Na compra dos dois produtos foi gasto R$ 64,00. Apesar dos produtos terem a mesma função, o de maior valor foi R$ 20 reais mais caro.

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1 SISTEMA DE EQUAÇÕES CONTEÚDO Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Leia as frases: Havia no evento 00 pessoas, somando homens e mulheres. A diferença entre o número de homens e mulheres era de 8 pessoas. Na compra dos dois produtos foi gasto R$ 64,00. Apesar dos produtos terem a mesma função, o de maior valor foi R$ 0 reais mais caro. Se você fosse desafiado a dizer quantos homens e quantas mulheres havia no evento, com certeza você seria capaz de calcular. Porém, quanto tempo você levaria para determinar essas quantidades? Em relação a segunda frase, ocorre situação semelhante. Ou seja, se o desafio for determinar o preço de cada produto, é possível que após algumas tentativas o valor seja determinado. Mas, cabe novamente a pergunta: Quanto tempo você levaria para determinar esses valores? Essas situações podem facilmente ser solucionadas se forem equacionadas. Nestes casos, diferente das equações do primeiro grau, que já falamos em capítulos anteriores, haverá o envolvimento de duas incógnitas. Vamos discutir o primeiro problema colocado: Havia no evento 00 pessoas, somando homens e mulheres. A diferença entre o número de homens e mulheres era de 8 pessoas. No problema é informado o total de pessoas presentes, considerando homens e mulheres. Além disso, é informado a diferença da quantidade entre esses dois grupos. Porém, não há informações sobre a quantidade de homens e mulheres, separadamente. 1

2 Para começar a equacionar o problema proposto, faremos o seguinte: A quantidade de homens será identificada como H. A quantidade de mulheres será identificada como M. Assim, temos: H + M = 00 H M = 8 Observe que o problema está agora equacionado. E, para saber a quantidade de homens e mulheres basta resolver a equação. Mas, antes de passar para o processo resolutivo, vamos equacionar o segundo problema apresentado. Na compra dos dois produtos foi gasto R$ 64,00. Apesar dos produtos terem a mesma função, o de maior valor foi R$ 0 reais mais caro. Semelhante a situação anterior, aqui não são identificados os valores de cada produto. Apenas é informado o valor total pago pela compra e a diferença de preço entre os dois. Para equacionar o problema, vamos identificar esses valores desconhecidos por meio de incógnitas. O produto de maior valor será identificado pela incógnita x. O produto de menor valor será identificado pela incógnita y. Assim, temos: x + y = 64 x y = 0 Observe que em cada um dos casos, os problemas foram equacionados por meio duas equações que referem-se a mesma situação. Assim, dizemos que, em cada caso, essas equações formam um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas. No caso da quantidade de pessoas no evento, as incógnitas envolvidas foram H e M. Já no caso da compra dos produtos, as incógnitas envolvidas foram x e y. Dica: Em um sistema de duas ou mais equações é comum indicá-lo utilizando o seguinte símbolo: {

3 Resolução de um sistema de equações Faremos agora a resolução dos sistemas discutidos. Iniciaremos pelo sistema referente a quantidade de pessoas no evento. H + M = 00 H M = 8 1º - Vamos determinar o valor da incógnita H. Para tanto, trabalharemos com equação H + M = 00. H + M = 00 H = 00 M º - Na equação H M = 8, vamos substituir H por seu valor (00 M). (00 M) M = 8 00 M M = 8 00 M = 8 - M = M = - 19 M = 19 M = Vamos agora, substituir o valor de M na equação H = 00 M. (temos uma equação do 1º grau na incógnita M) H = H = 104 Portanto, havia no evento 104 homens e 96 mulheres. Esses valores são identificados como solução do sistema. Esse método utilizado para resolver o sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas, é identificado como método da substituição. O segundo sistema de equações, o qual se refere ao preço dos produtos, será resolvido por meio de um processo diferente do apresentado anteriormente. Acompanhe: 1 - O primeiro passo será somar as duas equações. x + y = 64 x y = 0 x + 0 = 84 (temos uma equação do 1º grau na incógnita x) 3

4 º - Vamos resolver a equação do 1º grau na incógnita x. x + 0 = 84 x = 84 x = x = 4 3º - Em uma das equações do sistema, vamos substituir o valor da incógnita x (4). Neste caso, utilizaremos a equação x + y = 64. x + y = y = 64 y = 64 4 y = Portanto, como solução do sistema de equações temos os valores 4 e. Esse método utilizado para resolver os sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas, é identificado como método da adição. 84 Dica: Na resolução de uma equação você poderá escolher qualquer um dos métodos. O importante é que antes de iniciar, você observe qual método tornará o processo resolutivo mais fácil, para um determinado sistema. Dado um sistema de equações do 1º grau com incógnitas, x e y, sua solução será o ordenado (x,y). Esse par ordenado é a solução das duas equações do sistema. O gráfico de um sistema Quando um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é representado graficamente, por meio do plano cartesiano, cada uma das equações desse sistema, representam no gráfico uma reta. Quando essas retas se interceptam, o ponto de intersecção representa a solução da equação. Mas, antes de visualizarmos a representação gráfica de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas, vejamos como representar graficamente cada uma das equações do sistema. Por exemplo, dada a equação x + y =, para representá-la por meio de um gráfico, vamos organizar uma tabela e nela atribuir valores para as variáveis x e y. 4

