Matemática. Resolução das atividades complementares. M3 Determinantes. 1 O valor do determinante da matriz A 5

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1 Resolução das atividades complementares Matemática M Determinantes p. 6 O valor do determinante da matriz A é: a) 7 c) 7 e) 0 b) 7 d) 7 A 7 Se a 7, b e c, determine A a b c. a 7 ; b ; c A a 8 () b () c (0) 7 A a b c 9 A Calcule o determinante da matriz A (a ij ) tal que a ij i j. 6 A (a ij) ; aij i j a a A a a ( ) 6 Resolva a equação 6 6. S {, } 6 0 ( )? ( ) 0 ou S {, }

2 Se A 0 A. 0 A A 0? A? 0 A A 0 A 0 A A Portanto, o determinante de A A é 0. 6 (ITA-SP) Considere a matriz A determinante de A. Considere as equações: log log 9 log log9 com V, 0 e e seja n o () 6 0 () 9 0 () ( ) () 0 () Pode-se afirmar que n é raiz da equação: a) () c) () e) () b) () d) () A n () 6 () log log 9 log log ; 9 IR, 0 e log log 9 log log ; l og? log9 log? log 9 n? 0? n 9 0 ( ) 0 () 9 0 () () Portanto, a equação que tem n como única raiz é a equação () e a alternativa correta é c.

3 7 Se A, calcule o valor dos determinantes de A e de At. t A A t ( ) t t ( ) t a b 8 Sendo A a b, calcule o valor do determinante de A e em seguida calcule o valor numérico desse determinante para a e b. ab(b a) (b a); 6 a b A a b a b a? b a? b ab? (b a ) ab? (b a)? (b a) a b Se a e b, temos:?? ( )? ( ) 6. Portanto, ab? (b a)? (b a) e o valor numérico é igual a 6. 9 Sejam as matrizes A e B 0 7. sim; B det B A 7 Após encontrar os determinantes de A B e de B A, podemos dizer que B det B A? A ; B A? B? B? A 0 7? ? B det B? A 7? B 7 7 det B? A 7

4 0 Se, qual o valor do det (A A)? det (A A) Seja A uma matriz de ordem, então: a b A a b c d c d ad cb A a c b d a c b d 0 a? d c? b (ad cb)? 0 Qual o valor de n para que o determinante da matriz M n seja igual a zero? n M n n det M? 0 n 0 n 0 0 n 0 n (Vunesp-SP) Seja a matriz M a b c d, em que a, b, c e d V. Se os números a, b, c e d, nessa ordem, constituem uma PG de razão q, o determinante dessa matriz é igual a: a) 0 c) q a e) q a b) d) q a a b M c d ; a, b, c e d [ V det M ad bc PG (a, b, c, d) b d a c q bc ad q det M ad bc q q det M 0

5 p. 9 Calcule o valor do determinante da matriz A A Aplicando a regra de Sarrus, temos: ( 0) Resolva a equação: S {} ( ) 0 (9 ( )) S {} Se A e B, calcule det (B) A ; B (0 0 6) B det B det B ( 0 0 8) det B 0 6 6

6 6 Calcule os determinantes das matrizes: a a d a) A b b e c c f O que você pode observar em comum nas matrizes? E nos determinantes? 7 b) B 6 8 Ambas têm determinantes iguais a zero e apresentam duas colunas proporcionais. a a d a) A b b e abf ace bcd bcd abf ace 0 c c f 7 b) B 6 8 det B Calcule o valor de det D det D log 7 log log log 6 log log 9 6 log 7 log log log 6 log log det D 8 Se A (a ij ) tal que a ij i j, calcule e t. 0 e t 0 A ( aij), aij i j a a a A a a a a a a t t A t 0 9 Determine o valor de a na matriz A a A 0 a 0 0 a 0 ou a a 0 a, sabendo que a 0 a 0 a ou a 0 a(a )

7 0 (FGV-SP) Seja D 0 sec tg. Se D 0 e p p, então: 0 tg sec a) p c) p e) b) p d) p 0 D sec tg sec tg sec 0 0 tg sec Como tg sec, temos: sec (sec ) sec 0 sec cos p cos 7p 6 (Unesp-SP) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 00 crianças de a anos de idade. Para esse grupo, em função da idade da criança, concluiu-se que o peso médio p(), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, em que: A 0 0 Com base na fórmula p(), determine: a) o peso médio de uma criança de anos; 8 kg b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 0 kg. A 0 0 anos p() p() p() 8 a) p()? 8 p() 8 kg b) 0 8 anos p. Calcule os cofatores C e C da matriz A A 0 7 C ( ) i C ( ) j 6 0. C 7 e C 6 7 Dij ( ) ( ) C C

8 0 Seja a matriz A, determine C (C ) A 6 7 C ( ) 0 (0 ) C C ( ) ( 7 0) C 7 C 7 (C ) (7) 79 7 Calcule o determinante das matrizes, usando o teorema de Laplace. 0 a) A 8 b) B 0 a) A tomando os elementos da a coluna, temos: 0 0? () ()? () 0? ()? ( )? (9 8) b) B det B tomando os elementos da a linha, temos: det B? () 0? ()? (0 6) 0? ( ) det B? ()

9 0 7 Dada a matriz A 0, calcule e t. 0 7 A 0? () ? () t 8 tomando os elementos da a linha, temos: 0 0 A t 0 tomando os elementos da a linha, temos: 7 t? () t 8 0 7? (0 6) 8 0? 0 () 7 (0 )? (0 ) t 8 6 Resolva a equação: S {} 0 0 6? () S {}? ( ) Calcule o determinante da matriz A A tomando os elementos da a linha, temos: ? () tomando novamente os elementos da a linha, temos:? ()? ( )

10 0 8 Dada a matriz A, determine a matriz B tal que b seja o cofator dos elementos a de A. ij ij B A b ( ) 0 6 b b b b ( ) 8 b ( ) 6 6 ( ) b ( ) ( ) 0 b ( ) ( ) b ( ) B Calcule o valor do determinante da matriz: 0 A A tomando os elementos da a coluna, temos: ? () 0 0? 0 0 tomando os elementos da a linha, temos:?? ()?? (6 ) 0

11 0 Determine o valor de a para que A a 0 7 a A 0 a 0 0 a a a? () a? a? () a 0 7 a 0 a 0 0. a a a, tomando os elementos da a coluna, temos: 9 0 a 7 a a 0 0 a a a 0 a? a? () 0 a a a, a, a 0 tomando os elementos da a linha, temos: tomando os elementos da a linha, temos: a? (0 a ) a, Dada a matriz M det M que det M , calcule det M tomando os elementos da a linha, podemos concluir

12 a) p. 6 Calcule os determinantes aplicando as propriedades: a) b) c) det 0, pois todos os elementos da a coluna são iguais a zero (P ). b) c) por (P 7 ), temos: det ()? 6? ()?? 0 det 80 as a e a colunas são iguais; então, por (P ) det 0. Se o determinante da matriz A a b c d e f é, qual o determinante da matriz B g h i a d g b e h? c f i a b c a d g A d e f ; B b e h g h i c f i A matriz B é a transposta da matriz A, portanto: det B, ou seja,.

13 7 Dadas as matrizes A 8 e B A 8 ; B Por (P 8 ), temos: det B (P ) , calcule o valor de det B. 9 0 p. 7 Se a matriz A 7 0, podemos afirmar que o t é igual a: a) 6 c) 87 e) 0 b) 6 d) 87 A 7 0 t t 6 a b c a b c 6 Se 6 é 7, qual o valor do determinante da matriz B 6? 7 7 a b c A a b c a b c a b c B 6 det B 6 por (P 6? det B?? 7 det B

14 7 O valor do determinante de uma matriz é. Se dividirmos a a linha por e multiplicarmos a a coluna por, qual será o valor do novo determinante? 0 Por (P 6), det B?? 0 O valor do novo determinante será 0. 8 Qual o valor do determinante da matriz A sen a cos a A cos b sen b tg c sec c sen a cos a cos b sen b? 0 tg c sec c Sabendo que sen cos sec tg, vamos dividir o determinante de A em duas somas: sen a cos a sen a sen a cos a cos b sen b cos b cos b sen b tg c sec c tg c tg c sec c por (P 8 ), sen a cos a cos a cos b se n b sen b tg c sec c sec c 9 A é uma matriz quadrada de ordem e. Determine de modo que 8. ; 8? 8? () (ITA-SP) Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n n, n >. I. O determinante de A é nulo se, e somente se, A possui uma linha ou coluna nula. II. Se A (a ij ) é tal que a ij 0 para i j, com i, j,,..., n, então a a a... a nn III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a a coluna por e a a por, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então det B. Então podemos afirmar que é (são) verdadeira(s): a) apenas II c) apenas II e III e) todas b) apenas III d) apenas I e II I. (Falsa); o determinante pode ser nulo por outras propriedades. II. (Verdadeira); por (P 7 ). III. (Verdadeira); ( )? ( ).

15 a b c (ITA-SP) Se det p q r y z a b c, então o valor de det p q y r z é igual a: y z a) 0 c) 8 e) 6 b) d) det a b c a b c p q y r z? p q y r z y z y z por (P ), temos: 8 det a b c a b c a b c 6? p q r y z 6? p q r y z y z y z a b c? p q r det y z p. Calcule o valor do determinante da matriz A A ? multiplicando por (7) a a coluna e somando o 7 7 resultado às demais, temos: ?? ( 8) 0 0

16 Calcule o valor do determinante da matriz A 0 A respectivamente, os resultados às a, a e a colunas, temos: multiplicando a a coluna por, e, e somando, tomando os elementos da a linha, temos: 6? ( ) ( )? ( )? ( )? 0 0 multiplicando a a linha por (), e somando o resultado à a, temos:? tomando os elementos da a coluna, temos: 6?? ( )? ( ) 6

