MÓDULO 37. Inequação. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA

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3 Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 7 Inequação. (ITA) Considere as seguintes afirmações sobre nú - meros reais positivos: I. Se > 4 e y <, então y >. II. Se > 4 ou y <, então y >. III. Se < e y >, então y < 0. Então, destas é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) apenas I e III. e) todas. I. Verdadeira, pois > 4 e y < > 6 e y > 4 y > 6 4 y >. II. Falsa, pois para = e y =, temos que y =. = 7 <. III. Verdadeira, pois se e y são positivos, então: < y > < < y < 0 y > y > > n > n( ) n n < [n( )] Resposta: E n a. b. Resolver em a inequação <, sa ben - a b do-se que a e b são números reais de sinais con trários. a. b a b < < 0 a b a b a b a + b b b < 0 < 0 a b a b (b b)(a b) < 0 Como ab < 0, o gráfico de (b b)(a b) é o eposto acima. b Assim, < ou >. a b V = < ou > a. (ITA) Uma vez que, para todo e n, vale a desigualdade n > n(), temos como consequência que, para 0 < < e n, tem-se: a) n < [n( + )] b) n < [(n + )( + )] c) n < [n ( )] d) n < [(n + )( )] e) n < [n( )] Se para todo e n N tem-se n > n(), então: n 0 < < > > n

4 4. Encontrar todos os valores reais de m, de modo que (m ). +. (m ) + > 0, para todo. ) Para m =, tem-se (m ) + (m ) + = 4 + que não é maior que zero para. ) Para m =, tem-se (m ) + (m ) + = > 0,. ) Para m ±, tem-se que (m ) + (m ) + > 0, se, e somente se, m > 0 e = [(m )] 4. (m ). = 8m + 8 < 0, pois o gráfico de (m ) + (m ) + deverá ser do tipo Assim, m > 0 m < ou m > 8m + 8 < 0 m > m > 4) Das conclusões dos itens () e (), tem-se m m. Inequação. Para que valores de a, tem-se: + a < <, para todo real? + MÓDULO 8 Como + > 0,, tem-se + a < < + ( + ) < + a < ( + ) ( + ) < + a + a < ( + ) 4 + (a ) + > 0 (a + ) + 4 > 0 Assim, as funções f() = 4 + (a ) + e g() = (a + ) + 4 deverão ter gráficos do tipo e, portanto, deve-se ter: (a ) < 0 e [ (a + )] < 0 a 6a 7 < 0 a + 4a < 0 < a < 7 < a < 6 < a <

5 . (OBM) Os valores reais de que satisfazem a inequação + são: a) b) = c) d) e) Fazendo = y tem-se y + y + 0 y y y y + (y ) 0 0 y y y = ou y < 0 = ou < 0 =, pois 0, Resposta: B. Resolver em a inequação Condição de eistência: > 0 < ou > (I) + Fazendo = y, tem-se 7 y > 0 e y y 7y 0 y y 4 + ou y Assim, y ( + ) 4 < ou (II) De (I) e (II), tem-se V = < ou 4

6 Inequação. Resolver em a inequação: + + < < < 0 Fazendo = y, tem-se y 0 e y + y < 0 0 y < Assim, 0 < < < > + > 0 e < < > 0 e + 5 < 0 MÓDULO portanto, < ou >, pois 4 7 < ou > 4 e 5 < ou >. (ITA) Considere as funções f e g definidas por f () =, para 0, e g () =, para +. O conjunto de todas as soluções da ine qua ção (gof) () < g() é: a) [, + [ b) ], [ c) [, [ d) ], [ e) ], [ ], + [ Sendo f() =, para 0, e g() =, para +, temos: (gof) () < g () < + + < < ( ). ( + ). ( + ) < 0 ( + ). ( + ) ( + ). ( + ) < 0 < 0 ( + ).(). ( + ) > 0 ( + ).(). ( + ) A partir do gráfico da função h() = ( + ). (). ( + ) 7 Resposta: V = < ou > 4 5 podemos concluir que h() > 0 < < ou > Portanto, o conjunto-solução da inequação (gof) () < g () é S = ] ; [ ] ; + [. Resposta: E 4

7 . (ITA) Sendo I um intervalo de números reais com etremi dades em a e b, com a < b, o número real b a é chamado de comprimento de I. Considere a inequação < 0. A soma dos comprimentos dos intervalos nos quais ela é verdadeira é igual a a). b). c) 7. d). e) f() = f() = ( ) f() = ( ) f() =. [6 ( + ) ( + ) + 4( + )] f() =. ( + ) (6 + 4) Observando que = 0 = ± 5 4 = ou = temos: f() = 6.. ( + ). ( ) ( ). 4 cujo gráfico é do tipo MÓDULO 40 Inequação. Resolver a inequação > 8 ) Uma inequação só tem significado em, portanto ) Como , podemos ter: 5 ou 8 < > (8 ) > 4 4 < 5 ou ou > < 0 4 < < 4 < 5 ou 5 < 4 ou 4 < 5 4 Resposta: V = { < 5} Assim sendo: < 0 < < 0 ou 4 < < A soma dos comprimentos dos dois intervalos nos quais a inequação é verdadeira é Resposta: D (0 ( )) + ( ) = + = 5