5 x y x + y = Par ordenado = ( 0,) = (,0) Atribuindo apenas dois valores para as variáveis, já é suficiente para traçar a equação no gráfico. Agora, é hora de utilizar o plano cartesiano. Dado o plano, vamos localizar os pontos (0,) e (,0). Por esses dois pontos, vamos traçar a reta que representa a equação x + y =. 5

6 Esse mesmo processo será realizado com a equação x y = 0 Vamos novamente organizar uma tabela e atribuir valores para as variáveis x e y. x y x - y = 0 Par ordenado = 0 ( 0,0) - = 0 (,) Atribuindo apenas dois valores para as variáveis, já é suficiente para traçar a equação no gráfico. Agora, é hora de utilizar o plano cartesiano. Dado o plano, vamos localizar os pontos (0,0) e (,). Por esses dois pontos, vamos traçar a reta que representa a equação x - y = 0. Vejamos agora como ficará o gráfico quando nele representamos o sistema x + y = x y = 0 6

7 Acompanhe a resolução e a representação gráfica de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas. Sistema Representação gráfica x + y = x y = 0 Resolvendo o sistema por um dos métodos discutidos, obteremos como solução o par ordenado (1,1), graficamente esse par ordenado representa a interseção entre as duas retas. Acompanhe a resolução do sistema x + y = x y = 0 x + 0 = x = x = Substituindo o valor de x na equação x + y =, temos: x + y = 1 + y = y = 1 y = 1 x = 1 Ao resolver o sistema pelo método da adição, comprovamos o que graficamente foi visualizado, ou seja, a solução do sistema é o par ordenado (1,1). Saiba mais: Segundo alguns matemáticos a identificação de par ordenado recebe essa nomenclatura porque a ordem dos números é importante. Ou seja, (x,y) (y,x). 7

8 Veja agora a representação gráfica de um outro sistema. Sistema Representação gráfica x + y = 3 x + y = 6 Para discutir a representação gráfica desse sistema, vamos resolvê-lo pelo método da substituição. x + y = 3 x + y = 6 1º - Na equação x + y = 3, vamos determinar o valor da incógnita y. x + y = 3 y = 3 x º - Na equação x + y = 6, vamos substituir o valor de y. x + y = 6 x + 3 x = 6 x x = = 3 Veja que o resultado encontrado é falso, pois 0 3. Logo, não há solução para o sistema, ele é identificado como impossível. E, em casos como esse, o sistema é representado graficamente por duas retas que não se interceptam. 8

9 ATIVIDADES 1. Na caixa havia dois tipos de desinfetante, totalizando 5 produtos. Um deles seria vendido pelo valor de R$ 1,0 e o outro por R$ 0,0 mais barato. Com a venda de todos os produtos, a arrecadação foi de R$ 7,00. Quantos produtos de maior valor havia na caixa?. (ENEM -015 ª aplicação) Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um prêmio de R$ 0,00 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo, pagará R$ 10,00. Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros e, ao final, recebeu R$ 100,00. Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo? a) 30 b) 36 c) 50 d) 60 e) Para cercar todo o seu terreno, o Sr. Paulino comprou 130 m de arrame. Sabendo que a diferença entre as medidas de comprimento e largura é igual a 5 m, tendo o terreno o formato retangular, quais são as dimensões do terreno do Sr. Paulino? 4. Identifique qual dos sistemas está representado no gráfico. Sistemas Representação gráfica a) x + y = 1 x + y = b) x + y = 5 x y = c) x + y = 1 x y = 0 9

10 5. Resolva o sistema apresentado e faça a sua representação gráfica. x + y = 10 x y = 6 LEITURA COMPLEMENTAR Sistema de equações Resolução Método da igualdade Esse método consiste em isolar uma incógnita numa equação e a mesma incógnita na outra e, em seguida, igualar as duas equações para obter uma equação com uma única incógnita. Exemplo: Resolva o sistema.x + 3y = 5 x 4.y = 8 Passo 1: Isole x na primeira e na segunda equação para podermos igualá-las..x + 3.y = 5 x = 5 3y x 4.y = 8 x = y Nota: Aqui você poderia ter escolhido isolar o y, mas o processo de resolução seria mais complicado. Passo : Iguale as duas equações para encontrar o valor de y. 5 3y 8 4y 5 3y = (8 + 4y) 5 3y = y - 3y 8y = y = 11 y =

