Matemática Matrizes e Determinantes

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1 . (Unesp) Um ponto P, de coordenadas (x, y) do a plano cartesiano ortogonal, é representado pela matriz 5. (Unicamp) Considere a matriz M b a, onde coluna assim como a matriz coluna b a e b são números reais distintos. Podemos afirmar ue a) a matriz M não é invertível. b) o determinante de M é positivo. x, y x y representa, no plano cartesiano ortogonal, o ponto P de coordenadas (x, y). Sendo assim, o resultado da multiplicação matricial 0 x é uma matriz coluna ue, no plano 0 y cartesiano ortogonal, necessariamente representa um ponto ue é a) uma rotação de P em no sentido horário, e com centro em (0, 0). b) uma rotação de P em e com centro em (0, 0) no sentido anti-horário, c) simétrico de P em relação ao eixo horizontal x. d) simétrico de P em relação ao eixo vertical y. e) uma rotação de P em com centro em (0, 0). 90 no sentido horário, e c) o determinante de M é igual a d) a matriz M é igual à sua transposta. 6. (Unesp) Dada a matriz a b. A e definindo-se A 0 = I, A = A e A K = A onde I é uma matriz identidade de ordem, k e k, a matriz A 5 será dada por: a) I. b) A. c) A. d) A. e) A 4. A A A, com k fatores,. (Unicamp) Considere a matriz uadrada de ordem cos x 0 sen x A 0 0, onde x é um número sen x 0 cos x real. Podemos afirmar ue a) A não é invertível para nenhum valor de x. b) A é invertível para um único valor de x. c) A é invertível para exatamente dois valores de x. d) A é invertível para todos os valores de x.,. (Unicamp) Considere a matriz e b são números reais. Se então a) a e b. b) a e b 0. c) a 0 e b 0. d) a 0 e b. A a 0 A, b onde a A e A é invertível, 4. (Unesp) Considere a euação matricial A + BX = X + C, cuja incógnita é a matriz X e todas as matrizes são uadradas de ordem n. A condição necessária e suficiente para ue esta euação tenha solução única é ue: a) B I O, onde I é a matriz identidade de ordem n e O é a matriz nula de ordem n. b) B seja invertível. c) B O, onde O é a matriz nula de ordem n. d) B I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n. e) A e C sejam invertíveis. a a 7. (Fuvest) Considere a matriz A a a em ue a é um número real. Sabendo ue A admite a inversa cuja primeira coluna é, a soma dos elementos da diagonal principal de é igual a a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 A 8. (Unesp) Seja A uma matriz. Se o determinante A é: a) 8. b). c). d). e). A 0 0 A 0 6 4, (Unesp) Uma fábrica produz dois tipos de peças, P e P. Essas peças são vendidas a duas empresas, E e E. O lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P é R$,00 e de cada peça P é R$,00. A matriz a seguir (figura ) fornece a uantidade de peças P e P vendidas a cada uma das empresas E e E no mês de novembro. A matriz da figura, onde x e y representam os lucros, em reais, obtidos pela fábrica, no referido mês, com a venda das peças às empresas E e E, respectivamente, é: Página de 9

2 d) e). (Unesp) Sejam A e B matrizes uadradas de ordem. Se 0. (Unesp) Considere as matrizes com x, y, z números reais. Se A. B = C, a soma dos elementos da matriz A é: a) 9. b) 40. c) 4. d) 50. e) 8. e B é tal ue B - =A, o determinante de B será a) 4. b) 6. c). d) e) (Unesp) Seja a matriz. (Fuvest) Uma matriz real A é ortogonal se AA t = I, onde I indica a matriz identidade e A t indica a transposta de A. Se é ortogonal, então x + y é igual a: a) 4 b) 4 c) onde a, b, c e d R. Se os números a, b, c e d, nesta ordem, constituem uma P.G. de razão, o determinante desta matriz é igual a a) 0. b). c) a. d) a. e) a. 4. (Unesp) Considere a matriz A = (aij)x, definida por aij = - + i + j, para i, j. O determinante de A é: a). b). c) 4. Página de 9

