Como é possível afirmar que a sala ficou com 5,5 m de comprimento após a ampliação?
|
|
- Liliana Deluca Barroso
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 EQUAÇÕES DO º GRAU CONTEÚDOS Equações do º grau Processo resolutivo de uma equação Discriminante de uma equação AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Iniciaremos agora o estudo das equações do º grau com uma incógnita. As equações são constantemente utilizadas para resolver problemas que aparecem no dia a dia. Vamos discutir o uso das equações resolvendo o problema da reforma da casa de Pedro. Na reforma de sua casa, Pedro decidiu ampliar a sala, essa decisão impactou na falta de material, isso porque todo o piso já estava comprado. Antes da ampliação Pedro tinha disponível 16 m² de piso, quantidade que seria ideal para execução da obra. Com as novas medidas, a sala que antes era quadrada, ficou retangular, sofrendo o aumento de 1,5 m em seu comprimento e 0,5 m em sua largura. Ao término da ampliação, a sala está com 5,5 m de comprimento e 4,5 m de largura. Como é possível afirmar que a sala ficou com 5,5 m de comprimento após a ampliação? Para pensar sobre a situação colocada, vamos fazer um esboço que representa a sala de Pedro antes e depois da reforma. Sala antes da reforma Área = 16 m² Sala após a reforma 4,5 m 5,5 m
2 A sala antes da reforma tinha o formato quadrado, e a medida de seu lado era desconhecida. Para encontrar essa medida, vamos identificá-la como x. Assim: Tendo a sala o formato quadrado, vale lembrar que a área do quadrado é igual a medida do lado ao quadrado, E portanto, a área da sala é: x. 16 x² = 16 Para determinar a medida inicial do comprimento da sala, descrevemos uma equação. Essa equação recebe o nome de equação do º grau com uma incógnita. Identifica-se como equação do º grau na incógnita x, toda equação que apresenta a forma ax² + bx + c = 0. Em que a, b e c são números reais e a 0. Em uma equação do º grau os valores a, b e c são chamados de coeficientes da equação. No caso da equação que representa a área da sala, ela é identificada como equação do º grau incompleta, isso porque ela não apresenta o coeficiente b. Antes de determinar a medida inicial da sala de Pedro, vamos discutir um pouco mais as equações do º grau com uma incógnita. Essas equações podem ser divididas em completas e incompletas. Veja alguns exemplos: x² + 0, temos uma equação do º grau na incógnita x. Essa equação é incompleta e apresenta apenas os coeficientes a e b, em que a = e b =. 4y² = 0, temos uma equação do º grau na incógnita y. Essa equação é incompleta e apresenta apenas os coeficientes a e c, em que a = 4 e c = x² - 4x + 4 = 0, temos uma equação do º grau na incógnita x. Essa equação é completa e portanto apresenta os coeficientes a, b e c, em que a = 1, b = - 4 e c = 4.
3 Em uma equação do º grau fazemos as seguintes identificações, em relação aos coeficientes: O coeficiente a está relacionado a incógnita que está elevada a segunda potência. O coeficiente b está relacionado a incógnita que está elevada a primeira potência. O coeficiente c é identificado como termo independente. É o coeficiente sem a incógnita. A forma reduzida de uma equação Quando uma equação está escrita na forma ax² + bx + c = 0, dizemos que ela está escrita na forma reduzida de uma equação. A equação x² = 16, que representa a medida inicial da sala de Pedro não está representada em sua forma reduzida. Para representá-la, podemos aplicar o princípio aditivo. Acompanhe: x² = 16 x² - 16 = ( aplicamos o princípio aditivo somando 16) x² - 16 = 0 ( forma reduzida da equação) Vejamos mais alguns exemplos de como representar uma equação em sua forma reduzida: 5x² - 14x + 4 = 3x² 5x² - 3x² - 14x + 4 = 3x² - 3x² (aplicamos o princípio aditivo somando 3x²) x² - 14x + 4 = 0 (forma reduzida da equação) x.( x - 5) = - 4 x² ( aplicamos a distributiva) x² - 5x + 4 = (aplicamos o princípio aditivo somando + 4) x² - 5x + 4 = 0 ( forma reduzida da equação)
4 Resolução das equações incompletas Equações na forma ax² + c = 0 Iniciaremos o processo resolutivo utilizando a equação x² = 16, a qual representa a medida inicial da sala de Pedro. Vamos lembrar que a forma reduzida dessa equação é: x² - 16 = 0. Neste caso a equação não apresenta o coeficiente b. Temos a = 1 e c = Resolvendo a equação: x² - 16 = 0 ( equação dada) x² = 16 ( aplicamos o princípio aditivo e somamos + 16) x² = ou Temos dois valores que representam as raízes da equação, são eles: - 4 e 4. Considerando que essa equação representa a medida da área da sala de Pedro, sendo x a medida do lado da sala, neste caso, o valor de x será apenas o valor positivo. Logo, sabemos agora que medida inicial da sala de Pedro era de 4,0 m, passando a ter 5,5 m de comprimento após a reforma. Veja que a resolução da equação permitiu responder a pergunta que gerou nossos estudos. Lembra-se dela? Como é possível afirmar que a sala ficou com 5,5 m de comprimento após a ampliação? Já temos a resposta: Sabemos que após a reforma, a sala ficou com 5,5 m de comprimento porque inicialmente sua medida era de 4,0 m, e considerando a ampliação de 1,5 m, a medida final será de 5,5 m.
5 Raízes da equação: Um número é identificado como raiz quando ao substituí-lo no lugar da incógnita, ele torna a igualdade verdadeira. Equações na forma ax² + b 0 Dada a equação x² - 0, o primeiro passo para resolvê-la é aplicar a fatoração. Vamos lá! x.( x 1) = 0 ( aplicando a fatoração) Sendo x.( x 1) = 0, temos. 0 ou x -1 = 0, resolvendo cada uma dessas equações, temos: ou x 1 = 0 1 Saiba mais: A fatoração é a transformação de uma soma ou subtração de termos, em um produto de dois ou mais fatores. Fatorando a expressão Vamos entender melhor! 16.( + 3) Para fatorar a expressão ao lado, o primeiro passo é Observe que: encontrar um número que seja divisor comum dos = 16.( + 3) números 3 e 48. Neste caso, os dois termos são pares, logo são divisíveis por. Porém, na fatoração, devemos encontrar o maior divisor comum entre os termos da expressão que deseja-se fatorar. Sendo assim, deve-se considerar não somente um divisor comum, mas o maior divisor comum entre os termos envolvidos. Entre os números 3 e 48, o maior divisor será o número 16. Logo, podemos expressar os números 3 e 48 por meio de multiplicações que envolvem o número 16. Ao escrever 3 como.16 e 48 como 3.16, observa-se que há um fator comum, ou seja, o próprio número 16. Colocamos então esse fator comum em evidência, representamos a soma por meio de uma multiplicação de termos.
