SISTEMAS DE EQUAÇÕES 2x2

Transcrição

1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES x 1 Introdução Em um estacionamento, entre carros e motos, há 14 veículos Qual é o número exato de carros e motos? Se representarmos o número de carros por x e o número de motos por y, temos a seguinte equação: x y 14 No entanto, podemos facilmente verificar que há várias respostas possíveis: 1 carros + motos = 14 veículos 6 carros + 8 motos = 14 veículos 7 carros + 7 motos = 14 veículos Para restringir nossa resposta a somente uma solução possível, temos que dar mais alguma informação sobre esses carros e as motos Se dissermos que há um total de 48 rodas nesse estacionamento, temos a seguinte equação: 4xy 48 equações (1º grau, º grau) Para explicar, vamos usar o exemplo da introdução: Em um estacionamento, entre carros e motos, há 14 veículos Sabe-se que o número total de rodas nesse estacionamento é de 48 rodas Quantas motos e carros há nesse estacionamento: Construindo o sistema, temos: x y 14 4xy 48 O método da substituição consiste em isolar qualquer incógnita em qualquer uma das equações e substituir a expressão correspondente a essa incógnita na outra equação Complicado? Vamos fazer passo a passo Vamos isolar o valor de x na primeira equação do sistema: x y 14 x14 y São 4 rodas por carro e rodas por moto Temos então o que chamamos de sistema de duas equações com duas incógnitas, ou sistema x x y 14 4xy 48 Note que somente para x 10 e y 4 o sistema é atendido nas duas equações: Neste capítulo vamos descobrir métodos para a resolução de sistemas método da substituição O método da substituição é o mais eficiente na resolução de sistemas de duas incógnitas, pois serve para qualquer tipo de sistema de duas Na segunda equação, substituímos x pela expressão isolada Note que após a substituição, temos somente uma equação de uma incógnita para resolver: 4x y 48 4(14 y) y y y y 48 y 8 y 8 y 4 Já descobrimos o valor de y Agora precisamos descobrir o valor de x Basta substituir o valor de y que a gente descobriu em qualquer uma das equações: x 14 y x 14 4 x 10 Prof Diego Medeiros Escola Preparatória da UFABC 9

2 Capítulo Sistemas de equações x Agora já sabemos a resposta O sistema possui somente uma solução e esta é 10,4 Vejamos, agora, outros exemplos: S x 7 Determine a solução do sistema 3x5y 0 Isolamos a incógnita: x 7 x 7 7 x Substituímos na outra equação do sistema: 3x 5y y 0 1 9y 5y 0 19y10y 40 19y y 19 y 1 Agora substituímos Vamos escolher a isolada: 7 x 7 3( 1) x x 5 A solução então é 5, 1 S x y 1 Determine a solução do sistema 3 x 3( y ) 4 Neste caso, antes de isolar, convém deixar as duas equações na forma ax + by = c x y 1 3 3x 6 y 6 6 3x6 y 3xy 6 x 3( y ) 4 x 6 4 x 3xy 6 Temos então um novo sistema: x Nesse caso, convém isolar x na segunda equação e com o resultado, substituir na isolada: x x 3x y 6 3 y 6 x 9y 6 y 6 x 30 7 y 0 y 0 A solução então é,0 S x O método da substituição também serve para a resolução de sistemas de equações do º grau Vejamos um exemplo: x² 6xy Resolva o sistema x y 4 Nesse caso, a primeira equação é do º grau e a segunda, do 1º grau Convém isolar a incógnita na segunda equação x y 4 x 4 y Substituindo, na outra equação, x pelo seu valor 4 y temos: x² 6xy (4 y) ² 6(4 y) y 16 8y y² 6 4 y y² y² 1y 10 0 : y² 6y Prof Diego Medeiros Escola Preparatória da UFABC

3 Capítulo Sistemas de equações x Temos uma equação do º grau para resolver Resolvemos por Bháskara: y² 6y 5 0 b² 4 ac ( 6)² y1 5 b ( 6) y a y 1 Temos dois valores para y Substituímos duas vezes: Para y 5 x 4 5 x 1 Para y 1 x 4 1 x 3 A solução do sistema é então dada por dois pares ordenados: ( 1, 5) e (3, 1) Logo, 1,5 ; 3,1 S x 1 y 4 f) y x 3 3x 5y ( x y) 1 g) 3( x 3 y) x x y x y 5 3 h) x y x( y) i) x y x 10 x y 9 j) xy 14 EXERCÍCIOS DE TREINO 1 Determine a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações nas incógnitas x e y x y 0 a) x y 8 x5y b) y² 7 3x x y 3 c) x 6 x 5y 4 d) 3x y 4 3 método da adição Você já deve ter percebido, pelos exemplos e pelos exercícios, que para resolver um sistema de duas equações é preciso chegar a uma só equação com uma só incógnita Já fizemos isso usando o método da substituição Veremos, agora, como resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas usando o método da adição Atenção: o método da adição só é aplicado para a resolução de sistemas de equações do 1º grau, ou como veremos no capítulo 5, sistemas lineares Para demais casos, o método da substituição funciona prática e corretamente Para mostrar o método, vamos usar um exemplo: e) x y x y² 35 Vamos resolver o seguinte sistema 5x 1 x 14 Podemos observar que as duas equações possuem termos opostos ( na primeira e na Prof Diego Medeiros Escola Preparatória da UFABC 11