17 Calcule o valor do determinante da matriz: A A 6 multiplicando a a coluna por,, e, e somando os resultados às a, a, a e a colunas, temos: ? tomando os elementos da a linha, temos:? () 0 0? ( ) Seja a matriz A y A z w ; y z w. Se, calcule At.? A t? t e t? A t ()? ()? A t 6 6 7

18 6 Seja uma matriz A que B A 0 0 0, e B uma matriz quadrada de ordem. Calcule det B, sabendo? B? det B ( )? det B 8? det B 8 det B 7 7 Determine o valor de para que multiplicando por () a a linha e somando o resultado às demais, 0 7 temos: det ?? (6 6 0 )

19 8 Para que valores de o determinante da matriz A A 0 a, a e a colunas, temos: é igual a 90? 90 multiplicando por, e a a coluna, e somando o resultado às 0 90? 0 90? ( ? ( )) 90? (80 0 0) O valor do determinante de a ordem, em que a a, a a, a a e todos os demais elementos são iguais à unidade, é: a) c) 7 e) b) 9 d) A multiplicando os elementos da a coluna por (), e somando o resultado às demais colunas, temos: ?

20 0 Determine o valor de para que resultado às demais colunas, temos: det ( )? ( )? ( ) S {0,, } 0. S {0,, } 0 multiplicando os elementos da a coluna por (), e somando o 0 0 0? Calcule o valor do determinante da matriz: A A 9 multiplicando os elementos da a coluna por (), e somando o resultado às demais colunas, temos: ? multiplicando a a linha por (), e somando o resultado à a linha, temos: 8 0 8? ( ) ) 880? (

21 Calcule o determinante da matriz: A A multiplicando os elementos da a linha por (), e somando o 6 6 resultado às demais linhas, temos: 8 0? Determine o valor de para que o determinante da matriz A A 0; a matriz é uma matriz de Vandermonde, portanto: ( )? ( )? ( )??? 0, ou, ou S {, ou } seja igual a zero. 9 S {, ou } 8 7

22 p. 6 Determine a inversa da matriz A, se eistir. A 6 7 0; portanto, eiste a inversa de A. A a b c d a b c d 0? 0 a c a c 0 ( ) Substituindo a, temos: 7 c b d 0 b d ( ) Substituindo b, temos: 7 a c 6a c 0 7a a 7 c 7 c 6 c 7 7 b d 0 6b d 7b b d 0 d d 7 A

23 Verifique se a matriz A 0 admite inversa. Caso admita, determine-a. 0 A 0 0 ; portanto, eiste a inversa de A. A? A Determinando a matriz dos cofatores, temos: A 0. t 0 (A ) A A? 0 A 0 0 Sim. A 6 Determine a inversa da matriz A A A A 0 0 0, se eistir ; portanto, A admite inversa. 0 6? A 8 A 6? 6 8 A

24 7 Para que valores reais de a eiste a inversa da matriz A a a? a 8 ou a 8 a A a a 6 0 a 8 ou a 8 8 Dada a matriz A 0, determine: 0 6 a) 6 b) det (A A ) 8 A ? A A I a)? 6 8 b) det (A? A )?? (Mackenzie-SP) Seja A uma matriz quadrada de ordem, com determinante maior que zero, e A a sua inversa. Se 6 det (A), então o determinante de A vale: a) c) 8 e) 6 b) 6 d) 6? A matriz é de ordem, logo: 6?? () ou (não convém)

25 0 60 Determine o valor de para que a matriz A 0 0 seja singular A 0 0 será singular se não for invertível; logo, (Furg-RS) Seja A a ij matriz inversa de A é igual a: uma matriz, tal que a i se i j ij a) c) e) b) d) i se i A a ij, aij i se i? j j. Então, o determinante da i se i j A (Unesp-SP) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem. Se A 0 e B é tal que B A, 0 o determinante de B será: a) c) e) b) 6 d) 6 A 0 ; B A B A det B ; como o determinante é de ordem, det B. det B 8? det B det B

26 ( ) 6 (ITA-SP) Seja V e a matriz A. Assinale a opção correta: log a) V, A possui inversa. b) Apenas para 0 A possui inversa. c) São apenas dois os valores de para os quais A possui inversa. d) Não eiste valor de para o qual A possui inversa. e) Para log, não possui inversa. ( ) A log Se 0, A não possui inversa.? log log 0 log é um número, 0; portanto, impossível. Logo, 0 A possui inversa para qualquer real. 0 log (impossível) log 6 (ITA-SP) Considere a matriz A. A soma dos elementos da a coluna da matriz inversa é: a) c) e) b) d) A a b c d e f g h A i j k l m n o p a b c d e f g h Como A? A I, então:? 9 6 i j k l m n o p A soma dos elementos da a coluna é a e i m. 6