Lista de Estudo para a Prova de 1º Ano. Prof. Lafayette

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Jessica Pereira Abreu
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1 Lista de Estudo para a Prova de 1º Ano Prof. Lafayette 1. Um triângulo ABC é retângulo em A e os ângulos em B e C são, respectivamente, de 30 e 60. A hipotenusa mede 4. a) Faça um desenho representativo. b) Desenhe a altura relativa à hipotenusa e calcule a medida dessa altura. c) Calcule a área deste triângulo. Resolução: a) b sen b b 3 4 a sen a a 4 b)

2 Seno no triângulo ADB: h sen h h 3 3 c) A área de um triângulo retângulo sempre pode ser calculada considerando um cateto como base e o outro como altura (atenção, isso só vale para triângulos retângulos): bh A 3 A 3 u.a.. Um triângulo ABC é retângulo em A e os ângulos em B e C são, respectivamente, de 45 e 45. A hipotenusa mede 4. a) Faça um desenho representativo. b) Desenhe a altura relativa à hipotenusa e calcule a medida dessa altura. c) Calcule a área deste triângulo. Resolução: a) Devido aos dois ângulos agudos serem de mesma medida, o triângulo é isósceles e portanto os dois catetos são iguais (por isso, a e a na figura). Desde já note que como ABC é isósceles a altura AD também é mediana, isto é, divide a hipotenusa em dois segmentos de mesmo tamanho.

3 b) h tg 45 h 1 h Calculando a também: a a 8 a 8 a c) A área é: b h CB AD A 4 A 4 u.a. Ou como no exercício anterior, usando um cateto como base e um como altura: AC AB A A 4 u.a. 3. No triângulo retângulo abaixo, H é pé da altura e CM é mediana.

4 a) Calcule a área do triângulo ACD. b) Calcule a medida de CH. c) Calcule a distância HM. Resolução: a) 10 4 A 10 u.a. b) Calculando a hipotenusa AD : x x x x 6 Como a área do triângulo não muda, independentemente de quais sejam a base e sua respectiva altura que houverem sido escolhidas para o cálculo, devemos usar a área que já foi calculada no item a e a hipotenusa AD = 6 como base, assim conseguiremos calcular a altura de medida CH. b h A 6 h h 13 c) Como M é ponto médio, temos AM = 13. Basta calcular a medida w.

5 w w w w E assim, y 13 w y Observe o triângulo abaixo: Desenhe a mediana relativa ao lado AC e calcule a sua medida. Faça o mesmo para a mediana relativa a CD. RESOLUÇÃO: Os dois desenhos são:

6 Mediana relativa a AC (figura da esquerda): observe o triângulo retângulo na parte superior da figura, de medidas 5, 4 e x: x x x 601 Mediana relativa a CD (figura da direita): y x x Desenhe as três medianas do triângulo ABC abaixo. Resolução: Usando uma régua quando necessário, marcamos os pontos médios de cada um dos lados e em seguida as medianas:

7 6. Calcule a área de um triângulo isósceles em que dois lados medem 1 cm cada, e o terceiro lado mede 8 cm. Resolução: Em um triângulo isósceles chamamos base ao lado que é diferente dos outros dois. Lembrando que a altura, relativa à base, também é mediana: (Ou seja, que a altura que sai do vértice C também divide o lado oposto ao meio): h 4 1 h h 8 cm

8 Assim, a base é AB = 8 e calcula-se a área: bh A 8 8 A 3 cm 7. A figura abaixo mostra um triângulo equilátero de lado L com todas as alturas desenhadas, dividindo o triângulo em seis triângulos menores. a) Obtenha as medidas de todos os ângulos da figura. b) Obtenha a medida dos segmentos: AD, GD, GC, GE, BG. RESOLUÇÃO: a)

9 b) L AD (metade do lado). L 3 CF BD AE (altura do triângulo equilátero) Como G é baricentro, divide cada mediana em segmentos sendo que um deles mede 1/3 do total, e o outro mede /3 do comprimento total (o maior é o segmento com o vértice). Então, 1 L 3 L 3 GD 3 6 L 3 L 3 GC L 3 L 3 GE 3 6 L 3 L 3 BG Considere um triângulo isósceles com dois lados de medida 13 cm e um lado de medida 10 cm. a) Qual é a área deste triângulo? b) Qual é a medida da altura relativa ao lado de 13 cm? RESOLUÇÃO: a) h 5 13 h 1 cm Área:

