MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 2016

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1 1. (Fuvest 016) Uma dieta de emagrecimento atribui a cada alimento um certo número de pontos, que equivale ao valor calórico do alimento ao ser ingerido. Assim, por exemplo, as combinações abaixo somam, cada uma, 85 pontos: - 4 colheres de arroz + colheres de azeite + 1 fatia de queijo branco. - 1 colher de arroz + 1 bife + fatias de queijo branco. - 4 colheres de arroz + 1 colher de azeite + fatias de queijo branco. - 4 colheres de arroz + 1 bife. Note e adote: Massa alimento (g) de % de umidade + macronutriente minoritário + micronutrientes % de macronutriente majoritário 1 colher de arroz 1 colher de azeite 1 bife São macronutrientes as proteínas, os carboidratos e os lipídeos. Com base nas informações fornecidas, e na composição nutricional dos alimentos, considere as seguintes afirmações: I. A pontuação de um bife de 100 g é 45. II. O macronutriente presente em maior quantidade no arroz é o carboidrato. III. Para uma mesma massa de lipídeo de origem vegetal e de carboidrato, a razão número de pontos do lipídeo número de pontos do carboidrato é 1,5. É correto o que se afirma em a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e II, apenas. d) II e III, apenas. e) I, II e III.. (Ita 016) Seja A a matriz de ordem 3, dada por 1 0 A a) Determine todas as matrizes B tais que BA I. b) Existe uma matriz B com BA I que satisfaça dessas matrizes. T BB I? Se sim, dê um exemplo de uma Página 1 de 1

2 3. (Fac. Albert Einstein - Medicina 016) Uma matriz quadrada se diz ortogonal se sua inversa x 3 5 é igual à sua transposta. Dada a matriz A, em que x *, a soma dos valores 5 x 3 de x que a tornam uma matriz ortogonal é igual a a) 6 4i b) 6 4i c) 6 d) 4 4. (Unicamp 016) Considere o polinômio cúbico 3 p(x) x 3x a, onde a é um número real. a) No caso em que p(1) 0, determine os valores de x para os quais a matriz A abaixo não é invertível. x 1 0 A 0 x 1 a 3 x b) Seja b um número real não nulo e i a unidade imaginária, isto é, i 1. Se o número complexo z bi é uma raiz de p(x), determine o valor de z. 5. (Epcar (Afa) 016) Seja A a matriz Sabe-se que n A A A A A n vezes Então, o determinante da matriz a) 1 b) 31 c) 875 d) S A A A A é igual a (Ita 016) Se M a) b) c) d) 13 3 e 1 T 1 N, 1 3 então M N M N é igual a Página de 1

3 e) (Unesp 016) Um ponto P, de coordenadas (x, y) do plano cartesiano ortogonal, é representado pela matriz coluna x, assim como a matriz coluna x y representa, no plano y cartesiano ortogonal, o ponto P de coordenadas (x, y). 0 1 x Sendo assim, o resultado da multiplicação matricial é uma matriz coluna que, no 1 0 y plano cartesiano ortogonal, necessariamente representa um ponto que é a) uma rotação de P em 180 no sentido horário, e com centro em (0, 0). b) uma rotação de P em 90 no sentido anti-horário, e com centro em (0, 0). c) simétrico de P em relação ao eixo horizontal x. d) simétrico de P em relação ao eixo vertical y. e) uma rotação de P em 90 no sentido horário, e com centro em (0, 0). 8. (Ita 016) Se o sistema de equações x y 4z x y 7z 3 3x y az b É impossível, então os valores de a e b são tais que a) a 6 e b 4. b) a 6 e b 4. c) a 6 e b 4. d) a 6 e b 4. e) a é arbitrário e b 4. x y az 1 9. (Espcex (Aman) 016) Para que o sistema linear x x z, x 5y 3z b reais, seja possível e indeterminado, o valor de a b é igual a a) 10 b) 11 c) 1 d) 13 e) 14 em que a e b são 10. (Pucsp 016) Dizem que o autor do poema seguinte não foi outro senão o próprio geômetra Euclides da Alexandria - nascido por volta do ano 330 a.c. -, o que prova que também os grandes matemáticos se dedicam, ocasionalmente, a pequenos problemas, sem baixar a sua dignidade. Asno e mulo vinham pela estrada carregados de sacos. Sob o peso dos fardos, o asno gemia e resmungava, inconformado. Aquele o notou, e assim falou ao apoquentado companheiro: Dize-me, velhinho, que choras e lamentas qual inocente rapariga, O dobro do que tu levas carregaria eu, se me desses um volume; Página 3 de 1

