UNIDADE IV FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL do 1 o. GRAU

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1 UNIDADE IV FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL do 1 o. GRAU 1. MOTIVAÇÃO/INTRODUÇÃO. FUNÇÃO AFIM DO DE PRIMEIRO GRAU 3. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM 4. RAIZ DA FUNÇÃO AFIM 5. INTERSECÇÃO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM COM O EIXO 0y 6. COEFICIENTES ANGULAR E LINEAR DE UMA FUNÇÃO AFIM 7. RESCIMENTO E DECRESCIMENTO 8. ESTUDO DA VARIAÇÃO DE SINAL DA FUNÇÃO DO 1 O GRAU ATRAVÉS DE SEU GRÁFICO 9. INEQUAÇÃO PRODUTO 10. INEQUAÇÃO QUOCIENTE 1. MOTIVAÇÃO/INTRODUÇÃO Considere uma máquina que fabrica m de corda por minuto. A tabela abaixo descreve a produção dessa máquina em função do tempo. Tempo (min) Produção (m) Marcando estes pontos em um gráfico, obtemos: 1 PRODUÇÃO (M) TEMPO (MIN) 5//15 1

2 Medindo a produção a cada meio minuto, temos a seguinte tabela: Tempo (min) Produção (m) 0, ,5 3 4, , , O gráfico correspondente a estas medições será: PRODUÇÃO (M) TEMPO (MIN) Se diminuirmos mais e mais o intervalo entre as medições, ou seja, a cada 10 segundos, 5 segundos, etc., obteremos mais e mais pontos, e todos numa mesma reta. Podemos dizer que o gráfico abaixo descreve a produção dessa máquina em função do tempo PRODUÇÃO (M) TEMPO (MIN) 5//15

3 . FUNÇÃO AFIM DO DE PRIMEIRO GRAU Toda função do tipo f (x) = a.x + b com a, b R e a 0 é chamada de função do 1 o grau ou função afim. Exemplos: (a) y = 3x + 1 (b) y = x 5 (c) y = 4x (d) y =! +!!! (e) Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por quilômetro rodado (valor variável). Podemos descrever o valor da corrida (y) em função da quantidade de quilômetros rodados (x): y = 3,50 + 0,70 x A função do 1 o grau y = ax + b na qual b = 0 recebe o nome particular de função LINEAR. Exemplos. (a) y = 4x (b) y =!! 3. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM O gráfico de uma função de primeiro grau é uma reta. Para construirmos o gráfico de uma reta precisamos representar dois pontos distintos da função no plano cartesiano e traçar a reta que passa por eles. Basta que escolhamos dois valores para x e determine os valores de y correspondentes. 5//15 3

4 4. RAIZ DA FUNÇÃO AFIM Para determinarmos o ponto de interseção do gráfico da função com o eixo Ox, precisamos determinar a abscissa desse ponto. Basta substituirmos y = 0 na expressão da reta. y = ax + b 0 = ax + b ax = b x = b a Assim, o ponto de interseção da reta associada à função afim com o eixo 0x é (-b/a, 0). Este ponto é chamado de raiz ou zero da função afim. Exemplo: Determine a raiz da função f (x) = 3x x + 5 = 0 3x = 5 x = INTERSECÇÃO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM COM O EIXO 0y A ordenada do ponto de interseção do gráfico da função afim com o eixo Oy é obtida substituindo x=0 na expressão da reta: y = ax + b y = a(0) + b y = b 5//15 4

5 Assim, o ponto de interseção da reta associada à função afim com o eixo Oy é (0,b). Exemplo: Determine a ordenada do ponto de intersecção da reta y = 5x + 15 com o eixo 0y. y = y = 15. A reta corta o eixo 0y no ponto (0,15). 6. COEFICIENTES ANGULAR E LINEAR DE UMA FUNÇÃO AFIM Observe o gráfico da função afim y = ax + b. y y! y! y! x! x! x! x Geometricamente, o parâmetro a é chamado de coeficiente angular a = y x = y! y! x! x! O parâmetro b é chamado de coeficiente linear. (interseção com o eixo Oy) 5//15 5