6 As raízes da equação são 0 e 1. Dizemos que esse é o conjunto solução da equação. Para representar esse conjunto utilizamos a seguinte simbologia: S = {0,1}. O processo resolutivo de equação completa Para discutir o processo resolutivo de uma equação completa, suponha um retângulo que apresenta comprimento de medida igual a (x + 5), largura igual a x e área igual a 4 m². x Sendo a área de um retângulo obtida ao multiplicar a medida de seu comprimento por sua largura, temos: (x + 5) x.( x + 5) = 4 ( aplicando a distributiva) x² x² + 5x 4 = 4 4 ( aplicando o princípio aditivo) x² + 5x 4 = 0 Ao resolver a equação apresentada, encontramos a medida x, que representa a largura do terreno. Para determinar as raízes dessa equação, um dos processos resolutivos é realizado ao utilizar a fórmula de Bhaskara. Vejamos como ocorre esse processo:
7 Resolução da equação completa do º grau Para resolver as equações completas do º grau faremos uso da tão conhecida fórmula de Bhaskara, a qual é descrita pela expressão: - b b² 4ac a Curiosidade Bhaskara era um matemático hindu e viveu no século XII. Nesse período a escrita algébrica ainda não era conhecida. Somente no século XVI que essa notação passa a ser utilizada. Foi o francês François Viète que iniciou o desenvolvimento da escrita algébrica, permitindo assim o uso da álgebra para descrever resoluções e até mesmo permitir a padronização das tais chamadas fórmulas. A exemplo temos a fórmula utilizada para extração das raízes de uma equação do º grau, a famosa fórmula de Bhaskara. Na verdade Bhaskara não conheceu essa fórmula, e somente aqui no Brasil atribui-se esse nome a fórmula resolutiva para extração das raízes de uma equação do º grau. Registros históricos mencionam que métodos resolutivos para solucionar equações do º grau já eram conhecidos pelos babilônios. Batizar a fórmula com o nome de Bhaskara ocorreu por volta de 1960, e alguns registros indicam que isso tenha ocorrido com o objetivo de fazer uma espécie de homenagem a um dos mais importantes matemáticos hindus (Bhaskara), que apresentou em duas das suas obras, resolução de problemas que envolviam as equações do º grau. Vamos agora utilizar a fórmula resolutiva, para resolver a equação x² + 5x 4 = 0. Para utilizar a fórmula de Bhaskara, vamos seguir os seguintes passos: 1º: Identifique os coeficientes da equação: a = 1 b = 5 c = - 4 º: Calcule separadamente o valor da raiz b² 4.a.c. Para tanto, substitua os valores dos coeficientes. 5² 4.1.( 4)
8 4º: Após calcular a raiz, substitua o valor encontrado na expressão. Neste momento, substitua também os coeficientes a e b por seus respectivos valores x.1 5º: Agora que você já tem todos os valores substituídos, você realizará dois cálculos. O primeiro será da seguinte maneira: x x 1 3 ( primeira raiz da equação).1 O segundo será realizado desta forma: x x 8 ( segunda raiz da equação).1 Após todos esses passos, chegamos aos valores que representam as raízes da equação. Neste caso específico, uma das raízes representa a medida da largura do terreno, como temos uma das raízes negativas, sabemos que o comprimento inicial é de 3 m, ou seja, valor da raiz positiva. Portanto, o terreno tem largura igual a 3 m e comprimento igual a 8 m. O discriminante de uma equação Você acabou de estudar o processo resolutivo da equação do º grau por meio da utilização da fórmula da Bhaskara. Analisaremos agora o número de raízes de uma equação a partir do estudo do discriminante. Para tanto, é preciso que seja compreendido qual é a expressão que está sendo chamada de discriminante. Na fórmula b b² 4.a.c, a expressão b² - 4.a.c, que é um número real, usualmente.a é chamada de discriminante e representada pela letra grega ( delta). Sendo assim, temos: = b² - 4.a.c E a fórmula resolutiva pode ser representada por b.a.
9 Vejamos agora, algumas análises que podem ser feitas a partir do discriminante. Dada a equação x² - x +1 = 0, vamos determinar as raízes dela, porém primeiro faremos o cálculo do delta. Acompanhe: b.a = b² - 4.a.c = (-)² = 4 4 = 0 (-) x 1 = 1-0 x = 1 Observe que neste caso, o valor do discriminante é igual a zero e a equação tem duas raízes iguais. Toda equação do º grau que apresentar o discriminante igual a zero, terá duas raízes iguais. Podemos dizer que a equação apresenta uma única raiz real. Vamos para mais uma análise: Dada a equação x² - 0x + 99 = 0 vamos determinar suas raízes, semelhante ao primeiro caso, iniciaremos pelo cálculo do discriminante. Acompanhe: b.a = b² - 4.a.c = (-0)² = = 4 (-0) x 1 = x = 9 Observe que neste caso, o valor do discriminante é um número real positivo e a equação apresenta duas raízes. Toda equação do º grau que apresenta em seu discriminante um número maior que zero, terá duas raízes reais e distintas.
10 E por último, faremos a análise da seguinte equação: x² - x + = 0 Para calcular as raízes dessa equação, faremos o mesmo processo utilizado nos exemplos anteriores. Acompanhe: b.a = b² - 4.a.c = (-)² = 4-8 = - 4 (-) Observe que o valor do discriminante é um número negativo. E, não existe raiz real de um número negativo. Portanto, dizemos que essa equação não tem raiz real. ATIVIDADES 1. Na equação x² + 4x 140 = 0, identifique os coeficientes a, b e c.. Identifique como completa ou incompleta as equações do º grau. a) - x² + 0 b) x² - 5x + 6 = 0 c) - 4r² + 6r = 0 d) 10x² + 3x 1 = 0 e) x² - 5 = 0 f) 8x² g) x² = 1 h) 10y² = - y i) 4x² = 0 3. Utilizando o conhecimento que você já construiu acerca das equações do º grau, procure descrever uma equação que representa a seguinte situação: O quadrado de um número, somado com o dobro desse número é igual a 35.
