BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS

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Sílvia Ísis Vilanova Aquino
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BANCO DE EXERCÍCIOS - 4 HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 06 GABARITO COMENTADO 1) De acordo com o texto, 10 alunos gostam de geometria mas não gostam de álgebra,

1 BANCO DE EXERCÍCIOS - 4 HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 06 GABARITO COMENTADO 1) De acordo com o texto, 10 alunos gostam de geometria mas não gostam de álgebra, logo 10 gostam exclusivamente de geometria. Como gostam tanto de álgebra quanto de geometria e gostam de álgebra, temos que 17 gostam exclusivamente de álgebra. Com isso, o total de alunos é dado pela soma: = 6 alunos ) Para que seja divisível por, y deve ser igual a 0 ou a. Obviamente escolheremos 0 pois é o menor. Somando os algarismos conhecidos temos: = 17 Após 17, o próximo número divisível por três é o 18, portanto devemos atribuir 1 a x. Logo: x = 1, y = 0. ) Seja x, o total de figurinhas. Podemos escrever x como: X = 1 q + 7 X = 1 q + 7 X = 4 q + 7. Logo x pode ser escrito como X = mmc (1, 1, 4) k + 7 X = 10 k + 7 Como o número de figurinhas está compreendido entre 40 e 60, k só pode ser. Logo X = = 1 4) Nenhum dos inteiros em questão é uma potência de um primo p pois caso contrário todos os outros inteiros teriam o fator p em comum e isso não é permitido. Logo d possui pelo menos dois fatores primos distintos. Além disso, um dos números a, b, c, d é ímpar; caso contrário mdc (a, b, c, d) =. Assim, como o menor número ímpar com dois fatores primos distintos é 1, d 1. Para d = 1, temos como exemplo a = 6, b = 10, c = 1 e d = 1 ) Mdc (A,B) = 17 A = 17m e B = 17n A + B = 17(m + n), como A + B = 16 m + n = 8 Suponha A > B, logo A < B. com isso, m > n e m < n. temos as seguintes possibilidades: m + n = 7 + 1, não serve pois m < n m + n = 6 +, não serve pois m < n m + n = +, atende as condições do problema. m + n = 4 + 4, não serve pois m < n logo m = e n =, logo: A B = 17 (m n) = 17 ( ) = 4.

2 6) M.M.C.(1, 1, 4) = 10 (esse deixa resto zero, pois é multiplo) como o intervalo é 40 < total de figurinhas < 60, então: = 40 = 7 = 47 Soma: = 1. 7) Mdc(198, 16) = S1 = S =. S1/S = 0 8) E = 40 C = E. C = 80 B = C. 1 + E B = = 10 A = B. 1 + D, como C = D A = B + C A = = 00 A + B + C = = 400 9) O máximo divisor comum deve dividir a diferença entre quaisquer dois desses números. Note que = 9 e assim o máximo divisor comum é no máximo 9. Pelo critério de divisibilidade por 9, como = 4 é divísivel por 9, temos que 9 realmente divide todos esses números. 10) O comprimento total T de tela, necessário para cercar a área, é T = T = m. Cada rolo contém 48 metros e /48 = 7,, logo a quantidade mínima de rolos é 8. 11) Utilizaremos a notação a b para dizer que b é divisível por a. Então 0 7N 1N N. Além disso, 7 0N 1 N 1 N. Logo N é múltiplo de e 1, ou seja, é múltiplo de 60. Então N 60. Note que N = 60 é possível, pois ) Como a em inverso b, temos: ab = 1 a + b = b = a a( a) = 1 a² a + 1 = 0 (a 1)² = 0 a = 1 e b = 1 (1³ + 1³). ( ) = 0 OPÇÃO E 1) Da primeira equação temos que z = x y. Substituindo na segunda, temos: x + y 14(x y) = 0 x 8x + y + 4y = 0 4y 7x = 0 x = y/ z = 10y/ y z = y/ y y y y a + y + = 9 y y y + y y = y = 7

3 14) Seja x a idade de Neto em Então a idade de sua avó no mesmo ano era x. Os anos de nascimento dos dois são 1994 x e 1994 x, respectivamente. Logo 1994 x x = 844, ou seja, x = 48. Neto completa = 60 anos em ) Observe o esquema: H = H = 800 cm = 8 m 16) x = nº de notas de R$ y = nº de notas de R$ 10 x + y = 10 x + 10y = 6 (x + y) + y = y = 6 y = 1 Y =. Logo x = 7 x.y = 1 17) a³ = 9 + a k = a(a³ 6) + 1 k = a(9 + a 6) + 1 k = a² + 86a ) ax + y =1 x + y= a Sistema Possível e Determinado: a 1 ¹ 1 1 Sistema Possível e Indeterminado: a 1 1 = = 1 1 a Sistema Impossível: a 1 1 = 1 1 a 19) GARFOS FACAS COLHERES TOTAL AÇO COMUM AÇO INOX X Y Z 1 I) 6 + x = y x = y 6 II) y = z + z = y III) x + y + z = 1 Pondo I e II em III, temos: y 6 + y + y = 1 4y = 0 y = 0 Como z = y z = z = Daí o número de colheres é igual a 7 + = 10