3 d) -. e) (Unesp) Dadas as matrizes mostradas na figura adiante Matemática Matrizes e Determinantes 9. (Unicamp) Sendo a matriz a) b) c) a a a d). 0 Então, um número real, considere a 07 A é igual a o determinante da matriz A. B é a) -. b) 6. c) 0. d). e) (Fuvest) Se A é uma matriz inversível ue satisfaz A =A, então o determinante de A será: a) 0 b) c) d) e) 4 7. (Unesp) Se A, B e C forem matrizes uadradas uaisuer de ordem n, assinale a única alternativa verdadeira. a) AB = BA. b) Se AB = AC, então B = C. c) Se A = On (matriz nula), então A = On. d) (AB)C = A(BC). e) (A + B) = A + AB + B. 8. (Fgv) Uma matriz A de ordem transmite uma palavra de 4 letras em ue cada elemento da matriz representa uma letra do alfabeto. 0. (Fgv) Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três produtos alimentícios A, B e C a dois países da América Central, P e P. As uantidades, em toneladas, são descritas mediante a matriz Q: A B C Q P P Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas empresas, em reais por toneladas, como indica a matriz P: ª empresa P ª empresa a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem ue for possível. Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a segunda empresa, aos dois países? b) Para transportar os três produtos aos dois países, ual empresa deveria ser escolhida, considerando ue as duas apresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por uê? A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de informação secreta, a matriz A é multiplicada pela matriz B 5 obtendo-se a matriz codificada B A. 0 7 Sabendo ue a matriz B A é igual a, 9 podemos afirmar ue a soma dos elementos da matriz é: a) 46 b) 48 c) 49 d) 47 e) 50 A. (Fgv) Dada a matriz B 4 e sabendo ue a matriz A 5 é a matriz inversa da matriz A, podemos concluir ue a matriz X, ue satisfaz a euação matricial AX B, tem como soma de seus elementos o número a) 4 b) c) 5 d) e) 6 Página de 9

4 . (Espcex (Aman)) Seja x um número real, I a a) Determine para uais valores de x o determinante matriz identidade de ordem e A a matriz uadrada de A é positivo. de ordem, cujos elementos são definidos por a ij i j. Sobre a euação em x definida por det A xi x det A é correto afirmar ue b) Tomando x, C 4, calcule B AC., e supondo ue, na matriz A, a) as raízes são 0 e. b) todo x real satisfaz a euação. c) apresenta apenas raízes inteiras. d) uma raiz é nula e a outra negativa. e) apresenta apenas raízes negativas.. (Unicamp) Considere a matriz onde a, b e c são números reais. a A 0 b, c 0 a) Encontre os valores de a, b e c de modo ue T A A. b) Dados a e b, para ue os valores de c e d x o sistema linear A y tem infinitas soluções? z d 4. (Mackenzie) Se a matriz x y z y z y z z 0 é simétrica, o valor de x é a) 0 b) c) 6 d) e) 5 5. (Fgv) Sabendo ue a inversa de uma matriz A é A, 5 e ue a matriz X é solução da euação matricial X A B, B 8, em ue podemos afirmar ue a soma dos elementos da matriz é a) 7 b) 8 c) 9 d) 0 e) X x 0 6. (Unicamp) Seja dada a matriz A x 6, 0 6 6x em ue x é um número real. 7. (Unicamp) Considere o polinômio cúbico p(x) x x a, onde a é um número real. a) No caso em ue p() 0, determine os valores de x para os uais a matriz A abaixo não é invertível. x 0 A 0 x a x b) Seja b um número real não nulo e i. i a unidade imaginária, isto é, Se o número complexo é uma raiz de p(x), determine o valor de z bi z. 8. (Unicamp) Seja (a,b,c,d) geométrica (PG) e a 0. a) Mostre ue uma progressão de números reais, com razão 0 x é uma raiz do polinômio cúbico p(x) a bx cx dx. f b) Sejam e e números reais uaisuer e considere o sistema linear nas variáveis x e y, a c x e. Determine para ue valores da d b y f razão esse tem solução única. 9. (Fuvest) Sejam α e β números reais com π α π e 0 β π. Se o sistema de euações, dado em notação matricial, 6 tg α 0, 6 8 cos β for satisfeito, então α β é igual a a) b) π π c) 0 d) 6 π e) π 6 Página 4 de 9

5 α 0. (Unicamp) Considere a matriz A α α ue depende do parâmetro real a) Calcule a matriz A A α α. α 0. b) Um ponto no plano cartesiano com as coordenadas x y é transformado pela matriz A α em um novo ponto da seguinte forma: x αy x' x α. ' A y y x y α Calcule o valor de sabendo ue o sistema α, x 6 A α admite solução. y Página 5 de 9

6 Gabarito: Matemática Matrizes e Determinantes Resposta da uestão : Fazendo a multiplicação proposta: 0 x y 0 y x Assim, se substituirmos os valores de x e y por números e representarmos estes no plano cartesiano o resultado da multiplicação proposta representa um ponto ue é uma rotação de P em no sentido anti-horário, e com centro em Resposta da uestão : (0, 0). 90 Calculando o determinante da matriz A, encontramos cos x 0 sen x det A 0 0 cos x sen x. sen x 0 cos x Portanto, como det A 0 para todo x real, segue-se ue A é invertível para todos os valores de x. Temos a detm b a b a b ab ab (a b). Logo, sabendo ue a b ser simétrica), tem-se b (o ue implica em M não (a b) 0 para uaisuer a reais distintos, ou seja, o determinante de M é positivo. Em conseuência, M é invertível. Resposta da uestão 6: 0 A 0 0 A A A A A A A. 0 e Resposta da uestão : Sabendo ue A I A e A A I, com matriz identidade de segunda ordem, temos A A A A A A A A A A A I I A I. Por conseguinte, segue ue a Resposta da uestão 4: A + BX = X + C, e b 0. I sendo a Observa-se ue uando o expoente for par, o resultado é a matriz identidade, e uando o expoente for ímpar, o resultado é a própria matriz, portanto A 5 = A. Obs.: a alternativa A também poderia ser considerada como correta, já ue seu expoente é ímpar e A = A. Resposta da uestão 7: [A] A.A - = I a a a x 0 a a y 0 a.(a ) (a ) Temos o sistema (a ).(a ) (a ) 0 BX = X + C A BX X = C A X(B I) = C A (I é a matriz identidade de ordem n) X = (C A).(B I) - Portanto, será necessário ue B I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n. Resolvendo o sistema temos a = 5, 5 A e A Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal é + = 5. Resposta da uestão 8: [C] Resposta da uestão 5: Página 6 de 9

