Lista Função - Ita Carlos Peixoto

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1 Lista Função - Ita Carlos Peixoto. (Ita 07) Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X Y e X Y. Considere as seguintes afirmações: I. Existe uma bijeção f : X Y. II. Existe uma função injetora g: Y X. III. O número de funções injetoras f : X Y é igual ao número de funções sobrejetoras g: Y X. É (são) verdadeira(s) a) nenhuma delas. b) apenas I. c) apenas III. d) apenas I e II. e) todas.. (Ita 03) Considere funções f, g, f g:. Das afirmações: I. Se f e g são injetoras, f g é injetora; II. Se f e g são sobrejetoras, f III. Se f e g não são injetoras, f IV. Se f e g não são sobrejetoras, f é (são) verdadeira(s) a) nenhuma. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas III e IV. e) todas. g é sobrejetora; g não é injetora; g não é sobrejetora, 3. (Ita 00) Analise se a função determine a função inversa f. f : x x 3 3, f(x) é bijetora e, em caso afirmativo, 4. (Ita 00) Sejam f, g: R R tais que f é par e g é impar. Das seguintes afirmações: I. f. g e impar, II. f o g e par, III. g o f e impar, é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) todas. 7/06/07 0:4 pag.

2 5. (Ita 008) Um subconjunto D de IR tal que a função f: D IR, definida por f(x) = ln (x - x + ) é injetora, é dado por a) IR b) (-, ] c) [0, /] d) (0, ) e) [/, ) 6. (Ita 008) Seja f(x) = ln (x + x + ), x IR. Determine as funções h, g : IR IR tais que f(x) = g(x) + h(x), x IR, sendo h uma função par e g uma função ímpar. 7. (Ita 006) Seja f : 0, definida por x, 0 x f(x), x, x Seja g :, dada por f x, x 0 g(x), f x, 0 x com f definida acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar. 8. (Ita 005) Considere os conjuntos S = {0,, 4, 6}, T = {, 3, 5} e U = {0,} e as afirmações: I - {0} S e S U. II - {} (S - U) e S T U = {0, }. III - Existe uma função f: S T injetiva. IV - Nenhuma função g: T S é sobrejetiva. Então, é(são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas IV. c) apenas I e IV. d) apenas II e III. e) apenas III e IV. 9. (Ita 005) Seja D = R - {} e f : D D uma função dada por f(x) = (x + )/(x - ). Considere as afirmações: I - f é injetiva e sobrejetiva. II - f é injetiva, mas não sobrejetiva. III - f(x) + f(/x) = 0, para todo x D, x 0. IV - f(x). f(-x) =, para todo x D. Então, são verdadeiras a) apenas I e III. b) apenas I e IV. c) apenas II e III. 7/06/07 0:4 pag.

3 d) apenas I, III e IV. e) apenas II, III e IV. 0. (Ita 004) Sejam as funções f e g definidas em IR por f(x) = x + áx e g(x)= - (x + âx), em que á e â são números reais. Considere que estas funções são tais que Então, a soma de todos os valores de x para os quais (f o g) (x) = 0 é igual a a) 0 b) c) 4 d) 6 e) 8. (Ita 003) Mostre que toda função f: IR / {0} IR, satisfazendo f(xy) = f(x) + f(y) em todo seu domínio, é par.. (Ita 00) Sejam a, b, c reais não-nulos e distintos, c > 0. Sendo par a função dada por f(x) = (ax + b)/(x + c), -c < x < c, então f(x), para -c < x < c, é constante e igual a a) a + b. b) a + c. c) c. d) b. e) a. 3. (Ita 000) Sejam f, g: IR IR definidas por f(x)=x 3 e g(x)=0 a sendo a=3cos5x. Podemos afirmar que a) f é injetora e par e g é ímpar. b) g é sobrejetora e (g o f) é par. c) f é bijetora e (g o f) é ímpar. d) g é par e (g o f) é ímpar. e) f é ímpar e (g o f) é par. 4. (Ita 000) Considere f:ir IR definida por f(x)=sen3x-cos[(x-ð)/]. Sobre f podemos afirmar que:. a) é uma função par. b) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4ð. c) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4ð/3. d) é uma função periódica de período fundamental ð. e) não é par, não é ímpar e não é periódica. 7/06/07 0:4 pag.3

