Nome: N.º: endereço: data: Telefone: PARA QUEM CURSA A 1 ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM Disciplina: MaTeMÁTiCa

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1 Nome: N.º: endereço: data: Telefone: Colégio PARA QUEM CURSA A ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 03 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: QUESTÃO 6 (OBMEP) Se dividirmos um cubo de m de aresta em cubinhos de mm de aresta, que altura terá uma coluna formada por todos os cubinhos, dispostos sucessivamente um em cima do outro? a) m b) km c) 0 km d) 00 km e) 000 km Convertendo metros em milímetros, temos que m = 000 mm. Assim, o cubo ficou dividido em 000 x 000 x 000 = 0 9 cubinhos de lado mm de altura cada um. Colocando-se um sobre o outro os 0 9 cubinhos, teremos uma coluna de comprimento, igual a 000 x 000 x 000 = 0 9 mm = 0 9 x 0 3 m = 0 6 m = 0 3 km = 000 km Resposta: E QUESTÃO 7 Observe o paralelepípedo reto retângulo representado na figura: Sendo V(x) o polinômio que representa o volume do paralelepípedo, o resto da divisão de V (x) por x + x + é igual a: a) zero b) x + c) d) x e) x + MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

2 O volume do paralelepípedo é dado pelo produto do comprimento (a), pela altura (b), pela largura (c), ou seja, V = a. b. c Assim, V(x) = (x + 6). (x + ). (x + ) V(x) = (x + x + x + ) (x + ) V(x) = x 3 + x + x + x + x + x + x + V(x) = x 3 + 0x + 8x + Dividindo-se V(x) por x + x +, obteremos: x 3 + 0x + 8x + x + x + x 3 8x x x + x + x + x x 0 Resposta: A QUESTÃO 8 Observe o paralelepípedo reto retângulo representado na figura: Qual a distância de A até B? 3 a) m b) m c) 3 m d) m e) m MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

3 Podemos dividir o quadrilátero ABCD em duas figuras, o retângulo BCDE e o triângulo ABE. O triângulo A ^EB é retângulo em ^E. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: x = + x = + x = fi, pois x > 0 Resposta: D QUESTÃO 9 Resolvendo a equação x + 5x = 0, em, obtêm-se as raízes x e x. Podemos afirmar que: [(x + x ) : (x. x )] é igual a: a) 0, b),8 c) 3,... d) 08, e) 8 ạ solução: Lembrando que as raízes x e x, da equação do ọ grau ax + bx + c = 0 (a 0) são tais que x + x = S = b e x. x = P = c, temos: a a 3 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

4 x + 5x = 0 fi Então [(x + x ) : (x. x )] = [( 5) : ( )] 5 = = =,8 5 ạ solução: Aplicando Bháskara, temos: b ± D. a (+ 5) x + x = = 5 x + x = = (+ 5) ± 5..( ). 5 ± 5 ± x = 3 x = 8 Dessa forma, [(x + x ) : (x. x )] = {[3 + ( 8)] : [3. ( 8)]} = [( 5) : ( )] = 5 = = =,8 5 Resposta: B QUESTÃO 0 (UFF-RJ ADAPTADO) As soluções inteira da equação x + x = x + não é um número: a) igual a 3 33 b) Divisor de zero c) Múltiplo de zero d) Divisível por e) Primo MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

5 Resolvendo a equação do.o grau, aplicando a fórmula de Bháskara, temos: x + x = x + x + x + x x = 0 Lembrando que b ac, temos:. a b + ( ) ± ( ).. ( ). ± + 88 ± 59 ± 3 O número é primo, é divisível por (como todo número inteiro), é tal que 3 33 = 3 3 = e, é divisor de zero (como todo número inteiro) só não é múltiplo de zero, pois o único múltiplo de zero é zero. Resposta: C QUESTÃO (UFPA) Observe a figura: 5 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

6 A parte hachurada da figura, onde é o conjunto universo, e A, B, C são conjuntos representa: a) A B C b) A B C c) (A B) (A C) d) (A B) (A C) e) (A B C) (A B C) A única parte não hachurada é a intersecção entre os conjuntos A, B, C. Assim temos a união entre os três conjuntos menos a intersecção entre os três conjuntos. Resposta: E QUESTÃO ABCDEF é um polígono regular: Podemos afirmar que o suplemento de ^x é igual a: a) (. 5 ) graus b) (. 3. 5) graus c) (. 5. 7) graus d) (. 5) graus e) (. 3. 5) graus Sendo r // s // t, então o ângulo ^x e ^a são congruentes, por serem correspondentes. Sendo ^a um ângulo interno do hexágono regular ABCDEF, tem-se: Soma dos ângulos internos: S i = (n ). 80 S i = (6 ). 80 S i =. 80 S i = 70 Valor de cada ângulo interno: A i = 70 6 A i = 0 \ 0. O suplemento de 0 é igual a 80 0 = 60, que é igual a (. 3. 5) Resposta: B 6 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