11 4. Represente a equação descrita no exercício 3 em sua forma reduzida. 5. Identifique os coeficientes da equação descrita no exercício 3 e classifique-a como completa ou incompleta. 6. Represente, na forma reduzida, as seguintes equações: a) x² b) 3x² + = 7x c) 4y² + 8 = - 3 d) x. (x 4) = + 8x 7. Na equação x² + 4x 140 = 0, quais são suas raízes? 8. A medida do segmento AB somada a medida do segmento BC resulta em 1 cm. Conhecendo as medidas de cada um desses segmentos, quantos centímetros o segmento BC é maior que o AB? x² 4x 9. Resolvendo apenas o discriminante, coloque verdadeiro (V) ou falso (F) para as seguintes afirmações: a) A equação x² - x 1 = 0 tem duas raízes iguais. ( ) b) A equação 3x² + 5x + 6 = 0 tem uma raiz.( ) c) A equação x² + 0 tem duas raízes reais distintas. ( ) d) A equação x² - x + 1 = 0 não tem raiz real. ( ) e) A equação x² - 1x + 48 = 0 tem duas raízes reais distintas. ( )
12 10. Dada a equação 1x² - 9x + 7 = 0, em relação a sua raiz pode-se afirmar que: a) é um número real maior que zero. b) é igual a zero. c) é um número real menor que zero. d) não existe no conjunto dos números reais. 11. O discriminante da equação x² - 0x + 48 = 0 é um número a) inteiro positivo. b) inteiro negativo. c) primo. d) múltiplo de O triângulo ilustrado tem área igual a 60 cm². Dado sua altura e a medida de seu comprimento, pode-se afirmar que sua área pode ser expressa pela equação x Lembre-se: Para calcular a área de um triângulo utiliza-se a seguinte expressão: base x altura Área x + a) x² + x 60 = 0 b) x² + x 10 = 0 c) x² - 4x 10 = 0 d) x² + x 60 = 0
13 13. As informações inseridas em um contrato de compra e venda de uma sala comercial de formato quadrado, permitiam entender que ao subtrair da área da sala, a medida de seu perímetro, o valor encontrado seria zero. O comprador questionou o corretor da imobiliária dizendo que com essa informação é possível concluir que a sala tem um comprimento igual a 4 metros, valor que difere da sala que ele visitou, a qual tem uma área igual a 64 m². Em relação as informações mencionadas pelo comprador, é correto dizer que a) a sala tem comprimento igual a 64 m. b) a sala tem comprimento igual a 8 m. c) a sala tem perímetro igual a 8 m. d) a sala tem perímetro igual a 64 m. 14. A soma das medidas dos segmentos DE e EF é igual a 9 cm. 6x 3x² Conhecendo as medidas de cada um deles, pode-se afirmar que o segmento DE é a) 6 cm maior que o segmento EF. b) 3 cm maior que o segmento EF. c) cm maior que o segmento EF. d) 9 cm maior que o segmento EF. 15. A área de um retângulo de comprimento igual a x + e largura igual a x 3 é igual a 130 cm². Qual é a diferença entre a largura desse quadrilátero e seu comprimento?
14 LEITURA COMPLEMENTAR Relações de Girard para equações do segundo grau Já sabemos que uma equação do segundo grau na variável x e com coeficientes reais é uma equação da forma ax² + bx + c = 0, Onde a, b e c são números reais, com a 0, ditos coeficientes da equação: a é dito o coeficiente de x²; b é dito o coeficiente de x; c é dito o coeficiente independente. O que discutiremos aqui é que existem relações entre os coeficientes de uma equação desse tipo e suas raízes. Essas relações foram descobertas pelo matemático Albert Girard e, portanto, são conhecidas como relações de Girard. (i) Uma das relações de Girard afirma que a soma das raízes de uma equação do segundo grau é igual à razão entre o oposto do coeficiente de x e o coeficiente de x², ou b seja, a soma das raízes da equação ax² + bx + 0 é dada por. a Veja uma maneira de demonstrar essa propriedade: Pela fórmula resolutiva da equação do segundo grau, tem-se que as raízes da equação ax² + bx + c = 0 são dadas por x 1 b Δ e a x b Δ onde Δ b² 4.a.c a Então a soma das raízes é igual a: x 1 x b a Δ + b a Δ = b b Δ a Δ b a b a Assim, de fato, x 1 x b a (ii) Uma outra relação de Girard afirma que o produto das raízes de uma equação do segundo grau é igual à razão entre o seu termo independente c e o seu coeficiente de x², o c que implica dizer que o produto das raízes da equação ax² + bx + c = 0 é dado por. a
15 Veja como demonstrar essa segunda propriedade: Sendo, x 1 b Δ e a x produto dessas raízes será dado por: x 1.x b.a Δ. b Δ as raízes da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0, o a b Logo, necessariamente, c x1.x a.a Δ = ( b)² b Δ b 4a² Δ Δ b² Δ b² (b² 4.a.c) 4ac c 4a² 4a² 4a² a Aplicação: Para determinarmos a soma e o produto das raízes de uma equação do segundo grau, não é necessário resolvê-la. Ilustraremos esse resultado com alguns exemplos. Exemplo 1: Quais são os valores da soma e do produto das raízes de uma equação da equação do segundo grau x² + 7x 6 = 0? b 7 c 6 Solução: Chamaremos S a soma e P o produto, então temos: S = e P = 3 a a. Exemplo : Quais são os valores da soma e do produto das raízes da equação x² + 4x 9 = 0. b 4 Solução: Sendo S a soma e P o produto, então temos S = 4 a 1 c 9 P = 9. a 1 Disponível em:< Acesso em: 4 maio 016. INDICAÇÕES Consulte também na Biblioteca Digital do Portal EJA, na área de indicações o texto sobre equações do segundo grau. No material você encontrará a proposta de resolução de algumas equações. Você pode acessá-lo no seguinte endereço eletrônico: m.aspx?id=154&source=http%3a%f%fwww%eeja%eeducacao%eorg%ebr%f bibliotecadigital%findicacoes%ftextos%5fsite%flists%ftexto%fmatematica%e aspx e 10h.
16 REFERÊNCIAS CELESTINO, Kamila Gonçalves. XI Encontro Nacional de Educação Matemática: História da equação do segundo grau em livros didáticos. Curitiba, 013. Disponível em:< Acesso em: 16 maio h40min. GIOVANNI, José Ruy. GIOVANNI, Jo se Ruy Júnior. BENEDICTO, Castrucci. A conquista da Matemática. São Paulo: FTD, 015. p OBMEP, Clube de Matemática. Relações de Girard. Disponível em: Acesso em: 4 maio h. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação (SEE). Educação de Jovens e Adultos: Mundo do Trabalho modalidade semipresencial, v 1. Matemática: caderno do estudante. Disponível em: < no>. Acesso em: 18 maio h. GABARITO 1. a= 1 ( coeficiente que acompanha a incógnita que está elevada a segunda potência). b= 4 ( coeficiente que acompanha a incógnita elevada a primeira potência) c= ( coeficiente sem incógnita, também chamado de termo independente). Equações completas: b e d. Equações incompletas: a, c, e, f, g, h, e i. 3. Identificando o número desconhecido como x, temos: x² x² +.x 35 = x² +.x 35 = 0 5. Os coeficientes são: a = 1, b = e c = A equação é completa.
