Sistemas Lineares. Prof. Márcio Nascimento

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1 Sistemas Lineares Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial [email protected] 17 de julho de / 43

2 Sumário 1 Equações Lineares 2 Sistemas Lineares 3 Busca por soluções 4 Eliminação Gaussiana 2 / 43

3 Sumário 1 Equações Lineares 2 Sistemas Lineares 3 Busca por soluções 4 Eliminação Gaussiana 3 / 43

4 Identifique as equações lineares: y = 4x 8 2 x = 3y + z 8 x 1 2x 2 = 4x 3 4x xy = z 2 9x 2 y 2 = 5 5 x + 3 y = xy 4 / 43

5 Identifique as equações lineares: y = 4x 8 2 x = 3y + z 8 x 1 2x 2 = 4x 3 4x xy = z 2 9x 2 y 2 = 5 5 x + 3 y = xy 5 / 43

6 EQUAÇÃO LINEAR Definição Uma equação linear é uma expressão que pode ser transformada em uma igualdade entre um polinômio de grau 1 e uma constante. 6 / 43

7 FORMA GERAL DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Definição (Equação Linear em Duas Variáveis) Uma equação linear nas variáveis x e y é uma expressão do tipo ax + by = k onde a, b, k são constantes (reais ou complexas). Definição (Equação Linear em Três Variáveis) Uma equação linear nas variáveis x, y e z é uma expressão do tipo ax + by + cz = k onde a, b, c, k são constantes (reais ou complexas). 7 / 43

8 FORMA GERAL DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Definição (Equação Linear em Várias Variáveis) Uma equação linear nas variáveis x 1, x 2,..., x n é uma expressão do tipo a 1 x 1 + a 2 x a n x n = k onde a 1, a 2,..., a n, k são constantes (reais ou complexas). As constantes a 1, a 2,..., a n são os coeficientes e k é o termo independente. 8 / 43

9 EXEMPLOS: 3x + y = 5: equação linear nas variáveis x e y x + y 2z = 8: equação linear nas variáveis x, y e z 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 + x 5 = 0: equação linear nas variáveis x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 9 / 43

10 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Considerando a equação linear 2x + y = 1 que valores de x e de y tornam a igualdade verdadeira? 10 / 43

11 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Já para a equação linear 3x + 2y z = 0 que valores de x, y, z satisfazem à igualdade? 11 / 43

12 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Definição (Solução de uma equação linear) Uma solução para uma equação linear a 1 x 1 + a 2 x a n x n = k é o conjunto de valores ξ 1, ξ 2,..., ξ n que alocados nas posições das variáveis x 1, x 2,..., x n respectivamente, tornam a igualdade verdadeira. 12 / 43

13 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Uma equação linear sempre possui solução? a 1 x 1 + a 2 x a n x n = k 13 / 43

14 Sumário 1 Equações Lineares 2 Sistemas Lineares 3 Busca por soluções 4 Eliminação Gaussiana 14 / 43

15 Na Loja do Corinthians, camisas brancas e camisas azuis têm preços diferentes. Kátia comprou 12 camisas azuis e 7 camisas brancas. Pagou R$ 3.071,00. Já Natanel pagou R$ 2.842,00 por 8 camisas azuis e 10 camisas brancas. Qual o modelo matemático para esta situação? 15 / 43

16 Temos, então, duas pistas (equações lineares) para descobrir o preço de cada modelo de camisa. Vamos ver as possibilidades de cada uma delas: Na equação 12x + 7y = 3071, temos: y x = 12 y = 49 = x = 227, 33 y = 89 = x = 204 y = 149 = x = 169 Já na equação 8x + 10y = 2842, temos: y = 49 = x = 294 y = 89 = x = 244 y = 149 = x = 169 x = y 8 16 / 43

17 Portanto, com base em observações vemos que se a camisa azul custa R$ 169,00 e a camisa branca custa R$ 149,00, ou seja, temos uma mesma solução (169, 149) para as duas equações! { 12x + 7y = x + 10y = 2842 (169, 149) é solução para cada uma das equações. 17 / 43

18 SISTEMA LINEAR Definição (Sistema Linear) Um sistema de equações lineares ou simplesmente, sistema linear nada mais é do que um conjunto de equações lineares. A solução de uma sistema linear é o conjunto de valores (reais ou complexos) que é solução para TODAS AS EQUAÇÕES que o compõe. 18 / 43

19 EXEMPLO: 2x 1 + 4x 2 7x 3 + 2x 4 = 5 3x 1 2x 2 + 2x 3 3x 4 = 5 4x 1 + 3x 2 2x 3 + 4x 4 = 2 tem (1, 0, 1, 0) como uma solução. 19 / 43