8 . (OPM) Determine os valores reais de r para os quais o trinômio abaio seja positivo para todos os valores reais de. y = ( r ) + (r + ) + y > 0 para qualquer valor real de se, e somente se, r = ou r > 0 [(r + )] 4. ( r ). < 0 r < 0 4r + 8r r < 0 < r < < r < 0 8r + 8r < 0 < r < < r < 0 Resposta: r r < 0. (IME) a) Sejam, y e z números reais positivos. Prove que: + y + z yz. Em que condições a igualdade se verifica? b) Considere um paralelogramo (entenda paralelepípedo reto retângulo) de lados a, b e c e área total S 0. Deter - mine o volume máimo desse paralelogramo em função de S 0. Qual a relação entre a, b e c para que esse volume seja máimo? Demonstre seu resultado. a) Sendo, y e z reais positivos temos + y + z 0 + y z ( + y ) ( z ) ( ) + ( y ) +.. y. ( + y ) z + y + z.. y. ( + y ) Por outro lado, se + y z, então.. y. ( + y ).. y. ( z ) =. yz ) (II) Das inequações (I) e (II) tem-se: (I) + y + z.. y. ( + y ) yz + y + z yz b) Sendo a, b e c as dimensões do paralelepípedo, temos: S = ab + ac + bc S 0 ab + ac + bc = ab. ac. bc = (abc) = 6 V onde V = abc é o volume. Desta forma, V V má = S 0 6 V S 0 6. e o volume máimo é Quando a, b e c são iguais temos: V = abc = a = (a ) S = 0 = V ma, pois com a, b e c 6 iguais entre si temos S 0 = ab + ac + bc = = a. a + a. a + a. a = 6a e a =. 6 Resposta: Demonstração S 0 6 S 0 6

9 MÓDULO 7. Prove que todo número de três algarismos não nulos, dividido pela soma de seus algarismos, resulta em um número menor que 00.. Os valores reais de k e p que tornam a inequação + ( k) + (p + 4) 5 + (p + ) > 0 verdadeira qualquer que seja real, são tais que k + p é igual a: a) 6 b) 8 c) 0 d) e) 4 MÓDULO Resolver, em, o sistema < +. Resolver, em, a inequação eercícios-tarefa < 5 6 MÓDULO 9. Resolver, em, a inequação A soma e o produto dos valores inteiros de que satisfazem a inequação e são menores que, são, respectivamente: a) 0 e 070 b) 5 e 760 c) 8 e 60 d) 40 e 760 e) 4 e 760 MÓDULO 40. Dado o conjunto A = { ; + < }, e - presse-o como união de intervalos da reta real.. Demonstre que para qualquer valor de n natural e maior que tem-se > n + n + n + n. (OPM) Prove que, para quaisquer reais e y maiores ou iguais a, + y + y + resolução dos eercícios-tarefa MÓDULO 7 ) Sejam a, b e c, distintos entre si, algarismos do número abc de três algarismos distintos. Temos: 00a = 00a 0b < 00b c < 00c 00a + 0b + c < 00a + 00b + 00a abc abc < 00. (a + b + c) < 00, pois a + b + c abc = 00a + 0b + c e a + b + c > 0 Resposta: Demonstração 5 + (p + ) 0, as funções f() = + ( k) + (p + 4) e g() = 5 + (p + ) deverão ter as mesmas raízes e gráficos como os epostos abaio. Desta forma, a soma das raízes de f deve ser igual a soma das raízes de g e o produto das raízes de f deve ser igual ao produto das raízes de g. + ( k) + (p + 4) ) Para que a inequação >0 5 + (p + ) seja verdadeira qualquer que seja real, e tal que Assim, ( k) = 5 e p + 4 = p + k = 7 e p = k + p = 0. Resposta: C 7

10 MÓDULO ) < > (I), pois + > 0, > 0 (II) De (I) tem-se 6 e de (II) tem-se. De (I) e (II) tem-se 6. Resposta: V = { 6} > ) Fazendo = y 0, temos: < y + < 6y y + 6 < y < y < < < 9 < < < > 0 > 0 > ( + 5) < < 0 < 0 > ( + 5) ()( + 5) > 0 < ou > ( + )( + 5) > 0 < ou > < ou > Resposta: V = < ou > MÓDULO ) = y temos: Fazendo y 7y y ou y 5 ou 5 0 ou 0 ( < ou 5) ou < Resposta: V = { < ou < ou 5} + + 8

11 ) Observemos que é raiz da função f() = , pois f() = = 0. Fatorando a função temos: f() = = =. ().() + 6. () = = (). ( + 6) = ()( 4)( 9) Assim, as raízes da função são, 4 e 9 e o gráfico da função é do tipo Do gráfico se conclui ou 9. Neste intervalo são inteiros e menores que os números,,, 4, 9, 0 e. A soma e o produto desses números são, respectiva - mente, 40 e 760. Resposta: D MÓDULO 40 ) I) + 0 ou 0 II) + < + < 4 4 > 0 ( ) > 0 ( ) > 0 [ ( + ) () ( + )] ( + ) ( ) > 0 ( + ) ( +) ( ) > 0 ( + ) ( ) > 0 ( ) > 0 ( < 0 ou > ) e De I e II, concluímos que e ou > Resposta: A = ] ; [ ; ] ; + [ ) Sendo cada um dos número consecutivos (n + ), (n + ), (n + ),..., (n ) sempre menores que n, temos > n + n > n + n > n + n > n n = n n >n. = n + n + n + n n Resposta: Demonstração ) Sendo e y maiores ou iguais a, temos y. y. = 4 4y y + y + y + + y ( + ) + y +, pois os números envolvidos são todos positivos. Desta forma, + y + y + Resposta: Demonstração 9

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