17 6. a) x² - 7.x - 10 = x² - 7.x + 10 = 0 b) 3x² x 7.x 3x² c) 4y² = y² + 11 = 0 d) x² x x² - 4.x x 8.x x² Para determinar as raízes da equação é necessário resolvê-la. Para tanto, faremos uso da fórmula de Bhaskara. - b b² 4ac a - 4 4² 4.1.(-140) x 1 = 0 = 10 x = = 14 As raízes da equação são: - 14 e Para saber quantos centímetros o segmento BC é maior que o AB, primeiro é necessário resolver a equação que possibilita que a medida de cada um desses segmentos seja conhecida. x² x² + 4.x 1 = 0 - b b² 4ac a - 4 4² 4.1.(-1) x 1 = = 3 x = = - 7 Ao resolver a equação encontramos dois possíveis valores que representam a raiz da equação e consequentemente permitem determinar a medida de cada segmento. Sendo um desses valores negativos, esse não será válido nessa situação, já que não existe medida negativa. Utilizaremos então apenas a raiz 3, assim, temos: AB = x² AB = 9 BC = 4.x BC = 1
18 Se o segmento BC mede 1 cm e o segmento AB mede 9 cm, BC é 3 cm maior que AB. 9. a) F = b² - 4.a.c = (-)² - 4..(-1) = = 100 b) F = b² - 4.a.c = 5² = 5 7 = - 47 c) V = b² - 4.a.c = (-)² = 4 0 = 4 d) F = b² - 4.a.c = (-)² = 4 4 = 0 e) F = b² - 4.a.c = (-1)² = = A alternativa correta é letra D. Para identificar a quantidade de raízes da equação, vamos calcular o valor do seu discriminante. = b² - 4.a.c = (-9)² = = - 55 Sendo o discriminante negativo, conclui-se que a raiz dessa equação não existe no conjunto dos números reais. 11. A alternativa correta é a letra A. = b² - 4.a.c = ( -0)² = = 16
19 1. A alternativa correta é letra B. Sabendo que para calcular a área de um triângulo faz-se uso da expressão, base x altura Área, temos: 60 = x( x ) 10 = x² + x 0 = x² + x A alternativa correta é a letra B. Considerando as observações do comprador e identificando como x a medida do comprimento da sala, temos: Área = x² x² = Portanto, se o comprimento da sala é igual a 8 m. 14. Para saber a medida do segmento DE, pode-se estabelecer entre esses segmentos a seguinte relação: 3x² x² + 6x 9 = 0 Resolvendo a equação, tem-se: - b b² 4ac a - 6 6² 4.3.(-9) x 1 = x = 3 6 Sendo x uma medida, utilizaremos neste caso apenas a raiz positiva. Sendo: EF = 3.x² e 1, EF é igual a 3. DE = 6.x e 1, DE é igual a 6. Se o segmento DE tem 6 cm e o segmento EF tem 3 cm, DE é 3 cm maior que EF.
20 15. Para conhecer as medidas desse quadrilátero, vamos inicialmente fazer um esboço para visualizar a descrição mencionada no exercício. (x + ) (.x 3) Temos então: (x + ). (.x 3) = 130 x² - 3x + 4x 6 = 130 x² + x 6 = 130 x² + x = 0 x² + x 136 = 0 Dada a equação do º grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara para resolvê-la. - b b² 4ac a - 1 1² 4..(-136) x 1 = x = 8,5 4 Calculada as raízes, observa-se que uma delas é negativa, como estamos trabalhando com uma medida, utilizaremos apenas a raiz positiva. Assim temos: Comprimento = x + Comprimento = 8 + Comprimento = 10
21 Largura =.x 3 Largura =.8 3 Largura = 16 3 Largura = 13 Portanto a largura é 3 cm maior que o comprimento
Oficina Álgebra 2. Após os problemas 1 e 2, há dois desafios para que você possa explorar esse novo conhecimento sobre as equações do 2º grau.
Caro aluno, Oficina Álgebra 2 Nesta atividade, você será convidado a trabalhar com problemas que podem ser representados por meio de equações do 2º grau. Nos problemas 1 e 2, é proposto que, primeiramente,
Leia maisPara discutir as equações exponenciais, vamos pensar sobre a seguinte situação:
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS CONTEÚDO Equações exponenciais AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Para discutir as equações exponenciais, vamos pensar sobre a seguinte situação: Imagine que você tenha em mãos uma folha
Leia maisEQUAÇÃO DO 2º GRAU. Prof. Patricia Caldana
EQUAÇÃO DO 2º GRAU Prof. Patricia Caldana Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas
Leia maisFIGURAS SEMELHANTES CONTEÚDOS. Polígonos semelhantes Semelhança de triângulos AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS. Observe as imagens a seguir.
FIGURAS SEMELHANTES CONTEÚDOS Polígonos semelhantes Semelhança de triângulos AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Observe as imagens a seguir. Figura 1 Balão I Fonte: Microsoft Office Figura 2 Balão II Fonte:
Leia maisNa compra dos dois produtos foi gasto R$ 64,00. Apesar dos produtos terem a mesma função, o de maior valor foi R$ 20 reais mais caro.
SISTEMA DE EQUAÇÕES CONTEÚDO Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Leia as frases: Havia no evento 00 pessoas, somando homens e mulheres. A diferença entre o
Leia maisObserve na imagem a seguir, a trajetória realizada por uma bola no momento em que um jogador a chutou em direção ao gol.
FUNÇÃO QUADRÁTICA CONTEÚDOS Função quadrática Raízes da função quadrática Gráfico de função Ponto de máximo e de mínimo de uma função AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Observe na imagem a seguir, a trajetória
Leia maisEquação do Segundo Grau
Equação do Segundo Grau Denomina-se equação do 2 grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma ax 2 + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a 0. a, b e
Leia maisEQUAÇÕES DO 1º GRAU CONTEÚDOS. Equações do 1º grau com uma incógnita Raiz de uma equação Resolução de equações AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS
EQUAÇÕES DO º GRAU CONTEÚDOS Equações do º grau com uma incógnita Raiz de uma equação Resolução de equações AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Tente adivinhar que número eu estou pensando, se a ele somar 25
Leia mais1º Trimestre Matemática - 27/03/ 18 Ensino Fundamental 9º ano classe: A-B-C-D - Prof. Marcelo Nome:, nº LISTA DE EXERCÍCIOS ROTEIRO DE ESTUDOS
1º Trimestre Matemática - /0/ 18 Ensino Fundamental 9º ano classe: A-B-C-D - Prof Marcelo Nome:, nº LISTA DE EXERCÍCIOS ROTEIRO DE ESTUDOS RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES PARTE 1 São três casos: 1 caso:
Leia maisNIVELAMENTO 2012/1 MATEMÁTICA BÁSICA. Núcleo Básico da Primeira Fase
NIVELAMENTO 0/ MATEMÁTICA BÁSICA Núcleo Básico da Primeira Fase Instituto Superior Tupy Nivelamento de Matemática Básica. Adição e Subtração Regra:. REGRAS DOS SINAIS Sinais iguais: Adicionamos os algarismos
Leia maisTEORIA 6: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 2º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA
TEORIA 6: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 2º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA Nome: Turma: Data / / Prof: Walnice Brandão Machado Equações de 2º grau Definições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação
Leia maisObjetivos. Expressar o vértice da parábola em termos do discriminante e dos
MÓDULO 1 - AULA 17 Aula 17 Parábola - aplicações Objetivos Expressar o vértice da parábola em termos do discriminante e dos coeficientes da equação quadrática Expressar as raízes das equações quadráticas
Leia maisEquação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x
EQUAÇÃO POLINOMIAL Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x C a incógnita e a n, a n 1,..., a
Leia maisPara discutir a lei dos cossenos, vamos pensar sobre a seguinte situação: Dado o triângulo ABC, determine a medida do lado a desse triângulo.