20 EXEMPLOS: Dado o sistema linear S { 12u 4v = 4 3u 2v = 1 seria (1, 2) uma solução para S? Dado o sistema linear x + 2y + 3z + 4w = 30 2x + 3y + 4z + w = 24 S 3x + 4y + z + 2w = 22 4x + y + 2z + 3w = 23 seria (1, 2, 3, 4) uma solução para S? 20 / 43

21 Sumário 1 Equações Lineares 2 Sistemas Lineares 3 Busca por soluções 4 Eliminação Gaussiana 21 / 43

22 BUSCA POR SOLUÇÕES Até agora vimos como reconhecer uma solução para um sistema. Agora vamos determiná-las! Estratégia: Simplificar o sistema, obtendo um novo e resolvendo-o. 22 / 43

23 OPERAÇÕES ELEMENTARES Veremos agora algumas manipulações que podemos fazer com as equações de um sistema linear sem que isso altere sua solução. 1. Permuta de Equações: Dado um sistema linear S, ao permutarmos duas de suas equações obtemos um novo sistema, S. Obviamente, a troca de posições entre equações não altera a solução do sistema. 23 / 43

24 OPERAÇÕES ELEMENTARES EXEMPLO: Considere o sistema 3x + 2y z + 2w = 15 (E 1 ) x + 3y + 2z w = 2 (E S 2 ) 4x + 8y 7z + w = 5 (E 3 ) 7x y z + 2w = 2 (E 4 ) Permutando as equações E 2 e E 4, teremos 3x + 2y z + 2w = 15 S 7x y z + 2w = 2 4x + 8y 7z + w = 5 x + 3y + 2z w = 2 24 / 43

25 OPERAÇÕES ELEMENTARES 2. Multiplicação de equação por escalar: Tomando uma das equações do sistema linear S e multiplicando-a por uma constante c (ambos os membros!) obtemos um novo sistema linear, S. 25 / 43

26 OPERAÇÕES ELEMENTARES EXEMPLO: Considerando novamente o sistema 3x + 2y z + 2w = 15 (E 1 ) x + 3y + 2z w = 2 (E S 2 ) 4x + 8y 7z + w = 5 (E 3 ) 7x y z + 2w = 2 (E 4 ) Multipliquemos a equação E 3 por 4. Obtemos 3x + 2y z + 2w = 15 S x + 3y + 2z w = 2 16x 32y + 28z 4w = 20 7x y z + 2w = 2 26 / 43

27 OPERAÇÕES ELEMENTARES OBSERVAÇÃO: Multiplicar uma equação (ambos os membros) por uma constante β (real ou complexa) não altera a sua solução. Por exemplo, considere a equação 2x 3y + 4z = 20 que tem como uma de suas soluções (1, 2, 3) Multiplicando ambos os membros por 3, obtemos a seguinte equação: 6x + 9y 12z = 60 e observe que (1, 2, 3) segue sendo solução, pois 6.(1) + 9.( 2) 12.(3) = 60 Como generalizar este resultado? 27 / 43

28 OPERAÇÕES ELEMENTARES 3. Adição de equações: Podemos realizar a adição entre duas equações do sistema linear S de modo a obter uma terceira equação linear. Esta, substituindo uma das duas primeiras, faz parte de um novo sistema, S. 28 / 43

29 OPERAÇÕES ELEMENTARES Novamente, tomemos 3x + 2y z + 2w = 15 (E 1 ) x + 3y + 2z w = 2 (E S 2 ) 4x + 8y 7z + w = 5 (E 3 ) 7x y z + 2w = 2 (E 4 ) Vamos substituir E 1 pela soma E 1 + E 2. 2x + 5y + z + w = 13 (E 1 + E 2 ) S x + 3y + 2z w = 2 4x + 8y 7z + w = 5 7x y z + 2w = 2 29 / 43

30 OPERAÇÕES ELEMENTARES Essa operação elementar, também não altera a solução do sistema: Considere, por exemplo, as equações: (E 1 ) x + 2y + 3z + 4w = 7 (E 2 ) 2x + 3y 2z w = 0 Observe que (1, 1, 0, 1) é solução para ambas. Somando E 1 e E 2, temos: (E 1 + E 2 ) x + 5y + z + 3w = 7 e (1, 1, 0, 1) é também solução para E 1 + E 2, pois: (1) + 5.(1) + (0) + 3.(1) = 7 Como generalizar este resultado? 30 / 43

