Matriz, Sistema Linear e Determinante

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1 Matriz, Sistema Linear e Determinante 1.0 Sistema de Equações Lineares Equação linear de n variáveis x 1, x 2,..., x n é uma equação que pode ser expressa na forma a1x1 + a 2 x a n x n = b, onde a 1, a 2,..., a n são constantes não todas nulas e b mais uma constante. Se b = 0, a equação é denominada equação linear homogênea. Uma coleção finita de equações lineares é denominada um sistema de equações lineares, ou sistema linear. Suas variáveis são chamadas de incógnitas. Solução de um sistema linear nas incógnitas x 1, x 2,..., x n é uma sequência de n números s 1, s 2,..., s n, tais que, se substituídas nos lugares das incógnitas, respectivamente, tornam verdadeira cada equação do sistema. O conjunto de soluções de um sistema linear é denominado conjunto-solução. Um sistema linear é consistente se houver pelo menos 1 solução e inconsistente se não existir solução. Teorema 1: Cada sistema de equações lineares tem nenhuma, uma ou uma infinidade de soluções, não havendo outras possibilidades. Operações elementares sobre as linhas: Multiplicar toda uma linha por uma constante não-nula. Trocar 2 linhas de posição. Somar um múltiplo de uma linha a outra linha.

2 2.0 Resolução de Sistemas Lineares usando Redução por Linhas Forma escalonada reduzida entre linhas (FERL): Se a linha não é totalmente constituída de zeros, então o primeiro número não-nulo na linha é 1, que denominamos de pivô. Se existem linhas totalmente constituídas por zeros, então elas estão agrupadas na base da matriz. Em 2 linhas quaisquer que não são totalmente agrupadas por zeros, o pivô da linha inferior ocorre mais a direita do que o pivô da linha superior. Se R é a FERL de uma matriz A de tamanho nxn, então R tem uma linha de zeros ou R é a matriz identidade In. Eliminação de Gauss-Jordan: Etapa para frente: introduzem-se os zeros abaixo dos pivôs. Etapa para trás: introduzem-se os zeros acima dos pivôs. Se somente usarmos a primeira etapa, o procedimento é chamado eliminação gaussiniana / de Gauss. Pivotamento parcial: Nas eliminações de Gauss-Jordan e de Gauss é procedimento padrão efetuar uma troca de linhas a cada passo para colocar a entrada de maior valor absoluto na posição de pivô antes de introduzir o pivô. Retrossubstituição: Cada equação correspondente à forma escalonada por linhas é, sistematicamente, substituída na equação acima dela, começando da base e avançando para cima. Solução trivial: Um sistema homogêneo é um conjunto de equações homogêneas em que se observa que x 1 = x 2 =... = x n = 0, sendo esta uma solução trivial. Qualquer outra solução é denominada solução não-trivial.

3 Teorema 2: Um sistema linear homogêneo possui somente a solução trivial ou tem uma infinidade de soluções, não havendo outras possibilidades. Teorema 3: Um sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações possui uma infinidade de soluções. 3.0 Operações com Matrizes Duas matrizes são definidas como iguais se têm o mesmo tamanho e suas entradas são correspondentes. Se A é uma matriz quadrada e se existe uma matriz B de mesmo tamanho que A tal que AB = BA = I, dizemos que A é invertível / não-singular e que B é uma inversa. A e B são inversas uma da outra, pois AB = BA. Teorema 4: Se A é uma matriz invertível e B e C são ambas inversas de A então B = C, ou seja, uma matriz invertível tem uma única inversa. Teorema 5: Se A é invertível e n é um número inteiro não-negativo, então:

4 Matrizes elementares: Uma matriz que resulta de uma única operação elementar sobre linhas de uma matriz identidade. São sempre quadradas. Teorema 6: Uma matriz elementar é invertível e a inversa também é uma matriz elementar. Teorema 7: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são equivalentes: A FERL de A é I n. A pode ser expresso como um produto de matrizes elementares. A é invertível. Algoritmo de Inversão: Para encontrar a inversa de uma matriz invertível A, encontre a sequência de operações elementares que reduz A a I e então efetue a mesma sequência de operações em I para obter A -1. Maneira de Executar as tarefas simultaneamente: Se I não aparecer, A não é invertível. Se obtivermos uma linha de zeros do lado esquerdo, A não é invertível. Teorema 8: Se Ax = B é um sistema linear de n equações a n incógnitas e se a matriz de coeficientes A é invertível, então o sistema tem uma única solução, a saber, x = A -1 B.