LEI DOS COSSENOS CONTEÚDO Lei dos cossenos AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Para discutir a lei dos cossenos, vamos pensar sobre a seguinte situação: Dado o triângulo ABC, determine a medida do lado a desse
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental
Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes Nono Ano do Ensino Funcamental Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio
Leia maisCOORDENADORIA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 9. ANO MARCELLO CRIVELLA PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO
M9 MARCELLO CRIVELLA PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO CÉSAR DE QUEIROZ BENJAMIN SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO, ESPORTES E LAZER JUREMA HOLPERIN SUBSECRETARIA DE ENSINO MARIA DE NAZARETH MACHADO
Leia mais2, 5 2,0 1,5 3,75 2,5 6,25 5,0 AF 2,5 0,8 2,5 SENO, COSSENO, TANGENTE CONTEÚDO. Razões trigonométricas AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS
SENO, COSSENO, TANGENTE CONTEÚDO Razões trigonométricas AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Observe os triângulos ABC e AEF. 6, 3,7,,0 1,,0 Esses triângulos têm em comum o ângulo Â. Os ângulos que: C ˆ e F ˆ
Leia maisRELATÓRIO I Data: 25/05/2017
RELATÓRIO I Data: 25/05/2017 Objetivo(s) -Retomar e ampliar o conteúdo de adição e subtração com polinômios trabalhados em aula. -Amenizar as dificuldades dos estudantes referentes ao conteúdo abordado
Leia maisDesenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II
Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 02 EQUAÇÕES Pense no seguinte problema: Uma mulher de 25 anos é casada com um homem 5 anos mais velho que ela. Qual é a soma das idades
Leia maisEquação e Fatoração MATEMÁTICA 8 ANO D PROF.: ISRAEL AVEIRO
Equação e Fatoração MATEMÁTICA 8 ANO D PROF.: ISRAEL AVEIRO WWW.ISRRAEL.COM.BR Definição Fatorar um polinômio é escrevê-lo em forma de um produto de dois ou mais fatores. Casos de fatoração: 1. Fator comum
Leia maisPROFESSOR(A): MARCELO PESSOA 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
NOME: TURMA: PROFESSOR(A): MARCELO PESSOA MATEMÁTICA DATA: / / 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL Lista de exercícios de equação do 2º grau 1)Quais das equações abaixo são do 2º grau? ( ) x 5x + 6 = 0 ( ) 2x³
Leia maisBANCO DE QUESTÕES ÁLGEBRA 9º ANO ENSINO FUNDAMENTAL ===========================================================================================
PROFESSOR: MARCELO SOARES BANCO DE QUESTÕES ÁLGEBRA 9º ANO ENSINO FUNDAMENTAL =========================================================================================== 01- Um azulejista usou 2000 azulejos
Leia maisEXEMPLOS Resolva as equações em : 1) Temos uma equação completa onde a =3, b = -4 e c = 1. Se utilizarmos a fórmula famosa, teremos:
EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU INTRODUÇÃO Equação é uma igualdade onde há algum elemento desconhecido Como exemplo, podemos escrever Esta igualdade é uma equação já conhecida por você, pois é de primeiro grau
Leia maisEquações de 2º grau. Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: IR e
Equações de 2º grau Definições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0; a, b, c IR e Exemplo: x 2-5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e
Leia maisMonômios são expressões algébricas formadas por apenas um número, por uma variável ou pela multiplicação de números e variáveis.
1 PRODUTOS NOTÁVEIS Monômios Monômios são expressões algébricas formadas por apenas um número, por uma variável ou pela multiplicação de números e variáveis. 15 x 3x y 5 y ab Em geral, os monômios são
Leia maisa é sempre o coeficiente de x²; b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente.
Definições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0; a, b, c Exemplo: x 2-5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 6x 2 - x - 1 = 0 é
Leia maisAmigoPai. Matemática. Exercícios de Equação de 2 Grau
AmigoPai Matemática Exercícios de Equação de Grau 1-Mai-017 1 Equações de Grau 1. (Resolvido) Identifique os coeficientes da seguinte equação do segundo grau: 3x (x ) + 17 = 0 O primeiro passo é transformar
Leia maisAB de medida igual a 3 cm, qual é a medida do lado BC?
LEI DOS SENOS CONTEÚDO Lei dos senos AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Dado o triângulo ABC, sendo o ângulo  igual a 80, o ângulo Ĉ igual a 50 e o lado AB de medida igual a 3 cm, qual é a medida do lado BC?
Leia maisMatemática Régis Cortes EQUAÇÕES DE GRAUS
EQUAÇÕES DE 1 0 E 2 0 GRAUS 1 EQUAÇÃO DO 1º GRAU As equações do primeiro grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma ax+b=0,em que a e b são constantes reais, com a diferente de 0, e x é a
Leia maisAssunto: Equação do 2º grau
FUNDAÇÃO CECIERJ/ CONSÓRCIO CEDERJ Matemática 9º Ano 2º Bimestre/2013 Plano de Trabalho I Assunto: Equação do 2º grau Cursista: Derli Aleixo Carvalho Onofre Tutor: Emílio Rubem Batista Junior S u m á r
Leia maisEQUAÇÕES BIQUADRADAS
EQUAÇÕES BIQUADRADAS Acredito que só pelo nome dar pra você ter uma idéia de como seja uma equação biquadrada, Se um time é campeão duas vezes, dizemos ele é bicampeão, se uma equação é do grau quando
Leia maisResumo: Nestas notas faremos um breve estudo sobre as principais propriedades. mínimos, gráficos e algumas aplicações simples.
Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação Eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit Equação quadrática Prof. Doherty
Leia maisCom este material esperamos que você trabalhe, de acordo com a Matriz de Avaliação, o desenvolvimento das seguintes habilidades:
Caro monitor, Preparamos este material para que possamos auxiliá-lo no desenvolvimento das aulas 4, 43, 45, 46 e 47. Objetivamos que o uso deste material possa elucidar os conteúdos trabalhados nas referidas
Leia maisResumo: Nestas notas faremos um breve estudo sobre as principais propriedades. mínimos, gráficos e algumas aplicações simples.
Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação Eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit Equação quadrática Prof. Doherty
Leia maisPLANO DE TRABALHO SOBRE EQUAÇÃO DO 2º GRAU
FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ/SEEDUC-RJ Colégio ESTADUAL ANÍBAL BENÉVOLO Professora: ANA CLÁUDIA DOS SANTOS MONÇÃO Matrículas: 0937644-3 Série: 9º ANO ENSINO FUNDAMENTAL
Leia maisLista de Exercícios Equações do 2º Grau
Lista de Exercícios Equações do º Grau Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero. Aula Equações do Segundo Grau (Parte de ) Endereço: https://youtu.be/4r4rioccmm Gabaritos
Leia mais4 ÁLGEBRA ELEMENTAR. 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações.