7 QUESTÃO 3 (OBMEP-009) Sofia foi levar uns docinhos para sua avó; são 7 docinhos de amora, 6 de coco e 3 de chocolate. Durante o caminho, a gulosa Sofia come docinhos. Qual das situa - ções abaixo é possível? a) Vovó não recebeu docinhos de chocolate. b) Vovó recebeu menos docinhos de coco do que de chocolate. c) Vovó recebeu o mesmo número de docinhos de cada uma das três variedades. d) Existem duas variedades de docinhos das quais vovó recebeu o mesmo número. e) O número de docinhos de amora que vovó recebeu é maior que o dos outros somados. a) Falsa, pois mesmo que os dois docinhos comidos por Sofia fossem de chocolate, a vovó teria recebido 3 = docinho de chocolate. b) Falsa, pois mesmo que os dois docinhos comidos por Sofia fossem de coco, a vovó teria recebido 6 = doces de coco. Mais do que os 3 de chocolate. c) Falsa, pois o total de doces que a vovó recebeu = e doces não podem ser dividido em 3 partes iguais. d) É possível. Bastaria Sofia comer um doce de amora e um de chocolate. A vovó teria recebido 6 de amora e 6 de coco. e) Falsa, pois mesmo que os dois doces que Sofia comeu não fossem de amora restariam = 7 doces de sabores diferente de amora e sete não é maior que sete. Resposta: D QUESTÃO (OBMEP-adaptado) Um tabuleiro quadrado de 3 linhas por 3 colunas contém 9 casas. De quantos modos diferentes podemos escrever as três letras A, B e C em três casas diferentes, de modo que em cada linha esteja escrita exatamente uma letra? a) 6 b) 68 c) 70 d) 76 e) 80 Começando com a letra A, ela pode ser escrita em qualquer uma das 9 casas do tabuleiro. Uma vez escrita a letra A, sobram 6 casas onde a letra B pode ser escrita. Uma vez escrita a letra B e A no tabuleiro, sobram 3 casas para a letra C ser escrita. Assim, pelo princípio multiplicativo, existem = 6 maneiras diferentes das letras A, B e C serem escritas no tabuleiro, tendo uma letra em cada linha. Obs.: Podem existir duas, ou até três letras na mesma coluna. Resposta: A 7 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

8 QUESTÃO 5 (OBMEP-adaptado) Observe o desenho que segue: O quadrado ABCD tem área de 30 cm e o quadrado FHIJ têm área de 0 cm. Os vértices A, D, E, H e I dos três quadrados pertencem a uma mesma reta. Qual a área do quadrado BEFG, em cm? a) 5 b) 30 c) 0 d) 50 e) 70 Sejam A ^BE e y = A ^EB. No triângulo B ^AE retângulo, temos: x + y = 90. Seja agora F ^EH = a. No vértice E, temos: y + B ^EF + a = 80 y a = 80 fi fi y + a = 90 = x + y a = x Como o triângulo EFH é retângulo, segue que E ^FH = y. Desta forma, os triângulos AEB e EFH são congruentes, pois têm os 3 ângulos congruentes e um lado congruente (BE = EF). Em particular, AE = FH. Podemos agora calcular a área do quadrado BEFG usando o Teorema de Pitágoras: área de BEFG = BE = AB + AE = AB + FH = área do ABCD + área do FHIJ = = = 50 Resposta: D 8 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

9 QUESTÃO 6 Quantos dos números abaixo são maiores que 0? 3, 7, 5 5, 6 6, 7 a) b) c) 3 d) e) 5 Observemos que 0 = 00. Escrevendo os números dados na forma de um único radical, teremos: 3 = 3. = 99 7 =. 7 = 5 5 = 5. 5 = = 6. 3 = 08 7 = 7. = 98 Se 00 = 0, são maiores que 0 os números, 5, 08, num total de três. Resposta: C QUESTÃO 7 (PUC-SP 00) Pretende-se dividir um salão de forma retangular em quatro salas, também retangulares, como mostra a figura abaixo: Se A, A, A 3 e A são as áreas das salas pretendidas e considerando que A + A + A 3 = 36 m, A A = m e A 3 =. A, a área da quarta sala, em metros quadrados, é: a) b),5 c),8 d) 5 e) 5,5 Em metros quadrados, temos: 9 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

10 ) A partir da figura, temos: A = a. c A = a. d A 3 = b. c A = b. d A. A = a. b. c. d A. A 3 = a. b. c. d Portanto: A. A = A. A 3 A. A 3 A = A (I) ) Das equações dadas, tem-se: A + A + A 3 = 36 A A = A3 =. A A3 A + A + A 3 = 36 (II) A = + A = A ( + A ) + A + A = 36 A = + A A3 = A. A = A = + A A3 = A A = 8 A = 6 = 3) Substituindo na igualdade (I), vem: 6. A = = 8 Resposta: A A3 QUESTÃO 8 (FGV-SP) Seja n o resultado da operação A soma dos algarismos de n é: a) 8 b) 9 c) 0 d) e) Fatorando a diferença de dois quadrados temos que: = ( ). (375 37) = 79. = 79 Assim, n = 79, e a soma de seus algarismos é = 0 Resposta: C 0 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

11 QUESTÃO 9 O resultado da expressão: pode ser representado por: 3 3 a) b) c) d) 5 3 e) Resolvendo a expressão, temos que: (3 ) = = = = 3 :3 =3 = 3 = = Resposta: C (3 5 ) QUESTÃO 30 Se 5 operários trabalhando 0 horas por dia abriram um canal de 38 metros de comprimento em 7 dias, quantos operários serão necessários para abrir 686 metros do mesmo canal em 5 dias de 7 horas de trabalho? a) 60 operários b) 70 operários c) 80 operários d) 90 operários e) 00 operários Pela técnica operatória da regra de três composta e comparando a grandeza número de operários com as demais, temos: Número de operários Número de horas por dia Comprimento Número de dias x GIP GDP GIP MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

12 A grandeza número de operários é diretamente proporcional ao comprimento e inversamente proporcional ao número de dias e ao número de horas por dia. Assim, sendo: 5 x =.. = x Resposta: B MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE