Determinantes. Prof. Márcio Nascimento

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1 Determinantes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial de fevereiro de / 32

2 Sumário 1 Permutações 2 Determinante 3 Casos Particulares 4 Matrizes elementares 2 / 32

3 Sumário 1 Permutações 2 Determinante 3 Casos Particulares 4 Matrizes elementares 3 / 32

4 Uma permutação de (1, 2, 3,..., n) é uma disposição qualquer desses números. Ex: (3, 2, 1) é uma permutação de (1, 2, 3) Ex: (5, 3, 1, 4, 2) é uma permutação de (1, 2, 3, 4, 5) Ex: (1, 2, 3, 4, 5, 6) é uma permutação de (1, 2, 3, 4, 5, 6) 4 / 32

5 Podemos reordenar uma permutação de modo a obter a sequência natural (1, 2, 3,..., n) trocando os elementos de posição dois a dois. Por exemplo, considere a permutação (5, 3, 1, 2, 4). Vamos realizar trocas de posição entre dois elementos até que obtenhamos a sequência (1, 2, 3, 4, 5). Troca 01:(5, [3], [1], 2, 4) (5, [1], [3], 2, 4); Troca 02:(5, 1, 3, [2], [4]) (5, 1, 3, [4], [2]); Troca 03:([5], 1, 3, 4, [2]) ([2], 1, 3, 4, [5]); Troca 04:([2], [1], 3, 4, [5]) ([1], [2], 3, 4, 5); 5 / 32

6 Portanto, foram necessários k = 4 passos para reordenar a permutação (5, 3, 1, 2, 4). Como k é um número par, dizemos que a permutação é par. Mesmo que tentemos outro caminho na reordenação, também será necessário um número par de trocas. Se tomássemos (5, 1, 3, 2, 4), esta seria uma permutação ímpar. Daí, atribuimos um sinal à paridade da permutação, o número σ(p); Se uma permutação p é par, então σ(p) = +1; Se uma permutação p é ímpar, então σ(p) = 1; 6 / 32

7 Sumário 1 Permutações 2 Determinante 3 Casos Particulares 4 Matrizes elementares 7 / 32

8 Considere uma matriz quadrada de ordem 3 3 a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Escolhamos um elemento em cada linha de A de modo que não se repita a coluna. Por exemplo: A = a 11 [a 12 ] a 13 a 21 a 22 [a 23 ] [a 31 ] a 32 a 33 Assim, ordenando por linha, a sequência escolhida foi: (a 12, a 23, a 31 ) 8 / 32

9 Observe o segundo índice de cada elemento do conjunto (a 12, a 23, a 31 ) Temos o conjunto p = (2, 3, 1), que é uma permutação de (1, 2, 3) Tal permutação é par pois σ(p) = +1 (duas trocas são necessárias!); Consideremos, então, o produto σ(p).a 12.a 23.a 31 9 / 32

10 Retornando a matriz A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Podemos fazer o mesmo procedimento com as outras possibilidades, como por exemplo: A = [a 11 ] a 12 a 13 a 21 [a 22 ] a 23 a 31 a 32 [a 33 ] (a 11, a 22, a 33 ), p = (1, 2, 3) e σ(p) = +1 E consideramos o produto σ(p).a 11.a 22.a / 32

11 Tomando, então, todas as possibilidades para a matriz A, teremos os seguintes produtos: σ(p).a 11.a 22.a 33, onde p = (1, 2, 3), σ(p) = +1 σ(p).a 12.a 23.a 31, onde p = (2, 3, 1), σ(p) = +1 σ(p).a 13.a 21.a 32, onde p = (3, 1, 2), σ(p) = +1 σ(p).a 13.a 22.a 31, onde p = (3, 2, 1), σ(p) = 1 σ(p).a 11.a 23.a 32, onde p = (1, 3, 2), σ(p) = 1 σ(p).a 12.a 21.a 33, onde p = (2, 1, 3), σ(p) = 1 11 / 32

12 Definimos o determinante de A como a soma de todos os produtos definidos anteriormente, isto é: det(a) = σ(p).a 11.a 22.a 33 + σ(p).a 12.a 23.a 31 + σ(p).a 13.a 21.a 32 + σ(p).a 13.a 22.a 31 + σ(p).a 11.a 23.a 32 + σ(p).a 12.a 21.a 33 Ou, usando notação de somatório, det(a) = p σ(p)a 1p1.a 2p2.a 3p3 onde p = (p 1, p 2, p 3 ) é uma permutação de (1, 2, 3). 12 / 32