4 ÁLGEBRA ELEMENTAR 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações. 4.1.1 - Introdução: As expressões algébricas que equacionam os problemas conduzem logicamente à sua solução são denominados polinômios
Leia maisINTERAULA I Data: 28/03/2016. Objetivo(s)
INTERAULA I Data: 28/03/2016 Retomar conceitos trabalhados em aula, em especial, as propriedades da operação de Potenciação. Desenvolvimento da Práxis Pedagógica Relembrando a n = a.a.a a (n vezes) a 1
Leia maisNome: N.º: endereço: data: Telefone: PARA QUEM CURSA A 1 ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM Disciplina: MaTeMÁTiCa
Nome: N.º: endereço: data: Telefone: E-mail: Colégio PARA QUEM CURSA A ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 03 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: QUESTÃO 6 (OBMEP) Se dividirmos um cubo de m de aresta em
Leia maisIGUALDADES EM IR IDENTIDADES NOTÁVEIS
IGUALDADES EM IR Uma relação muito importante definida em IR (conjunto dos números reais) é a relação de igualdade. Na igualdade A = B, A é o primeiro membro e B é o segundo membro. As igualdades entre
Leia mais1 Curso Eduardo Chaves-www.eduardochaves.com
1 Curso Eduardo Chaves-www.eduardochaves.com Lista de exercícios de equação do 2º grau, biquadrada e equações irracionais, para estudar para prova do 2º bimestre. 1) Resolva as seguintes equações do 2º
Leia maisFundamentos Tecnológicos
Fundamentos Tecnológicos Equações Algébricas e Equação de 1º Grau Início da aula 06 Equações Algébricas Expressões Algébricas - Definição Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam
Leia maisExercícios (Potenciação)
COLÉGIO SHALOM Ensino Fundamental II 9º ANO Profº: RONALDO VILAS BOAS COSTA Disciplina: MATEMÁTICA TRABALHO Data: 0//0 Nota: Estudante :. No. Exercícios (Potenciação) 0. Calcule: b) c) d) e) (-) f) - g)
Leia maispoliiiómio (2v- REVER Quadrado do binómio: Diferença de quadrados: (o b)? a i 2ab b) +36
REVER Para efetuar a multiplicaçâo de polinómios, utilizase a propliedade distributiva da multiplicaçào em relação à adição. Contudo, há casos especiais em que essa multipticaçáo pode ser realizada de
Leia maisCurso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 1. Universidade Portucalense
Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 1 Universidade Portucalense Conceitos Algébricos Propriedades das operações de números reais Considerem-se três números reais quaisquer, a, b e c. 1. A adição de
Leia maisFormação Continuada em Matemática Matemática 9º Ano 2º bimestre/2013 Grupo 01 Equações do 2 Grau
Formação Continuada em Matemática Matemática 9º Ano 2º bimestre/2013 Grupo 01 Equações do 2 Grau Tarefa 01 Cursista: Silvana de Andrade e Silva Tutor (a): Emílio Rubem Batista Sumário Introdução...03 Desenvolvimento...
Leia maisREVISÃO 9º ANO - MATEMÁTICA MATEMÁTICA - PROF: JOICE
MATEMÁTICA - PROF: JOICE 1- Resolva, em R, as equações do º grau: 7x 11x = 0. x² - 1 = 0 x² - 5x + 6 = 0 - A equação do º grau x² kx + 9 = 0, assume as seguintes condições de existência dependendo do valor
Leia maisMATEMÁTICA - 3o ciclo Monómios e Polinómios (8 o ano) Propostas de resolução
MATEMÁTICA - 3o ciclo Monómios e Polinómios (8 o ano) Propostas de resolução Exercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Identificando a diferença de quadrados na expressão (1), o quadrado da
Leia maisFatorando o número 50 em fatores primos, obtemos a seguinte representação: = 50
FATORAÇÃO DE EXPRESSÃO ALGÉBRICA Fatorar consiste em representar determinado número de outra maneira, utilizando a multiplicação. A fatoração ajuda a escrever um número ou uma expressão algébrica como
Leia maisMONÔMIOS E POLINÔMIOS
MONÔMIOS E POLINÔMIOS Problema: Observa as figuras. 6-9 6 4 Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do retângulo. Resolução: Se as figuras são equivalentes significa que têm a mesma
Leia maisNotas de Aula Disciplina Matemática Tópico 02 Licenciatura em Matemática Osasco -2010
Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 0 Licenciatura em Matemática Osasco -010 Equações Polinomiais do primeiro grau Significado do termo Equação : As equações do primeiro grau são aquelas que podem
Leia maisAula Inaugural Curso Alcance 2017
Aula Inaugural Curso Alcance 2017 Revisão de Matemática Básica Professores: Me Carlos Eurico Galvão Rosa e Me. Márcia Mikuska Universidade Federal do Paraná Campus Jandaia do Sul cegalvao@ufpr.br 06 de
Leia maisO quadrado da diferença de dois termos Observe a representação e utilização da propriedade da potenciação a seguir:
PRODUTOS NOTÁVEIS Chamamos de Produtos Notáveis algumas expressões algébricas ou polinômios que aparecem com mais frequência em cálculos algébricos. Devido a essa regularidade recebem esse nome e são utilizados
Leia maisROTEIRO DE RECUPERAÇÃO DE MATEMÁTICA (1º SEMESTRE) 9º ANO. Introdução Potenciação. Radiciação
ROTEIRO DE RECUPERAÇÃO DE MATEMÁTICA (1º SEMESTRE) 9º ANO Nome: Nº - Série/Ano Data: / / 2017. Professor(a): Cauê / Yuri / Marcello / Diego / Rafael Os conteúdos essenciais do semestre. ÁLGEBRA: Capítulo
Leia maisa) x 2-2x = 0 c) 3x 2 - x = 0 e) -x 2 + 4x = 0 g) 4x 2-5x = 0 a) x 2-4 = 0 4x 2 = 64 x 2 = 64:4 x 2 = 16 x = ± 16 x = ± 4 V = {± 4}
AS RESPOSTAS ESTÃO NO FINAL DOS EXERCÍCIOS. Equações do º grau ) Verifique se o número 9 é raiz da equação - 8 0. Se 9 for raiz, terá de satisfazer a equação: 9 -.9 8 8-99 8 0 Então 9 é raiz da equação
Leia maisAula 1. Material necessário: Projetor, slides, lápis/caneta e folha de atividades.