11 Passo 3: Substitua o valor de y = - 1 encontrado, em x = 8 + 4y, para encontrar o valor de x. x = 8 + 4y x = 8 + 4( -1) x = 8 4 x = 4 Nota: Aqui você poderia ter escolhido substituir o valor de y na equação x = Passo 4: Escrever a solução do sistema: S = {( 4, - 1)} 5 3y. Disponível em:< Acesso em: 13 jun h35min. INDICAÇÕES Consulte os links indicados a seguir e estude um pouco mais sobre sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas Sistemas de equações Disponível em: Sistema de equações Disponível em: < REFERÊNCIAS GIOVANNI, José Ruy. GIOVANNI, José Ruy Júnior. BENEDICTO, Castrucci. A conquista da Matemática - 8º ano. São Paulo: FTD, 015. p

12 INEP. ENEM 015. Caderno Amarelo. ª Aplicação. Disponível em:< APLICACAO_DIA_0_05_AMARELO.pdf.>. Acesso em: 10 jun h35min. SECRETARIA DE DESENVOLVIMENTO ECONÔMICO, CIÊNCIA, TECNOLOGIA E INOVAÇÃO. Educação de Jovens e Adultos (EJA) Mundo do Trabalho: Ciências e Matemática: 9º ano/4 termo do Ensino. Governo do Estado de São Paulo, 013. GABARITO 1. As quantidades de cada desinfetante não são conhecidas, assim, podemos identificar o desinfetante mais caro como x e o mais barato como y. Equacionando o problema, temos: x + y = 5 1,0.x + 1,00.y = 7 x = 5 - y 1,0. ( 5 - y) + 1,00y = 7-1,0.y ,00.y = 7-0,y = ,.y = - 3 0,y = 3 y = 3 0, y = 15 Substituindo o valor de y na equação x = 5 y, temos: x = 5 15 x = 10 Portanto havia na caixa 10 produtos que custavam R$ 1,0.. A alternativa correta é a letra A. Para saber quantas vezes o participante acertou o alvo, vamos equacionar o problema dado. Segundo dados do exercício, o participante deu 80 tiros, chamando os acertos de x e os erros de y, temos a equação: x + y = 80 1

13 Além disso, também é mencionado que a cada acerto o participante ganha R$ 0,00 e a cada erro ele perde R$ 10,00. Sabendo que ao final do jogo ele recebeu R$ 100,00, temos: 0.x 10.y = 100 Dada as duas equações, temos o seguinte sistema: x + y = 80 0.x 10.y = 100 Resolvendo pelo método substitutivo, temos: x + y = 80 0.x 10.y = 100 x = 80 y 0.(80 y) 10y = y 10y = y = y = y = y = 30 y = 50 Sendo y = 50, temos: x = 80 y x = x = Como as medidas do terreno não são conhecidas, podemos identificar a largura como L e o comprimento como C. Sendo o terreno retangular, temos:.l +.C = 130 C L = 5 Resolvendo pelo método substitutivo, temos: C = 5 + L.L +.( 5 + L) = 130.L L = L + 10 = L =

14 4.L = 10 L = 10 4 L = 30 Portanto a largura é igual a 30 m. C = 5 + L C = C = 35 O comprimento é igual a 35 m. 4. Para identificar qual dos sistemas está representado no gráfico, vamos resolver cada um deles. a) x + y = 1 x + y = y = 1 x x + ( 1 x ) = x + 1 x = x x = 1 0 = 1 Ao resolver o primeiro sistema, chegamos em uma igualdade que não é verdadeira. Portanto, esse sistema é impossível e o gráfico não representa-o. b) x + y = 5 x y = x + 0 = 7.x = 7 x = 7 x = 3,5 x + y = 5 3,5 + y = 5 y = 5 3,5 y = 1,5 14

15 O segundo sistema tem o par ordenado 3,5 e 1,5. Confrontando esses dados com o gráfico, identificamos que ele está representando esse sistema. c) x + y = 1 x y = 0.x + 0 = 1.x = 1 x = 1 x + y = 1 0,5 + y = 1 y = 1 0,5 y = 0,5 ou x = 0,5 O terceiro sistema tem o par ordenado 0,5 e 0,5. Confrontando esses dados com o gráfico identificamos que ele não está representando esse sistema. 5. Resolvendo pelo método da adição, temos: x + y = 10 x y = 6 x + 0 = 16 x = 16 x = 16 x = 8 Substituindo x na equação x + y = 10, temos: x + y = y = 10 y = 10 8 y = 15

16 Portanto, a solução da equação é o par ordenado (8,) Graficamente temos: 16