + c) = 1. Introdução NÚMEROS COMPLEXOS Um número compleo possui a forma algébrica = + y. i onde i é chamado de unidade imaginária tal que i = 1 ou i 1 Uma maneira prática de representar o compleo = + y i é utiliando par ordenado : = (, y) onde o número real é a PARTE REAL de e o número real y é a PARTE IMAGINÁRIA de.. Igualdade Se o compleo a + b i é igual ao compleo c + d i então : a = c e b = d ou seja têm partes reais iguais e partes imaginárias iguais. Adição A soma ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i. Multiplicação O produto ( a + b i ) ( c + d i ) equivale a : ( ac bd ) + ( ad + bc ) i Aplicando a propriedade distributiva chegamos ao resultado ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d i Como i = 1 temos : a c + ( a d + b c ) i b d Separando a parte real da parte imaginária vem ( a c b d ) + ( ad + bc ) i

7 5. Conjugado Chama-se conjugado do compleo = + y i ao compleo y i O produto. corresponde ao número real ( + yi ). ( yi ) = + y Aplicando a propriedade distributiva :..y.i + y..i y.y.i =.y.i +.y.i + y Então. y EXERCÍCIOS DE SALA 1) Sejam os compleos 1 = i ; = 1 + i ; = i ; = 5 Determine: a) 1 b) o conjugado de c) o produto. 1 d) 1 e) f) 1 g) 1 ) Resolver as equações : a) 1 = 0

8 b) + = 0 ) Seja o compleo = i. Determine a) o módulo de b) a forma trigonométrica de ) Considere o número compleo = 1 + i. Determine : a) a forma algébrica e trigonométrica de ( ) b) a forma algébrica e trigonométrica de ( )

9 LISTA DE EXERCÍCIOS POLINÔMIOS 1) Dado o polinômio P() = + 1 a) determine P() na forma fatorada Resp. P() = ( + 1).( 1 ) b) as raíes de P() Resp. Raíes : { 1 ; 1 ; 1 } c) P( 1) + P( ) Resp. d) o resto da divisão de P() por Q() = 1 Resp. ero e) o quociente da divisão de P() por Q() = 1 Resp = ( +1) ) Sejam os polinômios : F() = 1 + G() = + H() = ( 1) Calcule : a) F(). G() H() Resp. + b) as raíes da equação F() = 0 Resp. 1 i 1 i e c) o quociente e o resto da divisão entre F() e G() Resp. ; resto 7 ) Fatorar os polinômios a) P() = Resp. P() = ( + 1) ( 1) b) P() = + 6 Resp. P() = ( + ) ( ) c) P() = + Resp. P() = ( + 1) ( ) d) P() = 1 Resp. P() = ( +1) (+1) ( 1) ) Resolva as equações a) 1 = 0 Resp. 1 i 1 ; ; ; 0 ; 0 ; 0 b) = 0 Resp. 1 i c) + = 0 Resp. i ; i d) + 5 = 0 Resp. ; 1 ; 1 e) 5 + = 0 Resp. 1 ; 1 ; ;

10 NÚMEROS COMPLEXOS 1) Efetue as operações : a) ( 1 + i ) ( + i ) Resp. 6 b) ( 1 + i ) Resp. + i c) i + i + i i 10 Resp. 1 + i d) ( 1 i ) Resp. i e) i 1 i Resp. 5 i f) i Resp. i g) + i i Resp. 18 h) i 1 5 i Resp. 5 1 ) Coloque na forma trigonométrica os compleos : a) = 1 i Resp. 5 cos i. sen 5 b) 1 i Resp. cos i. sen c) = + i Resp. cos i. sen ) Coloque na forma algébrica os compleos : a) cos i. sen Resp. = b) c) cos i. sen Resp. i 11 cos 6 11 i. sen 6 Resp. i d) 1 i 1 7 Resp. i i ) Se P() = + 1 calcule P( 1 i ) Resp. P(1 i) = i 5) Se (1 i ) = i, calcule (1 i ) 6 Resp. 8 i