4 5. (Ita 999) Sejam f, g, h: IR IR funções tais que a função composta h o g o f:ir IR é a função identidade. Considere as afirmações: I - A função h é sobrejetora. II - Se x 0 IR é tal que f(x 0 ) = 0, então f(x) 0, para todo x IR com x x 0. III - A equação h(x) = 0 tem solução em IR. Então: a) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. c) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. d) Todas as afirmações são verdadeiras. e) Todas as afirmações são falsas. 6. (Ita 999) Considere as funções f e g definidas por f(x)=x-(/x), para x 0 e g(x)=x/(x+), para x -. O conjunto de todas as soluções da inequação (g o f) (x) < g(x) é: a) [, + [ b) ]-, -[ c) [-, -[ d) ]-, [ e) ]-, -[ ], + [ 7. (Ita 998) Seja f: IR IR a função definida por f(x) = -3a x, onde a é um número real, 0 < a <. Sobre as afirmações: (I) f(x+y) = f(x) f(y), para todo x, y, IR. (II) f é bijetora. (III) f é crescente e f ( ] 0, + [ ) = ] -3,0 [. Podemos concluir que: a) Todas as afirmações são falsas. b) Todas as afirmações são verdadeiras. c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. d) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. e) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. 8. (Ita 998) Sejam as funções f: IR IR e g: A IR IR, tais que f(x) = x - 9 e (fog) (x) = x - 6, em seus respectivos domínios. Então, o domínio A da função g é: a) [ - 3, + [ b) IR c) [ - 5, + [ d) ] -, - [ [ 3, + [ e) ] -, 6 [ 9. (Ita 998) Seja f: IR IR a função definida por f(x) = sen x - cos x. Então: a) f é ímpar e periódica de período ð. b) f é par e periódica de período ð/. c) f não é par nem ímpar e é periódica de período ð. d) f não é par e é periódica de período ð/4. e) f não é ímpar e não é periódica. 7/06/07 0:4 pag.4

5 0. (Ita 997) Se Q e I representam, respectivamente, o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais, considere as funções f, g: IR IR definidas por f(x) = 0, se x Q, se x I g(x) =, se x Q 0, se x I Seja J a imagem da função composta f o g: IR IR. Podemos afirmar que a) J = IR b) J = Q c) J = {0} d) J = {} e) J = {0, }. (Ita 997) Sejam f, g : IR IR funções tais que g(x) = - x e f(x) + f( - x) = (x - ) 3, para todo x IR. Então f[g(x)] é igual a a) (x - ) 3 b) ( - x) 3 c) x 3 d) x e) - x. (Ita 996) Seja f: IR IR definida por f(x) = 3x 3, x 0 x 4x 3, x 0 Então: a) f é bijetora e (f o f)( ) = f - (). 3 b) f é bijetora e (f o f)( ) = f - (99). 3 c) f é sobrejetora, mas não é injetora. d) f é injetora, mas não é sobrejetora. e) f é bijetora e (f o f)( ) = f - (3) (Ita 996) Considere as funções reais f e g definidas por f(x) = (+x)/( - x ), x IR - {-,} e g(x) = x/( + x), x IR - {-/}. 7/06/07 0:4 pag.5