4 4 0) Se S é o valor do sanduíche, C o do café, T o da torta: S + 7C + T = 1,0 (i) 4S + 10C + T = 4,00 (ii) Fazendo 4 (i) (ii): 8C 0C + 4T T = T = C Fazendo (ii) (i): S + C = 10, S + C = 10, C S + C + T = 10, + T C S + C + T = 10, Portanto, o consumo solicitado totaliza o valor de R$ 10,0. 1) A E F G B D O C Como ABE ADE (ambos enxergam o arco AE FB BE ) temos que FBE FDA e portanto = (1) FD DA Analogamente, das semelhanças EBG ACG, AEG CBG e AEF DBF obtemos respectivamente BG EB AE AG AE AF = () = () = (4) CG AC CB CG DB DF Assim, utilizando o fato que ABCD é isósceles (de modo que AD = BC e BD = AC) temos () e (4) AF BG 1 AE DF CG EB = FG FG DB AC (1) e () 1 ( AE CG)( DF EB) AD AG BF = = AC FG AC FG AD ( AF + FG)( BG + FG) = AC FG AD FG( AF + FG + BG) + AF BG = AC FG AD AF BG = AB + AC FG Em suma, temos AF BG AD AF BG = AB + FG AC FG AF BG AD AB = FG AC AD Utilizando o fato de que ABCD é isósceles com base CD = 0 e altura 4, aplicando Pitágoras várias vezes é fácil calcular AB = 14, AD = 0, AC = 40. Assim, AF BG = 18. FG

) Inicialmente, observe que o triângulo ABC é retângulo em B. Veja figura a seguir. A B R 4 R C Veja que o centro da circunferência de raio R está sobre a bissetriz interna do ângulo A.

Daí, segue-se que R 1 =, de modo que R 1 = 1. Portanto, 1 =. R ) Aplicando Pitágoras no triângulo em destaque temos: (+x) = (6 x) +9 9 + 6x +x = 6 1x + x +9.

r = (r x) + (r x ) r = r rx + x + r rx + x 4 ; resolvendo a equação temos: r x = ) Observe que o triângulo BCE é semelhante ao triângulo CFG = ( x) + ( x) = 0x + 4x + 10x + x x 0 x + = 0 (: )

5 ) Inicialmente, observe que o triângulo ABC é retângulo em B. Veja figura a seguir. A B R 4 R C Veja que o centro da circunferência de raio R está sobre a bissetriz interna do ângulo A. Logo, pelo teorema da R 4 R bissetriz interna, temos =, de onde obtemos R =. Por outro lado, a área de ABC é dada por p R 1, R em que p é o semi-perímetro. Daí, segue-se que R 1 =, de modo que R 1 = 1. Portanto, 1 =. R ) Aplicando Pitágoras no triângulo em destaque temos: (+x) = (6 x) x +x = 6 1x + x +9. Daí; 18x = 6 ; x = 4) Observe que o triângulo BHP é retângulo e os catetos são r x e r x Aplicando Pitágoras temos: e a hipotenusa igual a r. r = (r x) + (r x ) r = r rx + x + r rx + x 4 ; resolvendo a equação temos: r x = ) Observe que o triângulo BCE é semelhante ao triângulo CFG = ( x) + ( x) = 0x + 4x + 10x + x x 0 x + = 0 (: ) temos: (x 1) (x ) = 0. Daí, x = 1 6) Seja O o ponto de interseção entre as retas AB e CD. Veja que os triângulos ODA e OBC são semelhantes, pois OAD = 180 DAB = BCA. Logo, podemos igualar a razão de semelhança à razão entre os raios das circunferências inscritas, bem como das ex-inscritas, obtendo: 8 R = R = 144 R = 1 R 18

6 6 7) Considere a figura. 8) Sejam Q, S e H, respectivamente, o pé da perpendicular baixada de P sobre BC, a interseção de AM com DP e o pé da perpendicular baixada de M sobre CP Queremos calcular PQ. Como AB = AP = 4cm, MD = MP = cm e AM é lado comum, segue-se que os triângulos ADM e APM são congruentes por LLL. Desse modo, AM é mediatriz de DP. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo APM, vem AM = AP + MP AM = 4 + AM = cm. Além disso, temos MP = AM MS = MS MS = cm. É fácil ver que o triângulo CPD é retângulo em P. Logo, HP = MS. Por outro lado, CM = MP e HM CP implica 4 em CH = HP. Daí, CP = HP = cm. Finalmente, como os triângulos HMP e QCP são semelhantes, encontramos 4 PQ CP PQ = = HP MP 4 PQ =. Determinando o valor de k no triângulo XZP: K = K = 00 km. XZP XDY = d = 60 d = 180km 00 d OPÇÃO E

7 7 9) Considere a figura. Sabendo que AC = R + r e BC = R r, pelo Teorema de Pitágoras, vem AC = AB + BC (R + r) = AB + (R r) AB = 4Rr AB = Rr. Portanto, como AD = AB, segue que o resultado pedido é Rr = 4 Rr. 0) Seja (AEF) = S. Pela simetria da figura, temos (EBDF) = (BDHG) = S. Além disso, os triângulos AEF e ABD são semelhantes por AA. Portanto, como (ABD) = (AEF) + (EBDF) = S, tem-se ( AEF) x S x = ( ABD) b = S b x 6 =, b que é o resultado pedido. OPÇÃO E

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