f(x) ax b definida para todo número real x, onde a e b são números reais. Sabendo que f(4) 2,

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Lucinda Azenha Cruz
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1 Ensino Aluno (: Nº: Turma: ª série Bimestre: º Disciplina: Espanhol Atividade Complementar Funções Compostas e Inversas Professor (: Cleber Costa Data: / /. (Eear 07) Sabe-se que a função invertível. Assim, f () é 4 6 x f(x) é. (Epcar (Af 06) Considere as funções reais f:r R e g: :R R cujos gráficos estão representados abaixo. 4. (Unicamp 06) Considere a função afim f(x) ax b definida para todo número real x, onde a e b são números reais. Sabendo que f(4), podemos afirmar que f(f() f()) é igual a (Acafe 06) Dadas as funções f e g, com funções reais f(x ) 4x e g(x ) x definidas para todo xr então, pode-se afirmar que f(g(x)) é um número: divisor de 0. múltiplo de 4. fracionário. primo. 6. (Acafe 06) O gráfico a seguir representa a função real f(x), definida no intervalo [, 6]. Sobre essas funções, é correto afirmar que x [0, 4], g(x) f(x) 0 f(g(0)) g(f(0)) 0 g(x) f(x) 0 x ], 0 [ [4, 9] x [0, ] tem-se g(x) [, ]. (Mackenzie 06) O polinômio do º grau F(x) que verifica a identidade F(x) x 4x 9 F(x) x 9x 4 F(x) x x F(x) x 9x 4 F(x) x 7x 4 F(x ) x 7x 6 é Considerando a função h(x) f(x ), então, o valor da expressão dada por f(h()) h(f(4)) é igual a: Atividade Complementar nº º Bimestre / Matemática II / Profª. Cleber Costa ª série EM

2 7. (Unicamp 06) Considere o gráfico da função y f(x) exibido na figura a seguir. 9. (CefetMG 0) Considere a função f: [0, + [ R: x, se 0 x f x, se x x, se x O gráfico que melhor representa a função composta g f f, é O gráfico da função inversa y f (x) é dado por 0. (Upf 0) Considere a função real g, cuja representação gráfica está parcialmente ilustrada na figura a seguir. Sendo g g a função composta de g com g, então, o valor de (g g)( ) é: 8. (Uece 06) A função real de variável real definida por x f(x) x então, o valor de é invertível. Se f [f(0) f (0) f ( )] é é sua inversa, 0 4 Atividade Complementar nº º Bimestre / Matemática II / Profª. Cleber Costa ª série EM

3 . (Espm 0) Considere as funções reais f(x) x e g(x) x k, com kr. Podemos afirmar que f g(x) g f(x) para qualquer x real se o valor de k for igual a: 0. (Uern 0) Considerando as funções f(x) x e g(x) x, o valor de k, com kr, tal que.... f(g(k)) é. (Esc. Naval 0) Sejam f e g funções reais definidas por 4x,se x 0 f(x) e x x,se x 0 x,se x g(x). x,se x (Udesc 0) Se f(x) x e g(x) x são funções reais, então o conjunto solução da inequação f(x) g(x) g(x) 6 f (x) S = {x R x ou x } é: (f g)(x) S = {x R x ou x > } S = {x R x < } S = {x R x } S = {x R x > } 6. (Cefet MG 04) Sabe-se que o gráfico de y f g x abaixo está fora de escala, e que esta função, com raízes 0, e, foi obtida compondo-se as funções f x x e g x ax bx c. Sendo assim, pode-se dizer que (f por 4x, se x (f g)(x) 4x, se x 4 x x, se x ou x 4x, se x (f g)(x) 4x, se x 4 x x, se x ou x 4x, se x (f g)(x) 4x, se x 4 x x, se x ou x 4x, se x (f g)(x) 4x, se x 4 x x, se x ou x 4x, se x (f g)(x) 4x, se x 4 x x, se x ou x g)(x) é definida 4. (Espcex (Aman) 0) Considere a função bijetora f :,,, definida por f(x) x x e seja (a, o ponto de intersecção de f com sua inversa. O valor numérico da expressão a b é O valor de ab c é igual a (Uepb 04) Uma função inversível f, definida em R-{-} por f(x) = x+ tem contradomínio R-{y x+ o} onde R é o conjunto dos números reais. O valor de y é: 0 zero Atividade Complementar nº º Bimestre / Matemática II / Profª. Cleber Costa ª série EM

4 8. (Espcex (Aman) 0) Na figura abaixo está representado o gráfico de uma função real do º grau f(x). A expressão algébrica que define a função inversa de f(x) é x y y x y x y x y x 9. (Uepb 0) Dada f(f( )) é: f(x) x x, o valor de 0. (Uern 0) Se o gráfico da função inversa de uma função f(x) do º grau tem como raiz x = 6 e o coeficiente angular de f(x) é igual a, então o gráfico que melhor representa f(x) é Atividade Complementar nº º Bimestre / Matemática II / Profª. Cleber Costa ª série EM