SEEDUC (CEDERJ) DATA: 20/09/2014 MATEMÁTICA- 1ºano NOME: JEFFERSON LOURENÇO ULRICHSEN FORMAÇÃO CONTINUADA NOVA EJA TUTORA: ROSELI DA CONCEIÇÃO RAMOS GOMES Duração Prevista: 100 minutos. Aula 1 Material
Leia maisFUNDAÇÃO CECIERJ / CONSÓRCIO CEDERJ
FORMAÇÃO CONTINUADA FUNDAÇÃO CECIERJ / CONSÓRCIO CEDERJ Matemática 9º ano 2ºBimestre / 2013 Plano de Trabalho 1 Cursista Isa Louro Delbons Grupo - 01 Tutor Emílio Rubem Batista Junior 1 Figura 1 - www.brasilescola.com
Leia maisAula 1: Revisando o Conjunto dos Números Reais
Aula 1: Revisando o Conjunto dos Números Reais Caro aluno, nesta aula iremos retomar um importante assunto, já estudado em anos anteriores: o conjunto dos números reais. Frequentemente, encontramo-nos
Leia maisMatemática. FUNÇÃO de 1 GRAU. Professor Dudan
Matemática FUNÇÃO de 1 GRAU Professor Dudan Função de 1 Grau Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma : onde a e b são números reais
Leia mais2. PRODUTOS NOTÁVEIS 2.1. EXPANSÃO DE PRODUTOS
2. PRODUTOS NOTÁVEIS 2.1. EXPANSÃO DE PRODUTOS Em álgebra, é frequente termos de expandir produtos cujos fatores são expressões algébricas (polinômios, por exemplo). Para isso, aplicamos a propriedade
Leia maisUnidade I MATEMÁTICA. Prof. Celso Ribeiro Campos
Unidade I MATEMÁTICA Prof. Celso Ribeiro Campos Números reais Três noções básicas são consideradas primitivas, isto é, são aceitas sem a necessidade de definição. São elas: a) Conjunto. b) Elemento. c)
Leia maisADA 1º BIMESTRE CICLO I MATEMÁTICA 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL 2018
ADA 1º BIMESTRE CICLO I MATEMÁTICA 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL 018 ITEM 1 DA ADA Observe potência a seguir: ( ) O resultado dessa potenciação é igual a (A) 8 1. (B) 1 8. (C) 1 81 81 (D) 1 Dada uma potência
Leia maisOPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
Sumário OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS... 2 Adição e Subtração com Números Racionais... 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL... 4 Comparação de números racionais na forma decimal... 4 Adição
Leia maisEQUAÇÕES POLINOMIAIS
EQUAÇÕES POLINOMIAIS Prof. Patricia Caldana Denominamos equações polinomiais ou algébricas, as equações da forma: P(x)=0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0. As raízes da equação algébrica, são as
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO ALGÉBRICA. 1 - A soma de uma sequência de números ímpares, começando do
LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO ALGÉBRICA 1 - A soma de uma sequência de números ímpares, começando do 1, é sempre igual a um número quadrado perfeito. Com base nessa informação,
Leia maisEquações do 2º Grau e I rracionais
Profª. Suely Trevisam Araújo Equações do 2º Grau e I rracionais Objetivo Introduzir conceitos, apresentar exemplos e fornecer aplicações práticas das equações do 2º grau e das equações irracionais. Tópicos
Leia maisMATEMÁTICA BÁSICA SUMÁRIO
MATEMÁTICA BÁSICA SUMÁRIO 1 Operações com frações 2 Divisão de frações 3 Operações com números relativos 4 Resolução de equações do 1º grau (1º tipo) 5 Resolução de equações do 1º grau (2º tipo) 6 Resolução
Leia mais9 0 Fund. II Disciplina Professora Natureza Trimestre/Ano Data Valor Roteiro de estudo Matemática Vânia e exercícios de revisão
Nome Nº Ano Ensino Turma 9 0 Fund. II Disciplina Professora Natureza Trimestre/Ano Data Valor Roteiro de estudo Matemática Vânia e exercícios de revisão 0 /016 0 a 05/08/016 5,0 Introdução Querido(a) aluno(a),
Leia maisLista 1 - Bases Matemáticas
Lista 1 - Bases Matemáticas Elementos de Lógica e Linguagem Matemática Parte I 1 Atribua valores verdades as seguintes proposições: a) 5 é primo e 4 é ímpar. b) 5 é primo ou 4 é ímpar. c) (Não é verdade
Leia maisBANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS
BANCO DE EXERCÍCIOS - HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº GABARITO COMENTADO ) A função será y,5x +, onde y (preço a ser pago) está em função de x (número de quilômetros
Leia mais» Potenciação e Radiciação
-* Nome: nº Ano: 9º Ano/EF Data: 30/06/2013 Exercícios de Matemática Professor: Hélio N. Informações Importantes: Não é permitido o uso de calculadora ou qualquer material eletrônico; Esta lista não tem
Leia maisDefinição: Uma função de uma variável x é uma função polinomial complexa se pudermos escrevê-la na forma n
POLINÔMIO I 1. DEFINIÇÃO Polinômios de uma variável são expressões que podem ser escritas como soma finita de monômios do tipo : a t k k onde k, a podem ser números reais ou números complexos. Exemplos:
Leia maisE essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos
A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em
Leia maisCADERNO DE EXERCÍCIOS 2D
CADERNO DE EXERCÍCIOS 2D Ensino Fundamental Ciências da Natureza I Questão Conteúdo Habilidade da Matriz da EJA/FB 1 Teorema de Pitágoras H31 2 Equações do 1º grau H38 H39 3 Triângulos H24 4 Média aritmética
Leia maisMATEMÁTICA 9.º ANO/EF
MATEMÁTICA 9.º ANO/EF A Recuperação é uma estratégia do processo educativo que visa à superação de dificuldades específicas encontradas pelo aluno durante a Etapa Letiva. Trata-se de uma oportunidade para
Leia maisErrata da lista 1: Na página 4 (respostas), a resposta da letra e da questão 13 é {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} (faltou o número 17)
Errata da lista 1: Na página 4 (respostas), a resposta da letra e da questão 13 é {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} (faltou o número 17) Lista 1 - Bases Matemáticas Elementos de Lógica e Linguagem Matemática 1
Leia maisDivisibilidade: múltiplos e divisores
DIVISIBILIDADE: MÚLTIPLOS E DIVISORES Divisibilidade: múltiplos e divisores Entender o conceito de múltiplos e divisores; Conhecer as regras de divisibilidade. 1) a) {0, 3, 6, 9...} b) 0, 13 e 26 c) 21,
Leia maisCapítulo 1: Fração e Potenciação
1 Capítulo 1: Fração e Potenciação 1.1. Fração Fração é uma forma de expressar uma quantidade sobre o todo. De início, dividimos o todo em n partes iguais e, em seguida, reunimos um número m dessas partes.
Leia maisENQ Gabarito MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. Questão 01 [ 1,25 ]
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ENQ 017 Gabarito Questão 01 [ 1,5 ] Encontre as medidas dos lados e ângulos de dois triângulos ABC diferentes tais que AC = 1, BC = e A BC = 0 Considere
Leia maisCOLÉGIO DE APLICAÇÃO JOÃO XXIII UFJF
COLÉGIO DE APLICAÇÃO JOÃO XXIII UFJF Conteúdos Prova de Recuperação 1. Conjuntos Numéricos: - a. Identificar e representar números Naturais (IN), Inteiros (Z), Racionais (Q), Irracionais (Ir) e Reais.