10 bh 10 1 A 60 cm b) A altura procurada está mostrada no desenho abaixo: Como a área do triângulo não se altera, a nova base é 13 e a nova altura, h : bh A 3 h' = h' cm (UNIFOR CE) Observando as figuras abaixo, marque a opção que indica qual(is) dela(s) está(ão) com as medidas erradas. a) A figura 1. b) A figura. c) A figura 3. d) Todas as figuras. e) Nenhuma das figuras. RESOLUÇÃO:

11 Figura 1: soma dos ângulos internos é = 158. Incorreta, porque a soma dos ângulos internos de um triângulo sempre resultará em 180. Figura : Aplicando o Teorema de Pitágoras: (Falso!) Logo a figura também está incorreta porque este triângulo não pode ser um triângulo retângulo. Figura 3: viola a condição de existência de triângulos, segundo a qual: Para que três medidas possam ser os lados de um triângulo, cada uma delas deve ser menor que a soma das outras duas. Como 15 é maior que a soma dos lados 8 e 6, a figura não pode corresponder a um triângulo. Gabarito: D 10. Admitindo que AC seja bissetriz de AO B, determine x. RESOLUÇÃO: 3x 10 = x + 0 x = Considerando que OC é bissetriz de AO B, determinar x e y.

RESOLUÇÃO: Igualando os dois ângulos da direita; e lembrando que a soma dos três ângulos destacados deve ser igual a 180 : y 0 x 10 4x y 0 x 10 180 Desenvolvendo: y x 30 6x y 170

12 RESOLUÇÃO: Igualando os dois ângulos da direita; e lembrando que a soma dos três ângulos destacados deve ser igual a 180 : y 0 x 10 4x y 0 x Desenvolvendo: y x 30 6x y 170 Substituindo na segunda equação: 6x x x 00 x 5 E portanto, y = x 30 = Analisando a figura abaixo, marque como Verdadeiras (V) ou Falsas (F) cada uma das afirmativas abaixo.

13 (F) O segmento BD é bissetriz do triângulo ABC. Correção: ele é altura, porque faz 90 com o lado oposto ao vértice B. Seria bissetriz se dividisse o ângulo em B ao meio. (F) O segmento BD é mediana do triângulo ABC. Correção: seria mediana se dividisse o lado AC ao meio, ou seja, se D fosse o ponto médio de AC. Como já dito anteriormente, ele é altura. (V) O segmento FH é mediana do triângulo EFG. Comentário: é mediana, porque H é ponto médio. (F) O segmento FH é altura e mediana do triângulo EFG. Correção: não é altura, porque não está indicado que FH faz 90 com EG (V) O segmento IM é altura do triângulo IJH. Comentário: verdadeiro, porque faz 90 com o prolongamento do lado oposto a I. (V) O segmento OQ é bissetriz do triângulo NOP. Comentário: verdadeiro, porque divide o ângulo Ô em dois ângulos de mesma medida. (F) O segmento US é bissetriz do triângulo RST, pois une o ponto médio U do lado RT do triângulo ao vértice oposto. Correção: justamente porque une o ponto médio U do lado RT do triângulo ao vértice oposto o segmento US é mediana. Seria bissetriz se dividisse algum ângulo ao meio (em partes iguais).

14 13. Desenhe na figura as três alturas do triângulo dado. Resolução: Somente a altura relativa a AC será interna ao triângulo. Para as outras duas precisamos prolongar os lados como mostrado abaixo.

15 14. a) Desenhe a mediatriz relativa ao segmento AB. b) Desenhe manualmente as três mediatrizes do triângulo ABC (use uma régua com cuidado ou um compasso, se necessário). c) Chamemos P o ponto de encontro das mediatrizes, desenhe um círculo de centro P e raio PA. Explique o que acontece. RESOLUÇÃO: a) b)

16 c) Como visto em sala, todos os pontos da mediatriz de um segmento qualquer AB são equidistantes dos pontos extremos A e B. Assim, o encontro das três mediatrizes (que é o ponto P) tem a propriedade de ser equidistante dos três vértices. Como a distância PA = PB = PC, então P é o centro de uma circunferência que passa por A, B e C, chamada circunferência circunscrita.

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