5 Gabarito: Resposta da questão : Se f possui inversa, então queremos calcular x tal que f(x). Assim, vem x x. Resposta da questão : Analisando as alternativas: [A] INCORRETA. Tomando-se como exemplo o ponto x, temos que alternativa é incorreta. g f 0. Assim a [B] INCORRETA. Fazendo as contas, temos: g(0) f(g(0)) f() f(0) 0 g(f(0)) g(0) f(g(0)) g(f(0)) 0 Logo, a alternativa é incorreta. CORRETA. Analisando os intervalos propostos: Em ], 0 [, podemos verificar pelo gráfico que f(x) 0 e g(x) 0. Assim, para este intervalo a equação g(x) f(x) 0. Já no intervalo [4, 9] percebe-se que f(x) 0 e g(x) 0. Assim, para este intervalo a equação g(x) f(x) 0. Conclui-se portanto que a proposição é correta: g(x) f(x) 0 x ], 0 [ [4, 9]. Outra maneira é resolver a questão graficamente: INCORRETA. Ao analisar o gráfico, percebe-se que g(), portanto a alternativa é incorreta. Resposta da questão : Tem-se que a inversa da função g(x) x é a função g (x) x. Logo, vem F(x) (x ) 7(x ) 6 x x 7x 7 6 x 9x 4. Resposta da questão 4: Tem-se que f(4) 4a b. Além disso, como f() a b e f() a b, vem f() f() a b a b (4a 4. Portanto, segue que f(f() f()) f(4). Resposta da questão : f(x ) 4x w x w x w f(w) 4 f(w) w 0 f(x) x 0 g(x ) x x z x z g(z) (z ) g(z) z g(x) x f(g(x)) f(x ) (x ) 0 4x x Logo, x é um número fracionário. Resposta da questão 6: Calculo de f(h()) Atividade Complementar nº º Bimestre / Matemática II / Profª. Cleber Costa ª série EM

6 h(x) f(x ) h() f( ) f() 4 h() 4 f(h()) f(4) Calculo de h(f(4)) h(f(4)) h() f( ) f( ) h(f(4)) Portanto, f(h()) h(f(4)) ( ) Resposta da questão 7: Lembrando que o gráfico de uma função e o de sua inversa são simétricos em relação à reta y x, seguese que o gráfico de y Resposta da questão 8: Tem-se que x y yx y x x (y )x y y x. y f (x) é o da alternativa. Portanto, sendo f: R-{} R-{} a inversa de f é f - : R-{} R-{} com Daí, como f(0), x f (x). x f (0) e [f(0) f (0) f ( )] ( ( ) 0) 9. Resposta da questão 9: [E] Tem-se que f ( ) 0, vem Resposta da questão 0: [B] De acordo com o gráfico, temos g( ) 0. Logo, segue que (g g)( ) g(g( )) g(0) 4. Resposta da questão : [A] Substituindo e desenvolvendo a expressão dada: f g(x) g f(x) f(g(x)) g(f(x)) f(g(x)) (x k) f(g(x)) x k g(f(x)) x k x k x k k k k 0 Resposta da questão : Calculando f(g(x)), tem-se: f(g(x)) ( x ) f(g(x)) 6x f(g(x)) 6x Calculando a inversa de f(g(x)), tem-se: x x x 6y y f(g(x)) 6 6 Por fim, substituindo k e resolvendo a equação proposta no enunciado, tem-se: k f(g(k)) k 6 k 6 Resposta da questão : [A] Sendo f, g: R R tem-se, se x e 0 x ( ), se e x f(f(x)) (x ), se 0 (x ) e x ((x ) ), se (x ) e x, se 0 x ou x ou 4 x, se x. x 6x 0, se x 4 (x 6x 6), se x 4(x ), se x 0 e x (f g)(x) 4( x ), se x 0 e x ( x ) ( x ), se x 0 e x 4x, se x 4x, se x. 4 x x, se x ou x Portanto, o gráfico que melhor representa a função g é o da alternativa [E]. Resposta da questão 4: Atividade Complementar nº º Bimestre / Matemática II / Profª. Cleber Costa ª série EM

7 [B] Os pontos comuns de uma função com a sua inversa são da forma (a,, portanto, para determinar estes pontos devemos considerar f(x) Daí, temos: x na função dada. x x x x x 0x [, ) ou x. O valor inicial de f é a ordenada do ponto de interseção do gráfico de f com o eixo y, ou seja, Logo, o ponto (a, pedido é (, ) e 4. Resposta da questão : [B] Tem-se que f(g(x)) x x e Logo, segue que f (x) x. O contradomínio de uma função inversível é o domínio de sua inversa, portanto, y0. Resposta da questão 8: Seja f: R R a função definida por f(x) ax b. b. Logo, como o gráfico de f passa pelo ponto (, 0), temos que Portanto, 0 a ( ) a. x f(x) e sua inversa é tal que (x ) (x ) (x ) 6 x 4x x (x ) 0 x x y x y (x ) f (x) x. x 0 x Resposta da questão 9: x ou x. Portanto, temos S = {x R x ou x > }. Resposta da questão 6: Desde que f(g(0)) 0, é fácil ver que c. Além disso, sabemos que g() g(). Logo, a b a b 0 4a b 4a b 0 Por conseguinte, a. b abc ( ). Resposta da questão 7: Determinando a função inversa de f, temos: f (x) x x f (x) f (x) x f (x) x f (x) f (x) x x f (x) x f (x) com domínio x R/x x Como f( ) ( ) ( ) 4, segue que f(f( )) f(4) Resposta da questão 0: [A] Lembrando que uma função só está bem definida quando conhecemos o seu domínio, contradomínio e a lei de associação, vamos supor que f: R R com f(x) ax b. Logo, como a taxa de variação de f é igual a, segue-se que f(x) x b. A lei da função inversa de f é dada por y x b x y b b f (x) x. Desse modo, sendo o zero de b 0 6 b 6. f é igual a 6, vem Portanto, o gráfico que melhor representa a função afim f é o da alternativa [A]. Atividade Complementar nº º Bimestre / Matemática II / Profª. Cleber Costa ª série EM

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