6 Exemplo: Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (-1,3) e (-,4). Calculando o coeficiente angular: a = (4 3) ( 1) = 1 1 = 1 7. CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Função Afim Crescente. A função do 1 o grau f (x) = ax + b é crescente se, e somente se, a > 0. Exemplo: A função f (x) = x 8 é crescente, pois o coeficiente de x () é positivo. Função Afim Decrescente. A função do 1 o grau f (x) = ax + b é crescente se, e somente se, a < 0. Exemplo: A função f (x) = x + 4 é decrescente, pois o coeficiente de x (-) é negativo. 8. ESTUDO DA VARIAÇÃO DE SINAL DA FUNÇÃO DO 1 O GRAU ATRAVÉS DE SEU GRÁFICO Estudar o sinal da função do 1 o grau y = ax + b é determinar os valores reais de x para os quais se tenha y < 0, y = 0 ou y > 0. Sabemos que y = 0 se x = b. Para conhecermos os a valores de x de modo que se tenha y < 0 ou y > 0, devemos considerar o sinal do coeficiente a. 1 o caso: a > 0 Se a > 0, a função é crescente. Nesse caso temos: x < x > b y < 0 (função negativa) a b y > 0 (função positiva) a 5//15 6

7 A forma do gráfico de f é: o caso: a < 0 Se a < 0, a função é decrescente. Nesse caso temos: x < x > b y > 0 (função positiva) a b y < 0 (função negativa) a A forma do gráfico de f é: Exemplo: Construir o gráfico da função f (x) = x 6 e discutir a variação de sinal de f com o auxílio do gráfico. x < -3 y > 0 (a função é positiva) x > -3 y < 0 (a função é negativa) x y //15 7

8 9. INEQUAÇÃO PRODUTO Sendo x R, consideremos os números x + 4 e 6 3x. Para que valores de x o produto desses números é positivo? Para respondermos a essa pergunta, devemos resolver a inequação (x + 4)(6 3x) > 0. Chama-se de inequação produto toda inequação apresentada em uma das seguintes formas: f (x) g (x) > 0 f (x) g (x) 0 f (x) g (x) < 0 f (x) g (x) 0 f (x) g (x) 0 em que f e g são funções quaisquer. Exemplo: (a) (x + 4)(6 3x) > 0 (b)(5x 10)(6 x)(3x 15) 0 (c) (x 3) (1 x) 3 ( 8x) < 0 Exemplo: Resolver em R a inequação (x + 4)(6 3x) > 0. Estudando a variação de sinal de cada uma das funções f (x) = x + 4 e g (x) = 6 3x, temos: f (x) = x + 4. raiz de f : x + 4 = 0 x = - variação de sinal da função f : a > 0 f é crescente 5//15 8

9 g (x) = 6 3x: raiz de g : 6 3x = 0 x = variação de sinal da função g : a < 0 g é decrescente Representando no eixo real a variação de sinal de f, g e f.g, temos: Obtivemos os sinais na última linha, aplicando a regra de sinais para o produto fg. Como nos interessa que esse produto seja positivo, (x + 4)( 6 3x) > 0, temos que o conjunto solução é: S = {x R - < x < } ou S = ]-, [ 10. INEQUAÇÃO QUOCIENTE Chama-se de inequação quociente toda inequação apresentada em uma das seguintes formas: f (x) g (x) > 0, f (x) g (x) 0, f (x) < 0, g (x) f (x) 0, g (x) f (x) 0 g (x) em que f e g são funções quaisquer, com g não identicamente nula. 5//15 9

10 Exemplos: (a) (b) < 0 x - 3 x x - 1 (c) (x 5 1) ( x) 3x Exemplo. Resolver em R a inequação x - 3 x I. Condição de existência: x 1 0 x 1 Estudando a variação de sinal de cada uma das funções f (x) = x 3 e g (x) = x 1, temos: II. f (x) = x 3: raiz de f : x 3 = 0 x = 3 variação de sinal da função f : a > 0 f é crescente III. g (x) = x 1: raiz de g : x 1 = 0 x = 1 variação de sinal da função g : a > 0 g é crescente Representando no eixo real a variação de sinal de f, g e f/g, temos: 5//15 10

11 Os sinais na última linha foram obtidos através da regra de sinais para o quociente f /g. Como nos interessa que quociente seja não-positivo, S = {x R 1 < x 3 } ou S = ]1, 3 ] x - 3 0, temos que o conjunto solução é: x - 1 Note que o intervalo deve ser aberto à esquerda, pois, pela condição de existência, x 1. FIM 5//15 11