4 Capítulo Sistemas de equações x segunda) Portanto, se somarmos as duas equações, teremos uma só equação com uma só incógnita: 5x 1 x 14 7x 35 x 5 Agora, basta substituir x por 5 em qualquer uma das equações do sistema: 5x y 4 3 Logo, a solução do sistema é Vejamos agora outros exemplos: 4 S 5, 3 5x Vamos resolver o sistema 4xy 6 Observando as duas equações, vemos que de nada serve somar as duas equações, pois esse processo não eliminará nenhuma incógnita Vamos então utilizar um recurso: Multiplicamos todos os termos da 1ª equação por Multiplicamos todos os termos da ª equação por 3 5x () 10x 6y 4 4x y 6(3) 1 x 6y 18 Agora sim temos equações com termos opostos Vamos somá-las: 10x6y 4 1 x6y 18 x x 1 Finalmente, vamos substituir x por 1 em qualquer uma das equações do sistema e teremos: 5x y 1 Logo, a solução do sistema é 1, 1 EXERCÍCIOS DE TREINO S Determine a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações nas incógnitas x e y x y 3 a) x y 18 6x 0 b) 4x 40 7x6y 3 c) 5x6y 1 8x5y 11 d) 4x5y3 x11 e) x7y1 x y 1 f) x y 6 3 y ( x 1) 3 g) 1 5x 3 y 1 Prof Diego Medeiros Escola Preparatória da UFABC

5 Capítulo Sistemas de equações x 3( x ) ( y 3) h) 18( y ) y 3(x 3) x y x y 5 i) 3x y ( x 1) 3( y ) x j) x y1 4 4 problemas envolvendo sistemas A dificuldade da maioria dos problemas está em interpretar o problema numa situação matemática Vamos resolver dois problemas que envolvem sistemas de equações de duas incógnitas: Em um terreno de 1050 m² vai ser construída uma casa Fica estabelecido que a parte reservada ao jardim deve ter 40% da área ocupada pela construção Qual deve ser a área ocupada pela construção e pelo jardim? Vamos indicar por: x: a área ocupada pela construção y: a área ocupada pelo jardim Lembrando que seguinte sistema: 40 40%, podemos formar o x x x x x 550 x 750 Substituímos na equação isolada: y x 5 y y 300 Logo, a área construída será de 750 m² e o jardim terá 300 m² Carlos tinha 5 anos quando Eduardo nasceu Atualmente, a razão entre os quadrados das idades de Eduardo e Carlos é 4 Determine a idade atual 9 de cada um Vamos representar por x a idade de Carlos e y a idade de Eduardo Se Carlos tinha 5 anos quando Eduardo nasceu, então a diferença de idades é de 5 anos Montamos então o sistema: x y 5 y² 4 x² 9 Resolvendo o sistema, temos: x y 1050 y x 5 No caso, y já está isolado, basta substituir na 1ª equação: x y 5 x y5 y² 4 x² 9 y² 4 ( y 5)² 9 9 y² 4( y² 10y 5) 5 y² 10y 5 0 y² 8y 0 0 x y5 x 10 5 x 15 y 10 y 1 Logo, Carlos tem 15 anos e Eduardo, 10 anos Prof Diego Medeiros Escola Preparatória da UFABC 13

6 Capítulo Sistemas de equações x LISTA DE EXERCÍCIOS 1 A soma de dois números é 169 e a diferença entre eles é 31 Quais são os dois números? A soma de dois números é 110 O maior deles é igual ao triplo do menor menos 18 unidades Quais são os dois números? 3 Um terreno retangular tem 18 m de perímetro O comprimento tem 0m a mais que a largura Determine as dimensões desse terreno e a área 4 A 7ª série A tem 47 alunos No dia da eleição para o representante dessa série no conselho de escola, faltaram 5 alunos e dois se apresentaram como candidatos Feita a votação e a apuração, verificou-se que o vencedor teve 8 votos a mais que o perdedor Quantos votos o candidato vencedor recebeu? fazenda é de 40 km² Quais são as dimensões da fazenda? 10 Um galpão tem 96 m² de área Se aumentarmos o comprimento desse galpão em 3 m e a largura em m, a área do galpão passa a ser de 150 m² Calcule as dimensões originais do galpão 11 Se você dividir um número real positivo x por um número real positivo y vai encontrar 3 como resultado Se o quadrado do número y é igual ao número x aumentado de 10 unidades, determine os dois números 1 A soma das áreas de dois quadrados distintos é igual a 5 cm² Sabendo que a diferença entre as medidas do lado dos quadrados é igual a cm, calcule a área de cada quadrado 5 Duas pessoas têm juntas 70 anos Subtraindo-se 10 anos de idade da mais velha e acrescentando os mesmos 10 anos à idade da mais jovem, as idades ficam iguais Qual é a idade de cada pessoa? 6 Pelo regulamento de um torneio de basquete, cada partida que a equipe ganha vale pontos, e a cada uma que perde, 1 ponto A equipe de basquete do colégio A, disputando um torneio, jogou 10 vezes e já acumulou 16 pontos Quantos jogos a equipe A já venceu? 7 Uma tábua tinha 35 cm de comprimento e foi dividida em 3 partes A primeira delas tem 85 cm de comprimento e a segunda tem o dobro do comprimento da segunda parte Quais são os comprimentos dessas partes desconhecidas? 8 Em um terreiro, tem-se galinhas e carneiros, num total de 1 animais e 50 pés Quantos animais de cada espécie há nesse terreiro? 9 Um fazendeiro, percorrendo com um jipe todo o contorno de sua fazenda, de forma retangular, perfaz exatamente 6 km A área ocupada pela 14 Prof Diego Medeiros Escola Preparatória da UFABC