5 4.0 Determinantes Produto elementar de uma matriz A de tamanho mxn é o produto de n entradas de A tais que não há 2 delas da mesma linha ou da mesma coluna. Assim, se A = [a ij ], então cada produto elementar pode ser expresso na forma a 1 j 1 a 2 j 2...a n j n onde os índices de coluna constituem uma permutação {j 1, j 2,..., j n } dos inteiros 1 à n, e os índices de linha estão ordenados naturalmente. A permutação é par ou ímpar se o número mínimo de trocas que são necessárias para colocar a permutação em ordem natural é par ou ímpar. Se a permutação for par, o sinal dela é positivo, se ímpar, negativo. O determinante de uma matriz quadrada A é denotado por det(a) e definido como a soma de todos os produtos elementares com sinal de A: O número de produtos elementares com sinal num determinante nxn é n!. Teorema 9: Se A é uma matriz quadrada com linha ou coluna de zeros, então det(a) = 0. Teorema 10: Se A é uma matriz triangular então det(a) é o produto das entradas na diagonal principal. Se A é uma matriz quadrada, então o menor da entrada a ij é denotado por M ij e definido como o determinante da submatriz que sobra quando suprimimos de A a i-ésima linha e j-ésima coluna. O número C ij = (-1) i+j M ij é denominado cofator da entrada a ij.

6 Teorema 11: O determinante de uma matriz A de tamanho nxn pode ser calculado multiplicando as entradas de uma linha (ou coluna) qualquer pelos seus cofatores e somando os produtos assim obtidos, ou seja, para cada 1 i n e 1 j n temos 5.0 Propriedades dos Determinantes Se A é uma matriz nxn: det(a) = det(at) Se B é uma matriz que resulta quando uma única linha ou coluna de A é multiplicada por K, então det(b) = Kdet(A). Se B é uma matriz que resulta quando 2 linhas ou colunas de A são trocadas, então det(b) = det(a). Se A tem 2 linhas / colunas iguais, det(a) = 0. Se A tem 2 linhas / colunas proporcionais, det(a) = 0. Se A e B são matriz quadradas do mesmo tamanho, então det (AB) = det(a).det(b). det(a n ) = [det(a)] n. Se A é invertível, então det(a -1 ) = 1/det(A). 5.1 Regra de Cramer Teorema 12: Se as entradas de qualquer linha (ou coluna) de uma matriz quadrada são multiplicadas pelos co-fatores das entradas correspondentes de uma linha / coluna diferente, então a soma dos produtos é zero. Se A é uma matriz nxn e C ij é o cofator de a ij, então a matriz

7 é denominada matriz de cofatores de A. Sua transposta chama-se adjunta da matriz A, denominada por adj(a). Teorema 13: Se A é invertível, então Teorema 14 Regra de Cramer: Se Ax = b é um sistema linear de n equações a n incógnitas, então o sistema tem uma solução única se, e somente se, det(a) 0, caso que a solução é: onde A j é a matriz que resulta quando a j-ésima coluna de A é substituída por b. 6.0 Provas PROVA 1 SE DET(A) 0, ENTÃO A É INVERTÍVEL. Prove que se ad bc 0 então a FERL de L 1 (ad-bc)l 1 bl 2 L 2 L 2 L 1 L 1 L 2 al 2 cl 1 L 1 L 1 /a(ad-bc) L 2 L 2 /(ad-bc)

8 PROVA 2 PROVAR TEOREMA 4. Prove que se B = A -1 e C = A -1, então B = C. BA = I (BA)C = IC Como IC = C, temos: (BA)C = C Lei da associedade da multiplicação: B(AC) = C Como AC = I, temos: BI = C Como BI = B, temos: B = C PROVA 3 A É UMA MATRIZ QUADRADA INVERTÍVEL SE, E SOMENTE SE, DET(A) 0. Primeiro vamos verificar que det(a) e det(r) são ambos nulos ou não-nulos, sendo R a matriz na FERL de A. Veremos os efeitos das operações elementares sobre o determinante: Se multiplicarmos toda uma linha por uma constante não-nula K, o determinante dessa nova matriz será K.det(A). Se trocarmos 2 linhas de posição, o determinante dessa nova matriz será det(a). Se somarmos um múltiplo de uma linha a outra linha o determinante dessa nova matriz elementar não se altera. Nos 3 casos, os determinantes antes e depois das aplicações das operações elementares são ambas nulas ou não-nulas. Como R é feito por uma série de operações elementares em A, temos que se det(a) 0, det(r) 0 ou se det(a) = 0, det(r) = 0. Se R é a FERL da matriz A nxn, então R tem uma linha de zeros (det(r) = 0) ou R é uma matriz identidade In (det(r) = 1 0). Para que A seja invertível, R = I. Se det (A) 0, det(r) 0; isso implica que R = I, portanto A é invertível. Se det(a) = 0, então det(r) = 0; isso implica que R I, portanto A não é invertível.