4 Se me tomasses um, ah!, então sim, conduziríamos ambos a mesma carga. Tu, geômetra perito, dize-me quantos fardos transportavam? Fonte: A Magia dos Números; Paul Karlson - Coleção Tapete Mágico XXXI - Editora Globo, RJ 1961 Com base nas informações dadas pelo mulo, é correto afirmar que, o produto das quantidades de sacos que cada um carregava é um número a) primo. b) múltiplo de 7. c) divisível por 6. d) quadrado perfeito. 11. (Fac. Albert Einstein - Medicin 016) Saulo sacou R$ 75,00 do caixa eletrônico de um Banco num dia em que este caixa emitia apenas cédulas de R$ 5,00 e R$ 10,00. De quantos modos poderiam ter sido distribuídas as cédulas que Saulo recebeu? a) 6 b) 7 c) 8 d) Mais do que (Fac. Albert Einstein - Medicin 016) Juntas, Clara e Josefina realizaram certo trabalho, pelo qual Clara recebeu, a cada hora, R$ 8,00 a mais do que Josefina. Se, pelas 55 horas que ambas trabalharam, receberam o total de R$ 1760,00, a parte dessa quantia que coube a Clara foi a) R$ 660,00. b) R$ 770,00. c) R$ 990,00. d) R$ 1100, (Pucsp 016) Seja o par ordenado (a, b), em que a e b são números inteiros positivos, uma solução da equação mostrada na tira acima. Em quantas das soluções, a soma a b é um número primo compreendido entre 15 e 30? a) Menos do que três. b) Três. c) Quatro. d) Mais do que quatro. 14. (Unesp 016) Os gráficos indicam a diversificação de aplicações para um investimento, por grau de risco, sugeridas por cada um dos bancos A, B e C. Página 4 de 1

5 Um investidor decidiu aplicar um capital de R$ 6.000,00 em partes que foram distribuídas pelos três bancos, seguindo a diversificação do grau de risco sugerida por cada banco. O capital aplicado foi distribuído da seguinte forma: - total de R$ 1.000,00 no banco A (considerando os três graus de risco juntos); - R$.700,00 em investimentos de baixo risco (nos três bancos juntos); - R$ 1.850,00 em investimentos de médio risco (nos três bancos juntos); - R$ 1.450,00 em investimentos de alto risco (nos três bancos juntos). O gráfico a seguir representa a diversificação da aplicação, por grau de risco, juntando os três bancos. Calcule os montantes de capital que foram investidos nos bancos B e C, e as medidas dos ângulos α, β e γ, indicados no gráfico. 15. (Fuvest 016) As constantes A, B, C e D são tais que a igualdade 1 Ax B Dx C (x x ) (x 4) x x x 4 é válida para x. a) Deduza, da igualdade acima, um sistema linear com quatro equações, satisfeito pelas constantes A, B, C e D. b) Resolva esse sistema e encontre os valores dessas constantes. Página 5 de 1

6 Gabarito: Resposta da questão 1: [E] Sejam x, y, z e w, respectivamente, o número de pontos correspondentes a uma colher de arroz, uma colher de azeite, uma fatia de queijo branco e um bife. Tem-se que z x w z 4x w x 3. 4x y z 4x y z y z Em consequência, como 4x y z 85, temos z 4 z z 85 z Logo, vem x 10 e y 15. Além disso, como 4x w 85, encontramos de imediato w 45. [I] Verdadeira. De fato, pois w 45. [II] Verdadeira. O carboidrato é o macronutriente presente em maior quantidade no arroz. [III] Verdadeira. Com efeito, pois uma colher de azeite representa 15 pontos para uma massa de 5 g, e uma colher de arroz representa 10 pontos para 0,5 0 g 5 g. Portanto, a razão entre os pontos é 15 1,5. 10 Resposta da questão : a) A matriz B deverá ser do tipo 3 para que BA I, assim: x y z B a b c e 1 0 x y z 1 0 x z y z a b c 0 1 a c b c Da equação acima temos dois sistemas lineares: x z 1 z 1 x e y x - 1 y z 0 a c 0 c a e b 1 a b c 1 Portanto, todas as matrizes B serão da forma: x x 1 1x B, com x e a números reais. a 1a 1a b) Efetuando o produto da matriz x pela sua transposta, temos: Página 6 de 1