13 A ideia usada para matrizes de ordem 3 3 pode ser estendida para matrizes quadradas de ordem n n: det(a) = p σ(p)a 1p1.a 2p2..a npn onde p = (p 1, p 2,..., p n ) é uma permutação de (1, 2,..., n). 13 / 32

14 Sumário 1 Permutações 2 Determinante 3 Casos Particulares 4 Matrizes elementares 14 / 32

15 A partir da definição, vimos que para o caso de matrizes 2 2, o deteminante era a diferença entre os produtos das diagonais: ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 det(a) = a 11.a 22 a 12.a / 32

16 De modo análogo, deduzimos a regra de Sarrus para os determinantes de matrizes de ordem 3 3: A = a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 det(a) = a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 13.a 21.a 32 a 13.a 22.a 31 a 11.a 23.a 32 a 12.a 21.a / 32

17 Qual o determinante da matriz abaixo? Resposta A = / 32

18 Qual o determinante de uma matriz triangular? det(a) = a 11.a 22..a nn 18 / 32

19 O que acontece com o determinante da transposta A T? det(a T ) = det(a) 19 / 32

20 Observações: Suponha que uma matriz quadrada de ordem 20 tem uma coluna completamente nula. O que se pode dizer sobre o determinante desta matriz? 20 / 32

21 Considere a matriz 1 α 0 A = Para qual (ou quais) valor(es) de α tem-se det(a) = 0? Neste caso, qual o posto de A? Há colunas não básicas? Em caso afirmativo, como se escrevem em termos das colunas básicas? 21 / 32

22 Sumário 1 Permutações 2 Determinante 3 Casos Particulares 4 Matrizes elementares 22 / 32

23 Considere a matriz identidade de ordem n n I = Lembrando que as operações elementares sobre as linhas de uma matriz são: 1 Permuta de linhas; 2 Multiplicação de linha por escalar; 3 Combinação de linhas; Uma matriz elementar é aquela obtida de I a partir da aplicação de uma operação elementar sobre as suas linhas 23 / 32

24 O que acontece com o determinante de uma matriz elementar? 1 Mudança de linha, provoca mudança no sinal do determinante; 2 Multiplicação de linha por escalar α, significa multiplicar o deteminante por α 3 Combinação de linhas não altera o determinante. 24 / 32

25 Dada uma matriz A quadrada, o que acontece se fizermos o produto E.A onde E é uma matriz elementar? Considere a matriz A = Considere a matriz E 1 = Qual o resultado de E 1.A? E 1.A = / 32

26 Considerando ainda a matriz A = elementares E 2 = Qual o resultado de E 2.A? Qual o resultado de E 3.A? , E 3 = e as matrizes 26 / 32

27 Conclusão: Aplicar uma operação elementar em uma matriz A corresponde ao produto E.A onde E é a matriz elementar correspondente a operação sobre as linhas de A 27 / 32

28 Teorema Sejam A e B matrizes de ordem n n. Então det(ab) = det(a).det(b) Daí, se realizarmos uma operação elementar em A, estaremos mudando o determinante de A de acordo com o que vimos anteriormente para as matrizes elementares. 28 / 32

29 Exemplo [ ] 3 2 Considere a matriz A =. 1 1 Se E 1 é a matriz de ordem 2 2 obtida por meio de permutação entre as linhas de I 2, determine E 1.A. Se E 2 é a matriz de ordem 2 2 obtida de I 2 pela multiplicação de sua linha 2 por 1, determine a matriz 3 E 2.E 1.A. Se E 3 é a matriz de ordem 2 2 obtida de I 2 pela substituição de sua linha 2 pela soma das linhas 1 e 2, determine a matriz E 3.E 2.E 1.A. Qual o determinante da matriz E 3.E 2.E 1.A? Qual o determinante da matriz A? 29 / 32

30 Exemplo No exemplo anterior, aconteceu o seguinte: Construímos a matriz T = E 3.E 2.E 1.A onde E 3, E 2, E 1 são matrizes elementares! Veja que T é uma matriz triangular, cujo determinante é simplesmente o produto dos elementos de sua diagonal principal. Pelo teorema anterior, dett = dete 3.detE 2.detE 1.detA Ou seja, dett deta = dete 3.detE 2.detE 1 30 / 32

31 Generalizando, deta = dett dete k.dete k 1..detE 1 Veja que se ao final do escalonamento, a matriz não tiver posto máximo, então o(s) último(s) elemento(s) da diagonal principal é(são) nulo(s). Isso significa que det T = 0 e, consequentemente, det A = 0. TEOREMA Se A é uma matriz de ordem n n, então det A 0 se, e somente se, posto(a) = n. 31 / 32

32 Exemplo Exemplo: Calcular o determinante de A = Resposta / 32