6 O maior subconjunto de IR onde pode ser definida a composta fog, tal que (fog)(x) < 0, é: a) ] -, -/[ ]-/3, -/4[ b) ] -, -[ ]-/3, -/4[ c) ] -, -[ ]-/, [ d) ], [ e) ]-/, -/3[ 4. (Ita 995) Seja a função f: R R definida por: onde a > 0 é uma constante. Considere K = {y R; f(y) = 0}. Qual o valor de a, sabendo-se que f(ð/) K? a) ð/4 b) ð/ c) ð d) ð / e) ð 7/06/07 0:4 pag.6

7 Gabarito: Resposta da questão : [A] Considerando os conjuntos X e Y, que satisfazem as condições do enunciado (conjuntos finitos com X Y e X Y), pode-se analisar as afirmações: [I] FALSO. Não existe bijeção f : X Y. [II] FALSO. Não existe função injetora g: Y X. [III] FALSO. O número de funções injetoras f : X Y não é igual ao número de funções sobrejetoras g: Y X. Resposta da questão : [A] Considerando f(x) = x e g(x) = x, temos: (f+g)(x) = 0 que não é injetora e nem sobrejetora, portanto I e II são falsas. Considerando, agora, f(x) = x e g(x) = x + x (não injetoras e não sobrejetoras), temos: (f+g)(x) = x, que é bijetora, logo as afirmações II e IV são falsas. Portanto, as afirmações acima são todas falsas. Resposta da questão 3: Vamos considerar f(x) f(y) x x y y x x xy y y xy x y xy (3 3 ) 3 (3 3 ) 3 (3 3 ) ( 3 ) 0 Então x y x y x y, logo f(x) é injetora. x x 3 3 x x f(x) k k (3 ) k 3 x x x k k (3 ) k k k Como x 3 k k sempre existirá um x para qualquer k. Logo f(x) é sobrejetora. Como f(x) é injetora e sobrejetora, concluímos que f(x) é bijetora. Calculando a inversa x x x x log (x x ) f (x) log (x x ). Resposta da questão 4: [D] I. f(-x).g(-x) = - f(x).g(x) (função ímpar) II.f(g(-x)) = f(-g(x)) = f(g(x)) ( função par) III.g(f(-x)) = g(f(x)) ( função par) Apenas I e II estão corretas. Resposta da questão 5: [C] 7/06/07 0:4 pag.7

8 Resposta da questão 6: h(x) = (/) ln (x 4 + x + ) e g(x) = (/) ln [(x + x + )/(x - x + )] Resposta da questão 7: x, 0 x f(x) x, x x, x 0 f x x, 0 x Temos que: f x, se x 0 g(x) f x, se 0 x x, se x 0 g(x) x, se 0 x Como g(x) g( x), x,, então g é par. Resposta da questão 8: [B] Resposta da questão 9: [A] Resposta da questão 0: [D] Resposta da questão : ) x = z e y = z f(z ) = f(z) + f(z) f(z ) = f(z) ) x = - z e y = - z f(z ) = f(- z) + f(- z) f(z ) = f(-z) Logo, f(z ) = f(z) = f(-z), z IR / {0} f(-z) = f(z), z IR / {0} f é par, z IR / {0} Resposta da questão : [E] Resposta da questão 3: [E] Resposta da questão 4: [B] Resposta da questão 5: [D] 7/06/07 0:4 pag.8

9 Resposta da questão 6: [E] Resposta da questão 7: [E] Resposta da questão 8: [A] Resposta da questão 9: [C] Resposta da questão 0: [C] Resposta da questão : [C] Resposta da questão : [B] Resposta da questão 3: [A] Resposta da questão 4: [D] 7/06/07 0:4 pag.9

10 Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 6/06/07 às 6:48 Nome do arquivo: lista função ita Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo Elevada... Matemática... Ita/07... Múltipla escolha Elevada... Matemática... Ita/03... Múltipla escolha Elevada... Matemática... Ita/00... Analítica Média... Matemática... Ita/00... Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Analítica Não definida.. Matemática... Ita/ Analítica Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Analítica Não definida.. Matemática... Ita/00... Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Média... Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha 7/06/07 0:4 pag.0

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