7 x a x x 1 1x 1 0 x 1 1 a a 1 a x a Efetuando o produto das matrizes, temos as seguintes equações: 1 x (x 1) (1 x) 1 3x 4x 1 0 x 1 ou x 3 ax (a 1) (x 1) a (1 x) 0 Admitindo x 1 na equação acima, temos a 0. Portanto, uma possível matriz B será: B Resposta da questão 3: [C] Para que a matriz dada A seja ortogonal, ela deve satisfazer a condição: t 1 t 1 t A A A A A A A A I Logo, pode-se escrever: x 3 5 x x x 3 5 x x 3 5 x 3 5 x 3 5 x 3 x x 6x x 6x x 6x x 6x 13 0 Pelas Relações de Girard, sabe-se que a soma dos valores de x será igual a 6. Resposta da questão 4: a) Se p(1) 0, pode-se escrever: p(1) 1 3 a 0 a Para que a matriz A não seja invertível, seu determinante deve ser igual a zero. Assim, pode-se escrever: x x 1 det A 0 x 1 0 x 3x 0 x 1 x x x a 3 x b) Supondo como raízes do polinômio os números bi; bi ; r, pode-se escrever: bi ( bi) r 0 r 4 Considerando 4 como raiz, pode-se deduzir o valor de a: 64 1 a 0 a 5 Fazendo o produto das três raízes (Relações de Girard), pode-se escrever: bi ( bi) ( 4) 5 4 b 13 Página 7 de 1

8 Assim, z será: z bi 4 b z 13 Resposta da questão 5: [D] Para determinar a matriz S é preciso encontrar as matrizes indicadas no enunciado. Assim: A Sabe-se que a A I A, logo: A I 3 A A 4 A I 5 A A 6 A I 7 A A 8 A I 9 A A 10 A I 11 A A Assim, partindo-se de A, observa-se que temos 5 matrizes identidade e 6 matrizes A. Para soma de matrizes identidade, basta multiplicar o número de matrizes pela matriz identidade, ou seja: A soma de 6 matrizes A pode ser feita diretamente ou por multiplicação dos elementos a 1 e a 1 visto que estes elementos aumentam de valor de 1 e a cada nova soma, respectivamente. Ou seja: Somando os dois termos (a soma das matrizes identidade e da soma das matrizes A), temos a matriz S apresentada no enunciado: S E finalmente, o determinante da matriz S será: 5 3 det S Resposta da questão 6: [C] Calculando, inicialmente, a inversa da matriz M. 1 T M det(m) Determinando, agora, a transposta da matriz N, temos: Página 8 de 1

9 T 1 N 1 0 Portanto: T MN M N ' Resposta da questão 7: [B] Fazendo a multiplicação proposta: 0 1 x y 1 0 y x Assim, se substituirmos os valores de x e y por números e representarmos estes no plano cartesiano o resultado da multiplicação proposta representa um ponto que é uma rotação de P em 90 no sentido anti-horário, e com centro em (0, 0). Resposta da questão 8: [A] O primeiro passo e escalonar o sistema: Portanto, para que o sistema seja impossível, devemos ter: a 6 0 a 6 e b 4 0 b 4 Resposta da questão 9: [B] Para que o sistema seja possível e determinado é necessário que: 1 1 a a 4a a Fazendo a 6 no sistema, temos: Página 9 de 1