7 Resposta da uestão 9: [C] Resposta da uestão 0: Matemática Matrizes e Determinantes PQ PQ C C P P Resposta da uestão : [E] Resposta da uestão : [E] Resposta da uestão : [A] Resposta da uestão 4: Resposta da uestão 5: [E] Resposta da uestão 6: [E] Resposta da uestão 7: Resposta da uestão 8: Calculando: 0 7 a b 0 7 B A 9 5 c d 9 a c b d 0 7 5a c 5b d 9 a c a 5a c c b d b 5 5b d d 8 a b c d Resposta da uestão 9: Calculando: a a 0 A A I 4 A A A II I 6 4 A A A II I A A A II I a A A A I A A A 0 b) A empresa. Calculando: Empresa C Empresa Resposta da uestão : De AX B, A AX A B A A X A B I X A B X A B X X X Assim, a soma dos elementos da matriz X é: 0 Resposta da uestão : [C] C E E De acordo com as informações do problema, temos: a a 0 A det(a) a a 0 0 x 0 x A x I det(a x I) x 0 0 x x det(a xi) x deta x x x x 0 x 0 ou x Portanto, a euação apresenta apenas duas raízes inteiras. Resposta da uestão : t a) Se A A, então A é antissimétrica. Logo, deve-se ter a 0, b e c. Resposta da uestão 0: a) Calculando: Página 7 de 9

8 b) Se a e b, a matriz ampliada do sistema x ( ) A y é 0. Logo, efetuando B ( ) 8. z d c 0 d ( ) 56 as operações elementares sobre essa matriz, obtemos a matriz euivalente Resposta da uestão 7: a) Se p() 0, pode-se escrever: c c d 4 Por conseguinte, o sistema possui infinitas soluções se c 0 e d 4. Resposta da uestão 4: [C] p() a 0 a Para ue a matriz A não seja invertível, seu determinante deve ser igual a zero. Assim, pode-se escrever: x 0 x det A 0 x 0 x x 0 x x x x a x A matriz dada é simétrica se tivermos x y z 4 x y z 4 y z y z y z z 5 z 5 x 6 y. z 5 Resposta da uestão 5: [A] Sabendo ue A A I, com identidade de ordem, temos X A B X A A B A X I B A X 8 5 X X 9. I sendo a matriz Por conseguinte, a soma pedida é igual a 9 ( ) 7. b) Supondo como raízes do polinômio os números bi; bi ; r, pode-se escrever: bi ( bi) r 0 r 4 4 Considerando como raiz, pode-se deduzir o valor de a: 64 a 0 a 5 Fazendo o produto das três raízes (Relações de Girard), pode-se escrever: bi ( bi) ( 4) 5 4 b Assim, z será: z bi 4 b z Resposta da uestão 8: a) Tem-se ue b a, c a e d a. Logo, vem p a a a a a a a a 0. Resposta da uestão 6: a) Calculando o determinante temos det(a) 6x 00x. Por conseguinte, p(x). x é uma raiz do polinômio Considerando temos x 6x 00x 0 4x (4x 5) 0, 5 5 x x 0 ou x. b) De (a), obtemos a c x e a a x e. d b y f a a y f Sabendo ue a 0, 0 e, o sistema terá solução única se, e somente se, b) Teremos: Página 8 de 9

9 a a a a Matemática Matrizes e Determinantes = α 6; portanto, para ue a euação tenha 5 0 a a 0 solução, o valor de α deverá ser. a ( )( ) 0. Portanto, além de 0, deve-se ter. Resposta da uestão 9: Efetuando o produto matricial, vem 6 tg 0 tg 6cos cos 6 tg 8cos tg 6cos 0 tg 4cos Desse modo, cos cos rad. 6 tg 6cos 0 tg 6 rad e, portanto, rad. 6 6 Resposta da uestão 0: α α α a) Aα A α α α α α α 0 α α 0 A α A α b) α x 6. y α x αy 6 x y α x αy 6 x y α Multiplicando a segunda euação por α e somando com a primeira, temos: Página 9 de 9