Leia maisQUESTÃO 18 Observe o paralelepípedo reto retângulo representado na figura:
Nome: N.º: endereço: data: Telefone: E-mail: Colégio PARA QUEM CURSA A ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 03 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: QUESTÃO 6 (OBMEP) Se dividirmos um cubo de m de aresta em
Leia maisComplemento Matemático 02 Ciências da Natureza I EQUAÇÃO DO 2º GRAU Física - Ensino Médio Material do aluno
A relação existente entre equações e fenômenos físicos Leia atentamente a afirmação abaixo: Complemento Matemático 0 Ciências da Natureza I EQUAÇÃO DO º GRAU Uma equação é uma descrição matemática de um
Leia maisGEOMETRIA ANALÍTICA CONTEÚDOS. Distância entre pontos Equação da reta Distância ponto reta Coeficientes Equação da circunferência.
GEOMETRIA ANALÍTICA CONTEÚDOS Distância entre pontos Equação da reta Distância ponto reta Coeficientes Equação da circunferência. AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Neste capítulo, estudaremos a Geometria Analítica.
Leia maisFATORAÇÃO. Os métodos de fatoração de expressões algébricas são:
FATORAÇÃO Fatorar consiste em representar determinado número de outra maneira, utilizando a multiplicação. A fatoração ajuda a escrever um número ou uma expressão algébrica como produto de outras expressões.
Leia maisMATEMÁTICA. A partir dessas informações, quantas pessoas foram entrevistadas?
MATEMÁTICA 1 Um estudante fez uma pesquisa com um grupo de universitários para obter um panorama a respeito da utilização de três redes sociais. Ao computar as informações fornecidas pelas pessoas entrevistadas,
Leia maisROTEIRO DE RECUPERAÇÃO DE MATEMÁTICA (1º SEMESTRE) 7º ANO. Nome: Nº - Série/Ano. Data: / / Professor(a): Marcello, Eloy e Décio.
ROTEIRO DE RECUPERAÇÃO DE MATEMÁTICA (1º SEMESTRE) 7º ANO Nome: Nº - Série/Ano Data: / / 2017. Professor(a): Marcello, Eloy e Décio. Os conteúdos essenciais do semestre. Capítulo 1 Números inteiros Ideia
Leia maisDenominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma:
EQUAÇÕES POLINOMIAIS. EQUAÇÃO POLINOMIAL OU ALGÉBRICA Denominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma: p(x) = a n x n + a n x n +a n x n +... + a x + a 0 = 0 onde
Leia maisMatemática 9ºAno E.F.
Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ Formação Continuada de Professores Matemática 9ºAno E.F. 1º Plano de Trabalho do 2º Bimestre Tema: Equação do 2º Grau Tutor(a): Emílio Rubem Baptista Junior Cursista:
Leia maisMódulo de Equações do Segundo Grau. Relações entre coeficientes e raízes. Nono Ano
Módulo de Equações do Segundo Grau Relações entre coeficientes e raízes. Nono Ano Relações entre Coeficientes e Raízes. Exercícios Introdutórios Exercício. Fazendo as operações de soma e de produto entre
Leia maisCADERNO DE EXERCÍCIOS 1C
CADERNO DE EXERCÍCIOS C Ensino Médio Matemática Questão Conteúdo Teorema de Pitágoras Área de círculo Equação do º grau Área de círculo Equação do º grau Habilidade da Matriz da EJA/FB H H7 H8 H H7 H8
Leia maisLista 2 - Bases Matemáticas
Lista 2 - Bases Matemáticas (Última versão: 14/6/2017-21:00) Elementos de Lógica e Linguagem Matemática Parte I 1 Atribua valores verdades as seguintes proposições: a) 5 é primo e 4 é ímpar. b) 5 é primo
Leia maisCECIERJ CURSO DE FORMAÇÃO CONTINUADA. Tarefa 1 Grupo 2 Nome: Mônica de Azevedo Braga Gaspar Tutora: Lilian Rodrigues Zanelli da Costa de Paula
CECIERJ CURSO DE FORMAÇÃO CONTINUADA Tarefa 1 Grupo 2 Nome: Mônica de Azevedo Braga Gaspar Tutora: Lilian Rodrigues Zanelli da Costa de Paula MACAÉ 2013 SUMÁRIO INTRODUÇÃO.................................03
Leia maisInequação do Segundo Grau
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Inequação do Segundo Grau Iva Emanuelly Pereira Lima - Engenharia Civil Na aula de hoje... Introdução e Exemplos de Inequação do Segundo Grau; Solucionando
Leia maisMatéria: Matemática Concurso: Auditor Tributário ISS São José dos Campos 2018 Professor: Alex Lira
Concurso: Professor: Alex Lira Prova comentada: Auditor Tributário ISS SÃO JOSÉ DOS CAMPOS 2018 Matemática SUMÁRIO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO PREVISTO NO EDITAL... 3 QUESTÕES COMENTADAS... 3 LISTA DE QUESTÕES...
Leia mais01. B 07. A 13. D 19. B 02. D 08. C 14. D 20. D 03. A 09. A 15. C 21. C 04. B 10. D 16. B 22. B 05. C 11. A 17. A B 12. B 18.
SISTEMA ANGLO DE ENSINO PROVA ANGLO P-2 G A B A R I T O Tipo D-8-05/2012 01. B 07. A 13. D 19. B 02. D 08. C 14. D 20. D 03. A 09. A 15. C 21. C 04. B 10. D 16. B 22. B 05. C 11. A 17. A 00 06. B 12. B
Leia maisMódulo de Equações do Segundo Grau. Equações do Segundo Grau: Resultados Básicos. Nono Ano
Módulo de Equações do Segundo Grau Equações do Segundo Grau: Resultados Básicos. Nono Ano Equações do o grau: Resultados Básicos. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. A equação ax + bx + c = 0, com
Leia maisPodemos concluir que o surgimento do número fracionário veio da necessidade de representar quantidades menores que inteiros, por exemplo, 1 bolo é um
FRAÇÕES Podemos concluir que o surgimento do número fracionário veio da necessidade de representar quantidades menores que inteiros, por exemplo, 1 bolo é um inteiro, mas se comermos um pedaço, qual seria
Leia maisEquação de Segundo Grau. Rafael Alves
Equação de Segundo Grau Rafael Alves Equação do 2º Grau As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. 2x + 1 = 0 (Equação de 1º grau) 2x² + 2x + 6 = 0 (Equação de
Leia maisSoluções Comentadas Matemática Curso Mentor Aprendizes-Marinheiros. Barbosa, L.S.
Soluções Comentadas Matemática Curso Mentor Aprendizes-Marinheiros Barbosa, L.S. leonardosantos.inf@gmail.com 6 de dezembro de 2014 2 Sumário I Provas 5 1 Matemática 2013/2014 7 2 Matemática 2014/2015
Leia maisMatemática. FUNÇÃO de 1 GRAU. Professor Dudan
Matemática FUNÇÃO de 1 GRAU Professor Dudan Função de 1 Grau Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma : onde a e b são números reais
Leia mais