10 x y 6z 1 x y 6z 1 x y 6z 1 x y z 0 y 5z 1 0 y 5z 1 x 5y 3z b 0 3y 15z b b 5 Considerando b 5 0, temos: b 5 e a b Resposta da questão 10: [B] Considerando que o asno carregava x volumes e mulo carregava y volumes, podemos escrever, partindo das observações do mulo, o seguinte sistema. y 1 (x 1) y x 3 x 3 x x 5 e y 7 y 1 x 1 y x Portanto, o produto das quantidades de sacos é 35 (múltiplo de 7). Resposta da questão 11: [C] Considerando que foram retiradas x notas de R$5,00 e y notas de R$10,00, temos a seguinte equação: 5x 10y 75 Ou seja: x y 15 x 15 y o que nos leva a concluir que x poderá ser qualquer inteiro de 0 (zero) até 7, para que x seja um número inteiro não negativo. Temos portanto, 8 possibilidades para se sacar o dinheiro utilizando apenas notas de R$5 e de R$10. Resposta da questão 1: [D] Equacionando as informações dadas no enunciado, tem-se: Valor recebido por Clara C Valor recebido por Josefina J C J 8 55J (J 8) J 55J J 130 J 1 C 1 8 C horas R$ 1100,00 Resposta da questão 13: [C] De acordo com o texto, temos: a b 17 ou a b 19 ou a b 3 ou Página 10 de 1

11 a b 9 Sabemos que a b 30, ou seja, b 30 a. Logo, a b a 30 a a b 30 a. Então, 30 a 17 a 13 e b 4 30 a 19 a 11 e b 8 30 a 3 a 7 e b a 9 a 1 e b 8 Portanto, temos quatro resultados possíveis para o par ordenado (a, b). (13, 4), (11, 8), (7,16) e (1, 8). Resposta da questão 14: Sabendo-se que foi investido R$ 1.000,00 no banco A seguindo a diversificação do grau de risco apresentada no gráfico, pode-se escrever: Banco A: - baixo risco: 80% ,8 R$ 800,00 - médio risco: 15% ,15 R$ 150,00 - alto risco: 5% ,05 R$ 50,00 Sabe-se ainda que foram aplicados: - R$.700,00 em investimentos de baixo risco, sendo 80% no banco A (correspondente a R$ 800,00), R$ 800,00), 0% no banco B e 50% no banco C; - R$ 1.850,00 em investimentos de médio risco, sendo 15% no banco A (correspondente a R$ 150,00), 70% no banco B e 10% no banco C; - R$ 1.450,00 em investimentos de alto risco, sendo 5% no banco A (correspondente a R$ 50,00), 10% no banco B e 40% no banco C; Sendo B e C o montante aplicado em cada um dos bancos, respectivamente, e com as demais informações do enunciado, pode-se escrever o seguinte sistema: 50 0,1B 0,4C ,1B 0,4C ,8B 0,5C ,7B 0,1C ,7B 0,1C ,B 0,5C ,B 0,5C 700 0,B 0,5C ,6B 100 B 000 0, ,5C ,5C 1500 C 3000 Assim, os montantes aplicados em cada banco foram de R$ 1.000,00 no banco A, R$.000,00 no banco B e R$ 3.000,00 no banco C. Para calcular os ângulos α, β e γ, indicados no gráfico pode-se utilizar a regra de três: Baixo Risco Médio Risco Alto Risco β β β γ γ γ Resposta da questão 15: a) Resolvendo a igualdade, pode-se escrever: α α α Página 11 de 1

12 1 (Ax B)(x 4) (Dx C)(x x ) (x x ) (x 4) (x x ) (x 4) 3 3 Ax 4Ax Bx 4B Dx Dx Dx Cx Cx C 1 3 (A D)x (B C D)x (A C D)x (4B C) 1 A D 0 B C D 0 A C D 0 4B C 1 b) Resolvendo o sistema, tem-se: A D 0 ( ) L 3 A D 0 ( 4) L4 A D 0 A D 0 B C D 0 B C D 0 B C D 0 B C D 0 A C D 0 C D 0 C D 0 ( ) L4 C D 0 ( ) L4 4B C 1 4B C 1 8D C 1 10D 1 1 C D 10 1 A 10 3 B 10 Página 1 de 1