31 OPERAÇÕES ELEMENTARES ATIVIDADE: Dado o sistema S 3x + 2y z + 2w = 15 (E 1 ) x + 3y + 2z w = 2 (E 2 ) 4x + 8y 7z + w = 5 (E 3 ) 7x y z + 2w = 2 (E 4 ) Obtenha o sistema S realizando as seguintes operações elementares: Permuta das equações E 1 e E 3 ; Multiplicação da (nova) equação E 3 por 2; Soma das equações E 2 + E 4 no lugar de E 4 ; 31 / 43

32 OPERAÇÕES ELEMENTARES OBSERVAÇÃO A combinação de operações elementares não altera a solução do sistema. 32 / 43

33 OPERAÇÕES ELEMENTARES EXEMPLO: Considere o sistema: x 2y + 5z = 1 (E 1 ) S 2x 3y + z = 0 (E 2 ) 3x + 4y + 2z = 9 (E 3 ) Podemos multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda equação por 1: 2x 4y + 10z = 2 (E 1) 2x + 3y z = 0 (E 2) Somando (E 1 + E 2 ) e colocando no lugar de (E 2): x 2y + 5z = 1 S y + 9z = 2 3x + 4y + 2z = 9 33 / 43

34 OPERAÇÕES ELEMENTARES EXEMPLO: Resumindo, fizemos o seguinte: x 2y + 5z = 1 (E 1 ) S 2x 3y + z = 0 (E 2 ) (2.E 1 E 2 ) 3x + 4y + 2z = 9 (E 3 ) S x 2y + 5z = 1 y + 9z = 2 3x + 4y + 2z = 9 Além disso, por se tratarem de operações elementares, não haverá alteração de solução!!! 34 / 43

35 Definição (Sistemas Equivalentes) Quando dois sistemas lineares S e S tem as mesmas soluções, dizemos que eles são equivalentes. 35 / 43

36 Sumário 1 Equações Lineares 2 Sistemas Lineares 3 Busca por soluções 4 Eliminação Gaussiana 36 / 43

37 Eliminação Gaussiana Como já foi dito anteriormente, nossa estratégia é simplificar o sistema S, obtendo S, e resolver o segundo. Usaremos as operações elementares para simplificar o sistema dado! 37 / 43

38 Eliminação Gaussiana DESAFIO Usando operações elementares, transforme o sistema S no sistema S : S S x 2y + 5z = 11 2x 3y + z = 4 3x + 4y + 2z = 7 x 2y + 5z = 11 y 9z = 18 77z = / 43

39 DESAFIO S x 2y + 5z = 11 y 9z = 18 77z = 154 Observe que as operações elementares foram feitas de modo a: Diminuir o número de variáveis a cada equação. Iniciamos por zerar todos os coeficientes abaixo do primeiro coeficiente não nulo (o PIVOT) da primeira equação. Em seguida, zeramos os coeficientes abaixo do primeiro coeficiente não nulo (o próximo PIVOT) da segunda equação. Como tudo correu bem, a última equação está em apenas uma variável, a saber, z. 39 / 43

40 DESAFIO S x 2y + 5z = 11 y 9z = 18 77z = 154 Deste modo, podemos resolver o sistema S usando SUBSTITUIÇÃO REVERSA: Terceira equação: 77z = 154 = z = 2 Segunda equação: y 9z = 18 = y = 9z 18 = y = 0 Terceira equação: x 2y + 5z = 11 = x = y 5z = x = 1 Assim, a solução do sistema é: (1, 0, 2). Atente para a ordem em que a solução é exibida: deve-se respeitar a ordem em que as variáveis aparecem no sistema! 40 / 43

41 EXERCÍCIO Usando Eliminação Gaussiana, resolva: x 2y + 5z = 1 S 2x 3y + z = 0 3x + 4y + 2z = 9 Resposta... ( , 82 77, 8 ) / 43

42 EXERCÍCIO Usando Eliminação Gaussiana, resolva: Resposta... (1, 1, 1, 1) S x 2y + 2z + w = 2 2x + 4y 3z + 2w = 5 3x + 4y z + 7w = 7 2x + 5y + z 2w = 6 42 / 43

43 EXERCÍCIO Usando Eliminação Gaussiana, resolva: S Resposta... ( 73 58, , , 50 29, 39 ) 29 2x + 2y 2z + 2w + t = 3 x + y 5z + w 2t = 0 5x + y + 3z w + 3t = 8 2x + 5y + z 2w 2t = 5 x + y z + w t = 1 43 / 43